CC BY
57
УДК 535.15; 535.135
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ СО СРЕДОЙ С НАНОЧАСТИЦАМИ
Н.Р. Садыков, Н.А. Скоркин
На основе полученной системы материальных уравнений смоделирован процесс усиления в резонаторе СВЧ-излучения с длиной волны X ~ 10 см. Показано, что можно достичь плотности энергии излучения IV ~ 1000 Дж/м3. Накачка среды производится с помощью стационарного электрического поля при наличии в среде проводящих наночастиц. Оценена необходимая для этого массовая концентрация наночастиц и величина накачиваемого поля. Предлагается с помощью стационарного электрического поля способ получения активной среды для усиления СВЧ-излучения в диапазоне длины волны X ~ 10 см. Для этого нужно распылить удлиненные электропроводящие наночастицы.
Ключевые слова: СВЧ-излучение, наночастицы, стационарное электрическое поле.
Введение. В настоящее время проводятся интенсивные исследования, связанные с наличием пылевых частиц в нейтральной газовой среде, в ионизированном газе. Это направление является перспективным в связи с различными технологическими приложениями: процессы горения, плазменные технологии, физика атмосферы, управляемый термоядерный синтез. В случае плазменных технологий большой интерес вызывает кристаллизация пылевых частиц в газоразрядной плазме - образование упорядоченных структур [1, 2]. Вызывает определенный интерес процессы, связанные со взаимодействием излучения со средой, содержащей наночастицы и наноструктуры [3, 4]. В данной работе на основе полученной системы материальных уравнений моделируется процесс усиления в резонаторе СВЧ-излучения с длиной волны Л ~ 10 см. Накачка среды производится при наличии в ней проводящих наночастиц с помощью стационарного электрического поля. Оценена необходимая для этого массовая концентрация наночастиц и величина накачиваемого поля. Приступим к рассмотрению сформулированной задачи.
Вывод системы материальных уравнений. Пусть имеется неограниченная область, состоящая из вытянутых наночастиц (содержащая удлиненные наночастицы) концентрации п. Пусть через такую область распространяется электромагнитное излучение. Электрическое поле обозначим как Е(/,г) . Для того чтобы описать механизм взаимодействия таких частиц с электромагнитным излучением, аппроксимируем эти частицы двумя одинаковыми проводящими шарами радиуса Л. и массы т (см. рис. 1).
Будем считать, что шары соединены проводящим тонким стержнем длины Ь, коэффициентом упругости к и электрическим сопротивлением г0. Пусть gl(t) и £2(0 соответственно заряды на первом и втором шарах. Будем считать, что диполи параллельны электрическому полю волны. Поляризация в общем случае будет складываться из линейной Р0 и нелинейной Р, поляризаций
Е
Рис. 1. Аппроксимация наночастицы гантелью
Po=\nL{gг-gx),Px=\nx{g2-gx)-\nxm(gf)-gfl)),x = x(t)■=x2{t)-xx (0, хт = , (1)
где - соответственно амплитуды векторов Рд, Р,; п - концентрация наночастиц в области; х(1) - быстро осциллирующая в масштабе времени изменения разности зарядов величина, которая характеризует изменение расстояния между шарами за счет упругих сил; х«Ь;
с(0) - характеризует дополнительную деформацию за счет упругих и куло-
,(0)
£1+^2
новскои сил двух предварительно заряженных шаров с зарядами
(0)
№
при наличии Е
Садыков Н.Р., Физико-математическая модель взаимодействия
Скоркин Н.А._____________________________________________излучения со средой с наночастицами
k(xf -*<0)) = (gf -g\0))E/2 . (2)
Нетрудно заметить, что Рх характеризует изменение нелинейной поляризации при соответствующем изменении зарядов. В (2) линейность Р0 следует из того факта, что при R«L имеет место соотношение (g2 -g\)/R- LE, т. e.
P0=±nRL2E = XE, (3)
где электрическая восприимчивость равна % = nRL2 / 2 = const.
С учетом полученных соотношений уравнение поля в резонаторе с распыленными наночастицами с учетом полученных соотношений запишется ([5], с. 75) как
а2Е 1 Эе 2тч 4л- а2р,
ТТ + -^7 + ®оЕ =--------z~2~ ’ (4)
dt г dt s dt
где s = 1 + 4щ - диэлектрическая проницаемость. В (4) предполагается, что поляризация Р], зависящая от поля резонатора, имеет такое же пространственное распределение, как и нормальная мода поля резонатора.
В случае отсутствия излучения при R«L энергия системы будет равна
^i=«[(g,(0))2+(gf)2]/2^, (5)
где g[°\ g20^ - заряды на шарах в начальный момент времени.
В присутствии поля излучения в произвольный момент времени энергия системы будет равна
W2=n[g2x+gl]l2R, (6)
где gx+g2 = gl(0) + g{2] = °-
Из (5) и (6) получим, что при наличии излучения энергия системы меняется на величину
w = w2-w{=n-n0,
(7)
4R 0 AR
где при выводе (7) учтено, что будет иметь место соотношение
ё\ + &2 ~(ё{0))2 “(&2°^)2 - 2^-28х8г .
При усилении поля будет иметь место N - N0 < 0, dN/dt> 0. Если Е ■ дРх /dt, то поле будет совершать положительную работу и энергия поля будет уменьшаться. Поэтому для увеличения энергии поля необходимо выполнение условия E-8Px/dt.
С учетом сказанного, при наличии электромагнитного поля СВЧ-излучения закон сохранения энергии с помощью введенных величин N, Рх запишется так:
= (8) о/ 7j ot
Уравнение (8) представляет собой одно из двух материальных уравнений ([5], с. 75). Следует отметить, что величина N является медленно меняющейся в масштабе собственных малых колебаний осциллятора с коэффициентом упругости к . При этом сами колебания осциллятора в описываемой здесь модели будут определять поправку к поляризации (нелинейную поляризацию). Поскольку величина N и амплитуда колебаний осциллятора (колебания нелинейной поляризации) будут характеризоваться относительным расстоянием между двумя шарами, то в нашем случае относительное изменение расстояния между двумя центрами будет описываться двумя функциями, которые характеризуются разными масштабами изменения. Первая функция определяет величину N, которая меняется медленно, но при этом величина изменения достигает значительных величин. Вторая величина - это нелинейная поляризация, которая является быстро осциллирующей функцией относительно переменной N, но при этом амплитуда колебаний незначительна в масштабе изменения первой функции. Такое «временное» отличие функций позволяет
выделить два уравнения. Первое уравнение - уравнение (8). Получим второе материальное уравнение - уравнение для нелинейной поляризации
Относительно обобщенной координаты х-х2-хх, где хх, х2 - соответственно координаты центров шаров, будет иметь место уравнение движения
//х + £л: = ^-(£2-£,)£,
(9)
где ц-т/2- приведенная масса, х = с! х/Ж .
С учетом сил трения и соотношения (1) из (9) получим
<Ц± + + =п^2~ё\) Е_пП2А1л
д(2 Т2 dt Ац 2
где О.2 = к!/и . При выводе (10) учтено, что
(0)
-(4
(0) v(0)
1
),
(10)
31n|gi| ain|g2| ain|jc|
dt dt dt
С учетом (2) уравнение (10) запишется в виде
8^ . 2 ар, , „2,
—^- + &РХ =-(N-N0)E,
dt1 т2 dt 1 -Л °'
(11)
где N,N0 определены в (7); второе слагаемое в (11) характеризует диссипативные процессы, например, трение, обусловленное взаимодействием шаров со средой, например, воздухом.
Уравнения (4), (8) и (11) представляют собою систему материальных уравнений в резонаторе, где роль среды выполняют удлиненные наночастицы, распыленные в газовой среде. В данной работе наночастицы аппроксимированы удлиненными электропроводящими гантельками. Величины N и Pj в (8) и (11) выполняют соответственно роль разности населенностей уровней и поляризации (см. ([5], с. 75) или [6]).
Рассмотрим когерентное излучение в резонаторе
РХ-^РХехр(-Й0/) + компл.сопряж, Е = ехр(-коt) + компл.сопряж. (12)
и запишем систему материальных уравнений относительно РХ,Ё.
Предположим, что резонатор настроен так, что <у = Г2 = су0 . Из (11) с учетом (12) получим
А Дй дЕ 1
dt Т,
Р, =-/—NE , —н-Е = і
.2 пт
2 со
dt 2т
(13)
,2 *«, «/« ^ г
где А = Я1 ц, N -Ы0- -Й и при выводе второго уравнения в (13) учтено, что в случае усиления излучения напряженность поля и нелинейная поляризация направлены в противоположных направлениях.
Из (8) с учетом (12) получим
dt Тх 4
Из первого уравнения (13) в квазистационарном случае dP} I dt« Рг /Т2 следует
s .T2AN * ъ
Г'=-‘^ГЕ=Х'Е-
Подставим (15) в (8). В результате получим
(14)
dN
• +
dt Т, , ■ ■
Из второго уравнения (13) с учетом (15) следует
М.+1\ё\2=^М1щ2 _
dt г' І є 'І
(15)
(16)
(17)
Физико-математическая модель взаимодействия ___________излучения со средой с наночастицами
Результаты численного моделирования. На основе материальных уравнений (13) и (14) проведена серия расчетов по определению усиления СВЧ-излучения в нестационарном пространственном резонаторе - аналоге плазменных образований. Уравнения (13)и(14) являются нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями жесткого типа. Для их численного решения была использована подпрограмма решения жестких дифференциальных уравнений БГУРАО из библиотеки стандартных программ 1М8Ь языка программирования РСЖЛИАК 90. Эта подпрограмма решает задачу Коши методом Гира - дифференцирования назад с автоматическим выбором шага интегрирования. В расчетах полагалось (см. [7]): II = 10”8м, е = 1, т = 10“3 с, р — 2-103кг/м3-плотность шаров радиуса Л, Ь = 20Л, соТ2 = 104, со = 2-Ю10с-1 (Т2 =5-10_7с), Е0 !%п = ЮДж/м -плотность энергии электростатического поля, с помощью которого производится накачка среды, состоящей из распыленных наночастиц, с0 = %яВ?п / 3 = 10~3 - объемная концентрация гантелек.
Из приведенных выше данных следует, что А = Л/(и = 3/(2я/9/?2)«2,4-1012м/кг. В данной работе в отличие от работы [7] вместо графита взят кремний, в результате чего получено значе-
ние 7] «4• 10 7с. Поскольку для графита 7] ~ 10 13 с, то в этом случае время электрического разрядника должно быть меньше ~ 10"15с, но разрядники с такими параметрами нельзя реализовать на практике. Величина «разности инверсии населенностей» в начальный момент времени в соответствии с (7) будет равна
|2
15,
яМ2,Н2 З І2 \Е0\ з
*о1 = тсо —1т^ = 3Дж/м
М> 4 1 и| 4 °д2 8яг Многократная накачка при численном моделировании осуществлялась следующим образом. Через интервал времени А? величина N в точке = яД? полагалась равной начальной Щ =3 ,
величины Е,РХ брались с правого конца интервала (и -1) накачки. На рис. 2, 3 и на рис. 4 приведены соответственно зависимости усиления плотности энергии излучения
V? = |^(/)|2/8-я- = £0|.Ё(*)|2/2, нелинейной поляризации Рх и величины накачки среды N от времени ? в случае двукратной накачки с помощью стационарного электрического поля.
Начальная плотность энергии поля равнялась Ж(^ = 0) = 4,4-Ю-4 Дж/м3. Из рис. 4 видно, что в случае первых двух накачек величина N быстро возрастала в небольшом интервале времени, отсчитываемом от точки , а потом медленно стремилась к асимптотическому значению - нулю.
Дж/м3
| ^ | В/м
*,С
Рис. 2. Зависимость плотности энергии излучения IV от времени I при двукратной накачке
І.С
Рис. 3. Зависимость модуля нелинейной поляризации | Р, | от времени /
В одном акте усиления характерный масштаб времени по полувысоте имеет порядок -410 7 с .
В случае многократной накачки при больших значениях времени у величины N, поляризации и мощности излучения появляются осцилляции. Если в уравнении (17) пренебречь вторым слагаемым, то рост мощности излучения за один акт усиления будет определяться интегралом от величины N. Это подтверждается результатами численного моделирования.
На рис. 5 приведены зависимости усиления плотности энергии излучения с интервалами времен для одной накачки /Ы = 5 • 10-6 с, А/ = 2,5 • 10-6 с и А/ = 1,5 • 10-6 с. Максимальные значения энергии излучения достигались соответственно при 4600-кратной накачке, 5400-кратной накачке и 5600-кратной накачке. При А? = 5 • 10_6 с плотность энергии излучения достигает максимальной величины ^тах - 598Дж/м3 за время ^тах =0,023с, при А/1 = 2,5• 10-6с достигает мак-
•5 _/•
симальной величины Игтах - 1200Дж/м за время Гтах = 0,0135с и при А/ = 1,5-10 с достигает
■5
максимальной величины 7Гтах = 2028 Дж/м за время ?тах = 0,0084 с. Такая закономерность объясняется тем, что в приведенных на рис. 5 расчетных величинах интеграл от N практически остается постоянной величиной при различных значениях и интервалах времени накачки. Соответственно будут отличаться время и значение Ж в стационарном режиме.
N, Дж/м3
W, Дж/м3
t, с
Рис. 4. Зависимость величины накачки среды N от времени I при двукратной накачке
Рис. 5. Зависимость плотности энергии излучения W от времени t: Line 1 - Д/=5 10"6с; Line 2 -Д(=2.5'10'6с; Line3- At =1.5 10'6с .
В правой части уравнения (17) коэффициент при | £|2, имеющий размерность обратного значения времени, будет равен
2nT,AN\
\t=Q
s 2,3 -107 с-1.
Видно, что Т ~ 4,4-10“ с значительно меньше периода колебаний излучения (период электромагнитных колебаний равен 2л I со & 3,14-Ю-10 с-1).
Заключение. Полученная система материальных уравнений описывает в пространственном резонаторе (аналоге плазменных образований) процесс усиления СВЧ-излучения. При со -= 2-1010 с-1 и объемной концентрации наночастиц со = 10~3 для однократной накачки характерное время усиления для удлиненных наночастиц £ ~ 20Я составило Т ~ 10~8-ь 10“7 с. В результате многократной накачки плотность энергии излучения можно довести до Ж ~ 2000 Дж/м3 за время Ашх = 0,008 с(см. рис. 5).
Известно, что в случае квазистационарного поля длительностью (1 н-3)-10~9 с величина поля разряда определяется значением Е0 = 1,5-107 В/м [8-10], что составляет плотность энергии поля IV ~ 1000 Дж/м3. Такую плотность энергии излучения в нашей задаче можно достигнуть за время Аи «0,01 ^-0,1 с .
Физико-математическая модель взаимодействия ___________излучения со средой с наночастицами
Рассмотренный в работе теоретический подход позволяет также рассмотреть процесс усиления бегущей волны - усиление СВЧ-излучения.
Работа выполнена при частичной поддержке грантом РФФИ, проект № 07-01-96011.
Литература
1. Фортов, В.Е. Пылевая плазма, индуцированная солнечным излучением, в условиях микрогравитации: эксперимент на борту орбитальной станции «Мир» / В.Е. Фортов, А.П. Нефедов, О.С. Ваулина и др. // ЖЭТФ. - 1998. - Т. 114, вып. 6(12). - С. 2004-2021.
2. Нефедов, А.П. Кристаллические структуры в плазме с сильным взаимодействием макрочастиц/ А.П. Нефедов, О.Ф. Петров, В.Е. Фортов//УФН. - 1998. -Т. 176, № 11. -С. 1215-1226.
3. О возможности создания нестационарного волноводного канала на основе удлиненных наночастиц / В.А. Зацепин, В.П. Смыслов, Н.Р. Садыков и др. // Оптика атмосферы и океана. -2007. - Т. 20, № 4. - С. 378-379.
4. О возможности создания нестационарного волноводного канала на основе удлиненных наночастиц / В.А. Зацепин, В.П. Смыслов, Н.Р. Садыков и др. // Оптика атмосферы и океана. -2004. - Т. 17, № 2-3. - С. 168-170.
5. Пантел, Р. Основы квантовой электроники / Р. Пантел, Г. Путхов. - М.: Мир, 1972. -384 с.
6. Крюков, П.Г. Распространение импульса света в резонансно усиливающей (поглощающей) среде / П.Г. Крюков, B.C. Летохов // УФН. - 1969. - Т. 99, № 2. - С. 169-225.
7. Садыков, Н.Р. Вывод системы материальных уравнений при взаимодействии излучения с наночастицами / Н.Р. Садыков // Оптика атмосферы и океана. - 2008. - Т. 21, № 10 - С. 855-857.
8. Яландин, М.И. Мощные малогабаритные импульсно-периодические генераторы субнано-секундного диапазона / М.И. Яландин, В.Г. Шпак // Приборы и техника эксперимента. - 2001. -№ 3. -С. 5-31.
9. Генерирование высоковольтных субнаносекундных импульсов пиковой мощности 700 МВт и частотой до 3,5 кГц / С.К. Любутин, Г.А. Месяц, С.Н. Рукин и др. // Приборы и техника эксперимента. - 2001. - № 5. - С. 80-88.
10. Генерация мощных сверхкоротких импульсов СВЧ излучения / А.А. Ельчанинов, С.Д. Коровин, И.В. Пегель и др. // Известия вузов. Радиофизика. - 2003. - Т. XLVI, № 8-9. -С. 874-882.
Поступила в редакцию 10 сентября 2008 г.
PHYSICO-MATHEMATICAL MODEL OF INTERACTION BETWEEN RADIATION AND MEDIUM CONTAINING NANOPARTICLES
On the basis of the obtained system of the constitutive equations the authors simulate the process of gaining in the resonator of the microwave-radiating with the X ~ 10 cm wavelength. They demonstrate that it is possible to gain W ~ 1000 J/m3 radiation density. Medium pumping is carried out by means of the stationary electric field with the conducting nanoparticles. The authors also measure the necessary weight concentration of the nanoparticles and the dimension of the pumping field. They offer a method of the active medium producing for the microwave-radiation gaining within the wavelength range A ~ 10 cm and using the stationary electric field.
Keywords: microwave-radiation, nanoparticles, stationary electric field.
Sadykov Nail Rahmatullovich - Dr.Sc. (Physics and Mathematics), Senior Teacher, Branch of the South Ural State University in the city of Snezhinsk.
Садыков Наиль Рахматуллович - доктор физико-математических наук, старший преподаватель, филиал Южно-Уральского государственного университета, г. Снежинск.
Skorkin Nikolai Andreevich - Dr.Sc. (Engineering), Professor, Branch of the South Ural State University in the city of Snezhinsk.
Скоркин Николай Андреевич - доктор технических наук, профессор, филиал Южно-Уральского государственного университета, г. Снежинск.
e-mail: n.a.scorkin@rambler.ru
