CC BY
6Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского Серия «Физико-математические науки». Том 25 (64). 2012 г. № 1. С. 3-16
УДК 539. 391+514. 764.2
РОЗВ'ЯЗОК Р1ВНЯНЬ ЕЙНШТЕЙНА ДЛЯ «РОЗМАЗАНО1» НУЛЬ-СТРУНИ, ЩО РАД1АЛЬНО КОЛАПСУе В ПЛОЩИН1 z = 0 Леляков О.П., Карпенко А. С.
Тавршський нащональний ушверситеш rneni В.1. Вернадського, Смферополь, Украша
E-mail: [email protected]
У робота знайдений розв'язок системи ршнянь Ейнштейна для «розмазано!» замкнено! нуль-струни, що радiально колапсуе в площинi z = 0 . Так само запропоновано загальний вигляд розподiлу потенцiалу, який описуе рух скалярного поля для «розмазано!» нуль-струни, що радiально колапсуе в илощиш z = 0 . Знайдено умови, за яких компоненти тензора енерпНмпульсу скалярного поля, при стисканш поля в одновим1рний об'ект, асимптотично збiгаються з компонентами тензора енергп4мпульсу замкнено! нуль-струни.
Ключовi слова: нуль-струна, скалярне поле, космолопя.
ВСТУП
Струнш теорп, хронолопя яких нараховуе трохи бшьше трьох десятюв роюв продовжують очевидно перебувати у сташ невпинного розвитку, часом бурхливого а часом i бшьш спокшного. Цей розвиток тдтверджуеться великою кшьюстю статей, монографiй, праць, конференцш тощо. I хоча iснуе низка проблем, що виникли на попередшх i на сучасному етапах розвитку, струнш теорп заворожують сво'ми вже вщомими, часто справдi красивими результатами, общяючи i у подальшому велию можливостi та перспективи. Очевидно, що концепщя струн i, 6iльш загально, 6агатовимiрних о6'ектiв i надалi вдаграватиме важливу (якщо не сказати центральну) роль у по6удовi остаточно! теорн единого опису усiх чотирьох титв фундаментальних взаемодiй. Серед рiзноманiтних напрямюв у теорй струн окремим i досить важливим е той, котрий охоплюе дослщження ролi струнних об'екпв у космологй. Як вiдомо, катбрувальш теор^ Великого об'еднання з щеею спонтанного порушення симетрй передбачають можливють утворення у процесi фазових переходiв у ранньому Всесвiтi одновимiрних тополопчних дефектiв -космiчних струн. Питання про вплив таких об'екпв, його значимють i конкретнi прояви у подальшому розвитку нашого Всесв^у заслуговуе на серйозну увагу i дослщження. Данiй тематицi у сучаснiй науковш лiтературi присвячено чимало статей, i вже утворилися цiлi напрямки iз застосування космiчних струн до тих чи шших проблем сучасно! космологи, серед яких найбшьша увага придшяеться струнним механiзмам утворення первiсних неоднорщностей густини речовини, про6лемi чорно! матери, шфляцшному сценарiю за участю струн та ш. [1 - 7]. У подальшому, iз надходженням все нових i нових даних спостережень, зрозумшо, що далеко не вш iз цих напрямкiв витримають перевiрку часом. Тим не менше, цшком о6надiйливим можна вважати те, що все часпше з'являються роботи, спрямоваш на можливе експериментальне виявлення космiчних струн [8].
Нуль-струни реалiзують границю нульового натягу в теори струн [5, 7]. Компоненти тензора енергпЧмпульсу для нуль-струнi мають такий вигляд:
TmnJ—g = yf didoxmTxnT5A (xl — xl (г, a)), (1)
де iндекси m, n, l набувають значень 0, 1, 2, 3, функци xm = xm(г,a) визначають траекторда руху нуль-струни, г i a - параметри на св^овш поверхш нуль-струни, x"T = dx / дг , g = |gmn|, gmn - метричний тензор зовшшнього простору, у = const. У цилшдричнш системi координат
x0 = t, x1 = р, x2 = в, x3 = z , функци xm(г,a), яю визначають траекторiю руху замкнено! нуль-струни, що радiально колапсуе в площиш z = 0 , мають такий вигляд:
t = г , р = —г, в = a, z = 0, г е (— ю;0]. (2)
Можна зазначити, що траекторiя (2), наприклад, реалiзуеться при рус замкнено! нуль-струни у просторьчасу Переса, який традицiйно описуе поле випромшювання з iзотропним тензором енергпЧмпульсу.
Для (2) вiдмiнними вiд нуля будуть таю компоненти тензора енергпЧмпульсу
(1)
T00 = T11 = —T01 =-^8(z ]s(tj) , (3)
V-g
де jj = t + р.
Оскшьки для траекторп руху (2) ус напрямки на гшерповерхностях z = const е^валентш, то метричнi функци gmn = gmn (t, р, z), тодь використовуючи iнварiантнiсть квадратично! форми щодо iнверсi! в на — в, одержуемо g02 = g12 = g32 = 0. Так само можна помiтити, що квадратична форма простору-часу повинна бути iнварiантна щодо шверсп z ^ — z, тодi
gmn (t, P, z)= gmn (t, P,—z) . (4)
Наслiдком (4) е g03 = g13 = 0. Остаточно, використовуючи свободу вибору систем координат у ЗТВ, частково зафшсуемо !! вимогою g01 = 0. Таким чином, квадратична форма для задачу що розв'язуеться, може бути подана так
dS2 = e2v(dt )2 — A(dp)2 — B(de) — в2м (dz )2, (5)
де v,^, A, B - функци змшних t, р, z.
Оскшьки траекторiя (2) повинна буди одним iз розв'язкiв рiвнянь руху нуль-струни, то можна одержати додатковi умови (зв'язки) на метричш функцi!, при виконаннi яких траекторiя руху нуль-струни, що задаеться (2), залишаеться незмiнною.
Рух нуль-струш в псевдоримановому просторi визначаеться тако! системою рiвнянь:
xl+wx^ 0, (6)
д хтх" = 0 д хтх" = 0
(7)
де Г; - символи Кристофеля. Можна безпосередньо переконатися в тому, що для
траекторп (2) перше з рiвнянь (7) для (5), мае такий вигляд в2у — А = 0 , звщки
ег" = А , (8)
а рiвняння системи (6), (7), що залишилися, для (2), (5) за умови (8) зводяться до единого рiвняння V ( —Ур = 0, звщки
v = v(л, 2). (9)
Тодi згiдно (4) маемо
v(л,2 ) = v(л,—2 ). (10)
Анатзуючи систему рiвнянь Ейнштейна, побудовану для (3), (5), та використовуючи знайденi умови (8) - (10), можна до визначити залежшсть функцш квадратично! форми (5), а саме
В = Б(т1,,), л = л(л,г), (11)
при цьому, сама система Ейнштейна зводиться до додаткових рiвнянь
1 (В V
1 „ к „ ™ (12)
В (В ^
+ 2л — 2v + 2л
В л л , л ^ в , л у
2
V В У
+
2(л, V )2 =—2XT00,
(В7 ^ ив, ^ + 2
V В у,
V В у
+В (—», ,)=
) = 0,
В,
^ + 2v т —V
В
л, ,,
( В
В
+ 2и,
} 1В7(В
2В
В
+ 2мл = 0,
( В,
2v,гг + 4(v,г)2 вв, — 2^
В В,
=0
к )2 + ^ = 0
В
(13)
(14)
(15)
(16)
2v—Ju
де т00 =У-
4В
-5{л)5(,).
Використовуючи знайдеш умови (8), (9), (11) для (5), одержуемо
с182 = e2v \сИ)2 — (йр)2)— В{с1в)2 — е2м (й,)2, (17)
де v = v(л,2), В = В(л,2), л = ¡{г),2). Також можна вiдзначити, що в (17), згiдно з (4), функцн В(л,,) i ¡(л,,) е парними по г , тобто
В(л, 2) = В(л,—2), л(л,,) = л(л,—,). (18)
Надат, при штегруванш рiвнянь Ейнштейна застосуемо алгоритм запропонований у роботi [8], тобто при штегруванш рiвнянь Ейнштейна будемо розглядати компоненти нуль-струнного тензора енергнЧмпульсу як границю
2
7
2
розмазаного «розподiлу») у якост якого виберемо дiйсне безмасове скалярне поле, вимагаючи при цьому, щоб компоненти тензора енергйЧмпульсу скалярного поля в границ стиску в одновимiрний об'ект асимтотично збiгалися з компонентами нуль-струнного тензора енергйЧмпульсу.
1. РОЗПОД1Л ПОТЕНЦ1АЛУ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ ДЛЯ «РОЗМАЗАНО1» НУЛЬ-СТРУНИ
Компоненти тензора енергйЧмпульсу для дшсного без масового скалярного поля мають такий вигляд
1
2'
де Ь = gюЛртрЛ, ра=др/ да, р - потенщал скалярного поля, шдекси
а, Р,0, Л набувають значень 0, 1, 2, 3. Для того, щоб забезпечити само узгоджешсть рiвнянь Ейнштейна для (17), (19), будемо вимагати
ТаР = ТаР (/ 2) = Р(/, 2) . (20)
Розписуючи (19) для (17), (20), одержуемо
Т00 = (р,„)2 + —(р., )2, Т11 = (р,,)2--< )2,
Т22=- )2, Тзз=2 р)2, (21)
Т01 =(р,,)2, Т03 = Т13 = « .
Система рiвнянь Ейнштейна для (17), (21) може бути представлена у такому вш\щщ + 2У, ^ - - )2 - ^ + = )2, (22)
- В, В в„ в„ в.
V 2 В J
——-у„7 н---И--^^ н--и„ + ипу7 =ХР„Р,, (23)
2В ,/г 2В 2В 2В ,г 2В,г
Ф,,)2 -2(2вв --2ВВВ(Ь-^)2
,гг 2В
(24)
2у,гг + З(уг)2 - 2^,г = -|(р,,)2, (25)
)2 н Вв = | (р, )2. (26)
Якщо розглядати систему рiвнянь (22) - (26) для розподшу скалярного поля
вже сконцентрованому всередиш «тонкого» кшьця, для якого змiннi // i г набувають значень в штерват
]е[—Л];Л]], г e[-Az;Az] , (27)
де Л ] i Az - мат позитивш константи, що визначають «товщину» кшьця, тобто
Л]<< 1, Az << 1, (28)
i за подадьшого стискання такого «тонкого» кшьця в одновимiрний об'ект (нудь-струну)
Л] = 0, Az = 0, (29)
то простiр, в якому прямуе така «розмазана» нудь-струна, i для якого змiннi j i z набувають значень в iнтервадi ]е(—да;+да), z е(—да;+да), умово можна розбити на три обдастi
- обдасть I, ддя яко!
] е (—да;—Л j) (Л];+да), z е (— да;+да) , (30)
- обдасть II, ддя яко!
j е [— Лц;Л]], z е(—да;— ^(Л^+да), (31)
- обдасть III, ддя яко!
]] е [—Лц; Л]], z е [— Л^;Лz], (32)
причому, оскiдьки скадярне поде сконцентроване усередиш такого «тонкого» кшьця, зумовденого (27) - (29), то в обдаст I, II потенщад скадярного подя дорiвнюe нудю, а в обдаст III (усерединi «тонкого» кшьця) р ^ 0 .
Ддя отриманих умов розподш потенцiалу скадярного подя зручно подати у вигщщ
*,'> =ln {a(])4)f (z )}■ (33)
де функци a(j) й А( j) симетричнi вiдносно шверси ] на — ], тобто
a(rj) = a(—rj), А(]) = А(—]), (34)
функцiя a(j])+ Ä,(j])f (z) обмежена
0 < a(j) + Ä(j)f (z) < 1, (35)
а потенцiал скадярного подя (33), зпдно з (35), може набувати значень вщ
р = 0, при а(])+Л(])f (z) = 1, (36)
i до
р ^ да, при a(j) + А(j)f (z) ^ 0, (37)
причому в обдаст I, вщповщно до (36)
а(]) = 1, А(])= 0. (38)
Як прикдад, можна навести такий вибiр функцiй a(j) i f (z), яю задоводьняють знайденим умовам
a(j)=Ч—т;|Ы' (39)
/) = /0 ехР1 -
¥
1 - ехр<! -
)2
(40)
де константи £ й ( визначають розмiр («товщину») кiльця, усерединi якого сконцентроване скалярне поле, за змiнними // i г вiдповiдно, а саме, як випливае з (39), (40), при А, ^ 0 , Аг ^ 0
£ ^ ю , д ^ ю , (41)
а позитивш константи
е<< 1, ¥>> 1 , (42)
а за подальшого стискання в одновимiрний об'ект, тобто при А/ = 0, Аг = 0
е = 0 , ¥ ^ ю . (43)
2. РОЗВ'ЯЗОК СИСТЕМИ Р1ВНЯНЬ ЕЙНШТЕЙНА ДЛЯ «РОЗМАЗАНО1» НУЛЬ-СТРУНИ
Для (19) рiвняння скалярного поля мае вигляд
^ аррХ = 0,
(44)
де крапка з комою позначае коварiантну похiдну. Розписуючи (44) для квадратично! форми (17), i враховуючи (20), одержуемо
А Г рр,л
дг
е2м V е
+ -
р.:
(
¿М
2vг + ^ + м, ,г 2В
Л
= 0.
Перший штеграл (45) е
р, = с1//е
- 2v
у[в '
(45)
(46)
де с1(//) «константа» штегрування. Помiтимо, що наслiдком (10), (18), (34), е симетричшсть (парнють) функцi! с:(/) щодо змiни // на -/. Рiвняння (24), (25) легко штегруються, !х першi штеграли е
уг = с
= С2 (//У
2v
ем в, / Ч _2v ем
= с3 (//У
-ТВ в 3У" 4в
де с2 (//) й с3 (//) - «константи» iнтегрування. Розглядаючи разом рiвностi (46), (47) можна отримати зв'язок метричних функцiй V/,г) й В(//,г) з потенщалом скалярного поля р(//, г), а саме
V =
С2 (/)
В
(//р,г, в с1//ЧУ•
г _ С3
р, ,
(48)
звщки
1
м
е
с
(г,л) = Сл V + Vo (л), В(,,л) = Р(л) ехр|
С3 (Л)
С (л)
(49)
де v0 (л) й Дл) - «константи» iнтегрування. Використовуючи (46), (49), можна знайти зв'язок метрично! функцп ¡(л, г) з потенщалом скалярного поля
ел(, ,л) =Щ ехр]1
С1 (л) I 2
(
4с2 + с
2 1 ^3
С {И)
(р(г,л) + 4vo (л)
V
(50)
Використовуючи (48) для (26), одержуемо рiвнiсть, що зв'язуе мiж собою функцй С1 (л), С2 (л) и Сз (л):
С2 (л)
+ -
Ал) Сз (л)
X
С1 (л) У С (л) С (л) 2'
Для (49), (50) рiвняння (23) приймае такий вигляд
V,
2С2,, + С3,, — 2с2 (л) -Дл) — 2Ч (С3 + 2с2 )
= 0.
(51)
(52)
Оскшьки рiвнiсть (52) повинна бути виконаною для всiх л е (— й
г е (—, то
С3,, + 2С2,, — 2С2 (л) Дл — 2Ч (с3 (л) + 2с2 (л)) = 0 . (53)
У зв'язку з тим, що потенщал скалярного поля при Ал «1 й Аг <<1 вiдмiнний вiд нуля тшьки в малому околi кола л = 0, г = 0, а в границ стиску в одновимiрний об'ект (при Ал = 0 , Аг = 0) вщмшний вiд нуля тшьки при л = 0, г = 0, то наслщком (49), (50) можна вважати
С2 (л)
с (л)
= С,
Ал)
С1 (л)
=С
де С2 й С3 - константи, якi зв'язаш, згiдно з (74), спiввiдношенням
(СС2) 2 +
С2 С3 = - '
Х 2
1нтегруючи (55) для (54) знаходимо
,2П>
'1 (л)
= (Д(л))—
де С0 = Свт1,
2с
С=
С3 + 2с2
(54)
(55)
(56)
(57)
2
С
С
С
С
0
Дифференцюючи по г pîbhoctî (49), (50) з урахуванням (54), одержуемо
В,у _ ßj,
в " ß/
"г= + >г . (58)
Помiтимо, що в областi р _ 0 (тобто по за областю, де сконцентроване скалярне поле), piBrocTi (58) приймають вигляд
■ t =Ж "•_ -2 Ж СМ+2г°г' (59)
Для (56), (59) (тобто в обласп р_ 0) рiвняння (22) може бути представлено у такому виглядi
ММ/))) - СС^Г)(1п(м(г))),г+ 2ЩТс) ((1п(М(г)У,г)2 _ 0 . (60)
Перший i другий штеграл рiвняння (60) вiдповiдно е
1-2c Г N 2(l-c)
MT)^) ßг _ Г0 С (г), ß(r)_ Г1 + -(-С) J С Шг\ , (61)
V
де у0 й г1 - константи iнтегрування.
Згiдно з (18), (49) функщя ß{r) - позитивно визначена, симетрична щодо змiни г на — у функщя, що визначае гравгацшне поле в обласп де р _ 0 . Функщя Jс1 (г/dr (первюна функци с1 (у)) е непарною, тому для того, щоб (61) функщя ß(r) була симетричною (парною), необидно покласти у1 _ 0, також фшсуючи в (61) у _ 2(1 — c), одержуемо
ß(r)_(j С1 (r)dr)21 С ). (62)
Використовуе (62) для (56), знаходимо вираз, що зв'язуе функци v0 (у) й c1 (у)
,2V0 (г) _ fiW [( - ^2С(С—1
c0
(г)^г)2с(с—1). (63)
Пiсля того, як ми отримали рiвностi (62), (63) залишилися неясними критерi! фiксацi! функци с1 (//), а також констант с2 й с3 . Для визначення даних умов зручно розглянути рiвняння (22) при
0, г ^ 0, А/ << 1, Аг << 1, (64)
тобто у деякому малому околi кола // = 0, 2 = 0, що перебувае у середеш обласп, де сконцентроване скалярне поле. Помнимо, що для (64), з урахуванням (53), (55), (56), (58) функщя ¡и, приймае вигляд
1
Лл=12 — С Уд(л)
Для (58), (62), (63), (65) рiвняння (22) е
Дл + Г1 ~3 + 2~2 +1^1 V
(65)
2с4
а
а
,л I — 2 л
л
а
а
л
С (л)
- с4 — 2с5
С (л)
IС1 (лУл
V 2
алУ {~32 + 4(3 + ~2) + 2 + 2х}= 0
(66)
де с
4 = с3 + 2с2 +1, с5 = (1 — с) (1 — с + с3 — 4сс2) . Так
в як отру манному рiвняннi
функцiя а(л) визначена, наприклад рiвнiстю (39), то (66) зв'язуе мiж собою функцй С1 (л), а(л) i константи с2,
2 > ^3
С3 .
Оскiльки для випадку (64) вираз (а^а(л))^ 0, то рiвняння (66), може бути
подане як
2с( ал
'41а(л!) У
— {?32 + 4( + ~2) + 2 + 2х}= 0
Помiтимо, що при
аг
а
(л).
2 Г Л-1
а
(л),
С (л)
- С4 — 2с5
С (л)
IС1 (лУл
згiдно з (39), (41) й (43)
(
а л
а
(л) У „ 1а(л)
а.
л ^ 0, Ал ^ 0,
V г
—1
^ 0,
ал
а
л
^ 0.
(67)
(68)
(69)
Тодi для виконання (67) у деякому малому околi поверхнi л = 0, при А л ^ 0 , необидно вимагати:
(— 2с С1 (л) 1 ( 1 (л)С4 2С5
а л
^ 0,
(70)
IС (лУл 1 1а(л) ■ 4(с~2 + с3) + 2 + 2х = 0, (71)
причому умова (70) дае обмеження на вибiр функци С1 (л), а (71) ще одна рiвнiсть,
С3 +'
що зв язуе константи С2, С3.
Помггимо, що рiвнiсть (71), з урахуванням (55), набувае вигляду
С2 (с32 + 2 + 2x)=—2x,
Звщки випливае, що константа С2 негативна, тобто
~2 < 0.
(72)
(73)
С
> -
С
> -
Розглядаючи разом (55) й (72) отримуемо рiвняння на константу С3
~34 + 4~33 + 4(1 + X С2 + 8(1 + х)~3 + 4(1 + X + X2) = 0. (74)
Помггимо, що всi коефщенти отримано! рiвностi позитивнi. Оскiльки в рiвняннi Ейнштейна константа X << 1, то для оцiнки знака константи С3, рiвняння (74) можна подати у виглядi
с34 + 4с33 + 4с32 + 8с3 + 4 = 0. (75)
Рiвняння (75) мае два дшсш коренi х12 = —2 + л/2. Тодi дшсш кореш рiвняння (74) е
с312 =—2 ±л/2 +^1,2, (76)
де 8хг - погршностг Пiдставляючи (99) у (97), у лшшному наближеннi знаходимо
- г2 S -X 3 X , S ~ 2
S «--X2, S- (77)
Наслiдком (76), (77) е
~з < 0. (78)
Помггимо, що для отриманих оцшок (73), (78) значення константи c (piBHiCTb (57)) позитивно, тобто
С = TT-^-z- > 0. (79)
С3 + 2С2
Позначимо
С
С1 Ы 4 5 . С (r)dr
де зпдно з (70), функцiя lf/{rl задовольняе рiвностi
(а, 4
1r с4 - 2С5ТС(Г)- = ^(Г) , (80)
v(r) /-ДИ 0. (81)
a(r) )
V1-
Перший iнтеграл рiвняння (81) е
С (л) _ C;.Hr)dr
(( С1
_ Сб^С4 , (82)
де С6 - константа iнтегрування. Для подальшого iнтегрування (82) необхiдно оцiнити константу С5/С4 . Згiдно з (57), (72), (76), (79)
|с2| << |с31, с << |с3|, с << 1, (83)
тодi враховуючи (66), (83) можна записати
с4 « ~3 +1, с5 « с3 +1, звiдки с5/с4 « 1. (84)
1нтегруючи (82), знаходимо
де зафксоване
|с1 /I, = (- 1)С6 |еС4
V
Л-1
с6 =
2 ^ -1
V с4 У
(85)
(86)
Диференцiюючи (85) по //, з урахованням парност функцi! с1 (/),
одержуемо
с (//) = (- 1)с6 1 св
— [¥(//№ Г г — {¥(//№/
сс
,2Л
_(с6 +1)
Використовуючи (71), представимо рiвняння (67) у вигщщ при
"1,' . - 2 с5 с1
(//)
й
(
а/
/Г
аг
(87)
(88)
с1(/) с4 |с1 (г/й/ ё/Уа(///Л \а(Л))
Порiвнюючи (80) й (88), одержуемо загальний вираз для функци ¥(/) (зв'язок функцi! а(//), що задаеться, наприклад рiвнiстю (62), i функцi! ¥(/))
Г й Г а.
К
а
\\
(89)
V У/ 1ча(//) у
Використовуючи (54), (56), (62), (63), знаходимо вираз для метричних функцш (49), (50)
,2у(„/) _ Ч
( с1 (// )ё/)2 У ехр{2с2р(г,/)},
В(г, /) = V (( с (// )ё/)2 У ехр^рг, //))
(90)
(91)
е
2м(/) _
1с1 (//)ё/)2
(1-с )(1-2с)
(р,/)2 ехр{(~~3 + 4С2 р,/}, (92)
де функци с1 (//) i ¥(/) визначаються рiвностями (87), (89).
Для характеристики простору який породжуе «розмазана» нуль-струна й обумовленого функщями (90) - (92), зручно виписати вираз для скалярно! кривизни К = gавgиВ-аиву яка враховуючи (24) - (26) i рiвнiсть (92), може бути подана у
виглядi
К = -
,2м(г,/
О
2
2 с0
с0ехР{~3 + 4~2 |р( г,/)}
(1 -с )(1 -2с
^ с1 {г!/й/
Для (39) функцiя ¥(/), яка обумовлена рiвнiстю (89) приймае вигляд
(93)
е
е
с
0
0
¥(л) =
Для (94)
(1 V
л 8 + (Тл)
(94)
е 2л(л,,) = \У,г, К ~ 2 С0
еСУш =_л_ г =__±1_. (95)
де вибираеться знак «+» для л > 0 i знак «-» для л < 0. Застосовуючи (95) для (110), (89), одержуемо
(IС1 лл)2 = Т (е + (ТлГ )2 (96)
/ \с6—1 С (л) = (— 1)С6+1С6 (Т )С6+1л((г + (^л)2 )2(97) Для (96), (97) функци (90) - (93) е
е2^) = (— 1)С6+1 С ((¿2) |л|(( + (л)2)2Iе8е), (98) С0
В(л,г)^ Г"С '(Ил) )Ме"»), (99)
(Т ) ((г + (¿тл)2) ) е(с3+<с.), (100)
е1 с3+4с2Wv,z)
(Т) (г + (¿л)2) )
де с7 = с6 (2с(с — 1) +1) +1, с8 = с6с(с — 1) + (с6 — 1)/ 2 , с9 = (1 — с)(1 — 2с)с6 .
З (101) випливае, що для випадку «розмазано!» нуль-струни, чому вiдповiдають обмеженi (скiнченнi) значення констант ¿,£,8,^, якi визначають розподiл скалярного поля (33), (39), (40), скалярна кривизна - визначена, безперервна i обмежена функщя для всiх значень змшних г,л .
Оскiльки е2^лг) - позитивна функцiя, то наслщком (98) може бути
С0 =(— 1)С6+1 с6. (102)
Використовуючи (107) для (109), одержуемо
с6 «1, (103)
тодi для (83), (103)
с7 « 2, с8 « 0, с9 «1, с0 « 0. (104)
Для (104) рiвностi (98) - (101) приймають вигляд
е2л « 4Т4 л ехр{2с2^(г,л)}, (105)
В(г,л) 4Т4(г + (Тл)2)2 ехр{с3^(г,л)}, (106)
е,7]) - (р7)24£4( + (] ) ехр{(( + 4~2>(])}, (107)
ехр|с3 + 4с2
К / чЛ (108)
Можна помiтити) що оскiльки) згiдно з (66), (78), константи с2, с3 - негативш, а при 7] = 0, 2 = 0, А] = 0, Аг = 0 потенцiал скалярного поля (33) прагне до + да , то для функцй квадратично! форми (17) ^вносп (90) - (92)) i виразу скалярно! кривизни (93) при А] = 0, Аг = 0
(е2р(г,В(г,/), е7)= 0, К ^—да. (109)
На наш погляд, той факт, що в гранищ стиску скалярного поля в одновимiрний об'ект на колк ] = 0, г = 0 скалярна кривизна К ^—да, не е недолiком наведеного роз'язку, а е наслщком граничного переходу вщ «розмазаного» об'екта до одновимiрного, то скорiше вказуе на неадекватнють математичного формалiзму, застосованого для опису нуль-струни.
Також помiтимо, що для наведеного прикладу вибору функцй о(]] при А] « 1, Аг « 1 в область де потенщал скалярного поля дорiвнюе нулю, рiвнiсть (108) приймае вигляд
К ---т^-Г7 , (110)
4£4 ( + (]) )2
тодi в гранищ А] ^ 0 , Аг ^ 0 , згiдно з (41), в област г/ е (— да;—А])^ (А/;+да), маемо
К = 0. (111)
ВИСНОВКИ
У наведенш роботi знайдений розв'язок системи рiвнянь Ейнштейна для «розмазано!» замкнено! нуль-струни, що радiально колапсуе у площинi г = 0. Так само порiвнюючи систему рiвнянь Ейнштейна для розподiлу потенщалу дiйсного, безмасового скалярного поля, яке сконцентроване всередиш тонкого кiльця iз системою рiвнянь Ейнштейна для замкнено! нуль-струни, що радiально колапсуе у площиш г = 0, ми одержали умови на потенщал скалярного поля, за яких, при стисканш скалярного поля в одновимiрний об'ект, компоненти тензора енергп-iмпульсу скалярного поля асимптотично збтаються з компонентами тензора енергй-iмпульсу замкнено! нуль-струни, яка прямуе за пею ж траекторiею. Запропоновано загальний вигляд розподшу потенцiалу, який описуе рух скалярного поля, сконцентрованого усередиш тонкого кшьця, що радiально колапсуе у площиш г = 0, та наведений приклад розподшу потенщалу скалярного поля, який задовольняе знайденим умовам.
Список л^ератури
1. Vilenkin A. Cosmic string and domain walls / Vilenkin A. // Phys. Repots - 1985. - Vol. 121 - P. 263-271.
2. Kibble T. W. B. Cosmic string / Kibble T. W. B., Hindmarsh M. B. - 1994. - 138 p. - (e-print: arXiv:hep-ph/9411342v1).
3. Peebles P. S. E. Principles of physical cosmology / Peebles P. S. E. - Prinston University Press, 1994. -850 p.
4. Линде А. Д. Физика элементарных частиц и космология / Линде А. Д. - М. : Наука, 1990. - 275 c.
5. Roshchupkin S. N. Fridman Universes and exactly solution on string cosmology / Roshchupkin S. N., Zheltuhin A. A. // Class. Quantum. Grav. - 1995. - Vol. 12. - P. 2519-2524.
6. Vilenkin A. Cosmic string and other topological defects / Vilenkin A., Shellard E. P. S. - Cambridge University Press, 1994. - 534 p.
7. Меерович Б. Э. Гравитационные свойства космических струн / Меерович Б. Э. // УФН. - 2001. -Т. 171, №10. - С. 1033-1049.
8. Арифов Л. Я. Динамика струн и нуль-струн в поле гравитационных волн / Арифов Л. Я., Леляков А. П., Рощупкин С. Н. // Украинский физический журнал. - 1998. - Т. 43. - С. 890-895.
Леляков А. П. Решение системы уравнений Эйнштейна для «размазанной» нуль-струны, которая радиально коллапсирует в плоскости z = 0 / Карпенко А. С., Леляков А. П. // Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского. Серия: Физико-математические науки. - 2012. - Т. 25(64), № 1. - С. 3-16.
В работе найдено решение системы уравнений Эйнштейна для «размазанной» замкнутой нуль-струны, которая коллапсирует в плоскости z = 0. Также предложен общий вид распределения потенциала, который описывает движение скалярного поля «размазанной» нуль-струны, радиально коллапсирующей в плоскости z = 0. Найдены условия, при которых компоненты тензора энергии-импульса скалярного поля, при сжатии поля в одномерный объект, асимптотически сближаются с компонентами тензора энергии-импульса замкнутой нуль-струны. Ключевые слова: нуль-струна, скалярное поле, космология.
Lelyakov O. P. A solution of the Einstein equations for a 'thick' null-string collapsing on radius in the plane z = 0 / Lelyakov O. P., Karpenko A. S. // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vernadsky University. - Series: Physics and Mathematics Sciences. - 2012. - Vol. 25(64), No 1. - P. 3-16. A solution of the Einstein equations for a 'thick' null-string collapsing on radius in the plane z = 0 , are found. The general form of the scalar field potential distribution for a 'thick' null-string collapsing on radius in plane z = 0 is proposed. The conditions, under which a contraction of the field to the one-dimensional object results in asimtotic coincidence components of the energy-momentumm tensor of a scalar fiald with those of a closed null-string moving on the same trajectory, are found. Keywords: null-string, scalar field, cosmology.
Поступила в редакцию 03.04.2012 г.
