CC BY
26
УДК 530.12: 530.145
Б. В. Яковлев
Условие замкнутости системы
Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова, г. Якутск, Россия
Аннотация. Статья посвящена исследованию физических систем методом математического моделирования. Целью работы является выявление условия замкнутости системы. Рассматривается бесконечная физическая система, и в ней необходимо выделить замкнутую подсистему. В настоящей работе используется тот подход, где реальность проявляется при наложении систем. Локализация частицы и ее движение в пространстве Минковского проявляется в результате наложения (суперпозиции) независимых подсистем. На примере моделирования движения свободной частицы определены возможные положения частицы в пространстве Минковского, которые аппроксимируются периодической функцией. Введено понятие подсистемы, соответствующее возможному положению частицы. Семейство этих подсистем рассматривается как независимые элементы большой бесконечной составной системы. Таким образом, при наложении подсистем проявляются возможные положения частицы, происходит ее локализация и движение в пространстве Минковского. Введено однородное пространство возможных состояний, из которого следуют основные свойства пространства Минковского: его однородность и изотропность, однородность времени. Из этих свойств симметрии пространства и времени следуют законы сохранения, определяющие основные параметры частицы. Наложение подсистем представляет собой квантовую суперпозицию состояний. При моделировании использована идея проявления реальности в результате наложения систем - явления, подобного декогеренции. Даны обоснования принципу неопределенности Гейзенберга и интерпретация явления редукции волнового пакета, т. е. выделение альтернативы из суперпозиции при измерении. Нелокальная природа микромира объясняется тем, что при измерении выделяется определенная подсистема, которая представляется как альтернатива. Определено условие замкнутости системы, согласно которому ее граница должна расширяться со скоростью распространения взаимодействий. Расширение границы подсистемы достигается за счет переходов из одной подсистемы в другую, но большего размера, при этом внутри подсистемы образуется пространство Минковского. Показано, что из условия замкнутости системы, а именно из-за расширения объема, следует возрастание количества возможных состояний системы. Обоснованы закон возрастания энтропии замкнутой системы и закон Хаббла.
Ключевые слова: Нелокальность, возможные состояния, квантовая теория, неопределенность Гейзенберга, замкнутая система, волновая функция, декогеренция, пространство Минковского, закон возрастания энтропии, закон хаббла.
DOI 10.25587/SVFU.2018.67.18658
ЯКОВЛЕВ Борис Васильевич - д. физ.-мат. н., профессор Физико-технического института СВФУ им. М.К. Аммосова.
YAKOVLEV Boris Vasilievich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of Institute of Physics and Technologies, M.K. Ammosov North-Eastern Federal University.
B. V. Yakovlev
System Closedness Condition
M.K. Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia
Abstract. This article is focused on the study of physical systems by method of mathematical modeling. The objective of this paper is to identify the condition of system closedness. The infinite physical system is considered, and it is necessary to single out a closed subsystem within it. Under the approach used in the present paper the reality manifests itself via superimposition of the systems. Particle localization and its motion in Minkowski space is manifested as a result of the independent subsystems superimposition (superposition). Using an example of modeling the free particle motion, possible particle positions in the Minkowski space are determined, which are approximated by periodic function. A concept of the subsystem, corresponding to the possible particle position, is introduced. A family of these subsystems is considered as independent elements of the large infinite composite system. Thus, when the subsystems are superimposed, the possible particle positions are manifested, their localization and motion within the Minkowski space occur. The homogeneous space of possible states is introduced, from which basic properties of the Minkowski space follow: its homogeneity and isotropy, and the homogeneity of time. From these properties of space and time symmetry, conservation laws follow, determining basic particle parameters. Superimposition of subsystems is the quantum superposition of the states. In the modeling the idea of the reality manifestation as a result of the systems superimposition is used - a phenomenon similar to decoherence. Justifications of Heisenberg uncertainty principle and interpretation of the wave packet reduction phenomenon are given, i.e. selection of an alternative from the superposition when measuring. A non-local nature of a microworld is explained by the fact that certain subsystem is singled out during measurement, which is presented as the alternative. The condition of system closedness is determined, according to which its boundary must expand with interactions' propagation speed. Expansion of the subsystem boundary is achieved due to transitions from one subsystem to another, but of a larger size, while the Minkowski space is formed in the subsystem. It is shown that from the condition of the system closedness, namely due to the volume expansion, an increase in the number of possible states of the system follows. The law of increase in entropy of the closed system and the Hubble law are substantiated.
Keywords: Nonlocality, possible states, quantum theory, Heisenberg uncertainty, closed system, wave function, decoherence, Minkowski space, law of increase of entropy, Hubble law.
Введение
Эксперименты А. Аспека, А. Цайлингера [1-4] показали, что квантово запутанные частицы нарушают принцип локальности. Это означает, что каждая частица связана с окружением, т. е. находится с ним в запутанном состоянии. Поэтому при моделировании локализованной частицы и ее движения, на наш взгляд, нужен подход, который учитывал бы нелокальную природу реальности. В настоящей работе используется тот подход, где реальность проявляется при наложении систем [5]. Движение локализованной частицы в пространстве Минковского проявляется в результате наложения (суперпозиции) независимых подсистем. Независимость подсистем обусловлена тем, что в бесконечной системе не отрицается существование замкнутых, изолированных подсистем, которые могут быть рассмотрены как независимые элементы системы. Целью настоящей работы является выявление условий замкнутости системы. Также рассматриваются следствия, которые вытекают из этих условий.
Волновая природа движения частицы и неопределенность Гейзенберга
Рассмотрим систему, которая содержит бесконечное множество замкнутых подсистем. Последние характеризуются некоторой функцией состояния. Значения этих функций состояния подсистем могут отличаться на некоторую конечную скалярную величину, обозначим ее через h0. В противном случае (если бы они не отличались) имели бы место абсолютно идентичные подсистемы, которых не берем в расчет.
Рассмотрим свободную частицу. Она характеризуется некоторым вектором, радиусом-вектором, определяющим положение частицы в пространстве, или импульсом. Пусть этим вектором будет импульс частицы.
Введя вектор импульса частицы р, то есть, выделяя некоторое направление, мы вводим понятие пространства. Это позволяет рассматривать возможные положения частицы в этом пространстве. Допустим, что имеется только рассматриваемая частица, влиянием других объектов пренебрегаем. Определим возможные состояния частицы, то есть семейство возможных подсистем, каждая из которых представляет состояние частицы. Тем самым выделяем некоторое конечное семейство возможных подсистем. В данной работе возможные состояния и возможные подсистемы используются как эквивалентные понятия.
Введем другой вектор г0 , определяя его через соотношение
Р' го = К (1)
Здесь г0 - вектор, определяющий возможные взаимные месторасположения частицы, длина этого вектора определяет минимальные расстояния между расположениями частицы. По вышеуказанной причине векторы г0 , р не могут быть перпендикулярны друг к другу. Таким образом, состояние возможной подсистемы определяется точкой в фазовом пространстве, или фазовой ячейкой. Точки в фазовом пространстве могут отличаться как минимум на величину И0, то есть вводится дискретное фазовое пространство. Это обусловлено дискретностью пространства подсистем. Для одномерной задачи имеем: р • х0 = ^, где ось х совпадает с направлением импульса частицы. Возможные координаты частицы будут принимать значения
ь
хп =— П (2)
Р
где п принимает значения 1, 2, 3... Множество подсистем с частицей р представляют собой некоторое пространство возможных подсистем. Здесь задается только направление (вектор р), а начало координат может быть где угодно вдоль оси х. Из-за независимости подсистем можно использовать принцип суперпозиции, т. е. наложение возможных подсистем. При этом мы должны учитывать неизменное расстояние между возможными положениями частицы в пространстве. То есть при наложении получаем возможные состояния подсистем, или что то же самое, возможные положения частицы в пространстве при заданном значении импульса (рис.). И все точки расположения частицы равнозначны (рис.).
При заданном значении импульса частицы становится неопределенным положение частицы в пространстве, что соответствует неопределенности Гейзенберга. Но возможные месторасположения частицы находятся не на произвольных участках пространства, а на расстоянии х0 относительно друг друга вдоль оси, совпадающей по направлению с импульсом.
Как видно из рисунка, возможные положения частицы имеют периодическую структуру, и ее можно представить периодической функцией.
Итак, для определения вероятности местонахождения частицы вводим периодическую функцию:
Рис. Возможные состояния частицы в одномерном пространстве
Wn =1 (([2пп] +1)
cos
2п к
-Рхп
+1
(3)
где х„ - п ■ х:0
принимает целые значения. Здесь мы имеем полный набор
возможных состояний, поэтому система находится в чистом состоянии и может быть описана волновой функцией. Соответствующая (3) волновая функция имеет вид
/ л
Т п = cos
п
-РХ
= ехр
п
V «о
(4)
с длиной волны Л = 2 • х0. Квадрат этой функции (4) совпадает с (3) и определяет вероятность местонахождения частицы.
Локализация частицы в некоторой области пространства происходит в результате наложения вышеуказанной суперпозиции возможных подсистем с другими суперпозициями с несколько другими направлениями векторов импульса. При этом происходит взаимодействие (сосуществование) этих систем. Теряется когеренция, и происходит локализация частицы в некоторой области пространства подобно тому, что при пересечении более трех плоскостей происходит локализация точки в пространстве (точка пересечения). Нормали к этим плоскостям совпадают с направлениями векторов импульса. То есть происходит процесс, похожий на декогеренцию [6, 7]. Локализованная частица состоит из множества частиц, каждая из которых находится в различных возможных подсистемах, при этом последние наложены друг в друга. При измерении наблюдатель попадает в определенную подсистему (или фиксирует определенную подсистему), и происходит выбор альтернативы, т. е. все остальные члены суперпозиции исчезают, остается только одна. Согласно модели, в каждой подсистеме находится одна частица. Происходит так называемая редукция состояния. При локализации частицы появляется неопределенность импульса (вернее неопределенность направления импульса), что так же соответствует неопределенности Гейзенберга. Если рассматривается движение частицы в пространстве Минковского, то вводится понятие времени. Однородность времени и однородность пространства Минковского следуют из однородности пространства возможных состояний.
п
Условие замкнутости системы. Закон возрастания энтропии замкнутой системы
Чтобы подсистема была замкнутой, необходимо существование конечной скорости взаимодействия с Тогда требуемым условием замкнутости подсистемы является то, что ее граница расширяется со скоростью ^ В этом случае внеподсистемные объекты не взаимодействуют с элементами подсистемы, т. е. она является изолированной, замкнутой системой. Расширение границы подсистемы достигается за счет переходов из одной подсистемы в другую большего размера, при этом внутри подсистемы образуется пространство Минковского.
Рассмотрим свободную частицу в одномерном пространстве. Максимальный радиус подсистемы, или в одномерном случае максимальный линейный размер подсистемы, равен Я. Объекты, которые находятся на таком расстоянии, будут удаляться со скоростью с. В этом случае можно допустить, что происходит линейное расширение пространства подсистемы. При этом максимальный линейный размер сохраняется, но с условием, что происходит расширение пространства подсистемы. Объекты, которые находятся за этим пределом, не взаимодействуют с элементами данной подсистемы. Таким образом, получается семейство замкнутых изолированных подсистем. Выше определили возможные местоположения частицы в одномерном пространстве. Количество возможных состояний частицы в таком пространстве равняется
N = R / г0, (5)
где г0 - расстояние между возможными положениями частицы. За единицу времени пространство расширяется на с метров. Это значит, количество возможных состояний увеличивается на величину
dN = с = N0
dt ~ г0 " R ' (6)
Получаем дифференциальное уравнение
dN с ,
-= — dt = ^г, (7)
N Я
решением которого является
или
ыЩ = х+с, (8)
N = М0ех'. (9)
Подставляя вместо N значение через расстояние Я из (5) получаем закон расширения подсистемы
R = Я^е1'. (10)
Это значит, каждый объект подпространства удаляется по экспоненциальному закону
г () = г (0 )ех. (11)
При этом скорость удаления прямо пропорциональна расстоянию
V ( ) = ^ = ХГ (0 )вр, (12)
что совпадает с законом Хаббла, т. е. с законом разбегания галактик
Г = ХГ, (13)
где Г - скорость удаления галактики, г - расстояние до галактики, %= А/ Я - постоянная Хаббла, c - скорость света в вакууме, R - наблюдаемый радиус Вселенной.
Таким образом, в бесконечной системе можно выделить замкнутую подсистему только в том случае, если поверхность, ограничивающая подсистему, расширяется со скоростью распространения взаимодействий с. Это и есть условие замкнутости системы.
Отметим, что выражение (8) представляет закон возрастания энтропии замкнутой системы. Действительно, согласно статистическому определению энтропия равна
Se = МпЩ, (14)
где k - постоянная Больцмана, N - количество возможных состояний системы. Из (8) следует
Se ~ 1пЩ = %г. (15)
Отсюда
-f- ~ X > 0. (16)
dt
То есть энтропия замкнутой системы со временем только возрастает [8].
Заключение
В классической физике, предполагая локализованную частицу, априори вводится понятие пространства, которое согласно современной парадигме не может существовать без материи, что приводит к противоречию. Если даже мысленно представляем частицу, локализованную в одной точке, то тем самым уже вводим понятие пространства. На наш взгляд, вместе с локализацией частицы должны быть введены и понятия пространства и времени.
В данной работе рассмотрено движение свободной частицы. При этом процесс локализации частицы и ее движения сопровождался введением однородного, изотропного пространства и однородного времени. Эти свойства связаны с параметрами системы, которые сохраняются (импульс, момент импульса и энергия системы), то есть, вводится пространство Минковского. Оно обусловлено однородностью пространства возможных подсистем. Наложение возможных подсистем локализует частицу.
Подобное определение возможных положений частицы в пространстве позволяет ввести условие замкнутости системы, которое может обосновывать закон Хаббла, стрелу времени, закон возрастания энтропии замкнутой системы.
Л и т е р а т у а
1. Aspect A., Grangier P. and Roger G. Experimental realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A new violation of Bell's inequalities // Phys. Rev. Lett. 49, 91 (1982).
2. Aspect А.. Bell's theorem: the naive view of an experimentalist, in Quantum [Un]speakables - From Bell to Quantum information, edited by R. A. Bertlmann and A. Zeilinger, Berlin 2002, Springer. P. 119-153.
3. Lemos G. B., Borish V., Cole G. D., Ramelow S., Lapkiewicz R., Zeilinger A. Quantum imaging with undetected photons // Nature V. 512, 2014. P. 409-412.
4. Krenn M., Gu X., Zeilinger A. Quantum Experiments and Graphs: Multiparty States as coherent superpositions of Perfect Matchings // Phys. Rev. Lett. 119, 240403 (15 Dec. 2017). arXiv:1705.06646.
5. Яковлев Б. В. К обоснованию фундаментальных принципов квантовой механики и теории относительности (статья депонирована в ВИНИТИ № 27-B2017 от 03.03.2017).
6. Zurek W. H. Decoherence and the Transition From Quantum to Classical //Phys. Today 44 (10), 36 (1991).
7. Arrasmith A., Albrecht A., Zurek W. H. Decoherence of black hole superpositions//arXiv:1708.09353, 2017
8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика. - М.: Физматлит. - 2010.
R e f e r e n c e s
1. Aspect A., Grangier P. and Roger G. Experimental realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A new violation of Bell's inequalities // Phys. Rev. Lett. 49, 91 (1982).
2. Aspect A.. Bell's theorem: the naive view of an experimentalist, in Quantum [Un]speakables - From Bell to Quantum information, edited by R. A. Bertlmann and A. Zeilinger, Berlin 2002, Springer. P. 119-153.
3. Lemos G. B., Borish V., Cole G. D., Ramelow S., Lapkiewicz R., Zeilinger A. Quantum imaging with undetected photons // Nature V. 512, 2014. P. 409-412.
4. Krenn M., Gu X., Zeilinger A. Quantum Experiments and Graphs: Multiparty States as coherent superpositions of Perfect Matchings // Phys. Rev. Lett. 119, 240403 (15 Dec. 2017). arXiv:1705.06646.
5. YAkovlev B. V. K obosnovaniyu fundamental'nyh principov kvantovoj mekhaniki i teorii otnositel'nosti (stat'ya deponirovana v VINITI № 27-B2017 ot 03.03.2017).
6. Zurek W. H. Decoherence and the Transition From Quantum to Classical //Phys. Today 44 (10), 36 (1991).
7. Arrasmith A., Albrecht A., Zurek W. H. Decoherence of black hole superpositions//arXiv:1708.09353, 2017
8. Landau L. D., Lifshic E. M. Teoreticheskaya fizika. T. 5. Statisticheskaya fizika. - M.: Fizmatlit. - 2010.
^SHir^ir
