CC BY
33
УДК 535.15; 535.135
КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ВОЗМОЖНОСТИ УСИЛЕНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ КОНТИНУУМА НАНОТРУБОК
Н.Р. Садыков, H.A. Скоркин
На основе квантового подхода показана возможность накачки среды, состоящей из нанотрубок. Накачка производится нестационарным электрическим полем, перпендикулярным к оси симметрии нанотрубки. Задача решается на основе теории свободных электронов и модели независимых электронов. Процесс математически промоделирован на основе системы материальных уравнений.
Ключевые слова: уравнение Шредингера, электромагнитное излучение, на-ночастицы, нестационарное электрическое поле.
Введение. Если в случае фуллеренов воспользоваться теорией свободных электронов (электроны не взаимодействуют с ионами) и моделью независимых электронов (электроны не взаимодействуют друг с другом), движение электронов в фуллеренах можно описать с помощью квантового подхода. В этом случае движение электронов в фуллерене можно считать аналогичным движению в потенциальном поле тонкого сферического слоя [1,2]. Полная система ортогональных и нормированных одночастичных волновых функций в этом случае определяется из уравнения Шредингера
--^Д*>Д = (Ж-£/0)Ч', (1)
2meR
где U0 = const, W - энергия, те - масса электрона.
Воспользуемся аналогичной моделью для описания процесса усиления излучения с помощью удлиненных нанотрубок. В данной работе на основе квантового подхода покажем возможность накачки среды, состоящей из нанотрубок. Накачку среды можно производить нестационарным электрическим полем, перпендикулярным к оси симметрии нанотрубки. Задачу будем решать на основе теории свободных электронов и модели независимых электронов. На основе системы материальных уравнений процесс усиления электромагнитного излучения математически промоделируем.
Нанотрубки представляют собой цилиндрические молекулы с нанометровым диаметром и нанометровой длиной [3-5]. Такое необычное сочетание масштабов длины и диаметра приводит к уникальным свойствам нанотрубок, одним из которых является возможность генерации СВЧ-излучения [6, 7]. Приступим к рассмотрению сформулированной задачи.
О возможности накачки среды с помощью нанотрубок нестационарным электрическим полем. При наличии оператора возмущения V{t) (наличие нестационарного электрического поля) в цилиндрической системе координат получим
Т + Фо + У(0)% V = -еЩ C0S<P > (2)
dt 2meR дер
где Е0 - нестационарное электрическое поле, которое направлено перпендикулярно оси нанотрубки; R - радиус нанотрубки. В данной задаче волновая функция одночастичных стационарных состояний, в которых может находиться каждая из частиц, кроме магнитного квантового числа т, будет характеризоваться квантовым числом п за счет квантования в продольном направлении. При этом плотность энергетических уровней Wn за счет большой протяженности по сравнению с поперечными размерами нанотрубок будет значительно больше плотности энергетических уровней Wm. Для проведения оценок предположим, что переход из возбужденного состояния в невозбужденное осуществляется за счет изменения числа частиц в состояниях х¥пт,у¥п т+1, где волновая функция m ^m{<p)xn{z).
Из уравнения (2) при отсутствии оператора возмущения полной системой ортогональных и нормированных одночастичных волновых функций будут функции:
_ cos {пир) %2т2
т i— 9 гг т - *> W7
л!л 2meR
где т = 1,2,3.... При т = 0 имеем х¥0=п/2.
Для проведения дальнейших оценок определим приближенно собственную функцию и собственное значение энергии в момент времени / -> оо для оператора возмущения в формуле (2) при
выполнении условия hQ = Wm -Wm_x ~\Vm_.¡ . Для этого представим решение в виде линейной
комбинации Ч*т и т Л , в результате в базисе двух собственных функций получим задачу на собственные значения энергии и собственные функции при наличии стационарного возмущения (задача может быть обобщена на случай большего числа собственных функций):
Ч’П=С('¥т + Я’т_1\ Wи = W + (3, Т;=С(ТЫ-.Х), Wj=W-p. (4)
V ( 2\1/2 H
к = ЬМ2*р' ^ = ) ’ Ут-^т= Ijl-xV'V'ndç, (5)
где С = const.
Если предположить, что стационарное возмущение V в точке z = 0 «мгновенно» включается при t = 0, то из нестационарного уравнения Шредингера (2) с учетом соотношений (4) и (5) получим
¥(0 = A4 „ exp {-iWt lh-i/3tlh) + BXV¡ ехр(-Ш ¡h + ipt/h). (6)
С учетом выражения (6) решение окончательно запишется в виде
ТО = [{(А - к В)Ч>т + (В + кА)Чт_1} cos(Pt / h) -
-i\{-B + KAy¥m„x+{A + KBy¥m}sm(Ptlh) exp(-icot/2). (7)
В соответствии с формулами (2) и (3) матричный элемент при т * 1 равен Vm_¡ т = -eRE() / 2. Предполагая, что при t = 0 вероятность распределения удовлетворяет распределению Больцмана, получим (А - к* В) /(В + к А) = ехр(-2 р/(кТ)) = а2.
При ш = 40, R = \Q-*m, ís0=3-106B/m получим Ш«3, MO-2 eV ; |^„_lw| = l,5-10_2eV ;
р* 2,H0~2eV; к ~ 0.42 ; а*0,5; Л*1,16В.
Следует отметить, что использование в качестве базисных функций только двух функций оправдано тем, что вероятность нахождения электрона в возбужденном состоянии при
MI = Wm -Wm_i ~ \Vm., m| в соответствии с распределением Больцмана при увеличении m быстро
убывает. Для увеличения точности оценок можно было бы использовать три состояния
W , W W ,
I |2
Из полученных оценок следует, что вероятность \А\ нахождения электрона в возбужденном
I \2
состоянии W+ больше вероятности \В\ электрона в состоянии W_. Это означает, что рассматриваемая система оказывается возбужденной (накаченной ([3]) с величиной накачки N = KZQ|¡^|2 -ji?¡2 j, где К- концентрация наночастиц, Z0 - число свободных электронов, которые находятся в возбужденном состоянии (величина будет определена ниже).
Оценка коэффициента усиления в резонаторе. Из полученных выше результатов следует, что если в активной среде, состоящей из множества нанотрубок с определенной ориентацией (ось симметрии наночастицы перпендикулярна направлению нестационарного поля), будет происходить усиление излучения с частотой й?«2/?/Й. Аналогичное усиление будет происходить и в резонаторе. Оценим коэффициент усиления в резонаторе.
В случае резонатора процесс усиления будет описываться с помощью уравнения для излучения Ez и системы двух материальных уравнений для поляризации Р. и величины населенности АГ ([8], с. 111)
дЁ 1 ~ . со ~ dN N-N0 2~=* ~~*ч
— +---E = i------------------------------Р, —+ . 0 =-(ЕР -РЕ),
dt 2 тс 2єє0 dt 7] h
дР
— + dt
)
P = -i' 7’7/| NE, (8)
3 h
где 0) = 2(51 /г; ц, ¡и0 - соответственно электрическая проницаемость и электрическая постоянная; в уравнениях (8) в отличие от монографии [8] наличествует связь между индукцией и поляризацией Ог ~ ££0Е2 + Р,. В уравнениях (8) введены обозначения (волновая функция ¥ введена формулой (6))
Л1Л1 = |ч'/(-еЛсо8^)Т7/^ = -Ь4-^. (9)
о 1 + к 2
Энергия одноуровневых состояний электрона (для т см. (3)), соответствующих стационарным состояниям одного электрона, в плоскости квантовых чисел п, т удовлетворяют условию
_(2л^
п,т 0
2 т„
L2 (2 л К)2
^шах- (Ю)
V ^ у
Из соотношения (10) следует, что число энергетических уровней равно Мх = Ы1тг1¥тах /(4/г ). Пусть расстояние между центрами атомов в нанотрубке
/?о «1,44- 10”шт . Тогда число атомов будет порядка М2 ~ 2лЯП К2 . Поскольку число атомов равно числу свободных электронов, а число заполненных энергетических уровней в соответствии с принципом Паули примерно в два раза меньше свободных электронов, то получим
9 9
1¥тахк&я1¥0, 1¥0=Н /(2теК0)»1,7еУ. Рассмотрим уровни с т = т0-40. В этом случае
9 9 —8
ЬЖт-Шт-Жт_х =й т0/(теЯ )«0,03еУ, где Я = 10 т (при этом максимальные значения
-7
квантовых чисел при X = 10 т в соответствии с условием (10) будут
1 / -2 птт = 2те\¥ттЬ 1 ~ 570, ттах »315). При объемной доле наночастиц с0 =10 концен-
9 10
трация наночастиц будет равна К -с0 /(лЯ Ь)« 3 • 10 .
Тогда при Z0= 2 инверсия населенностей N - ||л|2 - \в\21 = 8,82 • 10*9 м~3. В рассматри-
ваемой задаче в уравнениях (8) будет иметь место условие Р2^> Рг/Т2. Поэтому в уравнениях (8) при со-О. в левой части для уравнения поляризации можно пренебречь слагаемым ~Р/Т2. В
этом случае при N = 8,82 • 10 м из уравнений (8) по аналогии с работой [7] получим задачу на собственные значения для коэффициента усиления:
A = \df JI\'[coN/(3hs0)} * 5,3-\0
с
Применительно к задаче усиления излучения коэффициент усиления будет порядка Г = с/ Л ~ 5,6 • 10-4 м, где длина волны Л - 2лс/со« 4,0■ 10~5 м. Видно, что условие приближения медленно меняющейся амплитуды выполняется.
Из полученных результатов следует, что предположение медленно меняющейся амплитуды поля излучения действительно имеет место.
В качестве нестационарного поля, которое включается «мгновенно», можно использовать поле [10, 11] длительностью А? = 3 • 10-9 с, с шириной переднего фронта АТ ~ 10~10 с. Предварительно проведенные численные расчеты показывают, что для такого поля также имеет место процесс накачки среды для усиления излучения.
Математическое моделирование процесса усиления излучения. Достоверность утверждений о возможности усиления электромагнитного излучения в среде, насыщенной нанотрубками, в немалой степени зависит от достоверности результатов решения системы уравнений (8).
Численные значения параметров, входящих в систему уравнений (8), в системе единиц имеют такие значения, что различие в коэффициентах уравнений (8) составляет величину ~ Ю50. Данное обстоятельство указывает на то, что система дифференциальных уравнений (8), по-видимому, принадлежит к классу сверхжестких дифференциальных уравнений.
По этой причине для численного решения системы (8) была предпринята попытка решить ее с помощью неявного метода Рунге-Кутгы-Грина [9]. Этот метод представляет собой многошаговую численную процедуру 5-го порядка аппроксимации, использующую дифференцирование назад для вычисления матрицы Якоби. В том виде, в каком представлены уравнения (8), решение с помощью указанного численного метода получить не удалось.
После введения новой переменной П=-Р и перехода от системы единиц к другой сис-
*0
теме единиц, учитывающей характерные масштабы времени и размеров данной задачи, а именно: за единицу времени принято 10 9 с, длины 10“9 м, массы 10“6 кг - решение системы уравнений (8) стало возможным. В качестве начальных условий для уравнений (8) задавались следующие зна-
~ о _л л ол
чения: удельная энергия ¡V = 0,5£'01Е \ =10 Дж/м , населенности N = 1,0 -10 м и
7У0 =0,5-1011 м~3, поляризация полагалась равной нулю. Расчеты проводились до момента времени I =3 • 10 "9 с, их результаты представлены на рис. 1-3. На рис. 1 (график с разрывом на оси абсцисс) приведены результаты расчетов энергии IV(/) физической системы по уравнениям (8).
На начальном участке 0 < ? < 1,5 • 10“9 с график функции \¥(?) имеет быстро осциллирующий характер.
Для выяснения вопроса о природе осцилляций, появляющихся у решений системы уравнений (8) данной работы: то ли они имеют физический смысл, то ли это паразитные колебания, обусловленные численным методом решения - был проведен следующий численный эксперимент. На отрезке 0 < Г < 2,5 • 10-11 с решались уравнения с шагами вычисления функций по времени А?! и Л/2, отличающимися друг от друга в 1000 раз.
Если бы колебания функции имели паразитный характер, то графики функции !¥(() отличались бы для разных шагов А/*, и Л?2 как по характеру осцилляций, так и по размаху колебаний. Результаты расчетов численного эксперимента приведены на рис. 2.
Рисунок показывает, что функции, рассчитанные на сильно отличающихся разностных сетках, совпадают вполне. Отсюда делается заключение о том, что колебательный характер поведе-
Садыков Н.Р., Скоркин Н.А.
ния решения обусловлен физическим механизмом. Осциллирующий характер МХ) и Щг) объясняется взаимодействием излучения со средой, в соответствии с законом сохранения энергии. Интересно поведение функции населенности N(1), представленной на рис. 3.
W(t), дом3
Рис. 2. Зависимость W = W(t). Расчеты проводились с разными шагами по времени такими,
что отношение Д(,/Д/2 = 1000
Колебания происходят от отрицательных значений N(t) до положительных, затухая по амплитуде с увеличением времени. И при значениях времени / > 10 8 с населенность N(t) устанавливается около значения Л''0 ~ 1011 м \ Объяснение механизма колебательного характера решения N(t) системы уравнений (8) приведено выше.
Обсуждение результатов. В работе на основе квантового подхода теоретически показана возможность генерации излучения с длиной волны X ~ 4-10"5 м = 40 мкм на основе удлиненных наночастиц с поперечной ориентацией оси симметрии относительно нестационарного поля. При £0 = 3-104 В/м, R = 1 (Г8 м, L = 10 7 м и объемной доле частиц с0 - 10“2 плотность энергии генерируемого излучения W ~ 0,2 Дж/м3. Плотность генерации излучения можно увеличить в десятки раз, если линейные размеры уменьшить в несколько (например, в три раза). Но при этом величину нестационарного поля нужно увеличить в три раза (REq = const).
Оценки показывают, что рассмотренный в работе подход можно обобщить на случай, когда нестационарное поле будет ориентировано вдоль оси наночастиц. В этом случае при длине наночастиц L - 10~6 м длина волны усиливаемого излучения будет порядка миллиметра. В такой постановке нужно будет использовать многоуровневую модель.
Авторы благодарят М.И. Яландина за помощь в подборе параметров квазистационарного поля; В.Г. Елецкого - за консультацию по нанотрубкам; А.Н. Еняшина - за консультацию по нанотрубкам и предоставленную литературу по данной тематике.
Работа выполнена по проекту РФФИ № 10-02-96012.
Литература
1. Gordon, J. Miller. Shell Structures in Molecular Orbital Energy Diagrams for “Small” Fullerene Cages: Free-Electron Versus Generator Orbital Models / J. Miller Gordon, G. John // Journal of Mathematical Chemistry. - V. 33, № 1. - 2003. - P. 55.
2. 7r-Molecular orbitals in fullerenes and the free electron model / Naomi Mizorogi, Masaki Kiu-chi, Kumiko Tanaka et all. II Chemical Physics. — 2003. - V. 378 - P. 598.
3. Satio, R. Physical Properties of Carbon Nanotubes / R. Satio, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus.
- London: Imperial College Press, 1998. - 260 p.
4. Enyashin, A. Nanosized allotropes of molybdenum disulfide / A. Enyashin, S. Gemming, G. Seifert//Eur. Phys. J. Special Topics. -2007.-V. 149.-P.103-125.
5. Enyashin, A.N. Structure, stability and electronic properties of ТЮ2 / A.N. Enyashin, G. Seifert //Phys. Stat. Sol.(b). -2005. - V. 242, № 7. - P. 1361-1370.
6. Кибис, O.B. Углеродные нанотрубки как терагерцовые излучатели нового типа / О.В. Кибис, М.Е. Портной // Письма в ЖТФ. - 2005. -Т. 31. - В. 15. - С. 85-88.
7. Садыков, Н.Р. Способ усиления СВЧ-излучения с помощью распыленных в газообразной среде нанотрубок / Н.Р. Садыков, Н.А. Скоркин // Письма в ЖТФ. -2010. - Т. 36. - Вып. 17. -
- С. 69-78.
8. Пантел, Р. Основы квантовой электроники / Р. Пантел, М. Путхов. - М.: Мир, 1972. --384 с.
9. Холл, Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Дж. Холл, Дж. Уатт. -М.: Мир, 1979. - 312 с.
10. Месяц, Г.А. Пикосекундная электроника больших мощностей / Г.А. Месяц, М.И. Яландин // УФН.-2005.-Т. 175, №3.-С. 225.
11. Месяц, Г.А. Законы подобия в импульсных газовых разрядах / Г.А. Месяц // УФН. - 2006. -Т. 176, №10.-С. 1069-1091.
Поступила в редакцию 8 марта 2010 г.
QUANTUM-MECHANICAL APPROACH ТО DESCRIPTION OF THE POSSIBILITY OF THE REINFORCEMENT OF THE RADIATION BY MEANS OF CONTINUUM NANOTUBES
On base of the quantum approach is shown possibility of the pumping the ambience, consisting of nanotubes. Pumping is produced using non-stationary electric field perpendicular to axis of the symmetries nanotubes. The Problem dares on base of the theories free electron and models independent electron. The Mathematical modeling of the process is realized on base of the system of the material equations.
Keywords: Shredinger’s equation, electromagnetic radiation, nanotubes, non-stationary electric field.
Sadykov Nail RahmatuIIovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Snezhinsk institute of physics and technology - branch of National Research Nuclear University «МЕРН1», Snezhinsk.
Садыков Наиль Рахматуллович - доктор физико-математических наук, профессор, Сне-жинский физико-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ, г. Снежинск.
Scorkin Nikolai Andreevich is Dr. Sc. (Engineering), Professor, Snezhinsk institute of physics and technology - branch of National Research Nuclear University “MEPHI”, Snezhinsk.
Скоркин Николай Андреевич - доктор технических наук, профессор, Снежинский физико-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ, г. Снежинск.
e-mail: n.a.scorkin@rambler.ru
