Распределение потенциала скалярного поля для «Размазанной» нуль-струны постоянного радиуса Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского Серия «Физико-математические науки». Том 23 (62). 2010 г. № 3. С. 3-12

УДК 539. 391+514. 764.2

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ ДЛЯ «РАЗМАЗАННОЙ» НУЛЬ-СТРУНЫ ПОСТОЯННОГО РАДИУСА

Леляков А.П.

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, Симферополь, Украина

E-mail: lelyakov@ tnu. crimea. ua

В работе предложен общий вид распределения потенциала безмассового вещественного скалярного поля для «размазанной» нуль-струны постоянного радиуса, которая движется вдоль оси z и в каждый момент времени полностью лежит в плоскости, ортогональной этой оси. Найдены условия на потенциал скалярного поля, при которых, в пределе сжатия скалярного поля в одномерный объект (окружность радиуса R ), компоненты тензора энергии-импульса скалярного поля асимптотически совпадают с компонентами тензора энергии-импульса замкнутой нуль-струны того же радиуса. Ключевые слова: нуль-струна, скалярное поле, космология.

ВВЕДЕНИЕ

Струнные теории уже ни одно десятилетие находятся в состоянии неуклонного поступательного развития. Несмотря на проблемы, неизбежные для любой развивающейся теории, они очаровывают как уже известными результатами, так и большими возможностями в перспективе. Интерес к космическим струнам и другим топологическим решениям инициирован, с одной стороны, той ролью, которую топологические дефекты, возможно, играют в процессе эволюции Вселенной, например, струнные механизмы образования первичных неоднородностей плотности вещества в ранней Вселенной, идеи о топологической инфляции, а с другой, тем, что по своим физическим свойствам эти объекты отличаются от обычной материи [1-3].

Основной трудностью, с которой сталкиваются при исследовании гравитационного поля, порождаемого струной, является сингулярность тензора энергии-импульса, компоненты которого вне струны тождественно равны нулю, а отличны от нуля (стремятся к бесконечности) непосредственно на струне. В этом случае исследовать систему уравнений Эйнштейна можно в двух направлениях:

• ограничиться анализом «внешней» задачи, т.е. в области, для которой компоненты тензора энергии-импульса нуль-струны равны нулю,

• рассматривать компоненты струнного тензора энергии-импульса как предел некоторого «размазанного» распределения и провести анализ уравнений Эйнштейна для этого «размазанного» распределения.

Как было показано в работе [4] анализ «внешней» задачи приводит к большому числу вакуумных решений уравнений Эйнштейна, удовлетворяющих симметриям рассматриваемой задачи. Однако неясны критерии, позволяющие выбрать из этой совокупности единственное решение, описывающее гравитационное поле нуль-струны, движущейся по заданной траектории.

Рассматривая компоненты струнного тензора энергии-импульса как предел некоторого «размазанного» распределения возможны неточности, связанные с тем, что непонятно как учитывать возможное появление слагаемых (множителей), которые стремятся к нулю (константе) при стягивании этого «размазанного» распределения в одномерный объект. Поэтому было предложено изначально рассматривать некоторое «хорошо определенное» «размазанное» распределение, а затем стянуть его в струну требуемой конфигурации.

Целью работы является построение общего выражения для распределения потенциала вещественного безмассового скалярного поля, компоненты тензора энергии-импульса для которого в пределе сжатия в окружность радиуса R, асимптотически совпадают с компонентами нуль-струнного тензора энергии-импульса.

1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА ДЛЯ «РАЗМАЗАННОЙ» ЗАДАЧИ

В цилиндрической системе координат (x0 =t, xX:=p, X =в, X = z) функции

xm (т, <) (m = 0,1,2,3), определяющие траекторию движения замкнутой нуль-струны постоянного (неизменного со временем) радиуса R, которая движется вдоль оси z ив каждый момент времени полностью лежит в плоскости, ортогональной этой оси, имеют следующий вид:

t = т, p = R = const., в =< z = -т, где т и < параметры на мировой поверхности нуль-струны. Используя результаты работ [4,5], квадратичную форму для решаемой задачи можно представить в следующем виде

dS2 = e2v ((dt)2 - (dz)2) - A(dp)2 - B(de)2, (1)

где v = v(q, p), A = A(q, p), B = B(q, p), q = t + z . Тензор энергии-импульса для вещественного безмассового скалярного поля имеет вид [2]

TaP=V,aV,P- 2SapL , (2)

где L = gm^<pm<px, (а = др/да , р -потенциал скалярного поля, индексы а, принимают значения 0,1,2,3. Для того, чтобы обеспечить

самосогласованность уравнений Эйнштейна и тензора (2), будем требовать

Тав= Тав( q, p) ^ (=((q, p). (3)

Расписывая (2) для квадратичной формы (1), получаем

Т00 =((,q )2 + ^ (Pp)2, Т33 =(q )2 - (p)2, Tn = ^ ((p)2,

T01 = T13 =P(p T03 =((,q ), T22 =-2 A (,p)2. (4)

Система уравнений Эйнштейна для (1), (4) может быть представлена в следующем

виде

2у +

,рр

3 Ы2

- V

(р,р)2

М'

В

+ V

р

р В

2

(5)

(6)

1 (А,аа В,аа 1 (А,а В,а 1 1

2

V

В

V

В

((А 12 (В 121

+ — 4

V А У

+

V В У

Хр )2, (7)

+2 (Vp) +

2 Врр 1 (Вр1

рр

V В У

+

+ V

В 2

(В_0 Ар 1 1 Ар В

р

р В

р р

2 А В

-х(р,р)2

1 В

ар

- V™ + —V 2 В лр 2 ,р

1 (А а В_а 1 1 В р (А^ В^ 1

д | а V А В У

+ -

4 В

V А В У

= %(Р,аР,р.

(8)

(9)

Если рассматривать полученную систему уравнений для распределения скалярного поля, сконцентрированного внутри «тонкого» кольца, для которого переменные а и р изменяются в пределах

а е[-Аа, +Аа], ре^ -Ар, R + Ар], (10)

где R радиус замкнутой нуль струны, Аа и Ар малые положительные константы, определяющие «толщину» кольца, т.е.

Аа << 1, Ар << 1. (11)

То в пределе сжатия такого «тонкого» кольца в одномерный объект (нуль-струну)

Аа ^ 0, Ар ^ 0 . (12)

В этом случае пространство-время, в котором движется такая «размазанная» нуль-струна, условно можно разбить на три области

- область I, для которой (рис. 1)

а е(-да, -Аа )и(+Аа, +<»), ре[0, , (13)

- область II, для которой

а е [-Аа, +Аа], р е [0, R - Ар) и (R + Ар, + да) , (14)

- область III (выделенная на рис. 1 черным цветом), для которой

а е [-Аа, +Аа ], ре^ -Ар, R + Ар]. (15)

Поскольку скалярное поле сконцентрировано внутри «тонкого» кольца, то в области I, II (рис. 1) потенциал скалярного поля равен нулю, а в области III (внутри «тонкого» кольца) р Ф 0 .

р

2

При стягивании скалярного поля в струну система уравнений (5)-(9) должна асимптотически стремиться к системе уравнений Эйнштейна, построенной для замкнутой нуль-струны и приведенной в работах [4, 5]. Тогда в области (13), (14) (область I и II (рис. 1))

( = 0, (Рр= 0, ( = 0, (16)

а в области (15) (внутри «тонкого» кольца) в общем случае

(Ф 0, Ф 0, ( Ф 0 . (17)

I II I

ж

R+дР II R-дР

-дч 0 + дч q

Рис. 1. На рисунке схематично представлено сечение пространства плоскостью д = const. и условное разбиение внешнего пространства-времени на три области (область III выделена на рисунке черным цветом).

Сравнивая систему уравнений Эйнштейна для замкнутой нуль струны [4] с системой (5)-(9), можно сделать вывод о том, что при стягивании скалярного поля в струну требуемой конфигурации, т.е. при Aq ^ 0, Ар ^ 0

q=0,p=R

^ 0.

(18)

(<Р,р)2 ^ 0 (()2 (((р

q=0,p=R q=0,p=R

В области I, согласно (16), при любом фиксированном значении переменной q = qo е (-да, - Aq) ^ (+Aq, + да) и для всех значений переменной р е [0, +да) потенциал скалярного поля

(^0, Р) = 0, (19)

если же рассматривать распределение потенциала скалярного поля при любом фиксированном значении переменной q = qo е (-Aq, +Aq) (область II и III), то в

случае, когда переменная ре[0, R - Ар) ^ (R + Ар, + да) (область II), должно быть выполнено

<р(Яо, р) = 0, (20)

а при р е (R - Ар, R + Ар) (область III)

(p(qo,р) * 0. (21)

Поскольку при одном и том же значении переменной qo е (-Aq, +Aq) и фиксированном значении переменной р значения, принимаемые потенциалом скалярного поля, совпадают, то для выполнения (20), (21) необходимо требовать, чтобы для ре[0, +ю) значения p(q, р) были различны.

2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ ДЛЯ «РАЗМАЗАННОЙ» НУЛЬ-СТРУНЫ

Для полученных условий (19)-(21) распределение потенциала скалярного поля удобно представить в виде

p(q, р) = - ln (a(q) + Ä(q)f (р)), (22)

где функции a(q) и X(q) симметричны относительно инверсии q на — q, т.е.

a(q) = a(-q), Ä(q) = A(-q), (23)

функция a(q) + A(q) f (р) ограничена

0 <a(q) + Ä(q)f (р) < 1, (24)

а потенциал скалярного поля (22) в области (24) может принимать значения от

p = 0, при a(q) + X(q)f (р) = 1, (25)

и до

p ^ ю, при a(q) + X(q) f (р) ^ 0 , (26)

причем, в области I, в соответствии с (19), (25),

a(q) = 1, Ä(q) = 0 . (27)

Поскольку согласно (20) потенциал скалярного поля в области II равен нулю, то при q е (-Aq, +Aq) и любом фиксированном значении переменной

р = р0 е [0, R - Ар) ^ (R + Ар, + ю) , должно быть выполнено

a(q) + X(q)f Р = 1. (28)

В области III р* 0, поэтому для тех же значениях q е (-Aq, +Aq) и при

р = р0 е (R -Ap, R + Aр)

0 <a(q) + A(q)fp < 1. (29)

Из (28) следует, что при всех р е [0, R - Ap) ^ (R + Ap, + ю) значения функции f (р) постоянны

f (Р)1 ре[0, R-Ap)u(R+Ap, +ю) = f0 = COnSt•, (30)

причем fo Ф 0, а функции a(q) и Ä(q) связаны между собой

Л(д) = (1 -a(q))/ fo. (31)

Подставляя (31) в (29), получаем, что в области III (р Ф 0)

0 < a(q) + (1 - a(q)) f (р)/ fo < 1, (32)

тогда из (26), (32) следует, что при р ^ ж

a(q) ^ 0, f (р) ^ 0. (33)

Таким образом, в выражении для потенциала скалярного поля (22) функции a(q) и f (р) ограниченные и для всех q е (-ж, +ж) и р е [0, +ж) принимают значения

0 <a(q) < 1, 0 < f (р) < f0, (34)

причем в области I, согласно (27), функция a(q)

a(q)l qe(-<», -Aq )u(+Aq, +ж) 1 (35)

а из (33), с учетом симметричности функции a(q) (равенства (23)), следует

lima(q) ^ 0. (36)

q^0

Поведение функция f (р) при ре[0, R-Aр)'u(R+Ар, +ж) определяется равенством (30), а при р ^ R согласно (33)

f (р)| ß^R ^ 0- (37)

Дифференцируя (23), с учетом (31), по переменным q и р, получаем

= a,q (1 - f^)/f0) = (1 -a(q)) lp / f

Pq a(q) + (1 -a(q)) f(р)/ f , Рр a(q) + (1 -a(q)) f(р)/ f '

(38)

Подставляя (27), (28), (30) в (38), получаем, что в области I и II р р= 0, pq = 0, что согласуется с (16). В области III (Рис.1) при р^ R, с учетом (37), первое из равенств (38) можно представить в виде

Pq =-aq /a(Ч), (39)

откуда, согласно (18), при Aq ^ 0, Ар ^ 0

a q /a(q)

Второе из равенств (38) при q ^ 0 , с учетом (36), можно представить в виде

Рр=-/р / f (р), (41)

откуда при Aq ^ 0, Ар ^ 0 , согласно (18)

/р / f (р)| r ^ 0. (42)

^ р= R

С другой стороны, рассматривая равенства (38) в некоторой малой окрестности

^ ж. (40)

q=0

окружности q = 0, р = Я, т.е. внутри области, в которой сконцентрировано скалярное поле и для которой, в соответствии с (36), (37) /(р)/ fo << 1, << 1, можно записать

(

<л<,Р =

(а,д /а(Ч))/

1 +

11М

/0 а(Я)

УУ

х(( /Р / (Р) )/( /о

ао / (р)

+1

УУ

тогда, согласно (18) при Дq ^ 0, Ар ^ 0 , должно быть выполнено

(ад/ )х( 1р1/ (р))

д=0, р=Я

^ 0.

(43)

(44)

В качестве примера можно привести следующий выбор функций а^) и /(р) , удовлетворяющих найденным условиям

а(Ч) = ехр (-1/(^)2 ), /(р) = /

( (

= /0 ехР

1 - ехр

V V

-1

(д(р- Щ)

(45)

где константы £ и д определяют размер («толщину») кольца, внутри которого сконцентрировано скалярное поле соответственно, по переменным q и р, а именно, как следует из (45) при Дq ^ 0, Ар ^ 0

£ ^ д ^ да, (46)

а положительная константа М обеспечивает выполнение асимптотического условия (37), при р = Я . Используя (31), (45) для (22), получаем выражение одного из возможных распределений потенциала безмассового вещественного скалярного

поля,

<р(д, р) = -1п

(

1 ехр (-1/(^)2 ) + (1-ехр(-1/(£д)2))

( ^

х ехр

М

1- ехр

-1

(д(р- Я))2

(47)

компоненты тензора энергии-импульса, для которого в пределе сжатия в одномерный объект (окружность радиуса Я) асимптотически совпадают с компонентами тензора энергии-импульса замкнутой нуль-струны того же радиуса. На рис. 2 представлено распределение функции а(д) + (1 -а(д))/(р)/ /0 в

области q е [-10,10], р е [0,10], для функций а^), /(р) , заданных равенствами

(45) при Я = 5, и соответствуют выбору значений констант: а)£ = д = м = 1,

б) £ = д = м = 4. Из представленного рисунка видно, что с увеличением значений

констант д , область, в которой функция а(^) + (1 -а^))/(р)/ /0 отлична от

единицы (т.е. область, в которой сконцентрировано скалярное поле и потенциал скалярного поля, отличен от нуля) сжимается, чему соответствует уменьшение «толщины» кольца, в котором сконцентрировано скалярное поле.

а) б)

Рис. 2. Распределение функции а^) + (1 -а^))f (р)/ определяемой (45) для Я = 5, q е [-10,10], ре [0,10], при: а)% = д = и = 1 и б)% = д = и = 4.

На рис. 3 для Я = 5, % = 1, ¡и = 3 представлено изменение распределения потенциала скалярного поля, задаваемого (47) по переменной р(ре [0,10]) при фиксированном значении переменной q = 0.01, и соответствуют выбору значений константы д: а)д = 0.2, б)д = 0.3, с) д = 0.4. Здесь черным цветом выделена область, в которой ( = 0. Из рисунка видно, что с увеличением значений константы д область, в которой потенциал скалярного поля (47) отличен от нуля, сжимается, чему соответствует уменьшение по переменной р «толщины» кольца, в котором сконцентрировано скалярное поле.

а) б) с)

Рис. 3. На рисунках для Я = 5, % = 1, и = 3, q = 0.01 представлены распределения потенциала скалярного поля, задаваемого (47) по переменной р(ре[0,10]), при:

а) д = 0.2, б)д = 0.3, с) д = 0.4 .

На рис. 4 представлено изменение распределения потенциала скалярного поля, задаваемого (47) на гиперповерхностях а) q = 0.2, б) q = 0.3, в) q = 0.4, которые соответствуют выбору значений констант R = 5, £ = 3, и = 3, д = 0.7 . Здесь так же черным цветом выделена область, в которой р = 0 , а изменению интенсивности от белого цвета (рис. 4, а, при q = 0.2 ) до темно серого (рис. 4, с, при q = 0.4 ) соответствует стремление потенциала (47) к нулю при q ^ Aq.

На рис. 5 представлены распределения потенциала скалярного поля, задаваемого (47) на поверхности 9 = const. и которые соответствуют выбору значений констант: а)£ = 0.5, д = 0.2, /и = 1, б)£ = 0.6,д = 0.3, /и = 11,

с)£ = 0.8,д = 0.4,и = 1.2, при R = 5 q е[-10,10], ре[0,10].

Из рисунка видно, что с увеличением значений констант д, и область, в которой потенциал скалярного поля отличен от нуля, сжимается, т.е. уменьшается «толщина» кольца, в котором сконцентрировано скалярное поле.

а) б) с)

Рис. 4. На рисунках а, б, с, для R = 5, £ = 3, ц = 3, д = 0.7 представлено изменение распределения потенциала скалярного поля, задаваемого (47) на гиперповерхностях: а) q = 0.2, б) q = 0.3, с) q = 0.4 .

а) б) с)

Рис. 5. На рисунках а, б, с, представлено распределения потенциала скалярного поля, задаваемого (47) на поверхности 9 = const., q e[-10,10], pe[0,10] для R = 5 при: а)£ = 0.5, д = 0.2, и = 1, б)£ = 0.6, д = 0.3, и = 11, с)£ = 0.8, д = 0.4, и = 12.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложен общий вид распределения потенциала безмассового вещественного скалярного поля для «размазанной» нуль-струны постоянного радиуса, которая движется вдоль оси z и в каждый момент времени полностью лежит в плоскости, ортогональной этой оси. Найдены условия на потенциал скалярного поля, при которых в пределе сжатия скалярного поля в одномерный объект (окружность радиуса R ) компоненты тензора энергии-импульса скалярного поля асимптотически совпадают с компонентами тензора энергии-импульса замкнутой нуль-струны того же радиуса. Приведён пример распределения потенциала скалярного поля, удовлетворяющего найденным условиям.

Следующим этапом станет интегрирование системы уравнений Эйнштейна для найденного распределения скалярного поля и анализ гравитационного поля, порождаемого «размазанной» замкнутой нуль-струной постоянного радиуса, которая движется вдоль оси z без изменения формы.

Список литературы

1. Линде А.Д. Физика элементарных частиц и космология / Линде А.Д. - М.: Наука, 1990. - 275 с.

2. Peebles P.S.E. Ppinciples of physical cosmology / Peebles P.S.E. - Prinston University Press, 1994.

3. Vilenkin A. Cosmic strings and other topological defects / Vilenkin A., Shellard E.P.S. - Cambridge Univ. Press, 1994. - 534 p.

4. Леляков А.П. Внешние решения уравнений Эйнштейна для замкнутой нуль-струны постоянного радиуса / Леляков А.П. // Ученые записки ТНУ им. В.И.Вернадского. Серия "Физика" -2007. -Том 20 (59). - c. 14-20.

5. Леляков А.П. Анализ системы уравнений Эйнштейна для замкнутой нуль-струны постоянного радиуса : материалы 4 Всеукраинской научно-технической конференции "БФФХ 2008", "СевНТУ" - 2008. - с. 25-28.

Леляков О.П. Розподш потенщалу скалярного поля для «розмазано1» нуль струни постшного радiуса / Леляков О.П. // Вчет записки Тавргйського нацюнального ушверситету iH. В.1. Вернадського. Серiя: Фiзико-математичнi науки. - 2010. - Т. 23(62), №3. - С. 3-12. У робота запропоновано загальний вигляд розподшу потенщалу безмасового дшсного скалярного поля для «розмазано!» нуль-струни постшного радiуса, що прямуе уздовж оа z й у кожен момент часу цшком лежить у площиш, ортогональнш uiei осг Знайдено умови на потенщал скалярного поля, при яких, при стисканш скалярного поля в одшмрний об'ект (коло радiуса R ), компонента тензора енерггймпульсу скалярного поля асимптотично зб^аються з компонентами тензора енергп^мпульсу замкнено! нуль-струни того ж радiуса. Km4oei слова: нуль-струна, скалярне поле, космолопя.

Lelyakov A.P. Distribution of potential of a scalar field for "thick" null string of constant radius / Lelyakov A.P. // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vernadsky University. - Series: Physics and Mathematics Sciences. - 2010 - Vol. 23(62), No.3. - P. 3-12.

In this article, we have received, the general view of distribution of potential scalar field for "thick" null string of constant radius which goes along an axis z and at each moment of time completely lays in a plane, orthogonal this axis. Conditions on potential of a scalar field at which, within the limits of compression of a scalar field in one-dimensional object, the stress energy tensor components of a scalar field coincide with components stress energy tensor of the closed null string of the same radius are found. Keywords: null string, scalar field, cosmology.

Поступила в редакцию 27.09.2010 г.