CC BY
9Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского Серия «Физико-математические науки». Том 23 (62). 2010 г. № 1. Ч. I. С. 11-19
УДК 539. 391+514. 764.2
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ, ПОРОЖДАЕМОГО ЗАМКНУТОЙ НУЛЬ СТРУНОЙ ПОСТОЯННОГО
РАДИУСА Леляков А.П.
Таврический национальный университет им. В.И.Вернадского, Симферополь, Украина
E-mail: lelyakovCa tnu. crimea. ua
В работе найдены условия которым должны удовлетворять метрические функции, описывающие гравитационное поле замкнутой нуль-струны постоянного (неизменного со временем) радиуса, которая движется вдоль оси z ив каждый момент времени полностью лежит в плоскости ортогональной этой оси.
Ключевые слова: нуль-струна, граничные условия, космология.
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемая работа посвящена дальнейшему развитию одного из фундаментальных направлений исследования струнной космологии, а именно исследованию гравитационного поля порождаемого струной. Основной трудностью, с которой приходится сталкиваться при решении такого рода задач является сингулярность компонент тензора энергии импульса для струны (нуль-струны), причиной возникновения которой есть устоявшийся математический формализм использующийся в настоящее время для описании космических струн. Все дело в том, что по существующим в литературе оценкам [1] радиус поперечного сечения струны ps ~ 10-29 см. Поэтому для их описании используется вполне разумное
приближение, в котором положение струны задается линией в D -мерном пространстве времени, когда траекторией струны является двумерная мировая поверхность, а действие для струны выбирается пропорциональным площади этой мировой поверхности [2]. Именно отказ от трех мерности или "размазанности" струны и является причиной возникновения сингулярности в струнном тензоре энергии импульса. При этом простой переход в компонентах тензора энергии импульса от дельта функций к дельта-функционным последовательностям, в чем собственно и могла бы заключаться процедура "размазывания", может не дать желаемого результата так как невозможно учесть возможное появления слагаемых (множителей), которые при стягивании этого "размазанного" распределения в одномерный объект обращаются в ноль (константу).
Поскольку вне струны, все компоненты струнного тензора энергии импульса тождественно равны нулю [3], а отличны от нуля (стремятся к бесконечности) непосредственно на струне, то задачу о поиске гравитационного поля порождаемого нуль-струной удобно разбить на две: "внешнюю", для которой правые части
уравнений Эйнштейна равны нулю, и "внутреннюю", с ненулевой правой частью уравнений Эйнштейна, анализу которой и посвящена эта робота. Анализ "внутренней" задачи должен дать условия, которым удовлетворяют метрические функции "внешней" задачи на струне.
В качестве источника поля, при анализе "внутренней" задачи, удобно рассмотреть некоторое "хорошо определенное" "размазанное" распределение, например вещественное безмассовое скалярное поле (поскольку в решаемой задаче мы рассматриваем скалярный нуль объект) а затем стянуть его в струну требуемой конфигурации, получив при этом искомые условия на функции "внешней" задачи, требуя при этом, чтобы компоненты тензора энергии импульса скалярного поля в пределе такого сжатия асимптотически совпали с компонентами нуль струнного тензора энергии-импульса [3].
1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА ДЛЯ "ВНУТРЕННЕЙ" ЗАДАЧИ
В цилиндрической системе координат (x0 =t, xt=p, X =в, X = z) функции xm (т, <) (m = 0,1,2,3 ) определяющие траекторию движения замкнутой нуль-
струны постоянного (неизменного со временем) радиуса R, которая движется вдоль оси z ив каждый момент времени полностью лежит в плоскости, ортогональной этой оси, имеют следующий вид:
t = т, р = R = const., в =<, z = ±т,
где знак ± соответствует выбору направления движения, т и < параметры на мировой поверхности нуль-струны.
Используя результаты робот [4,5], квадратичную форму для "внутренней" задачи можно представить в следующем виде
dS2 = e2v ((dt)2 - (dz)2) - A(dр)2 - B(def, (1)
где v = v(q), A = A(q, р), B = B(q, р), q = t - z .
Стягивая некоторое "размазанное" распределение (размерность пространства 1+3) в струну (размерность пространства 1+1) ранг матрицы метрического тензора "размазанной" ("внутренней") задачи в каждой точке на струне, вырождается до двух. Следовательно, ранг матрицы искомого "внешнего" решения в каждой точке на струне также должен быть равен двум. Тогда из (1) следует, что на струне (т.е. при q = 0, р = R)
e2v Ф 0, A = 0, B = 0 . (2)
Тензор энергии импульса для вещественного безмасового скалярного поля имеет следующий вид [1]
TaP=V,a(P,P- 2SaPL , (3)
где L = (а=д(да, (( - потенциал скалярного поля, индексы
а,принимают значения 0,1,2,3.
Для того чтобы обеспечить самосогласованность уравнений Эйнштейна для тензора (3), будем требовать
ТаР = ТаР (Ч, Р) ^ ф = Р) • (4)
Система уравнений Эйнштейна для (1), (3) может быть представлена в следующем виде
д (Ла Вм Л
дд
а + а V А в у
+ 2у
( А
а
а + Ва Л
В
(
( А Л Ад
V А У
+
( в Л
V В У
2Л
= )2, (5)
д( ВрЛ 1 ( ВрЛ
др
V В У
2
V В У
+ -
АР Вр( 1 1
4 В V А В
-+-\ = х(р,р)
В
4в
р( I
А
В
хМ2>
д( В рЛ 1 В р ( Ад Вд Л
дд
V В У
+ -
2 В
,а А
В
=2хФаФ
(6)
(7)
(8)
Сравнивая систему уравнений Эйнштейна для замкнутой нуль-струны, полученной в работе [4] с системой (5) - (8) для скалярного поля, можно сделать вывод о том, что при стягивании скалярного поля в струну требуемой конфигурации
^ 0. (9)
(фр)2 ^ 0, (фд )2
2. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ЭЙНШТЕЙНА ДЛЯ "ВНУТРЕННЕЙ" ЗАДАЧИ
Поскольку ковариантная производная от компонент тензора Эйнштейна равна нулю Gв.p= 0, где Gв тензор Эйнштейна, точка с запятой обозначает ковариантную производную. То, требуя выполнения равенства
Тв = 0
Та в
для (3) , получим уравнение, которому должен удовлетворять потенциал скалярного поля
(10)
( 0
Расписывая (10) для квадратичной формы (1) и учитывая (4), получаем
фРР =
1 ( А.
2
В
ф
,р •
(11)
Поскольку, в общем случае для "размазанного" распределения скалярного поля ф р 0, то первый интеграл уравнения (11) есть
2
2
2
A = п((р)2, (12)
где дальнейший анализ показывает, что г/ = const.
Отметим, что из (7), при условии р р Ф 0, сразу же следует
Ар Ф 0, В р Ф 0, A Ф B. (13)
Интегрируя совместно уравнения (6), (8) можно получить связь метрических функций A(q, р) и B(q, р) с потенциалом скалярного поля, а именно
B(q, р) = Р{q) exp(-хр2 ) , (14)
A(q, р) = в(q)(Р,р )2 exp(-( ), (15)
где P(q) "константа" интегрирования. Подставляя функции (14), (15) в (7) получим уравнение, которое содержит только потенциал скалярного поля и его производные по переменной р
2
,р
(рр,рр -х(р,р)2 р2) 1 -(р,р)2 +(р,р)2 = 0.
2
(16)
Поскольку согласно (9) при стягивании скалярного поля в нуль-струну р р ^ 0 , то будем искать решение (16) в случае
(Р,р)2 << 1- (17)
Тогда, пренебрегая слагаемыми порядка (р р ) , перепишем уравнение (16) в виде
РРрр-Хрр)2 Р2 +(р,р)2 = 0. (18)
Отметим, что уравнение (18), описывает распределение потенциала скалярного поля, которое уже сконцентрировано внутри тонкого кольца для которого переменные q и р изменяются в пределах
q е[-Лq, +Лq], ре [К -Ар, R + Ар], (19)
где Лq и Ар малые положительные константы, определяющие "толщину" кольца, т.е.
Лq << 1, Лр<< 1, (20)
а в пределе сжатия такого "тонкого" кольца в одномерный объект (нуль-струну)
Лq ^ 0, Лр^ 0. (21)
Первый интеграл уравнения (18) есть
Р.р=^ехр р2 ], (22)
где Л(д) "константа" интегрирования. Интегрируя (22), находим
ехр р2 ^ = -хКч)р, (23)
где а^) "константа" интегрирования и, кроме того, из (23)
а(я) -хЩ)р> 0. (24) Логарифмируя левую и правую часть полученного равенства (23), получаем
р2 =--1п (а^)-хШр) , (25) X
или
ln
f 1 ^
(a(q) -Ä(q)p)2 х
(26)
Р(Я, р) = Из (24), (26)
0 <а^) -хКч)р< 1, (27)
а потенциал Р скалярного поля принимает значения от
Р = 0, при а^) - хКч)р = 1, (28)
и до
Р , при а- хЛ^)р ^ 0 . (29)
Отметим так же, что функции а^) и Л(д) должны быть симметричны относительно инверсии q на —q, т.е.
а(я) = а(-q), Л(я) = МтЧ) ■ (30)
Дифференцируя (26) по переменным q и р, получаем
^ а,д - хЛдр
хр (а(q) - хл(q)р)' Ля)_1
Р (а(д) - хЛ(я)р) Рассмотрим поведение функций (31), (32) на границе (р ^ 0 ). Согласно (9), (28), (32)
,2 .. (Л2{4) 1 ^ ^л2(„) ^
рл =-—,/? ,, (31)
р,р = —^-^Т^ • (32)
lim (р Л = lim
p^0v ' р^О
= lim
р^О
A2(q)
V Р2 У
^ 0 • (33)
v р (a(q) -хМя)р) j
Удовлетворить (33), можно только в том случае, если
lim (Ä(q)) ^ 0, (34)
р^О 7
тогда из (28), с учетом (34)
lim (a(q)) ^ 1. (35)
р^О 7
Следствием (34) есть зависимость потенциала скалярного поля на границе (р ^ 0 ) только от переменной q, т.е.
lim (p(p, q)) = p(q).
Учитывая (14), (15), (26), (31), (32), (34), (35) представим уравнение (5) в следующем виде
(36)
д
iß Л лГя\
dq
ß
V г J
1
+ — 2
yß J
- 2v
ß.
q
q
ß
-2
2v -
,q
ß.
\
q
ß
a a
a
a
(а а /а) 21п(а(д)) (37)
Согласно (14) функция в(а) положительно определенная, симметричная функция, стремящаяся к нулю на границе (ф ^ 0), что позволяет выбрать следующую калибровку (т.е. зафиксировать связь между функциями в(а) и а(д))
в (а) = Г1п2 (а(д)),
где у положительная константа.
Интегрируя (37) для (38), получаем
(38)
a
,q
ce
„2v
(39)
(40)
a a(q)(1 + ln(a(q)))3/4 ' где С = const. Для дальнейшего интегрирования (39) удобно выбрать
elv = a(q)j(q).
Согласно (1), (30) функция j(q) есть положительно определенная, симметричная относительно инверсии q на —q функция, т.е.
j(q) = j(—q) •
Интегрируя (39) для (40), получаем
ln(a(q)) = -1 + [c1 + 4еjMq)dq| ,
N4/7
(41)
(42)
\4/7
^ 1.
(43)
7
где c1 = const.
Как следует из (35), (42) на границе (ф ^ 0)
lim ^c1 + 4-1 j(q)dq
Из (41), (43) функция Jj(q)dq (первообразная функции j(q)) есть нечетная
ограниченная функция, которая при С1 = 0, С = 7/4, изменяется в пределах от -1 до +1 т.е., для (43)
(44)
или используя (19)
lim J ju(q)dq = ±1,
lim J^(q)dq = ±1.
(45)
Согласно (44), (45) в качестве функции J ju(q)dq, может быть выбрана, например, функция
J ju(q)dq = tanh (gq), (46)
где g = const., причем в соответствии с (20), (45)
g>> 1, (47)
а при сжатии скалярного поля в одномерный объект (струну), согласно (21), (45), (46)
g — w, (48)
J/u(q)dq — sign ( q), (49)
Дифференцируя (46) по переменной q находим
g
cosh2 (gq)
Подставляя (50) в (42), находим
a(q) = exp {-1 + tanh47 [gq)}. (51)
Следствием (21), (40), (48), (50), (51) есть то, что при сжатии скалярного поля в одномерный объект (струну)
[ го при q=0, I 0 при q Ф 0.
Mq) = —г^т. (50)
lim e2v = lim
С р ^
+ tanh47 (gq)}-g-
cosh (gq)
exp{-1 + tanh47 (gq)}
(52)
g—w g—wy
Можно привести еще один пример функции J ju(q)dq, который при
c1 = 0, c = 7/2п, (53)
также выполняет асимптотическое равенство (43)
J ju(q)dq = arctan |, (54)
где £ = const., причем в соответствии с (20), (45)
£ << 1, (55)
а при сжатии скалярного поля в одномерный объект (струну), согласно (21), (45), (54)
£ —> 0, (56)
J/u(q)dq — sign(q) . (57)
Из (54)
Mq) = -г£т. (58)
q +£
Подставляя (53), (54) в (42), находим
a(q) = exp
-1 +
2 (q
— arctan I —
\П ysyj
Л4/7
(59)
Опять таки получаем, что для (21), (53), (544), (59) при сжатии скалярного поля в одномерный объект (струну)
(
lim e2v = lim
£^0 £^0
exp
f
-1 +
2 I q
— arctan I — n
л 47
Л
2 2 q + s
w при q=0, 0 при q ^ 0.
(60)
ВЫВОДЫ
Анализ системы уравнений Эйнштейна для замкнутой нуль-струны постоянного (неизменного во времени) радиуса, которая движется вдоль оси г и в каждый момент времени полностью лежит в плоскости ортогональной этой оси, проведенный в работах [4, 5], приводит к большому числу вакуумных решений уравнений Эйнштейна удовлетворяющих симметриям поставленной задачи, однако, неясными оставались критерии, позволяющие выбрать из этой совокупности решение, описывающее гравитационное поле нуль-струны, движущейся по траектории (2). В этой работе, выбрав в качестве источника гравитации вещественное безмассовое скалярное поле и используя выражение для квадратичной формы и функциональную зависимость метрических функций, найденную в [4], мы нашли граничные условия для метрических функций квадратичной формы (1), описывающие гравитационное поле нуль-струны, движущейся по траектории (2).
В заключении хочу выразить свою глубокую благодарность Арифову Л.Я. и Рощупкину С.Н. за направляющие дискуссии и неизменное внимание, проявляемое к моим работам.
Список литературы
1. Линде А.Д. Физика элементарных частиц и космология / А.Д. Линде. - М., Наука, 1990. -275 с.
2. Peebles P.S.E. Ppinciples of physical cosmology / P.S.E. Peebles. - Prinston University Press, 1994 p.
3. Vilenkin A. Cosmic strings and other topological defects / A. Vilenkin, E.P.S. Shellard - Cambridge Univ. Press, 1994. - 534 p.
4. Леляков А.П. Внешние решения уравнений Эйнштейна для замкнутой нуль-струны постоянного радиуса / А.П. Леляков // Ученые записки ТНУ им. В.И. Вернадского. Серия "Физика" - 2007. - Том 20(59). - c. 14 - 20.
5. Леляков А.П. Анализ системы уравнений Эйнштейна для замкнутой нуль-струны постоянного радиуса: материалы 4 Всеукраинской научно-технической конференции "БФФХ 2008" / А.П. Леляков - "СевНТУ", 2008 - с. 25-28.
£
Леляков О.П. Граничш умови для гравггацшного поля яке породжуе замкнена нуль-струна постшного радiуса / О.П. Леляков // Вчеш записки Таврiйського национального унiверситету iм. В.1. Вернадського. Серiя: Фiзико-математичнi науки. - 2010. - Т. 23(62), № 1. Ч. I. - С. 11-19. У робот! знайдеш умови яким повинш задовольняти метричш функцп що описують гравтцшне поле замкнено!' нуль-струни постшного (незмшного з часом) радiуса, що прямуе уздовж осi z й у кожен момент часу цшком знаходиться у площиш яка ортогональна u,iei осi. Ключовi слова: нуль-струна, граничш умови, космолопя.
Lelyakov A.P. Boundary conditions for the gravitational field produced by a closed null-string, of constant radius / A.P. Lelyakov // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vernadsky University. - Series: Physics and Mathematics Sciences. - 2010. - Vol. 23(62), No. 1. P. I. - P. 11-19.
In this article we have received the boundary conditions for metric functions describing a gravitational field closed null-string of constant radius which goes along an axis z and at each moment of time completely lays in a plane orthogonal this axis.
Keywords: null string, boundary conditions, cosmology.
Поступила в редакцию 24.11.2009 г.
