CC BY
9ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА PHYSICS AND MATHEMATICS
Вестник Физико-технического института
Крымского федерального университета имени В. И. Вернадского Том 1 (67-69). № 3. 2017. С. 5-22
Journal of Physics and Technology Institute of V. I. Vernadsky Crimean Federal University Volume 1 (67-69). No. 3. 2017. P. 5-22
УДК 537.87
КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ДЛЯ АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЙ, ЗАМКНУТОЙ НУЛЬ-СТРУНЫ, ДВИЖУЩЕЙСЯ БЕЗ ИЗМЕНЕНИЯ
ФОРМЫ
Леляков А. П., Осокин К. С. *
Физико-технический институт, Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского, Симферополь 295007, Россия *E-mail: oxygen93@ya. ru
В работе найдено решение уравнений Эйнштейна для аксиально-симметричной, замкнутой нуль-струны, направление движения для которой в каждый момент времени ортогонально плоскости, в которой находится нуль-струна. Показано отсутствие предельного перехода между найденным решением и решением для замкнутой нуль-струны постоянного радиуса, что может говорить об устойчивости конфигурации замкнутой нуль-струны в виде окружности при движении во внешнем гравитационном поле, влияние которого для такой нуль-струны может сводиться к изменению ее движения как целого (без изменения формы и размера) или к изменению ее радиуса. Ключевые слова: уравнения Эйнштейна, нуль-струна, гравитационное поле, точное решение.
PACS: 04.20.jb ВВЕДЕНИЕ
Нуль-струны реализуют предел нулевого натяжения (высокотемпературную фазу) теории струн [1-14], т.е. могли образовываться на ранних этапах эволюции Вселенной и таким образом, возможно, наряду со струнами, монополями и мембранами, принимали участие в процессах формирования структуры наблюдаемой Вселенной. Так, например, интересна возможность участия сети (газа) струн, в формировании «темной» материи [15-17], а также нуль-струнный механизм инфляционного сценария, предложенный в работе [14].
Исследование движения пробной нуль-струны в гравитационном поле замкнутой нуль-струны постоянного (неизменного со временем) радиуса [18], проведенное в работе [19], а также в гравитационном поле замкнутой нуль-струны, радиально расширяющейся или радиально коллапсирующей в плоскости, проведенное в работе [20, 21], позволяет предполагать возможность существования ряда интересных, с точки зрения космологии, свойств газа нуль-струн. Так, например, было отмечено, что наличие для пробной нуль-струны только «узкой» области («зоны взаимодействия»), находясь в которой пробная нуль-струна может взаимодействовать c нуль-струной, порождающей гравитационное поле, говорит о возможности реализации «зернистой» структуры пространства, заполненного газом нуль-струн.
Наличие для каждой пробной нуль-струны, попавшей в «зону взаимодействия» аномальных участков траектории, на которых пробная нуль-струна за очень короткий промежуток времени или ускоренно выталкивается на бесконечность, или ускоренно притягивается из бесконечности, подтверждает, хотя и косвенно, гипотезу о возможной струнной природе механизма инфляции Вселенной, предложенной в работе [14].
Анализ решений уравнений движения пробной нуль-струны, приведенный в работах [19-22] также показал возможность реализации устойчивых поляризованных состояний (фазы) газа нуль-струн, а также возможность образования доменной структуры в пространстве, заполненном газом нуль-струн.
Интересным продолжением может стать исследование влияния формы замкнутой нуль-струны на свойства ее гравитационного поля.
Исследование гравитационных свойств нуль-струны сильно осложняет наличие -функций в соответствующем тензоре энергии-импульса, что приводит к проблемам в интегрировании системы уравнений Эйнштейна. Для того чтобы обойти эту трудность удобно воспользоваться алгоритмом, предложенным в работе [18], а именно, рассматривать компоненты струнного тензора энергии-импульса как предел некоторого "размазанного" распределения, в качестве которого удобно выбрать вещественное безмассовое скалярное поле (поскольку нуль-струна это скалярный «нуль-объект»), а затем стянуть это "размазанное" распределение в нуль-струны требуемой формы и движущуюся по данной траектории, требуя при этом, чтобы компоненты тензора энергии-импульса скалярного поля, в пределе сжатия, асимптотически совпали с компонентами нуль-струнного тензора энергии-импульса. При таком подходе мы фактически отказываемся от одномерности нуль-струны и переходим к физически обоснованной модели нуль-струны в виде тонкой трубки («размазанной» нуль-струны).
Предлагаемая работа посвящена построению решения системы уравнений Эйнштейна для «размазанной», аксиально-симметричной, замкнутой нуль-струны, направление движения для которой ортогонально плоскости расположения.
1. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Компоненты тензора энергии-импульса для нуль-струны, движущейся в псевдоримановом пространстве-времени, определяются равенствами [14]:
Tmn4-g = к J dTdsxmTxtS4 (xl - xl (t,s)), (1)
где индексы m , n, l принимают значение 0, 1, 2, 3, функции X"=X"{t,&) определяют траекторию движения нуль-струны (мировую поверхность), t и s
у., m m I I
параметры на мировой поверхности нуль-струны, xT=ax /at, g = \gmn\, gmn - метрический тензор внешнего пространства-времени, к = const. В цилиндрической системе координат
х0 = г, х1 = р, х2 = в, х3 = г
функции хт (т,о), определяющие траекторию движения замкнутой нуль-струны, рассматриваемую в работе, имеют вид:
(условие инвариантности относительно инверсии в на -в). Отметим, что траектория (2) описывает движение замкнутой нуль-струны вдоль отрицательного направления оси г , при котором она в каждый момент времени полностью лежит в плоскости, ортогональной этой оси, при этом, форма замкнутой нуль-струны, определяемая функцией Я(в), при движении не изменяется.
Квадратичная форма пространства-времени, для рассматриваемой траектории движения (2), должна быть инвариантна относительно инверсии в на -в , а также относительно одновременной инверсии г ®—г, г ® — г , тогда
Следствием (3) есть g02 = g12 = g32 = 0. Следствием (4) есть §01 = §31 = 0 . В дополнение, используя свободу выбора систем координат в ОТО, удобно частично зафиксировать ее требованием g03 = 0. Таким образом, квадратичная форма для решаемой задачи может быть представлена в виде
где V , т, А, В функции переменных г, р, в, г. Анализ системы уравнений Эйнштейна, построенной для (1), (2), (5), позволяет доопределить зависимость функций квадратичной формы (5), а именно:
г = т, р = Я(о), в = о, г = —т
(2)
gmn (г,р,в, г) = gmn (гр г) ,
gmП (г,р, в, г) = gmn (—г, р, в, — г) .
(3)
(4)
йБ2 = в2п(йг )2 — А(йр)2 — В(йв)2 — в2т(йг)2,
(5)
п = т, V = п(д, р, в), А = А(д,р,в), В = В(д,р,в)
(6)
где
4=г+г.
Для (6), (7), квадратичная форма (5) принимает вид
(7)
йБ2 = в2п{(йг)2 — (йг)2 )2 — А(йр)2 — В(йв)2,
(8)
где V , А, В функции переменных q , р, в.
Компоненты тензора энергии-импульса для вещественного безмассового скалярного поля имеют вид [2]:
Тар=/а/р- 2 8аЬЬ ,
(9)
где Ь = /а=Э//Эха, / _ функция распределения скалярного поля,
индексы а, Ь, V, 1 принимают значение 0, 1, 2, 3. Для того, чтобы обеспечить самосогласованность уравнений Эйнштейна для (8), (9), будем требовать
Таь= Таь(q,р,в) ^/ = /(q,р,в), (10)
Система уравнений Эйнштейна может быть представлена в виде:
Г АЛ. + В± 1
А В В
- 2п,
Г A.q Вм ^ 1
1
+— В
С
рр + _ В 2
1Г В,р 1
^р
V В У
А В
1 В,р А,
+ — 2
Г А„ 1
V А
Г в„ 1
2 1
+
V В У
= -2с(/)2, (11)
+ —
,р ,р
2 В А
- 2п,рр- 2 (п,р)2 +п,р
2
А,вв . 1 Г А, в 1 .1 В, в А, в
- + — А2
V А у
+ 2ВА Пвв- 2 Ы +п,в
ГА Ар - Вр ]
А В
V У
Г В, в А,в ]
VВ А У
+
= (12)
(/,р)2 + (/,в)2
А
В
А ^-2п,рр- 2 ы2+ п 1 |2п,вв + 2(п,в)2 -п,в ^
Г Ар+Вр1
V А В У
+— В
п,р I э
Вв+Ав 1
В А у
+
■=х
(/,р)2 (в
,—1п А I Эр
2п В
а ш
В эв
А
2п IА
В
= 0,
(13)
(14)
Г В
,р В
+ 2п
р
-V
Г Ам Вм 1 1 ВрГ A,q B,q 1
р
- + -АВ
2В
АВ
= ^Х/^/р ,
(15)
2
q
2
q
( А
Ал А
- + 2п,
(А
— V,
+__12
А В
В„ Л 1 Ав(В,
2 А
В
А Л А
= —22ZP,дP,в,
-2п
,рвш
'2п,рп,в+п,р
Ав
В
А
,в'
р _
В
ХРрРв ■
(16)
(17)
Если рассматривать систему уравнений (11)—(17) для распределения скалярного поля, сконцентрированного внутри "тонкой области" (размазанной нуль-струны), для которой переменные д (определяемой равенством (7)) и р принимают значение в интервале
де[—Дд, +Дд], ре[Я(в) — Др,Я(в) + Др], в = 0...2р,
(18)
где функция Я(в) определяет форму замкнутой нуль-струны, Дд и Др малые положительные константы, определяющие «толщину» размазанной нуль-струны, то есть
Ад << 1, Др << 1,
(19)
и при дальнейшем сжатии такого «тонкого» «кольца» в одномерный объект (нуль-струну)
Дд ® 0, Др® 0, (20)
то пространство, в котором находится такая «размазанная» нуль-струна, и для которого переменные д и р принимают значение в интервале д е (—¥ +¥),
ре [0, +¥), условно можно разбить на три области
- область I, для которой
д е (—¥, — Дд) (+Дд, +¥), ре[0, +~), в = 0...2р, (21)
- область II , для которой
де (—Дд, +Дд), ре[0,Я(в) —Др) (Я(в) + Др, +~), в = 0...2р, (22)
- область III, для которой
де [—Дд, +Дд], ре[Я(в) — Др,Я(в) + Др], в = 0...2р, (23)
Сравнивая систему уравнений Эйнштейна для замкнутой нуль-струны с системой (11)—(17), можно получить условия на функцию распределения скалярного поля, а именно при стягивании скалярного поля в струну, то есть при Дд ® 0 , Др ® 0, должно быть выполнено
д
jr)
(jjr)
®
q—0,p— К(в)
0, (jq)
®
q—0,p—R(ff)
0 (j,q )2
-^ <¥
q—0,p—R(ff)
®
q—0,p—R(q)
0' (j,qj,q)
-
q—0,p-R(q)
0' (j,pjq)
q— 0,p—R(q)
- 0,
(24)
а вне области, где сконцентрировано скалярное поле (в области I и II)
/®0, ( ®0, /р®0, /в®0,
(25)
Для приведенных условий (24), (25) функцию распределения скалярного поля удобно представить в виде
j( q,p,0) = ln
1
(a(q) + 1(q) f (?))'
(26)
где ? = ?(p,q) = p- R(q), 7 - некоторая положительная константа, функция a(q) + 1(q) f (?) ограниченная
0 <а^) + 1(q) / (?) < 1, Функция (26), в соответствии с (27), может принимать значения от
/® 0, при а^) + 1(q)/ (?) ® 1,
и до
/®¥ , при а^) + 1(q)/(?) ® 0,
(27)
(28)
(29)
Отметим, что вид функции распределения (26), не является общим, а ее выбор нужно рассматривать как один из возможных способов «размазывания» нуль-струны. Вид функции распределения скалярного поля должен влиять на гравитационные свойства модели струны в виде трубки скалярного поля. Однако поскольку нуль-струне соответствует случай, в котором скалярное поле стягивается в одномерный объект то способ «размазывания» в предельных случаях (19), (20) не может быть существенен.
Можно показать, что для распределения (26), условия (24), (25) приводят к следующим ограничениям на функции а^), Л^) и / (?): 1. функции Л(^) и а^) связаны соотношением
l(q) = (1 - a(q)) / f , f0 = const,
2. функции a(q) и f (?) ограниченные и для всех qе (-q = 0 2p , принимают значения в интервале
(30)
, +¥), pe[0, +¥),
0 <а(д) < 1, 0 < / Л) < /0,
(31)
причем
а(д) , Дл , . л — 1, а(д) п — 0,
4-'/1де(—¥,—Дд) (+Лд,+¥) I д —
/Л)1 ре[0,й(в}—Др) (R(в)+Ар,+¥) ® /0, /Л)7—0 ® ^
(32)
(33)
Также в пределе сжатия в одномерный объект (нуль-струну) должны быть выполнены условия (при Дд — 0 , Др — 0):
а
а(д)
-^ ¥ ,
/л
д— 0
/ Л)
ад
— 0, ,д
-х-
/л
л—0
а(д) /(Л)
— 0
(34)
д—0,л—0
Ниже приведен один из примеров функций а(д) и /(л), удовлетворяющих найденным условиям
(
а(д) = ехр
—1
Л
е + (Хд)2
/ (Л) = /0 ехр
( ( т
V V
1 — ехр
—1
Ш
; )
(35)
(36)
где константы Х и С определяют размер («толщину») «кольца», внутри которого сконцентрировано скалярное поле по переменным д и р соответственно, а именно, как следует из (35), (36), при Дд — 0, Др — 0
Х— ¥ , С— ¥ , (37)
а положительные константы е и т обеспечивают выполнение условий (32)-(34), при Дд — 0, Др — 0, р — R(в), в = 0...2р, д — 0, а именно, при Дд 1, Др 1
е 1, т 1,
(38)
а при дальнейшем сжатии в одномерный объект (нуль-струну), то есть при Др — 0, Дд — 0
е — 0, т — <■
(39)
Используя (30), (35), (36) для (26), получаем выражение одного из возможных распределений скалярного поля, компоненты тензора энергии-импульса для которого при сжатии в одномерный объект асимптотически совпадают с компонентами тензора энергии-импульса замкнутой нуль-струны, движущейся по траектории (2).
2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ ЭЙНШТЕЙНА ДЛЯ «РАЗМАЗАННОГО» РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Дополним систему уравнений Эйнштейна (11)—(17) уравнением скалярного поля, которое для тензора (9) есть
(0.ф =
(40)
где точка с запятой обозначает ковариантную производную. Для (8), (10) уравнение (40) принимает вид
(щ
А I Эр
А
+ (щ В Эв
/в
2п
= 0,
Сравнивая уравнения (14) и (40), находим
п,р = c(q)/,р, п,в = с(я)/-
(41)
(42)
откуда
V = п^,р,в) = V(q,?) = с^)/^,?) + п0(q), (43)
где, согласно (4), (7), функции си V0(q) симметричны относительно замены q на ^.
Для (43) уравнение (17) может быть приведено к виду
Э 1
—1п Э?
(/ е Г 2c2(q)
= в,р
1 Ав
В Яв А
(44)
Можно заметить, что правая часть полученного равенства есть функция переменных q и ? :
Из (45)
Вр 1 Ав
----'- = ¥ (я,?),
В Кв А
В = B(q, р, в) = В1В2, А = А(д,р,в) = А1а1
(45)
(46)
где В1 = B1(q,?), В2 = B2(q,в), А1 = А^,?), а1 = а^). Интегрируя уравнение (44) для (46), находим
(С1 )2 (/?)2 е2с(2СС В1 е
(q)
(47)
где (с1)2 = (с1 (д)) "константа" интегрирования. Уравнение (13) для (17), (43), (46), при условии
0,
(48)
принимает вид
Б2,в = 2 Яв
В2 К,в
Интегрируя уравнение (49), находим
Б2(д,&) = р( я в)2
(49)
(50)
где р = Р(д) "константа" интегрирования.
Для (43) , (46), (50) уравнение скалярного поля (41) и уравнение (12), соответственно, принимают вид
Э 1
—1п
Эл
(
а1А + рБ1
аР^АА
\
2п
= 0.
(51)
Э 1
—1п
Эл
(а А +РБ1),,
= -2п,л.
Интегрируя уравнения (51), (52), учитывая (43), (47), находим
а1 А1 + рБ1 = с1с2а1ре
с(д)--Ф
~2п0(д) ^ 2с(д) /
(52)
(53)
I с(д)--^ Ф
(аА +РБ1 )л= сфРе-^>е ^ 2с(д)^
(54)
где с2 = с2 (д) и с3 = с3 (д) "константы" интегрирования. Дифференцируя равенство (53) по переменной л, находим выражение для функции с3 (д):
с3 (д) = -аР(д)с2 (д) с(д) -
Ж
2с(д)
(55)
Можно отметить, что для (43), (46), (50), (53) уравнение (14) выполняется тождественно.
Применяя равенство (47) для (53), получаем алгебраическое уравнение, связывающее функцию Б1 и функцию распределения скалярного поля ф
/(В1)2 - ЬВ1 + a = 0,
(56)
где обозначено
-с(о)/ 1--,, 2c (а)/ 1+ С I
)-"I 2с2(0)), а = а1 (с1 )2 / е Г 2С2(0)у
Ь = с1с1а1/е~ ° л е
Отметим, что согласно (47), (53)
Ь = (а1А1 + /В1), а = а1 А1В1, Дискриминант уравнения (56), используя (57), (58), есть
в=(а а-м )2.
Из (59) следует, что В = 0 в случае
а1 А1 = /В1 ,
и В > 0 в случае
а1 А1 Ф /В1.
(57)
(58)
(59)
(60)
(61)
Как следует из (43), (47), (53) случай (60) приводит к уравнению, связывающему функцию распределения скалярного поля / и «константы»
интегрирования:
2ес(а)/+п»(/ = с20/)
(62)
Интегрируя (62), находим
/(а,?) = -
Пс(оК 1
+ -
с(а) 2с(а)
1п (с(а)с2 (а^ а1 (а)/(а)?+/ (а)), (63)
где /0(а) «константа» интегрирования. Легко заметить, что функция (63) не может реализовать распространение локализованного по переменной р объекта, поэтому случай (60) не реализуется. Корни уравнения (56), для (59), (61) следующие
В1(0,?)1,2 = 1 с1с2а1е
-2П0-/ с-С
1 ±
1 -
тогда используя (53)
А1(а,?)1,2 = - с1с2/е
-2п0-/ с-
2с
1 Л -
2 /1 4аа/с2
(64)
\ V 4аа/с2
(65)
2
2
X
Оставшиеся три уравнения системы: (11), (15) и (16), рассматриваемые для (43), (64) и (65) определяют условия, связывающее между собой функции («константы» интегрирования): с(д), с1(д), с2(д), а1(д), п0(д), Р(д), их производные, и константу у.
Так разность уравнений (15) и (16), для (43), (46), (50), есть
((М),, (аА),, ^ +1 (рв^ (а\)л}
а а
а1 а
((в)щ + ( а )„ л
В1
- + -
А
= 0.
(66)
^ 2 ^ РВ1
Согласно (26), (30) функция ф(дщ), определяющая распределение скалярного поля, удовлетворяет уравнениям:
1 ' ч 2
фт-
фщ -- (фщ)2 = 0-
У
(67)
-*«-У ф )2=0-
а,11 1 2 ф--—^
' ,дд ^ ,д \ ^ ,д >
,дд а Л у .4,
(68)
ф,
1
1д 1 п
—фф = 0-
Мд)'"' у'
Для (64), (65), (67), (69) уравнение (66) может быть записано в виде У0 + Уф+ Угфл + ¥ъф„ + УфФ„Ф+ Уфф + У6 (фщ )2 ф+ +У7 (фщ 1) ф + У8 ( фщ )3 + У9 ( фщ 1) ф,д + Ушфщ = 0,
(69)
(70)
где у, г = 0,1, ,10 - функции, содержащие «константы» интегрирования, их производные, константу у, а также функции, определяющие распределение скалярного поля, например,
У0 =
1п
/щ Лд
(
Я(д)в
.2^0 (,)
Л
У1а1(д)Р(д)с2(д)
(
У2 =
Л
Можно показать, что требование
Л
1 + 2с(д) У
1
/
т
(
У 1С
1 + 2с(д) У
Л
— + 2с(д) = 0, ^ с(д) = с =--= сош?.,
У ^ 2у
(71)
Я(д)в
2^0(д)
ОШ)с2(.д)
= с4 = сои5?.,
(72)
есть «тривиальное» решение уравнения (70) (т.е. решение, для которого у, г = 0,1, ,10), и которое для уравнения (66) соответствует случаю
(М) (аА)
-----= 0. (73)
/В1 а1А1
С другой стороны, можно показать, что требование
(1 1 -+2с(а)
У
Ф 0 , (74)
которое для уравнения (66) соответствует случаю
(М)в (аа)
/В а А
а Ф 0, (75)
приводит к противоречию. Так, для (74), приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях функции / и ее производных, уравнений (69) и (70), в
частности, получаем требование у2 = 0, которое приводит к уравнению
/т
= 0, ^/(?) = с? + с (76)
где си с константы, решение которого, очевидно, не может выполнить требования (33), (34). Поэтому случай (75) не реализуется.
Сумма уравнений (15) и (16), для (43), (46), (50), (64), (65), учитывая (71)-(73),
есть
/а?- 1+2ху2 1п(Я(а)с1(а)у1 а1(а)/(а)) /,п-у//,п= (77)
Приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях функции / и ее производных уравнений (69) и (77), получаем
1п (Л(а)с1(а)^ аШ(а) ) =1+^ (1(а)). (78)
Интегрируя (78), находим
>/а1(а)/(а)
где с1 константа интегрирования.
с1(а) = 5 у , ' , . (79)
где
Для (43), (46), (50), (64), (65), учитывая (71)-(73), (79), уравнение (11) есть * с(0) + / + *М)/Л + * / )2 = 0.
у(1 + 2СУ2)
*0(а) =
(1 - 2СУ2)
( л„ 1 1о ь . ^ ( 1 1
2п0(а) Ко) + 4(1+2хУ)
1(0)
*1(а)=-2п0(а) +
(1+2СУ2)
1-Т + -11 +
(1 - 2СУ2) 2
1 (1 + 2СУ2)
1
1(0)
* =
т 2
о—СУ
2У
1 12
у (1 -2СУ2) + у(1 -2СУ2) +х
(80)
(81)
(82)
(83)
Приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях функции / и ее производных уравнений (68) и (80), находим условия на функции *г, г = 0,1, 2 , уравнения (80):
* 0(0) = 0,
чад = а,
аа
* 2 =-У-У
Применяя (83) для (86) получаем алгебраическое уравнение
4хУ + 12СУ2 + 9 = 0, которое имеет единственное положительное решение (поскольку У> 0 ):
Для (81), (88) равенство (84) принимает вид
2п0(а)=1.
(84)
(85)
(86)
(87)
(88)
(89)
Интегрируя (89), находим (учитывая четность функции п0(а))
е
2^0 (?)
= с5 \ЛА ,
(90)
где с5 константа интегрирования. Отметим, что для (30), (82), (88), (89) равенство
(85) выполняется тождественно.
Таким образом, используя (26), (43), (46), (50), (64), (65), (71), (72), (79), (88), (90), получаем выражение для искомых метрических функций квадратичной формы (8):
е = с5\Л\ (а(д) + Л(д) / (щ)),
(91)
В
= _Х1.Л (д)(а(д) + Л(д)/(щ))г-, ; ' ;
1
X
1 -
( Г7Г V VС 'у
(92)
А = Зс л2(?) (а(д) + Л(д) / (щ))
(/щ)2
1 ±
2
_6
с4\ /,П
v с щ
(93)
где значение константы с4 (нормировочная константа) должно обеспечивать выполнение неравенства
0 <
( гтт V
с4\
V х
< 1,
а ее величина, в соответствии с (36) зависит от значения констант /0, т и £, определяющих размер («толщину») «кольца», внутри которого сконцентрировано скалярное поле по переменной р, а именно
4х
/X2
(94)
Для определения значения константы с1 удобно исследовать выражение для скалярной кривизны: К = gaР gmv Raррv , где Яатру - тензор Римана-Кристоффеля, которое для найденных метрических функций имеет вид
К = -х
(фр^ + Ы
А
В
х
схсА (а(д) + Л(д) / (щ))
3 '
(95)
1
с
4
2
Сравнивая (95) с правой частью уравнения (12), видно, что при стягивании скалярного поля в струну, то есть при Ад ® 0, Ар ® 0, в области III, определяемой (23), должно быть выполнено
К 0 п =--0, (96)
где, применяя (30), (35), (36),
Р = (ехр(-1 / е) + (1 -ехр(-1/ е))в~м )3. (97)
В области I и области II, определяемых (21) и (22), согласно (30), (32), (33), функция (а(д) + 1(д) / (?)) ® 1. Тогда из равенства (95) следует
К = -—, (98)
С1С4
Из равенств (94), (96), (97), (98) видно, что скалярная кривизна пространства в областях I - III зависит от значения констант, определяющих размер («толщину») «кольца», внутри которого сконцентрировано скалярное поле. Причем, в пределе сжатия «размазанного» распределения в одномерный объект (нуль-струну), в области I и области II также должно быть выполнено: К ® 0. Фиксируя в (95),
(98), например, с1 =\—(с4)~2 Р_1, получаем
К =--, (99)
1д®0,"®° т (а(д) + 1(д)/ (?) )3
Применяя (37), (39) получаем, что при сжатии «размазанного» распределения в одномерный объект (нуль-струну) равенство (99) принимает вид: в области I и области II
Ш2
К = * ^ ® 0, (100)
в области III
К п п=—®0. (101)
Значение константы с5 в выражении (91), которая является масштабным множителем, удобно выбрать равным
с5 = ^ = (102)
X Р
Учитывая (91)-(93), (102), квадратичная форма (8) может быть записана в виде
2
}, (103)
где c4 = c4
W = W(q,h) = Щ?-Л2(д) [a(q) + 1(q) f (h)].
Частным случаем траекторий движения, определяемых (2), является траектория, соответствующая требованию R(0) = R = const, которая описывает
движение вдоль оси z замкнутой нуль-струны постоянного (неизменного со временем) радиуса R, решение системы уравнений Эйнштейна, для которой было найдено в работе [18]. Интересно отметить, что система уравнений Эйнштейна (11)—(17), для аксиально-симметричной нуль-струны, в предельном случае R(q) = R = const полностью совпадает с системой для нуль-струны постоянного радиуса R, а решение (103) в пределе R(6) ® R = const не может быть приведено к решению, найденному в работе [18]. Отсутствие при R(6) ® R = const предельного перехода между данными решениями может говорить об устойчивости конфигурации замкнутой нуль-струны в виде окружности при движении во внешнем гравитационном поле, влияние которого для такой нуль-струны, следовательно, может сводиться к изменению ее движения как целого или к изменению ее радиуса.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе, сравнивая систему уравнений Эйнштейна, построенную для распределения вещественного безмассового скалярного поля, сконцентрированного внутри «тонкой области», с системой уравнений Эйнштейна для замкнутой аксиально-симметричной нуль-струны, которая движется вдоль оси z , без изменения формы и в каждый момент времени t полностью лежит в плоскости, ортогональной этой оси, мы нашли условия, при выполнении которых, в пределе сжатия скалярного поля в одномерный объект (нуль-струну), компоненты тензора энергии-импульса скалярного поля асимптотически совпадают с компонентами тензора энергии-импульса замкнутой нуль-струны. Предложен вид функции распределения, описывающего движение скалярного поля, сконцентрированного внутри «тонкой области» вдоль оси z .
Найдено решение уравнений Эйнштейна для «размазанной», аксиально-симметричной, замкнутой нуль-струны, движущейся вдоль оси z , и в каждый момент времени t полностью лежащей в плоскости, ортогональной этой оси.
Показано отсутствие предельного перехода между решением системы
уравнений Эйнштейна для аксиально-симметричной «размазанной» нуль-струны и решением для замкнутой нуль-струны постоянного радиуса, которое приведено в работе [18], что может говорить об устойчивости конфигурации замкнутой нуль-струны в виде окружности при движении во внешнем гравитационном поле, влияние которого для такой нуль-струны может сводиться к изменению ее движения как целого (без изменения формы и размера) или к изменению ее радиуса.
Список литературы
1. Peebles P. J. E. Principles of Physical Cosmology. Princeton University Press, 1994. 736 p.
2. Linde A. D. Particle Physics and Inflationary Cosmology. Harwood, Chur, 1990. 269 p.
3. Vachaspati T., Vilenkin A. Formation and evolution of cosmic strings // Phys. Rev. D. 1984. Vol. 30, P. 2036.
4. Vilenkin A., Shellard E. P. S. Cosmic string and other topological defects. Cambridge University Press, 1994. 580 p.
5. Kibble T. W. B., Hindmarsh M. B. Cosmic strings // Reports on Progress in Physics. 1994. Vol. 58, No. 5.
6. Bennet D. P. Formation and Evolution of Cosmic Strings. Cambridge University Press, 1990.
7. Schild A. Classical null strings // Phys. Rev. D. 1977. Vol. 16, P. 1722.
8. Hill C. T., Schramm D. N., Fry J. N.. Cosmological Structure Formation from Soft Topological Defects // Commun Nucl. Part. Phys. 1999. Vol. 19. P. 25.
9. Roshchupkin S. N., Zheltukhin A. A. Variational principle and a perturbative solution of non-linear string equations in curved space // Nucl. Phys. B. 1999. Vol. 543. P. 365.
10. Bandos I. A., Zheltukhin A. A. Null super p-brane quantum theory in 4-dimensional space-time // Fortschr. Phys. 1993. Vol. 4. P. 619.
11. Zheltukhin A. A. Hamiltonian structure of the antisymmetric action of a string // JETP Lett. 1987. Vol. 46. P. 262.
12. Zheltukhin A. A. // Soviet J. Nucl. Phys. 1988. Vol. 48. P. 375.
13. Roshchupkin S. N., Zheltukhin A. A. Friedmann universes and exact solutions in string cosmology // Class. Quantum. Grav. 1995. Vol. 12. P. 2519.
14. Cui Y., Morrissey D. E. Non-Thermal Dark Matter from Cosmic Strings // arXiv : 0805.1060.
15. Oliv K. A. TASI Lectures on Dark Matter // arXiv : astro-ph/0301505.
16. Bertone G., Hooper D., Silk J. Particle Dark Matter : Evidence, Candidates and Constraints // Phys. Rept. 2005. Vol. 405. P. 279.
17. Lelyakov A. P. Solution to the Einstein equations for a "spread" closed null string of constant radius // Gravitation and Cosmology. 2015. Vol. 21. No. 3. P. 200.
18. Lelyakov A. P. Dynamics of a null string in the gravitational field of a closed null string of constant radius // Gravitation and Cosmology. 2015. Vol. 21. No. 4. P. 309.
19. Lelyakov O. P., Karpenko A. S., Babadzhan R.-D. O. Dynamics of a Non-Rotating Test Null String in the Gravitational Field of a Closed "Thick" Null String Radially Expanding or Collapsing in the Plane г = 0 // Ukr. J. Phys. 2014. Vol. 59. P. 1114.
20. Lelyakov A. P., Karpenko A. S. Dynamics of a probe null string in the gravitational field of a closed null string radially collapsing in the plane // Theoretical and Mathematical Physics. 2017. Vol.190, P. 140-153.
21. Lelyakov A. P. Peculiarities of null string motion in the gravitational field of a radially expanding or radially collapsing multistring system // Gravitation and Cosmology. 2017. Vol. 23, P. 50-62.
QUADRATIC FORM FOR AXIALLY SYMMETRIC CLOSED NULL STRING, MOVING WITHOUT CHANGE OF ITS SHAPE
Lelyakov А. P., Osokin C. S.*
Physics and Technology Institute, V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol 295007, Russia
*E-mail: journal. phys. techfa cfuv. ru
A solution of the Einstein equations for an axially symmetric closed null string has been found in the paper. The direction of motion for null string at each moment of time is orthogonal to the plane in which it is located. It is shown that there is no limit transition between the solution found and the solution for a closed null-string of constant radius. This can indicate the stability of the configuration of a closed null-string in the shape of a circle when moving in an external gravitational field. The effect of such field for such a null string can be reduced to a change in its motion as a whole (without change of the shape and size) or to a change of its radius.
Keywords: Einstein equations, null string, gravitational field, exact solution.
References
1. P. J. E. Peebles, Principles of Physical Cosmology (Princeton University Press, 1994).
2. A. D. Linde, Particle Physics and Inflationary Cosmology (Harwood, Chur, 1990).
3. T. Vachaspati, A. Vilenkin, Phys. Rev. D 30, 2036 (1984).
4. A. Vilenkin, E. P. S. Shellard, Cosmic string and other topological defects (Cambridge University Press, 1994).
5. T. W. B. Kibble, M.B. Hindmarsh, e-print hep-th/9411342.
6. D. P. Bennet, Formation and Evolution of Cosmic Strings (Cambridge University Press, 1990).
7. A. Schild, Phys. Rev. D 16, 1722 (1977).
8. C. T. Hill, D. N. Schramm and J. N. Fry, Commun Nucl. Part. Phys. 19, 25 (1999).
9. S. N. Roshchupkin, A. A. Zheltukhin, Nucl. Phys. B 543, 365 (1999).
10. I. A. Bandos, A. A. Zheltukhin, Fortschr. Phys. 41, 619 (1993).
11. I. A. Bandos, A. A. Zheltukhin, Soviet. J. Nucl. Phys. 50 (3), 556 (1989).
12. A. A. Zheltukhin, JETP Lett. 46 262 (1987).
13. S. N. Roshchupkin, A. A. Zheltukhin, Class. Quantum. Grav. 12, 2519 (1995).
14. Y. Cui, D. E. Morrissey, arXiv: 0805.1060v2 (hep-ph).
15. K. A. Oliv, arXiv: astro-ph/0301505.
16. G. Bertone, D. Hooper, J. Silk, Phys. Rept. 405, 279 (2005).
17. A. P. Lelyakov, Gravitation and Cosmology 21, No. 3, 200 (2015).
18. A. P. Lelyakov, Gravitation and Cosmology 21, No. 4, 309 (2015).
19. O. P. Lelyakov, A. S. Karpenko, R.-D. O. Babadzhan, Ukr. J. Phys. 59, 1114 (2014).
20. A. P. Lelyakov, A. S. Karpenko, Theoretical and mathematical Physics, 190, No. 1, 140 (2017).
21. A. P. Lelyakov, Gravitation and Cosmology 23, No. 1, 50 (2017).
Поступила в редакцию 08.11.2017 г. Принята к публикации 22.12.2017 г. Received November 08, 2017. Accepted for publication December 22, 2017
