Квантовая кулоновская частица на плоскости Минковского Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Коми научного центра УрО РАН. № 1(37).

Сыктывкар, 2019.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 530.1, 514.84

DOI 10.19110/1994-5655-2019-1-5-8

Н.А. ГРОМОВ, И.О. КОСТЯКОВ, В.В. КУРАТОВ

КВАНТОВАЯ КУЛОНОВСКАЯ ЧАСТИЦА НА ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО

Физико-математический институт ФИЦ Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар

gromov@ipm.komisc.ru kostyakov@ipm.komisc.ru kuratov@ipm.komisc.ru

Аннотация

Рассмотрена задача о поведении нерелятивистской кулоновской квантовой частицы, у которой собственное пространство представляет собой плоскость Минковского с индефинитной метрикой. В отличие от стандартной задачи с евклидовой плоскостью, у кулоновской частицы, помимо дискретного спектра, имеются неустойчивые состояния, описывающие падение частицы на изотропные прямые, разделяющие области с положительной и отрицательной метрикой.

Ключевые слова:

плоскость Минковского, уравнение Шредингера, кулоновская частица

Abstract

The problem of Coulomb nonrelativistic quantum particle on Minkowski plane is discussed. The corresponding Schrödinger equation for eigenstates is obtained with the help of Beltrami-Laplas operator of pseudoeuclidean plane. The infinitely high potential barriers are placed on isotropic lines. In contrast to the standard problem on euclidean plane, where there is only continuous energy spectrum, in the case of Minkowski plane there are unstable states which describe particle collapse onto isotropic line cone.

Keywords:

Minkowski plane, Schrödinger equation, Coulomb particle

N.A. GROMOV, I.V. KOSTYAKOV, V.V. KURATOV

QUANTUM COULOMB PARTICLE ON MINKOWSKI PLANE

Institute of Physics and Mathematics, Federal Research Centre Komi Science Centre,

Ural Branch, RAS, Syktyvkar

Введение

Прогресс в нанофизике привел к созданию новых гиперболических метаматериалов, которые демонстрируют свойства металла в одном направлении и ведут себя подобно диэлектрику в ортогональном направлении [1-3]. Это стимулируют теоретические исследования поведения частиц в пространствах с нетрадиционной метрикой. В частности, в работе [4] рассмотрена простейшая задача об уровнях энергии нерелятивистской квантовой частицы, у которой собственное пространство представляет собой плоскость Минковского. В отличие от стандартной задачи с евклидовой плоскостью, где частица имеет только непрерывный спектр, в случае плоскости Минковского у нее дополнительно появляются дискретные уровни энергии. Аналогично у кулонов-ской частицы имеются неустойчивые состояния, описывающие падение частицы на изотропные прямые, образующие метрический конус.

Кулоновская частица на плоскости Минковского

Плоскость Минковского - двумерное про-

с псевдоевклидовой

странство нулевой кривизны

„2 _ J2 J2

метрикой s

— X1 X

в декартовых координа-

тах. Декартовы и полярные координаты в областях

I (х2 - х2 > 0, хл > 0) и II - х"2 > 0, хI < 0) связаны формулами (см. рисунок)

XI X2

±r ch ф ±r sh ф

//у2 _ /у2

x2

^ф — X2/X1,

> 0,

(1)

r

где r е [0, то), ф е R.

Ueff(r)

Рис.1. Полярные координаты {r, ф} точки M и координаты {p,x} точки N на плоскости Минковского. OM=r, ON=p. Fig.1. Polar coordinate {r, ф} of point M and coordinate {p, x} of point N on Minkowski plane.

В области I уравнение Шредингера с потенциалом U(r) = — а в полярных координатах имеет вид

Н2 id2 1 д 1 д2 \ т, ч

+ -- — "Г дФа) *(г>Ф)+

2m \dr2 r dr r2 дф

+U(r)^(r, ф) = EФ(г,ф).

(2)

Если ввести оператор импульса Ь = —Шдф, то это уравнение можно записать следующим образом

н2 д2 1 д L2 \ т, , + - — + I ^(г,Ф)+

2m \ дr2 r дr H2r2

+U(r)^(r, ф) = EЪ(г,ф).

ЬФ(ф) = MФ(ф), M е R,

ищем в виде

Щг,Ф) = ^Ф(Ф). r

(4)

(5)

Тогда из (3) для функции u(r) получаем уравнение

u"(r) +

' 2mE M2 + 4 2ma'

Н2

+

+

Н2 r

u(r) = 0. (6)

Таким образом, задача свелась к одномерному уравнению Шредингера с эффективным потенциалом

Ueff(r) = —

Н2 M2 + 4 а

2m r2

(7)

Она возникает в релятивистских уравнениях для ку-лоновского поля и разобрана, например, в работах [5,7].

Рис.2. Эффективный потенциал кулоновской частицы на плоскости Минковского.

Fig.2. Effective potential of Coulomb particle on Minkowski plane.

При малых r волновая функция u ведет себя

как

u(r) ~ л/r sin(M ln r + y), (8)

поскольку в этом случае уравнение принимает вид

M2 + 1

u''(r) + r2 4 u(r) = 0 (9)

с решениями в виде суперпозиции решений r 2 +iM и r 2-iM, где y есть фаза отражения от сингулярного конуса r = 0. Если y комплексное число, то в обычной одномерной задаче это означает наличие поглощения в точке r = 0 [5], а в нашей задаче может соответствовать прохождению частицы через изотропные прямые в области III, IV на рис. 1.

Дискретный спектр возможен при отрицательных значениях энергии E. Удобно ввести единицу " ma и без-

длины r0

2V-mE' параметр 9- hV-mE

(3) размерную переменную г = f. Тогда уравнение (6)

запишется в виде

Его решение, отвечающее вещественному собственному числу М эрмитового оператора углового момента

'(г) +

' M2 + 4 9 1

+ ^ — - и(г) = 0.

(10)

При больших г убывающее на бесконечности решение асимптотически ведет себя как экспонента и(г) ~ е- 2. Поэтому можно искать решение уравнения (10) в виде

и(г) = г 2 +iM e-2 f (г). Тогда для функции f (г) получаем уравнение

zf'' + (2iM +1 — г) f' — (9 + ^ + iM\f = 0

(11)

(12)

Его базисными решениями будут вырожденные гипергеометрические функции [6]

а г а(а + 1) г2

c 1Г c(c + 1) 2! Мг) = Ф (a, c, г) = г1~с¥ (a — c +1, 2 — с, г)

где c = 1 + 2iM, a = iM + 1 — 9.

Имеем три типа решений уравнения (10)

и\ = C\e~zsjl гшF (iM +2 — 9, 2iM +1,z

,г

r

2

г

2

r

r

U2 = C2e 2 ^z

z z-iMF (2 - iM - g, 1 - 2iM, z

i(z)

C1U1 + C2u2 = C (ui — e 2%1 u2)

(14)

Рассмотрим первое решение. Чтобы функция и2(г) стремилась к нулю при больших г, нужно, чтобы ряд (13) обрывался. Это возможно при а =

-и, и = 0,1,2 .

тогда собственные значения

E(n, M) = -

2Н2 (и + iM + 2)'

(15)

а волновая функция

гМф

Ф1(г,ф) = Cie" 2 ziM F (-n, 2M + 1,z)e

(16)

При вещественных M = 0 имеем неустойчивые рас-падные состояния, излучающие в сингулярный центр по интерпретации работы [8]. В нашем случае это соответствует поглощению изотропным конусом или прохождению из области I в области III, IV на рис. 1. При M = 0 получаем синглетные состояния с дискретным спектром, такие же, как на евклидовой плоскости при M = 0, что совершенно естественно, так как в этих случаях частица движется только в радиальном направлении. Однако, поскольку уравнение (2) инвариантно относительно замены r ^ -r, то частица переходит из области I в область II на рис. 1, в отличие от евклидовой плоскости, где она поглощается центром.

Нетрудно заметить, что первое и второе решения (14) связаны простой заменой M ^ —M, поэтому второе решение - это просто комплексное сопряжение первого u2(z) = u*(z).

Рассмотрим последнее решение u(z), представленное в виде суперпозиции первых двух (14). Теперь уже одновременно оборвать ряд у u1(z) и у u2(z) не удается. Посмотрим, как ведет себя это решение при больших и малых значениях аргумента. Когда аргумент z стремится к нулю, волновая функция ведет себя как [5]

zyziM - e-2iYz-M) —

/Z sin(M ln z + y)

— у/т эЦМ 1п т + 7 - М 1пт0). (17)

Фаза а = 7 — М 1п т0 зависит от энергии а = а(Е) и можно воспользоваться условием квантования [5]

а(Еп) - а(Ео) = пп. (18)

Асимптотика функции и2(г) и и2(г) при г ^ ж имеет вид [6]

.. ^ _9 Г(1 + 2гМ) их (г) — е2 г 9-

Г (2 + iM - g)

. . ж _0 Г(1 - 2iM) u2(z) — e2 z g-

Г (2 - iM - g)

(19)

тогда решение u(z) на бесконечности ведет себя как

u(r) — ui(r) - e 2iYu2(r)

~ e2 z

Г (1 + 2iM) Г ( i + iM - g)

e

- 2г7 Г (1 - 2iM)

Г (2 - iM - g)

.

(20)

Чтобы оно стремилось к нулю, нужно потребовать, как и в работе [5],

2* Г (1 - 2М) (21)

е Г (2 - гМ - д)' (21) Условие квантования (18) примет вид

7(Еп) - М 1п то(Еп) = = 7(Ео) - М 1пто(Ео) + пп

Г (1 + 2iM) Г ( 1 + iM - g)

или

где

f (En) = f (Eo) + пи,

f (E ) = -M ln g(E )+arg

Г (i - g(E) + iM)

(22)

(23)

(24)

Г(1 + 2гМ)

При больших отрицательных значениях энер гии (т.е. при малых т) и М = 0 функция /(Е) а -М 1пд(Е). Тогда для уровней энергии получаем как и в работе [5], формулу

En

2пп

= E0e M ,

(25)

совпадающую с уровнями энергии для свободной частицы [4]. Действительно, в этом случае эффективный потенциал приблизительно равен

гг ^ м2 + 4

^(т) , (26)

т.е. определяется только орбитальными силами. В работе [9] такие решения названы "режимом падения на горизонт событий".

Для стремящихся к нулю отрицательных энергий (больших значений т и д(Е)) функция /(Е) а -пд(Е) и уровни энергии даются формулой

En =

2Н2 (и + go)2

0,1, 2,

(27)

При g0 = i получаем формулу, описывающую уровни энергии кулоновской частицы на евклидовой плоскости. Таким образом, при удалении от изотропного конуса происходит сгущение уровней, точно так же, как и в обычном кулоновском потенциале при удалении от притягивающего центра. Действительно, в обоих случаях в этой области энергий ведущим является как раз кулоновский потенциал. Поскольку при больших значениях g(E) квантовые числа и тоже большие (и ^ g0), то для уровней энергии в этой области приблизительно можно записать

En =

ma

2К2

и

2 •

(28)

Эффективный кулоновский потенциал [10] на евклидовой плоскости (рис. 3)

тт ( ) * i - M2 Ueff(r) = - 2m -Г2-

(29)

только знаком при М2 отличается от потенциала (7) на плоскости Минковского (рис. 2).

2

ma

2

ma

и

u

a

r

g

Рис.3. Эффективный потенциал кулоновской частицы на евклидовой плоскости.

Fig.3. Effective potential of Coulomb particle on Euclidean plane.

Подобный эффект изменения знака возникает в релятивистских уравнениях Дирака и Клейна-Гор-донадля кулоновского потенциала [9], где для частиц с зарядом Z меньше некоторого критического заряда Z < ^кр реализуется евклидов случай, а для частиц с зарядом больше критического Z > ^кр - случай плоскости Минковского.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований УрО РАН, проект № 18-1-1-7.

Литература

1. Ремнев МА, Климов В.В. Метаповерхности: новый взгляд на уравнения Максвелла и новые методы управления светом // Успехи физических наук. 2018. Т. 188. №2. С. 169-205.

2. Smolyaninov I.I. Modelling of causality with metamaterials //J. Optics. 2013. Vol. 15. No. 2. 025101; arXiv:1210.5628.

3. Smolyaninov I.I. Hyperbolic metamaterials; arXiv:1510.07137.

4. Громов НА., Куратов В.В. Квантовая частица на плоскости Минковского // Известия Коми НЦ УрО РАН. 2018. № 3(35). С. 5-7.

5. Переломов А.М., Попов В.С. "Падение на центр" в квантовой механике // Теоретическая и математическая физика. 1970. Т. 4. № 1. С. 48-65.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Мир, 1973.

7. Gitman D.M., Tyutin I.V., Voronov B.L. Self-Adjoint Extensions in Quantum Mechanics: General Theory and Applications to Schrodinger and Dirac Equations with Singular Potentials // Progress in Mathematical Physics. Vol. 62, Birkhauser, New York, 2012. 511 p.

8. Шабад А.Е. Сингулярный центр как негравитационная черная дыра // Теоретическая и математическая физика. 2014. Т. 181. №3. С. 603-613.

9. Горбатенко М.В., Незнамов В.П., Попов Е.Ю. Некоторые аспекты квантовой механики движения частиц в статических центрально-

симметричных гравитационных полях // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Теоретическая и прикладная физика. 2015. №2. С. 21-31.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. (Серия: "Теоретическая физика". Т. III). М.: Наука, 1974. 752 с.

References

1. Remnev МА, Klimov V.V. Metapoverhnosti: novyiy vzglyad na uravneniya Maksvella i novyie metodyi upravleniya svetom [Metasur-faces: a new look at Maxwell's equations and new ways of light control] // Uspekhi Fizich-eskikh Nauk [Advances in Physics]. 2018. Vol. 188. №2. P. 169-205.

2. Smolyaninov I.I. Modelling of causality with metamaterials //J. Optics. 2013. Vol. 15. № 2. 025101; arXiv:1210.5628.

3. Smolyaninov I.I. Hyperbolic metamaterials; arXiv:1510.07137.

4. Gromov NA., Kuratov V.V. Quantum particle on Minkowski plane // Proc. of the Komi Sci. Centre, Ural Branch, RAS. 2018. № 3(35). P. 57.

5. Perelomov А.М., Popov V.S. "Padenie na tsentr" v kvantovoy mehanike [Collapse onto scattering centre in quantum mechanics] // Teor. matem. fizika [Theor. mathem. phys.]. 1970. Vol. 4. № 1. P. 48-65.

6. Betemmen G, Erdei A. Vysshiye transtsendent-nyye funktsii [Higher transcendental functions]. Vol. 1. Moscow: Mir, 1973.

7. Gitman D.M., Tyutin I.V., Voronov B.L. Self-Adjoint Extensions in Quantum Mechanics: General Theory and Applications to Schrodinger and Dirac Equations with Singular Potentials // Progress in Mathematical Physics. Vol. 62, Birkhauser, New York, 2012. 511 p.

8. Shabad А.Е. Singulyarniy tsentr kak negravi-tatsionnaya chernaya dyra [Singular center as non-gravitational black hole] // Theoretical and mathematical physics. 2014. Vol. 181. №3. P. 603-613.

9. Gorbatenko M.V.. Neznamov V.P.. Popov E.Yu. Nekotoryye aspekty kvantovoy mekhaniki dvizheniya chastits v staticheskikh tsentralno-simmetrichnykh gravitatsionnykh polyakh [Some aspects of quantum mechanics of particle motion in static central-symmetric gravitational fields] // Problems of atomic science and technology. Series: Theoretical and applied physics. 2015. №2. P. 21-31.

10. Landau L.D., Lifshitz Е.М. Kvantovaya mehanika. Nerelyativistskaya teoriya (Series: Theoreticcal physics. Vol. 3) [Quantum mechanics. Nonrelativistic theory]. (Series: "Theoretical physics"). Vol. 3. Moscow: Nauka, 1974. 752 p.

Статья поступила в редакцию 30.01.2019.