CC BY
9Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского Серия «Физико-математические науки». Том 23 (62). 2010 г. № 3. С. 13-16
УДК 539. 391+514. 764.2
КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА, ОПИСЫВАЮЩАЯ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ РАДИАЛЬНО РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ЗАМКНУТОЙ НУЛЬ-СТРУНЫ
В ПЛОСКОСТИ z = 0
Усачев А. С., Леляков А.П.
Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, Симферополь, Украина E-mail: lelyakov@tnu.crimea.ua, as213@mail.ru
В работе проведен анализ системы уравнений Эйнштейна и квадратичной формы, описывающих гравитационное поле радиально расширяющейся, замкнутой нуль-струны. Показана возможность существования большого числа вакуумных решений уравнений Эйнштейна, удовлетворяющих симметриям поставленной задачи.
Ключевые слова: нуль-струна, квадратичная форма, космология. ВВЕДЕНИЕ
Теория струн является одной из самых сложных и амбициозных теорий в современной теоретической и математической физике. Одним из направлений теории струн является исследование роли этих объектов в космологии. В рамках различных моделей Теории Великого Объединения космические струны проявляются как топологические дефекты (наряду с доменными стенками и монополями) и поэтому представляют собой устойчивые во времени образования. Наряду со струнами во Вселенной могут существовать и так называемые нуль-струны, которые реализуют предел нулевого натяжения в теории струн [1-4]. Положение струны задается линией в D -мерном пространстве-времени. Эта линия, замкнутая для замкнутых струн и имеет концы для открытых. Траекторией струны является двумерная мировая поверхность, которая математически описывается
функциями xm(т,а), где т и и-параметры на мировой поверхности нуль-струны.
Целью работы является поиск возможных внешних решений системы уравнений Эйнштейна, описывающей гравитационное поле радиально расширяющейся, замкнутой нуль-струны в плоскости z = 0 .
1. ПОСТРОЕНИЕ ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА И КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ДЛЯ НУЛЬ-СТРУНЫ
В цилиндрической системе координат функции xm (т,ст), определяющие траекторию движения замкнутой, радиально расширяющейся нуль-струны в плоскости z = 0, имеют следующий вид
x0 = t = т, x1 =р = т, x2 =в =ст, x3 = z = 0, т> 0. (1.1)
Отметим, что для траектории (1.1) замкнутая нуль струна в каждый момент времени
t полностью лежит в плоскости z = 0. Ненулевые компоненты тензора энергии-импульса [4] нуль-струны, для (1.1), имеют следующий вид
T00 = T01 = T11 =ф= S(P-t)S(z - z0) , (1.2)
где g = \gmn\, gmn; m,n = 0,1,2,3 метрический тензор внешнего пространства-времени, у = const. Поскольку для сохраняющейся траектории движения (1.1), все направления на гиперповерхностях z = const. эквивалентны, то метрические функции не зависят от координаты в, т.е.:
gmn = gmn Р, Z). (1.3)
Тогда, используя инвариантность квадратичной формы относительно инверсии в на -в получаем
g02 = g12 = g32 = 0. (1.4)
Так же можно заметить, что квадратичная форма пространства времени в решаемой задаче должна быть инвариантна относительно инверсии z ^ — z , тогда
gmn (t, P, z) = gmn (t, P, — z). (1.5)
Для (1.5) g30 = g31 = 0. (1.6)
Окончательно, используя свободу выбора систем координат в Общей Теории Относительности (ОТО), частично зафиксируем ее следующим образом
g10 = 0. (1.7)
Учитывая (1.3)-(1.7) квадратичная форма для решаемой задачи может быть представлена в виде
dS2 = e2v (dt)2 — A(dp)2 — B(def — e2j(dz)2 , (1.8)
где v, ju, A, B, функции переменных t, p, z .
Движение нуль струны в псевдоримановом пространстве-времени определяется следующей системой уравнений:
ха,гг +Г%хРт= 0, gprxP,Tx\T = 0, g^^Yo = 0, (1.9)
где ха т = дха/дт, ха о = дха/до . Расписывая уравнения (1.9) для (1.8) с учетом
того, что траектория (1.1) должна быть одним из частных решений уравнений движения, можно получить уравнения (связи) на метрические функции, при которых траектория движения нуль струны, задаваемая (1.1), остается неизменной:
e2v = A , v= v(n,z), где ц = t — p. (1.10)
Таким образом, условием того, что траектория движения замкнутой нуль-струны, задаваемая (1.1), будет сохраняться при движении в собственном гравитационном поле, есть выполнение равенств (1.10). Используя (1.10) для (1.8) получим
dS2 = e2v (dt2 — d p2) — Bde2 — e2jdz2. (1.11)
КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА, ОПИСЫВАЮЩАЯ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ...
2. СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ЭЙНШТЕЙНА
Из (1.2) видно, что все компоненты тензора энергии-импульса нуль-струны стремятся к бесконечности непосредственно на самой струне, а вне нее тождественно равны нулю. Анализ системы уравнений Эйнштейна построенной для квадратичной формы (1.11) позволил доопределить функциональную зависимость метрических функций искомой квадратичной формы, которая имеет вид
у= КП,2), в = В(П,2), Ц = Ц(П,2), при этом система уравнений Эйнштейна приводится к следующему виду:
ВП_и _и2 _
,п В Ит и,п 2 В 4В2
2 v ц + v _ц2_--JHL + ^niL = о (2 1)
",n ,n B "nn ",n 2 B 4B2
Bz 2 B2 Вц B.v. 2v +^ + 2 v--^-2ц v--+ = 0, (2.2)
,zz B z 2B2 ,zBB
BnL _ BAn _ Bv _ BzU
2B 4B2 2B 2B h-n ,z
V„ + v = 0, (2.3) 2
v,zz + 3v,2 /2 = 0, (2.4)
v,z (v2 + Bz / B) = 0. (2.5)
3. ВОЗМОЖНЫЕ ВНЕШНИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА
Выполнить уравнение (2.5) можно одним из следующих способов
vz = 0, v,z + B,z /B = 0, ^ v = v(n), B = B{n), (3.1)
v,z = 0, v,z + Bz /B ф 0 ^ v = v( n), B = B(n,z), (3.2)
v,z ф 0, v,z + B,z / B = 0 ^ v = v(n,z), B = ae~v. (3.3)
Для (3.1) уравнения (2.2)-(2.4) выполняются тождественно, и остается единственное уравнение (2.1), которое связывает между собой три искомые метрические функции v( n), ц( n,z), и B( n). Для случая (3.2) система уравнений Эйнштейна (2.1)-(2.4) сводится к единственному уравнению, связывающему метрические функции, которое имеет следующий вид:
2v,nUn + 2v nNn / N _ цг _ ц _ N^г / N = 0, где N = f е~ц dz. (3.4)
Для случая (3.3) система уравнений (2.1)-(2.4) может быть приведена к виду:
3о ,v n / 2а _ (v n _ ц, n ) + (о n / а _ v n )(о n / a+v n ) / 4 _ ц, n n_ a n n / 2а + v n n / 2 = 0
(3.5)
2 v,„ + 3 v2 _ 2 vц = 0, 3v z (v n _ a,n / a) + 2 (v лz _ vц ) = 0. (3.6) Интегрируя (3.6) получим
v^еЪу'2-ц = C (n) и ^е3'-2ц = САо? . (3.7)
^4 = 1, а C^
Сравнивая полученные уравнений видно, что C4 = 1, а C3 = о/г, поэтому
3v/2 - (3 9)
V ze — a e
Поскольку функции v(n, z) и ju(n, z) - четные по z, а функция vz - нечетная по переменной z, то в левой части равенства (3.11) стоит нечетная по z функция, а в правой - четная по z, что невозможно. Следовательно, случай (3.3) не может быть реализован.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе найдено общее выражение квадратичной формы, описывающей пространство-время радиально расширяющейся, замкнутой нуль-струны. Анализ системы уравнений Эйнштейна, построенной для искомой квадратичной формы, позволил доопределить функциональную зависимость функций метрического тензора внешнего пространства-времени. Показана возможность существования большого числа вакуумных гравитационных полей, удовлетворяющих симметриям поставленной задачи. Следующим этапом станет поиск критериев, позволяющих выделить из полученной совокупности единственное решение, которое описывает движение нуль-струны для исследуемой траектории.
Список литературы:
1. Peebles P.J.E. Principles of Physical Cosmology / Peebles P.J.E. - Princeton University Press, 1994. -850 p.
2. Линде А.Д. Физика элементарных частиц и космология / Линде А.Д - М.: Наука, 1990. - 275с.
3. Kibble T.W.B. Some implications of cosmological phase transitions / Kibble T.W.B. // Phys. Repts. -1980. -Vol.67. -p. 183-189.
4. Vilenkin A. Cosmic strings / Vilenkin A. // Phys. Rev. - 1981. - Vol. 26 D. - p. 2082-2093.
Леляков О.П. Квадратична форма, яка описуе гравггацшне поле замкнено!" нуль-струни, що радiально розширюеться в площиш z = 0 / Леляков О.П., Усачев О.С. // Вчеш записки Тавршського нацюнального ушверситету Гм. В.1. Вернадського. Серiя: Фiзико-математичнi науки. -2010. - Т. 23(62), №3. - С. 13-16.
У робота був проведений анатз квадратично! форми, метричних функцш та системи рiвнянь Ейнштейна, яю описують гравггацшне поле замкнено! нуль-струни, що радiально розширюеться у площиш z = 0 . Була показана можливГсть Гснування велико! юлькосл вакуумних розв'язкГв ргвнянь Ейнштейна, яю задовольняють симетрГям поставлено! задачГ Km4oei слова: нуль-струна, квадратична форма, космологш.
Lelyakov A.P. Quadratic form, describing gravitational field of the radially expanding closed null string / Lelyakov A.P., Usachyov A.S. // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vemadsky University. -Series: Physics and Mathematics Sciences. - 2010 - Vol. 23(62), No.3. - P. 13-16.
In this work we have analyzed the quadratic form, metric functions and Einstein's equations, describing gravitational filed of the radially expanding closed null-string in the flat z = 0 . There is also shown the existence of many gravitational vacuum fields, satisfying the symmetries of the problem. Keywords: null string, quadratic form, cosmology.
Поступила в редакцию 04.10.2010 г.
