CC BY
16
Известия Коми научного центра УрО РАН № 3(35). Сыктывкар, 2018.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 530.1, 514.84 DOI 10.19110/1994-5655-2018-3-5-7
КВАНТОВАЯ ЧАСТИЦА НА ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО
Н. А. ГРОМОВ, В. В. КУРАТОВ
Физико-математический институт ФИЦ Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар
gromov@dm.komisc.ru, kuratov@dm.komisc.ru
Рассмотрена задача о поведении нерелятивистской квантовой частицы, у которой собственное пространство представляет собой плоскость Минковского с потенциальными барьерами бесконечной высоты на изотропных прямых. В отличие от стандартной задачи с евклидовой плоскостью, у частицы помимо непрерывного спектра появляются дискретные уровни энергии.
Ключевые слова: плоскость Минковского, уравнение Шредингера, свободная частица
N. A. GROMOV, V. V. KURATOV. QUANTUM PARTICLE ON MINKOWSKI PLANE
The problem of nonrelativistic quantum particle on Minkowski plane is discussed. The corresponding Schrodinger equation for eigenstates is obtained with the help of Beltrami-Laplas operator of pseudoeuclidean plane. The infinitely high potential barriers are placed on isotropic lines. In contrast to the standard problem on euclidean plane where there is only continuous energy spectrum, the particle on Minkowski plane has discrete energy eigenvalues as well.
Keywords: Minkowski plane, Schrodinger equation, free particle
Введение
По мере развития нанофизики появилась возможность создания новых материалов на основе ме-таатомов, т. е. искусственных структур более или менее простой формы размером в несколько нанометров [1]. В частности, получены материалы, которые демонстрируют свойства металла в одном направлении и ведут себя подобно диэлектрику в ортогональном направлении. Они получили название гиперболических метаматериалов [2, 3]. Действительно, именно в пространствах с псевдоримановой метрикой имеется два типа прямых (помимо изотропных), которые не совмещаются изоморфизмами и поэтому позволяют моделировать две разные физические сущности в рамках одного пространства [4,5].
Бурное развитие метаматериалов в последние несколько лет, заманчивые перспективы их практического применения в самых разных областях стимулируют теоретические исследования поведения частиц в пространствах с нетрадиционной метрикой. В настоящей заметке рассмотрена простейшая задача об уровнях энергии нерелятивистской квантовой частицы, у которой собственное пространство представляет собой плоскость Минковского. Для предотвращения смешивания разных типов прямых на изотропных прямых помещены потенциальные барьеры
бесконечной высоты. В отличие от стандартной задачи с евклидовой плоскостью, где частица имеет только непрерывный спектр, в случае плоскости Минковского у нее дополнительно появляются дискретные уровни энергии.
1. Полярные координаты
Плоскость Минковского - двумерное пространство нулевой кривизны с псевдоевклидовой ~ 2 2 2 метрикой в2 = х\ — х2 в декартовых координатах. Декартовы и полярные координаты в областях I (х2 — х2 > 0, XI > 0) и II (х2 — х2 > 0, XI < 0) связаны формулами (см. рисунок)
{
Xi = ±r ch ф Г tg r = \Jxi - x2 > 0, X2 = ±r sh ф \ Шф = x2/xi,
где r € [0, то), ф € R.
(1)
Рис. Полярные координаты {r, ф} точки M и координаты {p,x} точки N на плоскости Минковского. OM=r, ON=p. Fig. Polar coordinate {r, ф} of point M and coordinate {p, x} of point N on Minkowski plane.
Известия Коми научного центра УрО РАН. № 3(35). Сыктывкар, 2018
В областях III (x2 - < 0, x2 > 0) и IV (x2 — x\ < 0, x2 < 0) вместо мнимого r вводим вещественный радиус р = \/x2> — x2, т.е. r = ip, и новый угол отсчитываемый теперь от оси x2 и свя занный с углом ф соотношением ф = % — iП
X — iП, тогда
Г xi = ±р sh x \ x2 = ±р ch x,
где р Е [0, то), X € R.
thp = у/x2 — xi > 0,
thx = xi/x2,
(2)
2. Квантово-механическое поведение частицы
Для уравнения Шредингера в области I в полярных координатах
Асимптотически при больших г убывающее на бесконечности решение уравнения (5) ведет себя как и(г) — е-пг. Поэтому можно искать его решение в виде
и(г) = г 2 +Ш е-пг / (г). (10)
Тогда для функции /(г) получаем уравнение
г/'' + (2гИ + 1 - 2пг) /' - 2п ^ 1 + гИ^ и = 0,
(11)
частными решениями которого будут вырожденные гипергеометрические функции
h2 / д2 1 д 1 д2
2m \дг2 r дг r2 дф2
i
1
F ( iM + 2, 2iM + 1
(3)
с граничными условиями Ф(0, ф) = Ф(то,ф) = 0 ищем решение в виде
) Ф(Г' ф) = EФ(Г' ф) (2Vr)-2M F (1 — iM, 1 — 2iM, 2Vr) . (12)
(3) 2
Ф(г, ф) = ^e^, r
где функция u(r) удовлетворяет уравнению
u' + feE + Ml+i
u=0
h2
с эффективным потенциалом притяжения
л2 м2+4
Ueff (r) = < 2m г2
(—л
J 2m
1 ТО,
r > 0, r = 0.
(4)
(5)
(6)
Таким образом, предполагается, что на изотропных прямых находится бесконечно высокий потенциальный барьер, который препятствует уходу частицы из области I. Одномерная задача (5) с сингулярным потенциалом рассматривалась в работе [6], §35, где, правда, отмечено, что она не имеет непосредственного физического смысла. Приводимая в данной заметке интерпретация придает ей определенный физический смысл. Подробное решение этой и подобных задач с сингулярным потенциалом дано также в работах [7,8].
При малых г волновая функция и ведет себя как [7, формула (2б)]
и(г) - /г {Лгш + Бг-Ш) -
~wr(rM- e-
2iY r~iM\
л/т sin(M ln r + y),
поскольку при малых r уравнение (5) имеет вид
u +
M2 + i
4 u = 0
(7)
(8)
с решениями в виде суперпозиции функций г2 +Ш и г2-гМ. Здесь 7 - фаза отражения от сингулярности г = 0 (0 < 7 < п).
Дискретный спектр существует при отрицательных значениях энергии Е, поэтому удобно обозначить
П
2mE
(9)
Общее решение уравнения (5) дается линейной комбинацией
u
(r) = Ciui + C2U2 = C (ui — e-2iYU2) (13)
функций
ui = e
/г гШЕ И + 1, 2гИ + 1, 2^ ,
и2 = е-пг /г г-ШЕ ^ 1 - гИ, 1 - 2гИ, 2^ .
(14)
При малых г функция и(г) стремится к нулю (7), но ее производная — к бесконечности. Поэтому немного модифицируем граничное условие при г = 0. Выпишем уравнения (5) для разных значений
Е
(2шЕл И2 + 1
ui +
u2 +
у h2
+
ui = 0,
(15)
I 2mE2 + M2 + i
h2
U2 =0. (16)
Умножим первое уравнение на и2, второе-на и1, вычтем второе из первого и проинтегрируем от нуля до бесконечности
сю сю
г 2т [
(щи'2 - и2и'/) ёг = — (Е2 - Е1) ии^г.
(17)
Воспользовавшись равенством
(uiu2' — u2u'/) = (uiu2 — u2ui)' (18) и ортогональностью функций u и u2, получаем
(u iu2 — u2u i) =0 .
(19)
На бесконечности и сама функция и ее производная стремятся к нулю, а в точке г = 0 имеем
(и ! и2 - и2и1) |о - в1п(7(Е1) - 7Е2)) . (20) Откуда следует условие квантования
7(Е) - 7(Е2)= пп. (21)
2
r
)
r^J
Известия Коми научного центра УрО РАН. № 3(35). Сыктывкар, 2018
При г ^ оо вырожденная гипергеометрическая функция имеет асимптотику
F(a, b; z)
Г(с)
(22)
Яег^то Г(а)
Поэтому волновая функция (13) ведет себя в этом пределе как
u(r)
~ e
nr
_г{м ln п) Г(1 + 2iM) Г(г + iM)
_ei(M ln n-2iY) Г(1 - 2iM )\ e Г(1 - iM) J '
тогда из условия и(ж) = 0 находим
ei(2Minп-Y = Г(1 + 2iM) Г(1 - iM) Г(1 - 2iM)Г(1 + iM):
(23)
(24)
откуда
Y(E) = M ln n + C(M).
(25)
Подставляя в (21), получаем дискретный спектр энергий
En = Eoe2п ,
n
0, ±1, ±2,..., Eo < 0,
(26)
что совпадает с формулой (34) в [7]. При увеличении n расстояние между уровнями растет и дискретный спектр при E — —ж становится все более редким. Для положительных энергий E > 0 спектр непрерывный.
В области III уравнение Шредингера в переменных р, х записывается в виде (3) со знаком плюс в левой части. Если вновь искать решение в виде (4), то приходим к уравнению Шредингера (5) на полуоси р € (0, ж) с энергией E = —E и эффективным потенциалом вида (6). По-прежнему на изотропных прямых находится бесконечно высокий потенциальный барьер, который препятствует переходу частицы из области III в какую-либо другую область плоскости Минковского. В области III дискретный спектр будет при положительных энергиях, а непрерывный - при отрицательных.
Замечание. Общий случай комплексной фазы
Y = Yi + ¿72, 0 < Yi <п, Y2 > 0 (27)
отвечает варианту "полупрозрачного" барьера (с регулируемой высотой "стенки") на изотропных прямых. Тогда возникают интересные решения, связанные с туннелированием (или просачиванием) из области I в область III и обратно. Случай y2 — ж отвечает полному поглощению частицы на изотропной прямой, что можно толковать как переход частицы в область III.
Авторы благодарны И.В. Костякову за полезные обсуждения.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований УрО РАН, проект № 18-1-1-7.
Литература
1. Ремнев МА, Климов В.В. Метаповерхности: новый взгляд на уравнения Максвелла и новые методы управления светом // Успехи физических наук. 2018. Т. 188. №2. С. 169-205.
2. Smolyaninov I.I. Modelling of causality with metamaterials //J. Optics. 2013. Vol. 15. No. 2. 025101; arXiv:1210.5628.
3. Smolyaninov I.I. Hyperbolic metamaterials; arXiv:1510.07137.
4. Пименов Р.И. Единая аксиоматика пространств с максимальной группой движений // Литовский матем. сб. 1966. Т. 5. № 3. С. 457-486.
5. Громов НА. Контракции классических и квантовых групп. М.: Физматлит, 2012. 320 с.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. (Серия: "Теоретическая физика". Т. III). М.: Наука, 1974. 752 с.
7. Переломов А.М., Попов B.C. "Падение на центр" в квантовой механике // Теор. матем. физика. 1970. Т. 4. № 1. С.48-65.
8. Case K.M. Singular potentials // Phys. Rev. 1950. Vol.80. P. 797-806.
References
1. Remnev МА, Klimov V.V. Metapoverhnosti: novyiy vzglyad na uravneniya Maksvella i novyie metodyi upravleniya svetom [Metasur-faces: a new look at Maxwell's equations and new ways to control light] // Uspekhi Fizich-eskikh Nauk [Advances in Physics]. 2018. Vol. 188. №2. P. 169-205.
2. Smolyaninov I.I. Modelling of causality with metamaterials //J. Optics. 2013. Vol. 15. No. 2. 025101; arXiv:1210.5628.
3. Smolyaninov I.I. Hyperbolic metamaterials; arXiv:1510.07137.
4. Pimenov R.I. Edinaya aksiomatika prostranstv s maksimal'noy gruppoy dvizheniy [Unified axiomatics of spaces with maximal motion group] // Litovskiy matem. sb. [Lithuanian math. collection]. 1966. Vol. 5. № 3. P. 457486.
5. Gromov NA. Kontraktsii klassicheskikh i kvan-tovykh grupp [Contractions of classical and quantum groups]. Moscow, FIZMATLIT, 2012. 320 p.
6. Landau L.D., Lifshitz Е.М. Kvantovaya mehanika. Nerelyativistskaya teoriya. (Seriya: "Teoreticheskaya fizika" t. III) [Quantum mechanics. Nonrelativistic theory. (Series: "Theoretical physics"). Vol. III]. Moscow: Nauka, 1974. 752 с.
7. Perelomov А.М., Popov V.S. "Padenie na tsentr" v kvantovoy mehanike [Collapse onto scattering centre in quantum mechanics] // Teor. matem. fizika [Theor. mathem. phys.]. 1970. Vol. 4. No. 1. P.48-65.
8. Case K.M. Singular potentials // Phys. Rev. 1950. Vol.80. P. 797-806.
Статья поступила в редакцию 30.03.2018.
(
e
