CC BY
0
УДК 620.3:536.2.01
doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-12
Кванты погонной теплоемкости и погонной тепловой индуктивности в наномасштабных теплопроводах
Р. А. Браже
Ульяновский государственный технический университет, Ульяновск, Россия
brazhe@ulstu.ru
Аннотация. Актуальность и цели. Пространственная локализация фононного газа в пределах наноленты или нанотрубки, подобно локализации газа свободных носителей заряда, должна вызывать квантование тепловых характеристик нанотеплопрово-да, равно как имеет место кантование электрических характеристик в нанопроводни-ках электрического тока. Известен универсальный квант теплопроводности и обратный ему квант теплового сопротивления, аналогичный сопротивлению фон Клитцин-га. Известны также кванты погонной емкости и погонной индуктивности. В связи с этим возникает актуальная задача поиска их тепловых аналогов, тем более, что теплоемкость известна, а тепловая индуктивность недавно обнаружена. Целью настоящей работы является решение данной задачи. Материалы и методы. Объектами исследования являются теплопроводы в виде нанолент и нанотрубок баллистической длины с поперечными размерами, не превышающими 100 нм, из гексагонального нитрида бора, являющегося диэлектриком. Это позволяет исключить из тепловых эффектов вклад электронов и ограничиться анализом лишь фононных эффектов. В работе использовались известные методы квантовой физики, физики твердого тела, кристаллофизики и квантовой теории явлений переноса. Результаты. Получены явные выражения для квантов погонной теплоемкости и погонной тепловой индуктивности, а также числа фононных каналов баллистической теплопроводности в нано-масштабных двумерных теплопроводах. Показано, что на основе таких теплопроводов могут быть созданы резонаторы температурных волн терагерцового диапазона частот. Выводы. Показана возможность существования квантов погонной теплоемкости и погонной тепловой индуктивности в нанолентах и нанотрубках из гексагонального нитрида бора и получены описывающие их выражения. Показано, что в случае малого коэффициента термоупругого взаимодействия в указанных выше наномас-штабных теплопроводах могут независимо друг от друга возбуждаться как упругие, так и температурные бегущие и стоячие волны.
Ключевые слова: наноленты, нанотрубки, кванты теплового сопротивления, теплоемкости и тепловой индуктивности, температурные волны
Для цитирования: Браже Р. А. Кванты погонной теплоемкости и погонной тепловой индуктивности в наномасштабных теплопроводах // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 1. С. 138-150. doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-12
Quanta of linear heat capacity and linear thermal inductance in nanoscale heat-conducting pipes
R.A. Brazhe
Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, Russia brazhe@ulstu.ru
© Браже Р. А., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
Abstract. Background. The spatial localization of the phonon gas within a nanoribbon or nanotube, like the localization of a gas of free charge carriers, should cause quantization of the thermal characteristics of the nanothermoconductor, as well as the quantization of the electrical characteristics in electric current nanoconductors. There is a universal quantum of thermal conductivity and an inverse quantum of thermal resistance, similar to the von Klitz-ing resistance. The quanta of linear capacitance and linear inductance are also known. In this regard, there is an urgent task of searching for their thermal analogues, especially since the heat capacity is known, and the thermal inductance has recently been discovered. The purpose of this work is to solve this problem. Materials and methods. The objects of the study are heat conductors in the form of nanoribbons and nanotubes of ballistic length with transverse dimensions not exceeding 100 nm, made of hexagonal boron nitride, which is a dielectric. This makes it possible to exclude the contribution of electrons from thermal effects and limit the analysis to phonon effects only. The work used well-known methods of quantum physics, solid state physics, crystallophysics and quantum theory of transfer phenomena. Results. Explicit expressions are obtained for the quanta of linear thermal capacitance and linear thermal inductance, as well as the number of phonon channels of ballistic thermal conductivity in nanoscale two-dimensional heat conductors. It is shown that resonators of temperature waves of the terahertz frequency range can be created on the basis of such heat conductors. Conclusions. The possibility of the existence of quanta of linear thermal capacitance and linear thermal inductance in nanoribbons and nanotubes made of hexagonal boron nitride is shown and expressions describing them are obtained. It is shown that in the case of a small coefficient of thermoelastic interaction, both elastic and temperature traveling and standing waves can be excited independently in the above-mentioned nanoscale heat conductors.
Keywords: nanoribbons, nanotubes, quanta of thermal resistance, thermal capacitance and thermal inductance, temperature wave
For citation: Brazhe R.A. Quanta of linear heat capacity and linear thermal inductance in nanoscale heat-conducting pipes. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(1):138-150. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-30402024-1-12
Введение
Сравнивая два явления переноса: электропроводность и теплопроводность, нельзя не заметить, что они во многом похожи как в смысле математического описания, так и с точки зрения физики процесса. Уравнение для плотности потока заряда (закон Ома в дифференциальной форме) аналогично уравнению для плотности потока количества теплоты (закону Фурье). Есть понятие электрического сопротивления проводника с током и есть понятие теплового сопротивления в направлении теплового потока. Существует электроемкость проводника и существует теплоемкость тела. Наконец, в 2021 г. К. Окава и соавторы открыли тепловую индуктивность [1] - аналог электрической индуктивности - в проводящей пластине, прикладывая к ее концам переменное напряжение и измеряя потоки тепла Пельтье. Возникающая инерционность теплового потока может трактоваться как наличие тепловой индуктивности, подобно инерции, возникающей при изменении магнитного потока.
Указанную термоэлектромагнитную аналогию можно продолжить. Благодаря размерному квантованию энергетических состояний электронов в наномасштабных проводниках малого поперечного сечения, которые можно рассматривать как квантовые потенциальные ямы, в них появляются кван-
ты электропроводностии соответствующего электрического сопротивления [2], кванты погонной емкости и кванты погонной индуктивности [3]. От соответствующих электродинамических параметров они отличаются тем, что квантовое сопротивление не зависит от длины проводника и не приводит к выделению джоулева тепла, а квантовая индуктивность не связана с наличием магнитного поля. Благодаря тому, что длина свободного пробега носителей заряда в наномасштабных проводниках, например в графеновых нано-лентах, может достигать 1000 нм, наномасштабные линии передачи, в которых реализуется режим баллистического транспорта носителей заряда, являются весьма перспективными для использования в нанофотонике и нано-плазмонике. Известен также квант теплопроводности, существование которого обусловлено размерным квантованием фононов в наномасштабных проводниках тепла [4-6]. Логично ожидать, что в наномасштабных теплопроводах должны иметь место и кванты погонной теплоемкости, и кванты погонной тепловой индуктивности. В связи с этим возникает актуальная задача поиска таких квантов и исследования возможностей создания наномасштабных линий передачи для тепловых волн и резонаторов на их основе. Решению этой задачи и посвящена настоящая статья.
Материалы и методы
Рассмотрим в качестве объекта исследования теплопроводы в виде нанолент и нанотрубок из гексагонального нитрида бора ф-В^. Он изоморфен графену, у него примерно такая же длина межатомной связи, что и в гра-фене, однако, в отличие от последнего, он является диэлектриком. Это позволяет исключить из рассмотрения вклад в теплоемкость и теплопроводность электронов и ограничиться анализом лишь фононных эффектов.
Как и в графене, в кристаллической решетке h-BN приходится два атома на элементарную ячейку. Следовательно, имеется 6 фононных мод: 3 акустические (продольная, поперечная и изгибная) и 3 оптические тех же типов [7]. Дифференцируя дисперсионные кривые, можно найти групповые скорости соответствующих фононов. Затем, используя модель трехфононного взаимодействия, предложенную в [8, 9], вычислить их средние времена жизни и найти среднюю длину свободного пробега фононов. Различные фононы имеют разные времена жизни и вносят разный вклад в теплопроводность. Как показано в работе [10], в случае h-BN наибольший вклад (~53,3 %) в суммарную теплопроводность дают продольные акустические фононы со средней длиной свободного пробега 1274 нм. В связи с этим примем длину рассматриваемых нанотеплопроводов не превышающей 1 мкм, а их поперечные размеры не превышающими 100 нм.
В работе использовались известные методы квантовой физики, физики твердого тела, кристаллофизики и квантовой теории явлений переноса в наномасштабных структурах.
Кванты тепловых характеристик наномасштабных теплопроводов
Квант теплового сопротивления. Выражение для универсального кванта теплопроводности имеет следующий вид [4-6]:
2 2
^ 3 к , (1)
где к? - постоянная Больцмана; к - постоянная Планка; Т - абсолютная
температура. Оно описывает теплопроводность одного канала фононного транспорта. Соответственно выражение для кванта теплового сопротивления имеет вид
к? 1 (2)
п к? 1
Он аналогичен известному из квантового эффекта Холла [11] кванту электрического сопротивления - сопротивлению фон Клитцинга
Як — к / е ~ 25,8 кОм (где е - элементарный электрический заряд), определяющему электрическое сопротивление одного квантового канала электронного транспорта. Квант теплового сопротивления обратно пропорционален
температуре теплопровода и при Т — 300 К я0©) ~ 3,58 109 К Вт1.
Для нахождения квантового теплового сопротивления наномасштбного теплопровода выражение (2) нужно поделить на число каналов фононного транспорта Мрк , так как они соединены параллельно друг другу:
Я0® >
я®—МЬ- (3)
Мрк
В случае наноленты шириной Ж число таких каналов находится по формуле [12]:
Мрк — Ж ^, (4)
шь
где ют - максимальная частота фононов; у^ - скорость распространения продольных акустических фононов как вносящих наибольший вклад в теплопроводность.
Фактически выражение (4) показывает, сколько упругих полуволн укладывается на ширине наноленты. На длине окружности поперечного сечения нанотрубки должно укладываться целое число длин волн, поэтому для нанотрубки диаметром й имеем
Мрк — й^ . (5)
2 уь
Формулы (4), (5) определяют верхний предел для теплопроводности, поскольку не учитывают вклад других фононных мод и зависимость этого вклада от температуры.
Квант погонной теплоемкости. Выражение для молярной теплоемкости в однонаправленном теплопереносе можно записать в виде [13]:
где Я - универсальная газовая постоянная; ©д — Йют / к? - температура Де-бая; здесь Й — к / (2п) - приведенная постоянная Планка. Теплоемкость всего
нанотеплопровода, содержащего V молей, будет С = vClц. Далее проделаем следующие преобразования в (6): запишем Я = квЫд, где Ыд - число Авога-дро; обозначим vNд = N = n2WL, где N - число атомов в наноленточном теплопроводе длиной L, а П2 - их двумерная концентрация; обозначим ®w/vL = кт , где кт - максимальное значение волнового числа фонона; воспользуемся формулой (4). Затем заметим, что П2 = 1/ а , а - среднее расстояние между атомами в двумерной структуре. Оно равно половине минимальной длины упругой волны: а = /2 = п / кт . Отсюда с учетом (4) получаем
п2
2 (мф ^2
V W у
Тогда выражение (6) может быть записано в виде
2 2
с20)= Ъ. ,
2 3 hvL рН
(7)
(8)
где индекс «2» учитывает двумерный характер нанотеплопровода, содержащего Мph каналов фононного транспорта. Поделив (8) на МphL, получаем
выражение для кванта погонной теплоемкости:
С(®) = кВ_ Т
С20 = 3 hvLT'
(9)
Л®)
при Т = 300 К в h-BN (vL = 1,14-10ч м/с [10]) С2^ = 4,97-10-14 ДжГ-м1.
Квант погонной тепловой индуктивности. При баллистическом распространении по теплопроводу возрастает кинетическая энергия фононов. При наличии разности электрических потенциалов и приращение энергии электрического поля, связанное с наличием электроемкости С , находится по
формуле АЕк =(1/2)Си2. При наличии разности температур ДТ (аналог
разности электрических потенциалов) приращение энергии теплового поля,
связанное с наличием теплоемкости С^®), должно находиться по формуле
ДЕк = (1/ 2)с2®) (ДТ)2. Подставляя сюда (8), получаем
ДЕк =-
hL
1
>( 2 к2 Т
П2 kBMphТ
п2 кВ VLMph Т
ДТ
Полученная формула в свернутом виде выглядит как АЕк = (1/ 2)(®) (I(0)) . Выражение во вторых скобках есть не что иное, как
сила фононного тока I(®) = ДТ / Я® (тепловой аналог закона Ома для одно-
родного участка цепи), а выражение в первых скобках - это тепловая индуктивность
L(©) _ A hL 1
п2 kB VLMph Т
L2 _ ™
Из (10) для одного фононного канала ( M ph _ 1), поделив на L, получаем формулу для погонной тепловой индуктивности - кванта погонной тепловой индуктивности:
Д©) _ h I _ п2 kBVL Т
L2o _"272 (11)
При Т _ 300 K в h-BN L©) _ 6,19 105 К о-Вт-1-м-1.
В завершение данного раздела отметим, что физический смысл квантовой тепловой индуктивности состоит в том, что она является мерой препятствия теплопровода изменению фононного тока. Аналогично тому, как в электрическом проводнике при изменении электрического тока возникает ЭДС самоиндукции и появляется индукционный ток, направленный таким образом, чтобы препятствовать изменению исходного тока, при изменении фононного тока в теплопроводе индуцируется разность температур и появляется индукционный тепловой поток (фононный ток), направленный так, чтобы препятствовать изменению исходного теплового потока.
Температурные волны в наномасштабных теплопроводах
Ввиду того, что акустические фононы обусловливают и тепловые, и упругие эффекты, в теплопроводах могут распространяться в общем случае связанные термоупругие волны. Теории этих волн в основном базируются на двух моделях: модели Лорда и Шульмана [14], содержащей одно время релаксации как механических напряжений, так и температуры, и модели Грина и Линдсэя [15], оперирующей двумя временами релаксации, отдельно для температурных и термоупругих возмущений. В дальнейшем в рамках этих моделей были разработаны теории термоупругих волн в анизотропных средах [16-18].
В рамках модели Лорда - Шульмана уравнения движения и энергии применительно к чисто продольным термоупругим волнам, распространяющимся вдоль кристаллофизического направления Х1 в h-BN, можно записать в виде, вытекающем из соответствующих уравнений для трехмерной анизотропной термопругой среды, исследованной в работе [18]:
д2U1 ß ß дТ рд2U1 ^11—1-ß11ß11^ _р—^ (12)
дх
дх2 дх1 dt2
_T)ßn
д2т С ^^ ^ С з ^2 ^
Оц — -рс
дТ д2Т ^7 + т0
дГ -0 дt2
д д-
дт> (13)
дХ1
здесь Сц и Оц - соответственно компоненты тензоров упругих жесткостей и теплопроводностей в матричном представлении; щ - смещение частиц сре-
ды; Т - температура; Рц = сцац - компонент тензора коэффициентов термоупругого взаимодействия ( ац - коэффициент теплового расширения); р - двумерная плотность среды; с - ее удельная теплоемкость при постоянном механическом напряжении; t - время; Т0 - время тепловой релаксации; Т - равновесная температура.
Поскольку коэффициент теплового расширения ац в большинстве кристаллических материалов невелик, то и коэффициент термоупругого взаимодействия Рц также мал. Пренебрегая им, уравнения (12), (13) можно переписать в виде двух волновых уравнений, описывающих невзаимодействующие продольные упругие и температурные волны:
д щ д щ
Ит^ = Рт^' (14)
дx12 дг
д 2Т
С11ТТ = Pc
дxf
(дТ д2Т^ ^7 + Тг
(15)
дГ ^ дt2
у
Упругая волна, описываемая уравнением (14), имеет решение вида
щ = Ulmcos ((0t - кг1), (16)
линейную дисперсию (ю = VLk) и распространяется со скоростью
^ (17)
Температурная волна, описываемая уравнением (15), является затухающей:
® = ®т0е-Рг - кх1), (18)
имеет квадратичную дисперсию (ю2 = V®к2 -р2) и распространяется с фазовой скоростью
^ =
^ (19)
Рст0
В уравнении (18) ® = Т - Т0, в = 1/ (Т0) - коэффициент затухания, а амплитуда упругой волны в (16) и1т и начальная амплитуда температурной волны в (18) ®т0 определяются начальными условиями задачи.
Из вида дисперсионного уравнения для температурной волны следует,
I 2 2
что ее волновое число обрезано снизу значением кт;п = + в /V® и ее групповая скорость превышает фазовую скорость (аномальная дисперсия), что означает апериодическое затухание при в > v®k .
Отметим, что определяющее величину затухания температурных волн в нанотеплопроводе время тепловой релаксации Т0 отлично от нуля даже
в режиме баллистического транспорта фононов, поскольку имеется квантовое тепловое сопротивление , и согласно (3), (10) получаем
в 2L®) 4L •
(20)
Используя соотношения (1), (8), (19), можно получить также выражение для фазовой скорости температурных волн:
v - ^ W
v&—TV L •
(21)
Из (17) и (21) следует, что, в отличие от упругих волн, температурные волны распространяются медленнее и скорость их распространения зависит от габаритов теплопровода.
Результаты и их обсуждение
Рассмотрим в качестве примера два нанотеплопровода: в виде h-BN наноленты с краями типа «зигзаг» и h-BN нанотрубки с торцами типа «кресло» (рис. 1). Исходя из соображений, что чем уже поперечные размеры теплопровода, тем более высокочастотные температурные волны в нем можно возбуждать, примем ширину наноленты Ж не превышающей 1,5 нм - результат известных достижений по выращиванию похожих на h-BN графеновых нанолент [19]. Поскольку длина межатомной связи в h-BN /вN = 1,45, это позволяет изготовить наноленту шириной Жшп = 1,31 нм, т.е. 3 парам смежных гексагонов. Реально также вырастить нанотрубку хиральности (6,6), диаметр которой = 2,62 нм.
а)
б)
в)
Рис. 1. Исследуемые нанотеплопроводы: a - h-BN нанолента; б - h-BN нанотрубка; в - элементарная ячейка структуры и выбор кристаллофизических осей
Тогда минимальная длина температурной волны, которая может быть возбуждена в рассматриваемых нанотеплопроводах, будет - 2,62 нм.
Если их длина L — 1мкм, то согласно (21) скорость распространения такой температурной волны будет v@ — 292 м/с, что в 39 раз меньше скорости распространения упругих волн в h-BN. Соответствующая такой длине волны максимальная частота колебаний vmax —111 ГГц .
х
Число фононных каналов, участвующих в распространении температурных волн в данных наноленте и нанотрубке, будет соответственно 1 и 3.
В табл. 1 представлены результаты расчетов с использованием формул
(3), (8), (10) квантового теплового сопротивления R®, погонного значения й С(®) й й
квантовой теплоемкости CQ ' и погонного значения квантовой тепловой индуктивности L® исследуемых теплопроводов. Там же представлены резуль-
7 L(®) / C(®) таты расчета их волнового сопротивления 7q =WLQ ' / CQ ' .
Таблица 1
Характеристики исследуемых теплопроводов для температурных волн частотой 111 GHz
Теплопровод я®, 109 КВт1 L(®) L0 ' 105 КсВт1 м-1 C(®) C0 ' 10-14 ДжК-1м-1 7q, 109 КВт-1
h-NB NR 3,58 6,19 4,.97 3,58
h-NB NT 1,19 2,06 14,9 1,19
Примечание. NR (папопЬЬоп) - нанолента, ЭТ (nanotube) - нанотрубка, ширина наноленты W = 1,31 нм, диаметр нанотрубки ё = 2,62 нм, длина теплопровода Ь = 1,00 мкм, равновесная температура Т = 300 К.
Из формулы (20) видно, что коэффициент затухания в исследуемых нанотеплопроводах в режиме баллистического фононного транспорта тем меньше, чем больше длина теплопровода. Этот непривычный факт объясняется тем, что данное затухание происходит не в пространстве, а во времени, и соответствующий коэффициент обратно пропорционален тепловой индуктивности. Последняя, как уже указывалось выше, является мерой препятствия изменению фононного тока и возрастает с увеличением длины теплопровода.
Согласно (20) минимальный коэффициент затухания при длине теплопровода L = 1мкм составляет в = 2,85 -109 с-1, что соответствует времени
тепловой релаксации Т0 = 3,50 10 10 с. При частоте сигнала V = 111 ГГц число колебаний, за которое амплитуда температурной волны в таком теплопроводе, уменьшится в «е» раз, Ые = =38.
При определенном соотношении между частотой сигнала и длиной теплопровода в нем возможно существование стоячих температурных волн. В условиях свободных концов теплопровода в режиме стоячей волны на них должны образоваться пучности температуры. Следовательно, для образования стоячих температурных волн на длине теплопровода должно укладываться целое число их полуволн. Максимальная длина баллистического теплопровода, при которой он превращается в п-полуволновый резонатор на частоте V = 111 ГГц , соответствует п = 763 и равна 999 нм. Добротность такого
резонатора Q = пЫе =119. С уменьшением п добротность ухудшается.
Из изложенного следует, что в наномасштабных теплопроводах типа h-BN нанолент и нанотрубок длиной, не превышающей длины баллистического пробега фононов, возможно существование бегущих и стоячих температурных волн, не связанных с упругими волнами. Такие волны могут наблюдаться на частотах порядка 100 ГГц, а их параметры доступны экспериментальному измерению.
Проблемой остается возбуждение температурных волн. Для этого можно использовать фемтосекундные лазеры с частотой повторения импульсов в несколько десятков гигагерц. Твердотельные лазеры такого типа со средней мощностью от 100 мВт до 1 Вт имеются, но из-за дифракционных ограничений диаметр их фокального пятна при фокусировании обычными линзами не превышает 1 мкм для ближней инфракрасной области спектра электромагнитных волн. Нам же требуется сфокусировать лазерный луч в пятно диаметром порядка 1 нм. К сожалению, ни предложенные в 2000 г. Дж. Пендри суперлинзы из метаматериалов с отрицательным коэффициентом преломления [20], ни их усовершенствованные варианты, использующие плазмонные ме-таматериалы [21], ни какие-либо другие известные попытки существенно обойти дифракционный предел фокусировки излучения из видимой и ближней к ней части спектра электромагнитных волн пока не позволяют получать фокальные пятна таких ультрамалых размеров. По-видимому, единственным способом лазерного возбуждения температурных волн в нанотеплопроводах в настоящее время является попытка «зацепить» торец нанотеплопровода краем обычного фокального пятна.
Заключение
Резюмируя вышеизложенное, можно сделать такие выводы:
1. Показана возможность существования квантов погонной теплоемкости и погонной тепловой индуктивности в наномасштабных теплопроводах типа нанолент и нанотрубок из гексагонального нитрида бора и получены описывающие их выражения.
2. В рамках модели Лорда - Шульмана показано, что в случае малого коэффициента термоупругого взаимодействия в указанных выше наномас-штабных теплопроводах могут независимо друг от друга возбуждаться как упругие, так и температурные бегущие и стоячие волны.
3. Проведены численные оценки характеристик температурных волн в h-BN нанотеплопроводах длиной 1 мкм виде наноленты с краями типа «зигзаг» шириной 1,31 нм и нанотрубки с торцами типа «кресло» диаметром 2,62 нм. Показано, что на частоте колебаний 111 ГГц скорость их распространения составляет 292 м/с, а временной коэффициент затухания 2,85 109 с-1. Добротность «-полуволновых резонаторов из таких теплопроводов может достигать 119.
Список литературы
1. Okawa K., Amagai Y., Fudjiki H., Kaneko N.-H. Reverse heat flow with Peltier-induced thermoinductive effect // Communications Physics. 2021. № 4. P. 267-271. doi: 10.1038/s42005-021-00772-4
2. Landauer R. Electrical resistance of disordered one-dimensional lattices // The Philosophical Magazine: A Journal of Theoretical, Experimental and Applied Physics. 1970. Vol. 21, № 172. P. 863-867. doi: 10.1080/14786437008238472
3. Burke P. J. An RF circuit model for carbon nanotubes // IEEE Transactions on Nano-technology. 2003. Vol. 2, № 1. P. 55-58. doi: 10.1109/TNANO. 2003.808503
4. Rego L. C., Kirczenow C. Quantized thermal conductance of dielectric quantum wires // Physical Review Letters. 1998. Vol. 81, № 1. P. 232-235. doi: 10.1103/PhysRevLett.81.232
5. Schwab K., Henriksen E. A., Worlock J. M., Roukes M. L. Measurement of the quantum of thermal conductance // Nature. 2000. Vol. 404. P. 974-977. doi: 10.1038/350010065
6. Yamamoto T., Watanabe S., Watanabe K. Universal features of quantized thermal conductance // Physical Review Letters. 2004. Vol. 92. P. 075502. doi: 10.1103/PhysRevLett.92.075502
7. Serrano J., Bosak A., Arenal R., Krisch M., Watanabe K., Taniguchi T., Kanda H., Rubio A., Wirtz L. Vibrational properties of hexagonal boron nitride: Inelastic X-ray scattering and ab initio calculations // Physical Review Letters. 2007. Vol. 98, № 9. P. 095503. doi: 10.1103/PhysRevLett.98.095503
8. Srivastava G. P. The physics of phonons. CRC Press LLC, 2022.
9. Srivastava G. P. The anharmonic phonon decay rate in group-III nitrides // Journal of Physics: Condensed Matter. 2009. Vol. 21. P. 174205. doi: 10.1088/09538984/21/17/174205
10. Gholivand H., Donmezer N. Phonon mean free path in few layer grapheme, hexagonal boron nitride, and composite bilayer h-BN/grapheme // IEEE Trans. Nanotechnology. 2017. Vol. 16, № 5. P. 752-758. doi: 10.1109/TNANO.2017.2672199
11. Von Klitzing K., Dorda G., Pepper M. New method for high-accuracy determination of the free-structure constant based on quantized Hall effect // Physical Review Letters. 1980. Vol. 45, № 6. P. 494-497. doi: 10.1103/PhysRevLett.45.494
12. Jeong C., Datta S., Lundstrom M. Thermal conductivity of bulk and thin-film silicon: A Landauer approach // Journal of Applied Physics. 2012. Vol. 111, № 9. P. 093708. doi: 10.1063/1.4710993
13. Иродов И. Е. Сборник задач по атомной и ядерной физике. М. : Атомиздат, 1984. 216 с.
14. Lord H. W., Shulman Y. The generalized dynamical theory of thermoelasticity // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1967. Vol. 15. P. 299-309. doi: 10.1016/0022-5096(67)90024-5
15. Green A. E., Lindsay K. A. Thermoelasticity // J. Elasticity. 1972. Vol. 2, № 1. P. 1-7. doi: 10.10007/BF00045689
16. Banerjee D. K., Pao Y. K. Thermoelastic waves in anisotropic media // Journal of the Acoustical Society of America. 1974. Vol. 56, № 5. P. 1444-1454. doi: 10.21203/rs.3.rs-2696656/v1
17. Dhaliwal R. S., Sherief H. H. Generalized thermoelasticity for anisotropic media // Quarterly of Applied Mathematics. 1980. Vol. 38, № 1. P. 1-8. doi: 10.1090/qam/575828
18. Verma K. L. Thermodynamic symmetric and antisymmetric wave modes with trigonometric functions in laminated plates // International Journal of Mechanical and Materials Engineering. 2014. Vol. 1, № 4. P. 1-10. doi: 10.1186/s40712-014-0004-9
19. Wang X., Ouyang, Li X., Wang H., Guo J., Dai H. Room temperature all-semiconducting sub-10 nm grapheme nanoribbon field-effect transistor // Physical Review Letters. 2008. Vol. 100. P. 206803. doi: 10.1103/PhysRevLett.100.206803
20. Pendry J. P. Negative refraction makes a perfect lens // Physical Review Letters. 2000. Vol. 85. P. 3966. doi: 10.1103/PhysRevLett.853966
21. Adams W., Sadatgol M., Zhang X., Guney D. O. Bringing the 'perfect lens' focus by near-perfect compensation of losses without gain media // New Journal of Physics. 2016. Vol. 18, № 12. P. 125004. doi: 10.1088/1367-2630/aa4f9e
References
1. Okawa K., Amagai Y., Fudjiki H., Kaneko N.-H. Reverse heat flow with Peltier-induced thermoinductive effect. Communications Physics. 2021;(4):267-271. doi: 10.1038/s42005-021-00772-4
2. Landauer R. Electrical resistance of disordered one-dimensional lattices. The Philosophical Magazine: A Journal of Theoretical, Experimental and Applied Physics. 1970;21(172):863-867. doi: 10.1080/14786437008238472
3. Burke P.J. An RF circuit model for carbon nanotubes. IEEE Transactions on Nano-technology. 2003;2(1):55-58. doi: 10.1109/TNAN0. 2003.808503
4. Rego L.C., Kirczenow C. Quantized thermal conductance of dielectric quantum wires. Physical Review Letters. 1998;81(1):232-235. doi: 10.1103/PhysRevLett.81.232
5. Schwab K., Henriksen E.A., Worlock J.M., Roukes M.L. Measurement of the quantum of thermal conductance. Nature. 2000; 404:974-977. doi: 10.1038/350010065
6. Yamamoto T., Watanabe S., Watanabe K. Universal features of quantized thermal conductance. Physical Review Letters. 2004;92:075502. doi: 10.1103/PhysRevLett. 92.075502
7. Serrano J., Bosak A., Arenal R., Krisch M., Watanabe K., Taniguchi T., Kanda H., Rubio A., Wirtz L. Vibrational properties of hexagonal boron nitride: Inelastic X-ray scattering and ab initio calculations. Physical Review Letters. 2007;98(9):095503. doi: 10.1103/PhysRevLett.98.095503
8. Srivastava G.P. The physics of phonons. CRC Press LLC, 2022.
9. Srivastava G.P. The anharmonic phonon decay rate in group-III nitrides. Journal of Physics: Condensed Matter. 2009;21:174205. doi: 10.1088/0953-8984/21/17/174205
10. Gholivand H., Donmezer N. Phonon mean free path in few layer grapheme, hexagonal boron nitride, and composite bilayer h-BN/grapheme. IEEE Trans. Nanotechnology. 2017;16(5):752-758. doi: 10.1109/TNAN0.2017.2672199
11. Von Klitzing K., Dorda G., Pepper M. New method for high-accuracy determination of the free-structure constant based on quantized Hall effect. Physical Review Letters. 1980;45(6):494-497. doi: 10.1103/PhysRevLett.45.494
12. Jeong C., Datta S., Lundstrom M. Thermal conductivity of bulk and thin-film silicon: A Landauer approach. Journal of Applied Physics. 2012;111(9):093708. doi: 10.1063/1.4710993
13. Irodov I.E. Sbornik zadach po atomnoy i yadernoy fizike = Collection of problems in atomic and nuclear physics. Moscow: Atomizdat, 1984:216. (In Russ.)
14. Lord H.W., Shulman Y. The generalized dynamical theory of thermoelasticity. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1967;15:299-309. doi: 10.1016/0022-5096(67)90024-5
15. Green A.E., Lindsay K.A. Thermoelasticity. J. Elasticity. 1972;2(1):1-7. doi: 10.10007/BF00045689
16. Baneijee D.K., Pao Y.K. Thermoelastic waves in anisotropic media. Journal of the Acoustical Society of America. 1974;56(5):1444-1454. doi: 10.21203/rs.3.rs-2696656/v1
17. Dhaliwal R.S., Sherief H.H. Generalized thermoelasticity for anisotropic media. Quarterly of Applied Mathematics. 1980;38(1):1-8. doi: 10.1090/qam/575828
18. Verma K.L. Thermodynamic symmetric and antisymmetric wave modes with trigonometric functions in laminated plates. International Journal of Mechanical and Materials Engineering. 2014;1(4):1-10. doi: 10.1186/s40712-014-0004-9
19. Wang X., Ouyang, Li X., Wang H., Guo J., Dai H. Room temperature all-semiconducting sub-10 nm grapheme nanoribbon field-effect transistor. Physical Review Letters. 2008;100:206803. doi: 10.1103/PhysRevLett.100.206803
20. Pendry J.P. Negative refraction makes a perfect lens. Physical Review Letters. 2000;85:3966. doi: 10.1103/PhysRevLett.853966
21. Adams W., Sadatgol M., Zhang X., Guney D.O. Bringing the 'perfect lens' focus by near-perfect compensation of losses without gain media. New Journal of Physics. 2016;18(12):125004. doi: 10.1088/1367-2630/aa4f9e
Информация об авторах / Information about the authors
Рудольф Александрович Браже
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Ульяновский государственный технический университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32)
E-mail: brazhe@ulstu.ru
Rudol'f A. Brazhe Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the subdepartment of physics, Ulyanovsk State Technical University (32 Severniy Venets street, Ulyanovsk, Russia);
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 13.01.2024
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 05.02.2024 Принята к публикации / Accepted 02.03.2024
