CC BY
7Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского Серия «Физико-математические науки». Том 24 (63). 2011 г. № 2. С. 3-12
УДК 539. 391+514. 764.2
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ ДЛЯ КОЛЛАПСИРУЮЩЕЙ ЗАМКНУТОЙ НУЛЬ-СТРУНЫ Леляков А.П., Карпенко А. С.
Таврический национальный университет имени В.И. Вернадского, Симферополь, Украина E-mail: an.sergarfa gmail. com
В работе предложен общий вид распределения потенциала вещественного безмассового скалярного поля для «размазанной» нуль-струны коллапсирующей в плоскости z = 0 . Найдены условия на потенциал скалярного поля, при которых в пределе сжатия в одномерный объект компоненты тензора энергии-импульса скалярного поля асимптотически совпадают с компонентами тензора энергии-импульса замкнутой нуль-струны движущейся по той же траектории. Ключевые слова: нуль-струна, скалярное поле, космология.
ВВЕДЕНИЕ
Одно из направлений теории струн состоит в исследовании роли одномерно-протяженных объектов в космологии. Калибровочные теории Великого объединения, основанные на идее спонтанного нарушения симметрии, предсказывают возможность образования в процессе фазовых переходов в ранней Вселенной одномерных топологических дефектов получивших название космических струн [1]. Нуль-струны реализуют предел нулевого натяжения в теории струн. Интерес к космическим струнам, а также к другим [2] топологическим решениям: монополи, мембраны, ежи..., обусловлен той ролью, которую топологические дефекты, возможно, играют в процессе эволюции Вселенной. Например струнные механизмы образования первичных неоднородностей плотности вещества в ранней Вселенной, проблема черной материи, инфляционный сценарий с участием струн. Известно, что по своим физическим свойствам эти объекты отличаются от обычной материи [1-3]. Целью работы является:
• Построение общего выражения функции распределения потенциала вещественного безмассового скалярного поля для «размазанной» нуль-струны коллапсирующей в плоскости z = 0 .
• Поиск условий на потенциал скалярного поля, при которых, в пределе сжатия в одномерный объект, компоненты тензора энергии-импульса скалярного поля асимптотически совпадают с компонентами тензора энергии-импульса замкнутой нуль-струны движущейся по той же траектории.
Компоненты тензора энергии-импульса для нуль-струны имеют вид [4]:
TmnJ-g = yf ddoxmTxnT54(xl - xl (т,a)), (1)
где индексы m, n, l принимают значения 0,1,2,3, функции xm = xm (т,о) определяют траекторию движения нуль-струны, т и о параметры на мировой поверхности нуль-струны xmT = dxm /дт, g = |gmn|, gmn - метрический тензор
внешнего пространства, у = const. В цилиндрической системе координат x0 = t, x1 = р, x2 = 6, x3 = z, функции xm(т,о), определяющие траекторию движения замкнутой нуль-струны, коллапсирующей в плоскости z = 0, имеют следующий вид:
t = Т, р = —т, 6 = о, z = 0, ге(-®,0]. (2)
Используя симметрии траектории (2), общее выражение квадратичной формы, описывающей рассматриваемое движение нуль-струны, может быть представлено в виде
dS2 = elV (dt )2 — A(dp)2 — B(d6)2 — e2j (dz )2, (3)
где V, j, A, B функции переменных t, р, z . Поскольку траектория (2) должна быть одним из решений уравнений движения нуль-струны, то можно получить дополнительные условия на метрические функции, при которых траектория движения нуль-струны, задаваемое равенствами (2), остается неизменной. Движение нуль-струны в псевдоримановом пространстве определяется следующей системой уравнений [3]:
xm„+rmxfrxjr= 0, (4)
gmxmrx?r= 0, gm„xmTxno= 0, (5)
где rpq - символы Кристоффеля. Первое уравнение из (5) для (2) имеет вид e2V — A = 0, откуда
e2V = A, (6)
а оставшиеся уравнения (4), (5) для (2), (3) при улови (6), приводятся к единственному уравнению V —Vt = 0, откуда
v = v(n, z), (7)
где г/ = t + р. Анализ системы уравнений Эйнштейна для квадратичной формы (3), при условиях (6), (7), позволяет доопределить функциональную зависимость метрических функций, а именно:
U = j(n, z), B = B(n, z), (8)
при этом сама система Эйнштейна может быть представлена в виде
Вп
V
2 В
(Цп,У
+
Г ^ 12ВУ
(
+ 2у,
ч 2В У
2(-ц
= ХУ-
4в
В
V „+-
2В
■ +
V )2
Г в^ ]
12 в у
^ (Ц,У= 0 =
^ + 2( -1ВП- Впу -^ V -2ц V = 0 В + п 2 В В В ( В Ц 2Ц( 0:
В_
2ц
( + 3(, )2 - 2(гц,)= 0, V )2 +
-2(.
В
= 0.
(9)
(10)
(11) (12)
(13)
где V, ц, В функции переменных 7], г .
В дальнейшем, используя результат работы [5], будем рассматривать компоненты нуль-струнного тензора энергии-импульса как предел «размазанного» распределения, в качестве которого выберем вещественное безмассовое скалярное поле, поскольку в решаемой задаче мы рассматриваем скалярный нуль-объект.
1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА ДЛЯ «РАЗМАЗАННОЙ» ЗАДАЧИ
Тензор энергии-импульса для вещественного безмассового скалярного поля имеет следующий вид
е" 2В
Для (6)-(8) получаем следующее выражение квадратичной формы (3)
dS2 = е2( ((Я)2 - (ф)2)- В{ёв)2 - е2ц (ё,)2,
1
Тар = Р,аР, в - Т>
2
(14)
где L = 8ав Р аР в, (р а =дф/ да, Р-потенциал скалярного поля, индексы а, в
принимают значения 0,1,2,3. Для само-согласованности уравнений Эйнштейна построенных для (13), (14), будем требовать
Тав = Тав г) ^ Р = Р(П .
а
(15)
Расписывая (14) для (13), (15), находим
Т00 = (Р,Л
т = -
1 22
Ве
? + £_
п 2
(Р, ^ ти = (Р,Л
2е
2((-ц)
Р, )2
(Р, ^ т33 = 1 (Р, ^ т01 ^Р^ т03
2 V"' Ч..7/ '-03= Т13 =Р( . (16)
Система уравнений Эйнштейна для (13), (16) может быть представлена в следующем виде
Вп Г В Л2 ( )2
= х(Рп), (17)
2(Ц + 2( -(ц,п)2
пп
2В
+
_п
2В
2
2
2v.„ + 2% + 2(vz)2 - 2^1 - - 2^fa -v,)=-%(vz)2, (18)
v 2 b j
- B nz B z B B B z
2B n 2B 2B 2B ■z 2B n ,n ■z
V + 3(v z)2 - = - ■X)2, Vz)2 + 2v,z ^ = Xfa)2. (20)
Рассмотрим полученную систему уравнений (17)-(20) для распределения скалярного поля, сконцентрированного внутри "тонного" кольца, для которого переменные n и z изменяются в пределах
ne[-An; An], z e[-Az; Az], (21)
где положительные константы An и Az определяют "толщину" кольца
An << 1, Az << 1, (22)
и в пределе сжатия такого "тонкого" кольца в одномерный объект (нуль-струну)
An = 0, Az = 0. (23)
Тогда пространство-время, в котором движется такая "размазанная" нуль-струна и для которого переменные n и z изменяются в пределах
П е (- , z е (- , (24)
условно можно разбить на три области:
• область I, для которой (рис.1)
П е (-ro;-An)o>(An;+ro), z е(-го;+го), (25)
• область II, для которой (рис.1)
ne[-An; An], z e(-ro;-Az)o>(Az;+ro), (26)
• область III, для которой (рис.1)
z е [- Az; Az], ne[-An; An]. (27)
Рис. 1. На рисунке, схематично, в переменных z, п, представлено сечение
пространства плоскостью 6 = const, а также условное разбиение пространства на три области определяемых (25)-(27). Область III выделена черным цветом.
Поскольку при стягивании скалярного поля в струну система уравнений (17)-(20) для скалярного поля должна асимптотически стремиться к системе (9)-(12) для замкнутой нуль-струны, то в области I, II (рис.1)
р = 0, р,г = 0, (ßn= 0, (28)
а в области III, в общем случае,
р * 0, p,z * 0, рп * 0. (29)
Сравнивая систему уравнений (9)-(12) для замкнутой нуль-струны с системой (17)-(20), можно сделать вывод о том, что при стягивании скалярного поля в струну, то есть при An = 0, Az = 0
(p,z )2 = 0, (p,n)2 , (р,(п) = 0. (30)
В области I, согласно (28), при любом фиксированном значении переменной n = n0 е (- »;—An)u (An;+») и для всех значений z е (—»;+»), потенциал скалярного поля
(По, z ) = 0, (31)
если же рассматривать распределение потенциала скалярного поля при любом фиксированном значении переменной n = По е[-Az; Az], (области II и III), то в случае, когда переменная z е(-»;- Az ) (Az ;+») (область II), должно быть выполнено
р(По, z ) = 0, (32)
а при z е [- Az; Az] (область III)
р(По, z)* 0. (33)
2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ ДЛЯ «РАЗМАЗАННОЙ» НУЛЬ-СТРУНЫ
Для полученных условий (31)-(33) распределение потенциала скалярного поля удобно представить в виде
p(z, n) = - ln(a(n) ■+ Л(п)/ (z)), (34)
где функции а(п) и Л(п) симметричны относительно инверсии n на — П :
а(п) = а(- п), Л(п) = Л(- п) ■ (35)
Функция а(п)+Л(п)/ (z ) ограничена
0 <a(n)+A(n)/(z)< 1, (36)
а потенциал скалярного поля (34), в области (36), может принимать значения от
р = 0, при а(п) + Л(п)/ (z) = 1, (37)
и до
р^», при а(п) + Л(п)/ (z 0, (38)
причем в области I, в соответствии с (31) и (37)
а(ц) = 1, Л(п) = 0. (39)
Поскольку, согласно (32), потенциал скалярного поля в области II равен нулю, то при rj е[—An; Arj] и любом фиксированном значении переменной z = z0 е (— ж;—A(Az;+ro), должно быть выполнено
a(n) + A(n)/(z0 ) = 1. (40)
В области III, р Ф 0, поэтому для тех же значений П е [— An; Arj] и при z = z0 е [— Az; Az]
0 <a{ri) + X{ri)f{z0 )< 1. (41)
Из (40) следует, что при всех z е (— ro;—Az)^(Az;+ro) значения функции f (z) постоянны
f (z ) = f = const, (42)
причем f0 Ф 0, а функции а(г/) и A,(r/) связаны между собой
Л{Л)=(1 — a(rj))/ f0. (43)
Подставляя (43) в (42) получаем, что в области III (рф 0)
0 <a(n)+(1 — a(rj))f(z)/f < 1, (44)
тогда из (38), (44) следует, что при р ^ ж
cc(rj)^ 0, f (z0. (45)
Таким образом, в выражении для потенциала скалярного поля (34), функции а(г/) и f (z) ограниченные и для всех z е(— ж;+ж) и г/ е(— ж;+ж) принимают значения
0 <а{т1)< 1, 0 < f(z)< f0. (46)
Поведение функции f (z) при z е(—ж;—Az)o>(Az;+ro) определяется равенством (42), при z ^ 0, согласно (45)
f (z0. (47)
Дифференцируя (34), с учетом (43), по переменным z и Г] получаем
р =__an(1 — f (z) / f0) р =__(1 -а(у)). /,/. f (48)
аМ+(1 — aM)f(z)/ f„- р = а(п)+(1 — a(n))f (z)/ f„ (48)
Подставляя (39), (40), (41) в (48) получаем, что в области I, II: р z = 0, р = 0, что
согласуется с (28). В области III (рис.1), при z ^ 0, с учетом (47), первое равенство (48) можно представить в виде
р,п=— а, /а(п), (49)
Откуда, согласно (30), при An = 0, Az = 0
|ап /а(п)|^ж. (50)
Второе равенство из (48) при z ^ 0, можно представить в виде
V =-/г / f (z), (51)
откуда при Az = 0, A, = 0 , согласно (30)
fz / f (z) = 0. (52)
С другой стороны, рассматривая равенства (48) в некоторой малой окрестности окружности n = 0, z = 0, то есть внутри области, в которой сконцентрировано
f (z )
скалярное поле и для которой, в соответствии с (37), (38) —— << 1 и а(п)<< 1,
f0
можно записать
а/д(пУ f z / f (z) „„
VzVn = -——Tvy-, (53)
|1 + -fH + f0 an\
l f0 awx f (z))
тогда, согласно (37), при Az = 0, An = 0 , должно быть выполнено
(аД г )/(a(n)f (z )) = 0. (54)
В качестве примера, можно привести следующий выбор функций а(г)) и f (z), удовлетворяющих найденным условиям
а(п)=exp{"i7W } • (55)
- Г 1 ^
f (z ) = f0exP^-^
1 - exp<! - -
2
J )
(56)
где ^ и С, определят размер «толщину» кольца, внутри которого сконцентрировано скалярное поле, соответственно, по переменным г и п, а именно, как следует из (55), (56), при
Аг ^ 0, , Ап^ 0, д^ю, (57)
а положительные константы 8 и ц обеспечивают выполнение условий (47), (50), (52), при г = 0, п = 0, Аг = 0, Ап = 0, а именно, при
Аг << 1, 8 << 1, Ап << 1, ц>> 1, (58)
а при дальнейшем сжатии в одномерный объект (нуль-струну), то есть при Аг = 0,
Ап = 0
8 = 0 , ц^ю . (61)
Используя (43), (55), (56) для (34) получаем выражение одного из возможных распределений потенциала безмассового вещественного скалярного поля, компоненты тензора энергии-импульса, для которого в пределе сжатия в одномерный объект асимптотически совпадают с компонентами тензора энергии-импульса замкнутой нуль-струны.
На рис.2 представлено распределение функции а(п) + (1 -а(ц))/(2)/ /0 в
области г/ е [-10;10], г е [-10;10], для функций а(п), /(г), заданных равенствами (55), (56), которые соответствуют выбору значений констант а)^ = д = ^ = 1; б)^ = д = ¡и = 4. Из представленного рисунка видно, что с увеличением значений констант д, область, в которой функция а(п)+(1 -а(Щ)/(2)//0 отлична от
единицы (т.е. область, в которой сконцентрировано скалярное поле и потенциал скалярного поля, отличен от нуля) сжимается, чему соответствует уменьшение «толщины» кольца, в котором сконцентрировано скалярное поле.
На рис.3-5, представлены различные пространственно-временные сечения (по переменным ^, р, 0) для замкнутой «размазанной» нуль-струны коллапсирующей
в плоскости г = 0 в области г] е [-10;10], г е [-10;10], для функций а(п), /(г), заданных равенствами (55), (56). Отметим, что в представленных рис.3-5, черным цветом выделена область, в которой р = 0 .
Рис. 2. Распределение функции а(п) + (1 -а(п))/(г)//0, где, п е [-10;10], г е [-10;10] при: а)% = д = м = 1, б)^ = д = ^ = 4.
Рис. 3. На рисунках для е = 0.01, £ = 1.3, ¡л = 4, д = 1.3, г = 0.01, представлены распределения потенциала скалярного поля, задаваемого (34), (55), (56) по переменной I: а) I = -15 , б) I = -10 , в) I = -5 .
Из приведенных рис.3-5 непосредственно следует, что с увеличением значений переменной t (рис.3) радиус «размазанной» нуль-струны уменьшается (нуль-струна коллапсирует в плоскости г = 0), а при увеличении значений констант %, д (рис.4,5) область, в которой потенциал скалярного поля отличен от нуля, сжимается, т.е. уменьшается «толщина» кольца, в котором сконцентрировано скалярное поле.
Л
а)
б)
в)
Рис. 4. На рисунках для е = 0.01, /л = 4, д = 1.3, г = 0.01, t = -10 представлены распределения потенциала скалярного поля, задаваемого (34), (55), (56) по переменной р : а) % = 0.2, б) % = 0.3 , в) % = 0.6 .
а)
б)
в)
Рис. 5. На рисунках для е = 0.01, ц = 4, д = 1.3, z = 0.01, t = -10 представлено распределения потенциала скалярного поля, задаваемого (34), (55), (56) на поверхности в = const: а) % = 0.3 , б)% = 0.5 , в)% = 1.3 .
ВЫВОДЫ
В работе предложен общий вид распределения потенциала безмассового вещественного скалярного поля для «размазанной» нуль-струны коллапсирующей в плоскости г = 0. Найдены условия на потенциал скалярного поля, при которых в пределе сжатия скалярного поля в одномерный объект, компоненты тензора энергии-импульса скалярного поля асимптотически совпадают с компонентами тензора энергии-импульса замкнутой нуль-струны движущейся по этой же траектории. Приведён пример распределения потенциала скалярного поля, удовлетворяющего найденным условиям. Следующим этапом предложенной работы станет интегрирование системы уравнений Эйнштейна для найденного
распределения скалярного поля и анализ гравитационного поля, порождаемого коллапсирующей нуль-струной.
Список литературы
1. Vilenkin A. Cosmic strings and other topological defects /Vilenkin A., Shellard E.P.S. - Cambridge Univ. Press, 1994. - 534 p.
2. Линде А.Д. Физика элементарных частиц и космология / Линде А.Д. - М.: Наука, 1990. - 275 с.
3. Peebles P.S.E. Ppinciples of physical cosmology / Peebles P.S.E. - Prinston University Press, 1994. -850 p.
4. Roshchupkin S.N. Friedmann universes and exact solutions in string cosmology / Roshchupkin S.N., Zheltukhin A.A. // Class. Quantum. Grav. - 1995. - V.12. - P. 2519-2524.
5. Lelyakov O.P. Scalar field potential distribution for a "thick" null string of constant radius / Lelyakov O.P. // Ukr. J. Phys. - 2011. - V. 56, №3. - P. 296-302.
Леляков О.П. Розподш потенщалу скалярного поля для замкнено!" нуль струни, що колапсуе / Леляков О.П., Карпенко А.С. // Вчеш записки Тавршського нацюнального ушверситету iменi В.1. Вернадського. Серiя: Фiзико-математичнi науки. - 2011. - Т. 24(63), №2. - С. 3-12. У робой запропоновано загальний вигляд розподшу потенщалу безмасового дшсного скалярного поля для «розмазано!» нуль-струни, що колапсуе в площиш z = 0 . Знайдено умови на потенщал скалярного поля, при яких, при стисканш скалярного поля в одновимiрний об'ект, компоненти тензора енергн-iмпульсу скалярного поля асимптотично збтаються з компонентами тензора енерп'ымпульсу замкнено! нуль-струни яка прямуе по ие! ж траекторп. Ключовi слова: нуль-струна, скалярне поле, космолопя.
Lelyakov A.P. Scalar field potential distribution for a "thick" collapsing null string / Lelyakov A.P., Karpenko A.S. // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vernadsky University. - Series: Physics and Mathematics Sciences. - 2011 - Vol. 24(63), No.2 - P. 3-12.
In this article, we have received, the general view of distribution of potential scalar field for "thick" null string collapsing in plane z = 0 . Conditions on potential of a scalar field at which, within the limits of compression of a scalar field in one-dimensional object, the stress energy tensor components of a scalar field coincide with components stress energy tensor of the closed null string moving on the same trajectory are found. Keywords: null string, scalar field, cosmology.
Поступила в редакцию 26.04.2011 г.
