CC BY
23
УДК 53.097
DOI: 10.18698/1812-3368-2017-6-56-64
КИНЕТИЧЕСКАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ ОДНОСЛОЙНЫХ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК МЕТАЛЛИЧЕСКОГО ТИПА
О.С. Еркович П.А. Ивлиев
erkovic@bmstu.ru ivliev-pavel@mail.ru
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
Аннотация
Представлены результаты теоретического исследования кинетической индуктивности Lk одностенной углеродной нанотрубки металлического типа с учетом межэлектронного взаимодействия в приближении прямого кругового цилиндра. Рассматриваемая система является цилиндрически симметричной потенциальной ямой с конечной высотой стенок. В рамках теории отклика двумерного электронного газа на внешнее электромагнитное возмущение получен явный вид зависимости кинетической индуктивности от диаметра нанотрубки, частоты и интенсивности излучения. Установлено, что величина Lk возрастает с увеличением частоты и уменьшается с усилением интенсивности излучения
Ключевые слова
Углеродные нанотрубки, кинетическая индуктивность, электронная плотность
Поступила в редакцию 15.11.2016 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
В процессе изучения осадка, образующегося на катоде при распылении графита в вольтовой дуге, внимание исследователя Сумио Иидзимы (1991, Япония) привлекла необычная структура, состоящая из мельчайших волокон [1]. В процессе детального изучения методами электронной микроскопии было установлено, что диаметр этих волокон варьируется от 0,4 до нескольких десятков нанометров, а протяженность достигает нескольких микрон [2]. Волокна, образованные одним или несколькими слоями графена, свернутыми в трубку, были названы углеродными нанотрубками. Уникальное сочетание таких свойств, как баллистическая проводимость с плотностью тока, достигающей 109 А/см2, большая механическая прочность и высокая теплопроводность, дают предпосылки для широкого круга применений однослойных углеродных нанотрубок (ОУНТ) в качестве элементной базы современной наноэлектроники. В связи с этим проводятся интенсивные исследования электронных [3-9], диэлектрических [10, 11] и магнитных [12, 13] характеристик нанотрубок. Однако неразрешенным остается вопрос о явном виде зависимости индуктивности, возникающей при прохождении сквозь нанотрубку гармонического сигнала, от геометрических характеристик исследуемого объекта и параметров падающего излучения. Результаты настоящего исследования могут быть использованы при проектировании наноантенных устройств для детектирования излучения, в том числе активно изучаемого в настоящее время терагер-цового диапазона.
Широко известно, что геометрия ОУНТ обладает цилиндрической симметрией. Электронные свойства подобных структур в большей степени определяются не конкретным видом кристаллической решетки, а симметрией структуры как целого. В настоящей работе ОУНТ рассмотрена как цилиндрически симметричная потенциальная яма с конечной высотой стенок, в поле которой находятся взаимодействующие между собой электроны проводимости. С учетом изложенного рассмотрим взаимодействие внешнего электромагнитного поля с нанотрубкой в рамках модели отклика электронного газа, находящегося во внешнем цилиндрически симметричном потенциале.
Электромагнитная волна, нормально падающая на ОУНТ, вызывает движение электронов этой трубки, описываемое, в рамках выбранной модели, вторым законом Ньютона
где т, е, V — масса, заряд и скорость электрона; ЕЕ — напряженность электрического поля волны. Используя соотношение ] = enV, связывающее плотность тока со скоростью и концентрацией п (часто называемой плотностью) носителей заряда, перепишем закон Ньютона:
Часть выражения (2), заключенная в скобки, имеет размерность удельной индуктивности. Таким образом, при описании взаимодействия электромагнитной волны с электронным газом нанотрубки последняя может быть рассмотрена в рамках модели пассивного двухполюсника (рис. 1), обладающего удельными активным (Я) и реактивным (X) сопротивлениями, а полный импеданс записывается в виде X = Я + ¡X, где I — мнимая единица. Реактивное сопротивление связано с индуктивностью соотношением
Здесь ш — частота падающей волны; Ь — удельная индуктивность рассматриваемой структуры. Следовательно, импеданс равен X = Я + ¡юЬ.
Необходимо отметить, что индуктивность электронного газа нанотрубки металлического типа обусловлена не магнитным потоком, пронизывающим поверхность трубки, а инертными свойствами электронов. Ввиду того, что электроны обладают конечной массой покоя и конечным значением подвижности, отклик электронного газа не носит мгновенного характера: при прохождении гармонического сигнала электронный газ нанотрубки откликается на внешнее возмущение с задержкой. Это явление было названо кинетической индуктивностью [14-16]. Далее удельную кинетическую индуктивность электронного газа нанотрубки обозначим как Ь. Примечательно, что в классических металлических проводниках макроскопических размеров тоже имеет место эффект кинетической индуктивности, но вследствие его малости по сравнению с индуктив-
dV g
m-= eE,
dt
(1)
(2)
X = oL.
(3)
Рис. 1. Схема, иллюстрирующая эквивалентность углеродной нанотрубки активному
двухполюснику
ностью, обусловленной изменением магнитного потока, проходящего через образец, его вклад, как правило, не учитывается.
Исходя из (2), удельная кинетическая индуктивность
т
Lk =-
(4)
Радиальную зависимость плотности электронного газа в присутствии внешнего электромагнитного возмущения целесообразно определить методами теории функционалов плотности, предполагающими минимизацию функционала полной энергии системы и последующее решение вариационного уравнения:
2 3 3/ \ 1 /„ 2\т / \ 11 д( 8п(г,
— ш3п3 (г, гам—13л2 I3 п (г, га)---------
3 4 ' 2 \ ' ^ 36 г дг
дт
1 дп (т, га)
72
дт
+ Emr cos (et - т cos (cot) j n (т, га) = 0,
(5)
где г — расстояние от оси нанотрубки; с — скорость света.
Согласно результатам работы [11], электронная плотность ОУНТ металлического типа может быть получена как решение уравнения (5), зависящее от характеристик падающей электромагнитной волны следующим образом:
( ч (А-1 тА
n (т, га) = UI -, 1, —
I А 2
Здесь U — специальная функция Куммера [11];
(6)
Л = 24.
5,78 - Emr jcos ^—(ct - r) j + cos (cot) j,
где Ет — амплитуда напряженности электрического поля электромагнитной волны.
Как было отмечено в работе [11], при превышении некоторого порогового значения интенсивности электромагнитного излучения решение уравнения (5) становится комплексным. Мнимая часть решения ответственна за наличие у электронного газа углеродной нанотрубки индуктивных свойств.
Исходя из (4) и (6), зависимость кинетической индуктивности ОУНТ металлического типа от диаметра объекта и частоты электромагнитной волны имеет явный вид
Ьк =-—-Л--. (7)
(^г1 -т)
Формула (7) позволяет определить кинетическую индуктивность для конкретной конфигурации углеродной нанотрубки при заданной частоте и интенсивности излучения. Проведенный анализ показывает, что величина Ьк практически не зависит от частоты ш. С усилением интенсивности падающего излучения I происходит уменьшение удельной кинетической индуктивности ОУНТ. Для монохроматической линейно-поляризованной волны с амплитудой напряженности электрического поля Ет интенсивность
I _ &0сЕт
8ж
Результаты расчета значений этой величины по формуле (7) приведены в табл. 1.
Таблица 1
Значения удельной кинетической индуктивности Ьк, Гн/м, в зависимости от интенсивности волны для нанотрубки при различных значениях диаметра и частоте излучения V = 550 ТГц
I, ГВт/м2
0,5 5,0 10 50 100
2040-9 1Ы0-9 Диаметр 2 нм 10,540-9 10,240-9 10-10-9
1,7740"6 1,0640"6 Диаметр 20 нм 1,0440"6 1,01-10"6 1,040"6
6,8240-6 4,2340-6 Диаметр 40 нм 4,1540-6 4,044 0-6 4,0^ 10-6
40 60 80 I, ГВт/м2
Рис. 2. Зависимость кинетической индуктивности от интенсивности падающей электромагнитной волны для нано-трубки диаметром 20 нм
С увеличением диаметра нанотрубки (см. табл. 1) возрастает удельная кинетическая индуктивность. Это связано с уменьшением электронной плотности, что находится в соответствии с результатами, полученными в работах [11, 13, 17]. Зависимость кинетической индуктивности от интенсивности падающей электромагнитной волны для нанотрубки диаметром 20 нм приведена на рис. 2. Важным остается анализ зависимости реактивного сопротивления электронного газа ОУНТ металлического типа от частоты и интенсивности падающего излучения, так как импеданс дает непосредственную количественную оценку индуктивных свойств, проявляемых углеродной нанотрубкой при взаимодействии с электромагнитной волной. Результаты
исследования искомых зависимостей приведены в табл. 2.
Таблица 2
Зависимость реактивного сопротивления Х, Ом, от интенсивности волны для нанотрубки диаметром 2 нм в терагерцовом диапазоне V = 1 ТГц (числитель)
и V = 550 ТГц (знаменатель)
I, ГВт/м2
0,5 5 10 50 100
963,65 / 320-103 509,36 / 17Ы03 497 / 165-103 480 / 160-103 475,93 /158403
С увеличением интенсивности падающего излучения происходит уменьшение удельной кинетической индуктивности Ь и реактивного сопротивления Х. Результаты численного расчета показывают, что с возрастанием частоты излучения увеличивается сопротивление Х, при этом зависимость Х(а) не линейна, как могло показаться из формулы (3), а имеет более сложный характер.
Заключение. Проведено теоретическое исследование взаимодействия электромагнитных волн терагерцового и оптического диапазонов с ОУНТ металлического типа в рамках приближения отклика двумерного электронного газа, находящегося в цилиндрически симметричной потенциальной яме. Установлено, что электронный газ проявляет индуктивные свойства, которые зависят от диаметра нанотрубки, частоты и интенсивности излучения. Получены выражения для расчета значения кинетической индуктивности Ь и реактивного сопротивления Х.
ЛИТЕРАТУРА
1. lijima S. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature. 1991. Vol. 354. P. 56-58. DOI: 10.1038/354056a0
2. Qin L.C., Zhao X., Hirahara K., Miyamoto Y., Ando Y., lijima S. Materials science: The smallest carbon nanotube // Nature. 2000. Vol. 408. P. 50. DOI: 10.1038/35040699
3. Ведерников А.И., Чаплик А.В. Колебательные моды и электронно-фононное взаимодействие в полупроводниковых нанотрубках // Физика и техника полупроводников. 2004. Т. 38. № 11. С. 1358-1363.
4. Сеид-Рзаева С.М. Релаксация энергии неравновесных электронов в нанотрубке, сформированной свернутой квантовой ямой // Физика и техника полупроводников. 2013. Т. 47. № 6. С. 793-796.
5. Ведерников А.А. Моделирование пространственного распределения электронного газа в нанотрубке методом функционалов плотности // Молодежный научно-технический вестник. 2013. № 4. URL: http://sntbul.bmstu.ru/doc/566136.html
6. Елецкий А.В. Транспортные свойства углеродных нанотрубок // Успехи физических наук. 2009. Т. 179. № 3. С. 225-242. DOI: 10.3367/UFNr.0172.200204b.0401
7. Захарченко А.А., Петров Б.К. Проводимость однослойных углеродных нанотрубок с металлическими свойствами в приближении свободных электронов // Вестник ВГТУ. 2009. Т. 5. № 12. С. 105-109.
8. Иванченко Г.С., Лебедев Н.Г. Проводимость углеродных нанотрубок, обусловленная миграцией протонов по их поверхности // Физика твердого тела. 2009. Т. 51. № 11. С. 22812286.
9. Захарченко А.А., Петров Б.К. Энергетический спектр однослойных углеродных нанотрубок структурного типа «ARMCHAIR» в приближении свободных электронов // Вестник ВГТУ. 2013. Т. 9. № 3-1. С. 98-102.
10. Садыков Н.Р., Скоркин Н.А. Воздействие нестационарного электрического поля с различным профилем переднего фронта на углеродные нанотрубки // Физика и техника полупроводников. 2012. Т. 46. № 8. С. 1043-1048.
11. Еркович О.С., Ивлиев П.А. Расчет электронной плотности углеродных нанотрубок во внешнем электромагнитном поле // Наноматериалы и наноструктуры — XXI век. 2016. Т. 7. № 1. С. 8-13.
12. Островский П.М. Проводимость углеродных нанотрубок в продольном магнитном поле // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 2000. Т. 72. № 8. С. 600-604.
13. Еркович О.С., Ивлиев П.А. Расчет магнитных свойств однослойных углеродных нанотрубок в рамках метода функционалов плотности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4. С. 56-64. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-4-56-64
14. Менде Ф.Ф. Роль и место кинетической индуктивности зарядов в классической электродинамике // Инженерная физика. 2012. № 11. С. 10-19.
15. High frequency conductivity of the high-mobility two-dimensional electron gas / P.J. Burke, I.B. Spielman, J.P. Eisenstein, L.N. Pfeiffer, K.W. West // Applied Physics Letters. 2000. Vol. 76. Iss. 6. P. 745-747. DOI: 10.1063/1.125881
16. Семенов А.В., Девятов А.И., Куприянов М.Ю. Теоретический анализ работы сверхпроводящего детектора микроволнового излучения на кинетической индуктивности // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 2008. Т. 88. № 7-8. С. 514-520.
17. Ивлиев П.А. Радиальное распределение электронной плотности углеродной нанотрубки. Молодежный научно-технический вестник. 2014. № 9.
URL: http://sntbul.bmstu.ru/doc/732012.html
Еркович Ольга Станиславовна — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).
Ивлиев Павел Александрович — аспирант, ассистент кафедры «Физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Еркович О.С., Ивлиев П.А. Кинетическая индуктивность однослойных углеродных нанотрубок металлического типа // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 6. C. 56-64. DOI: 10.18698/1812-3368-2017-6-56-64
KINETIC INDUCTANCE OF A SINGLE-WALLED CARBON NANOTUBE OF METALLIC TYPE
O.S. Erkovich e^o^^mst^^
P.A. Ivliev ivliev-pavel@mail.ru
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation Abstract Keywords
The study presents the results of theoretical studies of kinetic Carbon nanotubes, kinetic induct-inductance Lk of a single-walled carbon nanotube of metallic ance, electron density type, taking into account the electron-electron interaction in the approximation of a right circular cylinder. The system under consideration is a cylindrically symmetric potential well with a final height of the wall. As a part of the theory of two-dimensional electron gas response to the external electromagnetic disturbance we obtained kinetic inductance depending on the nanotube diameter, frequency and intensity of the radiation. Findings of the research show that Lk
value increases with the increasing frequency, and decreases Received 15.11.2016 with the increasing radiation intensity © BMSTU, 2017
REFERENCES
[1] Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon. Nature, 1991, vol. 354, pp. 56-58. DOI: 10.1038/354056a0
[2] Qin L.C., Zhao X., Hirahara K., Miyamoto Y., Ando Y., Iijima S. Materials science: The smallest carbon nanotube. Nature, 2000, vol. 408, p. 50. DOI: 10.1038/35040699
[3] Vedernikov A.I., Chaplik A.V. Vibration modes and electron-phonon interaction in semiconductor nanotubes. Semiconductors, 2004, vol. 38, iss. 11, pp. 1316-1322.
DOI: 10.1134/1.1823067
[4] Seid-Rzaeva S.M. Energy relaxation of non-equilibrium electrons in nanotube formed by convoluted quantum well. Fizika i tekhnika poluprovodnikov, 2013, vol. 47, iss. 6, pp. 793-796 (in Russ.).
[5] Vedernikov A.A. Simulation of electron gas spatial distribution in nanotube using density functional method. Molodezhnyy nauchno-tekhnicheskiy vestnik, 2013, no. 4 (in Russ.). Available at: http://sntbul.bmstu.ru/doc/566136.html
[6] Eletskiy A.V. Carbon nanotubes and their emission properties. Physics-Uspekhi, 2002, vol. 45, no. 4, pp. 369-402. DOI: 10.1070/PU2002v045n04ABEH001033
[7] Zakharchenko A.A., Petrov B.K. Conductivity of single-walled carbon nanotubes with metallic properties in the free-electron approximation. Vestnik VGTU, 2009, vol. 5, no. 12, pp. 105-109 (in Russ.).
[8] Ivanchenko G.S., Lebedev N.G. Electrical conduction of carbon nanotubes due to the migration of protons over their surface. Physics of the Solid State, 2009, vol. 51, no. 11, p. 2421. DOI: 10.1134/S1063783409110365
[9] Zakharchenko A.A., Petrov B.K. Energy spectrum of single-walled carbon nanotubes of the structural "Armchair" type in the free-electron approximation. Vestnik VGTU, 2013, vol. 9, no. 3-1, pp. 98-102 (in Russ.).
[10] Sadykov N.R., Skorkin N.A. Effect of a nonstationary electric field with different front profiles on carbon nanotubes. Semiconductors, 2012, vol. 46, iss. 8, pp. 1020-1026.
DOI: 10.1134/S1063782612080179
[11] Erkovich O.S., Ivliev P.A. Calculation of electronic density of carbon nanotubes in an external electromagnetic field. Nanomaterialy i nanostruktury — XXI vek [Nanomaterials and Nanostructures — XXI Century], 2016, vol. 7, no. 1, pp. 8-13 (in Russ.).
[12] Ostrovskiy P.M. Conductivity of carbon nanotubes in a longitudinal magnetic field. Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters, 2000, vol. 72, iss. 8, pp. 419-421.
DOI: 10.1134/1.1335120
[13] Erkovich O.S., Ivliev P.A. Calculation of the magnetic properties of single-walled carbon nanotubes in the framework of density functional theory. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2016, no. 4, pp. 56-64 (in Russ.). DOI: 10.18698/1812-3368-2016-4-56-64
[14] Mende F.F. Role and place of kinetic inductance of charges in classical electrodynamics. Inzhenernayafizika [Engineering Physics], 2012, no. 11, pp. 10-19 (in Russ.).
[15] Burke P.J., Spielman I.B., Eisenstein J.P., Pfeiffer L.N., West K.W. High frequency conductivity of the high-mobility two-dimensional electron gas. Applied Physics Letters, 2000, vol. 76, iss. 6, pp. 745-747. DOI: 10.1063/1.125881
[16] Semenov A.V., Devyatov A.I., Kupriyanov M.Yu. Theoretical analysis of the operation of the kinetic inductance-based superconducting microwave detector. JETP Letters, 2008, vol. 88, iss. 7, pp. 441-447. DOI: 10.1134/S0021364008190077
[17] Ivliev P.A. Radial electron density distribution of carbon nanotube. Molodezhnyy nauch-no-tekhnicheskiy vestnik, 2014, no. 9 (in Russ.).
Available at: http://sntbul.bmstu.ru/doc/732012.html
Erkovich O.S. — Cand. Sc. (Phys.-Math.), Assoc. Professor of Physics Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).
Ivliev P.A. — post-graduate student, Assistant of Physics Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, str. 1, Moscow, 105005 Russian Federation).
Please cite this article in English as:
Erkovich O.S., Ivliev P.A. Kinetic Inductance of a Single-Walled Carbon Nanotube of Metallic Type. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2017, no. 6, pp. 56-64 (in Russ.). DOI: 10.18698/1812-3368-2017-6-56-64
В Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана вышло в свет учебное пособие авторов И.В. Блудовой, Э.Н. Беляновой
«Начала топологии в примерах и задачах»
Рассмотрены различные классические примеры топологических и метрических пространств и непрерывных отображений, сформулированы все необходимые топологические определения и утверждения. Читателям предложено самостоятельно доказать некоторые свойства указанных выше топологических и метрических пространств, а в случае недостаточной успешности попыток получить эти доказательства—узнать подробные решения предложенных задач.
По вопросам приобретения обращайтесь:
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1
+7 (499) 263-60-45
press@bmstu.ru
www.baumanpress.ru
И.В. Бяудова, Э.Н. Бвляновв
Начала топологии в примерах и задачах
