Кванты коэффициентов Холла и магнитосопротивления в электропроводящих нанолентах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ФИЗИКА

PHYSICS

УДК 620.3:537

doi: 10.21685/2072-3040-2023-4-8

Кванты коэффициентов Холла и магнитосопротивления в электропроводящих нанолентах

Р. А. Браже1, А. А. Гришина2

1,2Ульяновский государственный технический университет, Ульяновск, Россия 1brazhe@ulstu.ru, 2a.grishina@ulstu.m

Аннотация. Актуальность и цели. Квантовый характер зависимости холловского сопротивления от индукции магнитного поля в двумерном электронном газе - вещь известная. Квантовый характер обусловлен пространственным квантованием электронов в магнитном поле, вызывающем их круговое движение по орбитам лишь определенного радиуса. Не менее важным обстоятельством при наблюдении гальваномагнитных эффектов в электопроводящих узких (менее 100 нм) нанолентах является эффект размерного квантования. Целью настоящей работы является исследование влияния этого эффекта на возникновение квантов коэффициентов Холла и магнитосопротивления. Материалы и методы. Объектами исследования являются металлические графеновые наноленты с краями типа «зигзаг» шириной, не превышающей 100 нм, и длиной менее длины баллистического транспорта свободных носителей заряда. В работе используются известные методы квантовой физики, физики твердого тела, кристаллофизики и квантовой теории явлений переноса в двумерном электронном газе. Результаты. Исследованы антисимметричные и симметричные части тензора удельных сопротивлений 2D-проводника в поперечном магнитном поле. Получены явные выражения не только для кванта удельного холловского сопротивления, но и для кванта коэффициента Холла, и для квантов относительных продольного и поперечного магнитосопротивлений, и для кванта абсолютного магнитосопротивления. Результаты работы могут быть использованы при расчете и проектировании нано-масштабных гальваномагнитных датчиков и магниторезисторов.

Ключевые слова: графеновые наноленты, эффект Холла, магнитосопротивление, размерное квантование, кванты коэффициентов Холла и магнитосопротивления

Для цитирования: Браже Р. А., Гришина А. А. Кванты коэффициентов Холла и магнитосопротивления в электропроводящих нанолентах // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 4. С. 90-98. doi: 10.21685/2072-3040-2023-4-8

Quanta of Hall and magnetoresistance coefficients in electrically conductive nanoribbons

R.A. Brazhe1, A.A. Grishina2

1,2Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, Russia 1brazhe@ulstu.ru, 2a.grishina@ulstu.ru

© Браже Р. А., Гришина А. А., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Abstract. Background. The quantum nature of the dependence of the Hall resistance on the magnetic field induction in a two-dimensional electron gas is a well-known thing. It is caused by the spatial quantization in a magnetic field, causing their circular motion along orbits of only a certain radius. An equally important circumstance when observing galva-nomagnetic effects in electrically conductive narrov (less 100 nm) nanoribbons is the effect of dimensional quantization. The purpose of this work is to study the influence of this effect on the occurrence of the quanta of Hall and magnetoresistance coefficients. Materials and methods. The objects of the study are metallic graphene nanoribbons with "zigzag" type edges and a width not exceeding 100 nm of a length less than the length of the ballistic transport of free charge carriers. The work uses well-known methods of quantum physics, solid state physics, crystal physics and quantum theory of transfer phenomena in a two-dimensional electron gas. Results. Antisymmetric and symmetric parts of the resistivity tensor of a 2D-conductor in a transverse magnetic field are investigated. Explicit expressions are obtained not only for the quantum of specific Hall resistance, but also for the quantum of the Hall coefficient, and for the quanta of relative longitudinal and transvers magnetoresistance, and for the quantum of absolute magnetoresistance. The results of the work can be used in calculation and design of nanoscale galvanomagnetic sensors and magnetoresistors.

Keywords: graphene nanoribbons, Hall effect, magnetoresistance, dimensional quantization, quanta of Hall and magnetoresistans coefficients

For citation: Brazhe R.A., Grishina A.A. Quanta of Hall and magnetoresistance coefficients in electrically conductive nanoribbons. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(4):90-98. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2023-4-8

Введение

Важным результатом открытого в 1980 г. К. фон Клитцингом и другими квантового эффекта Холла [1] в двумерном электронном газе стало обнаружение серии плато на зависимости холловского сопротивления от магнитного поля или (при фиксированном магнитном поле) от концентрации носителей заряда. Этот факт является следствием пространственного квантования электронов в магнитном поле, вызывающем их вращение лишь по таким круговым орбитам, на длине которых укладывается целое число электронных волн де Бройля.

Гальваномагнитные явления, к которым принадлежат эффекты Холла и магнитосопротивления, относятся к явлениям переноса (в данном случае заряда в скрещенных электрическом и магнитном полях). Как было показано в ряде наших работ [2-4], в явлениях переноса, имеющих место в нанопро-водниках, поперечные размеры которых соизмеримы с длиной электронной волны де Бройля, вследствие эффектов размерного квантования имеет место квантование кинетических коэффициентов: диффузии, вязкости, электро- и теплопроводности, коэффициентов Зеебека, Пельтье и Томсона. Следовательно, можно ожидать, что коэффициенты Холла и магнитосопротивления также могут быть выражены через соответствующие кванты.

Обнаружение таких квантов представляет собой актуальную проблему как для наноэлектроники, так и для физики конденсированного состояния низкоразмерных сред в целом.

Основной целью настоящей статьи является исследование влияния квантово-размерных эффектов на протекание гальваномагнитных явлений в нанопроводниках малого поперечного сечения (менее 100 нм) в условиях

баллистического транспорта электронов. Целью работы является вывод явных выражений для квантов коэффициентов Холла и магнитосопротивления.

Материалы и методы

В качестве объекта исследования рассматриваются графеновые нано-ленты (ГНЛ) с краями типа «зигзаг» длиной, не превышающей их баллистической длины: Ь < Ь (для графена Ь^ ~ 1 мкм) и шириной Ж < 100 нм.

В работе использовались известные методы квантовой физики, физики твердого тела, кристаллофизики и квантовой теории явлений переноса в двумерном электронном газе.

Результаты

Общий вид уравнения для тензора удельного сопротивления

Уравнение для тензора 2-го ранга удельного сопротивления ру (В) в поперечном магнитном поле с индукцией В можно записать в виде [5]:

Ру (В) = Ру0) + РукВк + Рук1ВкВ1. (1)

Антисимметричная часть этого тензора описывает эффект Холла:

«у (В ) = РукВк, (2)

а симметричная часть - эффект магнитосопротивления:

Ру (В) = Ру0) + Рук/ВкВ/, (3)

где Ру0) - обычное удельное сопротивление материала (без магнитного поля); Рук1ВкВ[ - удельное магнитосопротивление.

На рис. 1 представлены расположение исследуемой ГНЛ относительно кристаллофизических осей Х1, %2, Х3, ориентация векторов плотности протекающего электрического тока у и индукции магнитного поля В, а также напряженности возникающего холловского электрического поля Е^ .

Обратим внимание, что в 2D-кристаллах электрическое сопротивление проводника Я = рЬ / Ж измеряется, как обычно, в омах, в связи с чем единицы измерения величин, входящих в выражения (1)-(3), принимают следую-

щим вид:

Р(0)

v4

= Юм; [р#] = 1 м2 • Кл 1; [рг}И] = 1 м2 • с• кг 1

Эффект Холла

Для графена и ему подобных 2D-кристаллов класса симметрии 6 / ттт гексагональной сингонии тензор коэффициентов Холла ргд в уравнении (2) в матричном представлении имеет следующий вид [6]:

.( Р113 Р123 1 = ( 0 Р1231 чр213 р223„

(рijk ) =

-Р123 0

1

и содержит единственный отличный от нуля компонент Р123 . В связи с этим для конфигурации, изображенной на рис. 1, уравнение (2) запишется в виде

«12 (В) = Р123В3. (4)

Холловское напряжение, как легко показать, принимает вид

иН = Р123]ВЖ ; Р123 = (п2е)-1 , (5)

где «2 - двумерная концентрация свободных носителей заряда; е - элементарный заряд, а холловское (поперечное) удельное сопротивление соответствует величине 0^2 (В) в (4):

РН =«12 (В)= ЕН = ^Н = Р123В3 . (6)

Из выражения (5) и (6) следует, что

Р = 1 В = И еВ = Як (7)

Рн =-В3 = -у—г = —, (7)

«2е е2 «2И V

2

где И - постоянная Планка; Як = И / е ~ 25,8128 кОм - сопротивление фон Клитцинга или удельное сопротивление одного квантового канала электропроводности (квант сопротивления); V=«2И / (еВ) - фактор заполнения

уровней Ландау в зоне проводимости электронами при данной их концентрации в магнитном поле. Напомним, что если V - целое число, то имеет место целочисленный квантовый эффект Холла, а если V - дробное число, то дробный квантовый эффект Холла.

В условиях размерного квантования ширине ГНЛ Ж = п / кр, где кр -волновое число Ферми [2], коэффициент Холла

1 _ЖЬ пЬ ИЬ ИЬ

Р123 =-= ^ТГ:

n2e eN ekFN 2epFN 2em vFN

где N - число свободных носителей заряда в образце; m - их эффективная масса; VF - скорость Ферми.

В расчете на один канал электропроводности (N = 1) и на единицу длины получаем квант погонного значения коэффициента Холла:

Р20 =

р123 L

h

2em VF

(8)

Если в наноленте укладывается M (Ер ) = gsgvWkF / п каналов электропроводности [2, 6], холловское удельное сопротивление (7) будет определяться выражением

= Rк

РН M) '

а погонный коэффициент Холла (8) - выражением

h

Р20

2emvFM (EF)

здесь EF - энергия Ферми носителей заряда; gs и gv - соответственно вырождения их энергетических состояний по спину и долинам (в графене gs = gv = 2).

Эффект магнитосопротивления

Перейдем теперь к формуле (3) и запишем ее в виде

Ару = Ц- (В)- Р(0) = Р1]кМ ,

где Ар - - абсолютное удельное магнитосопротивление. Относительное магнитосопротивление имеет вид

АРу _ РуЫ

(9)

Р0)

р(°)

ВкВ1 = Кт„ВьВ,

тп£>№1'

(10)

где Ктп - тензор коэффициентов относительного магнитосопротивления в матричном представлении. Для класса симметрии 6 / ттт он содержит 4 независимых компонента и имеет вид

( К

(Ктп )

к13 ^

11 К12 К13 К21 К22 К23 К31 К32 К33

( Кц К12 7 V К13

К12 Кц

К13

К13 ^

К13

К

33 74

здесь /, - = т = 1,2,3; k, I = п = 1,2,3.

Для нашей геометрии ГНЛ из (10) получаем выражения для продольного и поперечного относительного магнитосопротивления в следующем виде:

Ар11 = АР± = КВ2 (11)

Р(0У=-(0) =КВ3, (11)

р|| р1

так как К23 = К13 = К в силу симметрии тензора Ктп . Из равенства (11) видно, что [К] = 1 Тл-2 .

В работе [7] показано, что коэффициент К может быть представлен

в виде

-=* IW) *2

где ц - подвижность носителей заряда, а безразмерная функция

g \ — 1=16 W у

W I -3 Т

п—(2k +1) 2 Wv '

W J n3 —k=0 (2k +1)3

(12)

Продольные и поперечные абсолютные удельные сопротивления рассматриваемой ГНЛ найдутся как

Ар|| =Р(0)КВ32 =Р13 В2, (13)

Ар±=р20)КВ32 =Р23В32, (14)

где Р13 =р(0)К и Р23 =р20)К - коэффициенты соответственно продольного и поперечного абсолютных магнитосопротивлений.

Поскольку р(0) и р20) кратны кванту удельного сопротивления Як, то

квант удельного абсолютного магнитосопротивления в исследуемой ГНЛ имеет вид

р130 =р230 = ЯКК . (15)

Как следует из (12)-(15), единица измерения этого кванта [Р130 ] = [Р230 ] =1 Ом" Тл"2.

Обсуждение

Наше исследование показывает, что в электопроводящих нанолентах коэффициенты, описывающие такие гальваномагнитные явления, как эффект Холла и магнитосопротивление, выражаются через некоторые универсальные множители - кванты указанных коэффициентов. В частности, квант погонного значения коэффициента Холла описывается формулой (8), а квант удельного абсолютного магнитосопротивления - формулой (15).

Эффективная масса электронов в (8) может быть выражена через их двумерную концентрацию [8]:

2

n2 = gs*v 24

{ knT V

_B

V

hvF

где kß - постоянная Больцмана; h = h / (2п) - приведенная постоянная Планка. В графене vp —0,8 • 105 м/с при температуре T = 300 К; «2 = 1,31016 м-2,

тогда

* hkF hi— . _ „-3i m = —F =—Jnn2 — 2,7•ÍO 31 кг,

vF vF

здесь kp - импульс Ферми.

Расчеты по формуле (8) дают следующее численное значение для кванта погонного коэффициента Холла в графене: Р20 — 9,6 • 109 м • Кл 1.

В случае ГНЛ с L ~1мкм и W < 0,1 мкм, т.е. когда L / W»1,

th[nL(2k + 1)/(2W)] -1, а £ (2k +1)3 -1,05 [9]. Тогда в (12)

k=0

g (L / W) - 0,054. Подвижность электронов в графене ц = 25 м2 • В-1 • с-1

[10]. Следовательно K = 33,8 Тл 2, а квант удельного абсолютного магнито-

-2

сопротивления, вычисленный по формуле (15), Р130 = Р230 — 872 кОм • Тл .

Заключение

Локализация свободных носителей заряда в электропроводящих нано-лентах, подобных ГНЛ, с краями типа «зигзаг» вследствие их размерного квантования приводит к новым эффектам в гальваномагнитных явлениях: появлению квантов коэффициента Холла и удельного абсолютного магнитосо-противления. В частности, в ГНЛ указанного типа при температурах, близких к комнатным, квант погонного коэффициента Холла

Р20 — 9,6 • 109 м • Кл 1, а квант удельного абсолютного магнитосопротивления

-2

р130 = Р230 — 872 кОм • Тл (для случая, когда отношение длины ГНЛ к ее ширине L / W = 10 ).

Полученные в работе формулы позволяют рассчитывать значения этих коэффициентов и для электропроводящих нанолент, выполненных из других материалов, если известны их симметрия и физические характеристики. Результаты работы могут быть использованы при расчете и проектировании наномасштабных гальваномагнитных датчиков и магниторезисторов.

Список литературы

1. Von Klitzing K., Dorda G., Pepper M. New method for high accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance // Phys. Rev. Lett. 1980. Vol. 45. P. 494-497. doi: 10.1103/PhysRevLett.45.494

2. Браже Р. А., Фуфаев И. В. Размерное квантование кинетических коэффициентов, описывающих явления переноса в графеноподобных нанолентах // Физическое образование в вузах. 2021. Т. 27, № 2. С. 90-97.

3. Браже Р. А., Лебедев Е. Ю., Фуфаев И. В. Недиссипативные необратимые процессы в наномасштабных линиях передачи // Необратимые процессы в природе и технике : материалы Всерос. конф. НППТ-2023 (Москва, 31.01-03.02.2023). М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2023.

4. Браже Р. А., Гришина А. А. Кванты коэффициентов Зеебека, Пельтье и Томсона в наномасштабных проводниках // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 2. С. 59-67. doi: 10.21685/2072-3040-2023-2-6

5. Шувалов Л. А., Урусовская А. А., Желудев И. С. [и др.]. Современная кристаллография. Т. 4. Физические свойства кристаллов. М. : Наука, 1981. 496 с.

6. Гришина А. А. Математические модели явлений переноса в инверсных средах : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 05.13.18. Ульяновск, 2009. 139 с.

7. Vorob'ev V. N., Sokolov Yu. F. Determination of the mobility in small sample of gallium arsenide from magnetoresistive effects // Sov. Phys. Semiconductors. 1971. Vol. 5. P. 616.

8. Fang T., Konar A., Xing H., Jena D. Carrier statistics and quantum capacitance of gra-phene sheets and ribbons // Appl. Phys. Lett. 2007. Vol. 91, № 9. P. 092109. doi: 10.1063/1.2776887

9. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М. : Наука, 1979. 832 с.

10. Novoselov K. S., Geim A. K., Morozov S. V., Jiang D., Zhang Y., Dubonos S. V., Grigorieva I. V., Firsov A. A. Electric field effect in atomically thin carbon film // Science. 2004. Vol. 306. P. 666-669. doi: 10.1126/science. 1102896

References

1. Von Klitzing K., Dorda G., Pepper M. New method for high accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance. Phys. Rev. Lett. 1980;45:494-497. doi: 10.1103/PhysRevLett.45.494

2. Brazhe R.A., Fufaev I.V. Size quantization of kinetic coefficients describing transport phenomena in graphene-like nanoribbons. Fizicheskoe obrazovanie v vuzakh = Physical education in universities. 2021;27(2):90-97. (In Russ.)

3. Brazhe R.A., Lebedev E.Yu., Fufaev I.V. Non-dissipative irreversible processes in na-noscale transmission lines. Neobratimye protsessy v prirode i tekhnike: materialy Vse-ros. konf. NPPT-2023 (Moskva, 31.01-03.02.2023) = Irreversible processes in nature and technology: proceedings of the All-Russian conference "Irreversible processes in nature and technology - 2023" (Moscow, January 31 - February 3, 2023). Moscow: MGTU im. N.E. Baumana, 2023. (In Russ.)

4. Brazhe R.A., Grishina A.A. Seebeck, Peltier and Thomson coefficient quanta in na-noscale conductors. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizi-ko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(2):59-67. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2023-2-6

5. Shuvalov L.A., Urusovskaya A.A., Zheludev I.S. et al. Sovremennaya kristallografiya. T. 4. Fizicheskie svoystva kristallov = Modern crystallography. Volume 4. Physical properties of crystals. Moscow: Nauka, 1981:496. (In Russ.)

6. Grishina A.A. Mathematical models of transport phenomena in inverse media. PhD dissertation: 05.13.18. Ul'yanovsk, 2009:139. (In Russ.)

7. Vorob'ev V.N., Sokolov Yu.F. Determination of the mobility in small sample of gallium arsenide from magnetoresistive effects. Sov. Phys. Semiconductors. 1971;5:616.

8. Fang T., Konar A., Xing H., Jena D. Carrier statistics and quantum capacitance of gra-phene sheets and ribbons. Appl. Phys. Lett. 2007;91(9):092109. doi: 10.1063/1.2776887

9. Abramovitsa M., Stigan I. (eds.). Spravochnik po spetsial'nym funktsiyam = Special functions reference. Moscow: Nauka, 1979:832. (In Russ.)

10. Novoselov K.S., Geim A.K., Morozov S.V., Jiang D., Zhang Y., Dubonos S.V., Grigorieva I.V., Firsov A.A. Electric field effect in atomically thin carbon film. Science. 2004;306:666-669. doi: 10.1126/science. 1102896

Информация об авторах / Information about the authors

Рудольф Александрович Браже

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Ульяновский государственный технический университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32)

E-mail: brazhe@ulstu.ru

Rudol'f A. Brazhe Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the subdepartment of physics, Ulyanovsk State Technical University (32 Severniy Venets street, Ulyanovsk, Russia);

Алена Александровна Гришина

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры физики, Ульяновский государственный технический университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32)

E-mail: a.grishina@ulstu.ru

Alena A. Grishina

Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of physics, Ulyanovsk State Technical University (32 Severniy Venets street, Ulyanovsk, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 01.09.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 03.10.2023 Принята к публикации / Accepted 05.11.2023