Кручение растущего вала Текст научной статьи по специальности «Математика»

304 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №4(54).

УДК 519.999

КРУЧЕНИЕ РАСТУЩЕГО ВАЛА1

© 2007 М.Н. Михин2

В работе исследована задача кручения для стареющего вязкоупругого кругового вала. Рассмотрены два варианта постановки задачи. Проанализированы основные этапы деформирования тела: до начала наращивания, в процессе и после остановки роста.

1. Постановка задачи. Напряженно-деформированное состояние основного тела

Предположим, что в нулевой момент времени из стареющего вязкоупругого материала изготовлен круговой вал Пі с продольной выточкой. Поперечное сечение Пі задается системой неравенств

х2 + х\ ^ Ь2, (хі - а)2 + ^ а2, (Ь1 < а).

Границу сечения Пі обозначим Ьі.

До момента загружения То ^ 0 боковая поверхность вала свободна от напряжений. В момент приложения нагрузки То к торцам вала прикладываются усилия, статически эквивалентные паре с моментом М(г), или же

задается угол поворота торцевого сечения.

В момент времени Ті ^ То к боковой поверхности вала начинается приток вещества. При этом новые приращиваемые элементы не напряжены, и момент их изготовления совпадает с моментом изготовления основного тела. Обозначим через Ь(г) границу поперечного сечения П(г)

х2 + х| ^ Ь2(г), (хі - а)2 + х2 ^ а2, (Ь(г) < а),

которая изменяется с течением времени, при этом Ь(ті) = Ьі и П(ті) = Пі. Граница Ь(г) сечения П(г) состоит из двух участков Ь(г) = Ь*(г) и Ьа(г), где

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором А.В. Манжиро-вым.

2Михин Михаил Николаевич ([email protected]), кафедра высшей математики Московского государственного университета приборостроения и информатики, 107846, Россия, г. Москва, ул. Стромынка, 20.

Ь*(г) — граница наращивания, контур, соответствующий малой окружности переменного радиуса Ь(г), при этом Ь*(0 = Ь* при т < Ті; Ьа(г) — граница, свободная от напряжений. Закон роста вала полностью задается функцией Ь(г). Естественно, что Ь(ті) = Ьі.

Будем также считать, что момент приложения нагрузки к приращиваемым элементам то(хі, х2) совпадает с моментом их присоединения к растущему телу Т*(хі, х2).

В момент Т2 ^ Ті наращивание вала прекращается, и он занимает область П2 = П(Т2) с поперечным сечением П2 = П(Т2), имеющим границу Ь2 = Ь(Т2). К этому моменту поперечное сечение представляет собой пересечение двух кругов с радиусами а и Ь2.

Рассмотрим основные соотношения поставленной задачи на отрезке времени г є [то,Ті]. Имеем следующую краевую задачу [1—3]: уравнения равновесия

^Н = 0, ^ = 0, ^13 + ^023 = 0; (1Л)

дхз дхз дхі дх2

соотношения между деформациями и перемещениями

1(дщ ди3\ 1 (ди2 ди3\

г*~2Щ+Щ' (1-2)

уравнения состояния

аі3 = 20(1 + ^^то )^ і3, а23 = 20(1 + ^го)^23,

г

(I + Мо)-і = (I- Хто), -С/ (г) = /1 (т)Кі(г, т)йт, (і3)

д

К\{г,х) = С{х)—[С-\х) + со(г, т)];

дТ

краевое условие на боковой поверхности

(хі,х2) є Ьі : аі3«і + а23«2 = о, (і.4)

Условие равновесия торцевого сечения Пі под действием крутящего момента:

М«) = //^ - хгтзЫп^ (і-5)

Пі

где П = {пі, П2} — единичный вектор внешней нормали боковой поверхности

бруса, О = О(г) — модуль упругомгновенной деформации при сдвиге, Кі(г,т)

и ш(г, т) — ядро ползучести и мера ползучести при сдвиге соответственно, I — тождественный оператор. Выше в ряде очевидных случаев аргументы опущены. Будем опускать их и далее, воспроизводя лишь в случаях, когда их отсутствие может затруднить понимание.

Подействуем оператором (1-ХТо) на выражения (1.1)—(1.5), содержащие напряжения аі3, а23, предварительно разделив их на О. Тогда с учетом

обозначения а?. = (/-Хт0)а,-/3 1 получим следующую краевую задачу [2, 3]:

да° да°

—^ ^ = 0;

ЙХ1 <9x2

1 (дщ дщ\ 11 ды2 дщ

13 2 \<9хз 5x1/’ 23 2 \<9хз дх2

а13 = 2е1з, а23 = 2е2э, (1.6)

(х1, Х2) е Ь1 : а!з«1 + а2з«2 = 0,

М°(г) = ^|" (Х1 а2з - Х2а1з)^Х1 йх2, п1

где М° = (/-£*)ма-1.

В краевую задачу (1.6) в отличие от задачи (1.1)—(1.5) время входит

параметрически, и она математически эквивалентна краевой задаче теории

упругости с параметром г.

Для величин И1, Ы2, из, а^з и а2з справедливы формулы [3-5]

И1 = -0(г)Х2Хз, Ы2 = 0(г)хзХ1, Ыз = 0(г)ф(Х1, Х2, Т1),

а° = 0(г)

дф( хі, х2, Ті)

-----------------------Х9

д хі

а23 = 0(0

дф (хі, х2, Ті)

---------------------- + Х\

д х2

где 0(г) — угол закручивания (крутка), ф(хі,х2,Ті) — функция кручения, которая является гармонической в области Пі и значение ее нормальной производной на контуре Ь1 удовлетворяет условию

дф( хі, х2, Ті)

(хь х2) є Ь\ : ------------ = х2«і - хіп2.

дп

Таким образом, поставленная задача кручения вала приведена к задаче Неймана для функции ф(хі, х2,Ті) в области Пі (определение в области поперечного сечения Пі гармонической функции ф(хі, х2,Ті) по заданному значению ее нормальной производной на контуре Ь1).

Для нахождения функции кручения уравнение контура Ьі приведем к виду гг = й(г) + й(г). В этом случае искомая функция кручения ф(х,х2,Ті) является действительной частью функции F(г, г) = ій(г).

Уравнение контура Ьі, которое получается пересечением двух кругов с радиусами а и Ь1 (Ь < а)

((хі - а)2 + х2 - а2) ^ + х2 - Ь^ = (х^ + х2 - 2ах^ (х2 + х2 - Ь^ = о,

преобразуем в комплексную форму, сделав замену

хі = (г + 1) /2, х2 = -і (г - і /2.

В комплексной форме уравнение контура приводится к виду гг = а(г + г) - аЬ (і/г + і/і + Ъ\,

и для комплексной функции напряжения будем иметь (несущественные для определения операторных напряжений константы опущены)

F(z, т1) = гаг - гаЬ^/г.

Выражение 1/г допустимо и не содержит особенностей, т.к. точка г = 0 лежит вне поперечного сечения. Отделяя действительную часть, получим функцию кручения ф в виде

аЬі х2

ф(хьх2,Ті) = -ах2 - —7---------Т.

хг + хг

(і.7)

В рассматриваемой задаче возможны два варианта постановки:

1. Задан момент М(г), а требуется определить напряжения о— перемещения Ні и крутку 0(г).

2. Задана крутка 0(г), а требуется определить о,-, щ и момент М(г). Если задана крутка 0(г), то находим величины щ, о^ и о23

аЬ2і х2

ні = -0(г) х2 х3, Н2 = 0(г) хі х3, Н3 = -0(г)

ах2 +

22 хі + х%,

хі х2,

о?3 = 0(г)

2аЬ2хіх2

(хі + х2)2

х2

, о23 = 0(г)

2аЬі(хі - х2)

" (4 + 4)2

+ хі - а

Используя формулу обращения о— хі, х2, г) = О(г) получим истинные напряжения

0-(хі, х2, г) + I о;

То

г

£ 0°/хЬ x2,

г)Яі(г, т^т

0і3(хі, х2, г) =

023(хі, х2, г) =

х2

Ґ2аЬ2хіх2 (х\ + х2):

2аЬ^(х^ - х2) (х* + х2)2

О(і)

+ хі - а

і

г

0(г) + J 0(т)^і(г, т)^т

То

г

0(г) + ^ 0(т)Яі(г, тУт

То

О(г)

где Я і (г, т) — резольвента ядра ^(г, т). И, наконец, определим М(г) на основании первой формулы из (1.5).

При заданном моменте М(г) поступим следующим образом. Сначала находим М°(г) по формуле М°(г) = (І-ХТо)МС-і, затем находим крутку 0(г)

М°(г) і

0№ = 0 7^/ ч’ Е>^ХУ> = ^-т(зіп4схі + 8зіп2аі + 12аі)-2а2Бі(ті) 24

Ь2 4Ь3 Ь4 Ьі

-----— (віп 2а\ + 2аі) н---------- віп аі--------— = 2 сов оц.

2а2 3а3 4а4 а

Теперь перемещения находим по формулам

Щ = —0(0 X2 Xз, U2 = 0(0 Xl Xз, Uз = — 0(t)

ax2 +

ab1 X2 д:! + *2,

Xl *2,

а величины о^з и О^з — по формулам

2з

о13 =

м°{ о

2а2Бі

2аЬ2*1*2

к*? + дФ2

*2

о2з =

м°(0

2а2Бі

2аЬІ(*:1 — *2)

(*! + *2)'

2)2

+ *1 — а

Используя формулу обращения, получим истинные напряжения

t

Оіз(*і, *2, 0 =

С(0

2а2И і

2аЬ2*і*2

1"

*2

I

То

М0(t) + М°(т)Я1(1,т)dт

Щ 0

2а2Бі

О2з(*1, *2, t) =

G(t)

2а2 Я1

—2аЬ1(*21 — *2)

(*1 + *2)2

+ *2 — а

)

М(ґ)

2аЬ2*1*2

(4 + 4)2

*2

М° (t) + (Т^О1, т)йт

То

2аЬ1( *1 — *2)

+ *1 — а

2а2 Я Д (л2 + *2)2

Таким образом, задача кручения растущего вала на этапе, предшествующем его наращиванию, исследована.

2. Начально-краевая задача для непрерывно растущего тела

Рассмотрим отрезок времени г е [тх, х2]. Тогда начально-краевая задача для растущего вала имеет вид:

до\ъ дагз _ _ дх\ дх2 ’

1 / дух ду3 \ 1 / ду2 ду3 \

01, = 2\аГ3*дГ,)- 02, = 2\аГ3*д^)’

О1з = 2С(1 + ЛГт0(*1 ,*2})е1з >

О2з = 2С(1 + ЛГт0(*1 ,*2})е2з >

( ) ( То при (*1, *2) є ПЬ

0(*1, *2) І Т*(*1, *2) при (*1, *2) є П*(0,

(2.1)

(*1, *2) є Ьо(0 : О1з«1 + О2з«2 = 0

(*1, *2) є Ь*(і) : О1з = О1з, О2з = О2з

О1зП1 + О*2зп2 = 0 (1 = Т*(*1, *2));

«(» = ][ (-<№ - (2.2)

ад

дщ „ <9е,-

—— — скорости перемещении, Оц = ——-дг дг

П*(г) = П(г)\Пх — образовавшаяся в процессе наращивания часть тела (дополнительное тело), о*у(хх,Х2) = о,-у(х1,Х2,т*(хх,Х2)) — компоненты задаваемого на Ь*(г) полного тензора напряжений, оператор (/-Хт„(Х1 ,Х2)) и обратный к нему оператор (I+^Т0(Х1,Х2}) определяются из (1.3) заменой то на То(х1, Х2).

Соотношения (2.1)—(2.2) представляют собой общую безынерционную начально-краевую задачу для непрерывно растущего тела. Как показывают соотношения (2.1), исследуемый процесс наращивания новыми элементами в общем случае приводит к определяющим соотношениям, содержащим разрывы на поверхности раздела основного и дополнительных тел.

Преобразуем начально-краевую задачу для непрерывно наращиваемого вязкоупругого стареющего тела к задаче с параметром времени, по форме совпадающей с краевой задачей теории упругости. На первом этапе преобразуем задачу наращивания вязкоупругого вала к задаче наращивания упругого тела, описываемого законом Гука.

Для этого представим уравнение растущей границы Ь*(г) в форме

(Х1, Х2) е Ь*(г): г - т*(Х1, Х2) = 0,

где г - т*(Х1, Х2) ^ 0 при (Х1, Х2) е П(г) и г - т*(Х1, Х2) < 0 при (Х1, Х2) € П(г). Кроме того, т*(Х1, Х2) — достаточно гладкая функция, такая, что Ут*(хь Х2) Ф 0 при г - т*(Х1, Х2) = 0 (т.е. на границе роста нет особых точек). Введем характеристическую функцию 0(г-т*(Х1, Х2)), равную единице в случае, когда ее аргумент больше либо равен нулю, и равную нулю при отрицательном аргументе [6]. Очевидно, что функция 0(г - т*(Х1, Х2)) равна единице всюду в точках растущего тела и равна нулю всюду вне его. В частности, функция 0(т1 - т*(Х1, Х2)) равна единице в точках основного тела и нулю — всюду вне его.

Теперь при помощи функции 0(Т1 -Т*(Х1, Х2)) оператор (1-ХТ0(Х1,Х2)) можно представить в виде

где V,- = — скорости перемещений, D^•y = — скорости деформаций,

(I — А,(*1 ,*2)) 1(1) = (I — -£т0(Х1 ,*2)) 1(1) — 0(Т1 — Т*(*1, *2))^Т1 /(1),

ХТ1 /(1) = ]/(Т)К1(1, Т) йТ,

Т0

Т0(*1, *2) = 0(т 1 — Т*(*1, *2))[Т1 — Т*(*1, *2)] + Т*(*1, *2),

причем Т*(*1, *2) = Т1 при (*1, *2) є Ь*(Т1).

Подействуем оператором (1 — Хт„(ХЬХ2)) на соотношения (2.1)—(2.2), содержащие напряжения О12, О1з, предварительно разделив на О. Тогда, учиты-

вая обозначение О°. = (1 — ХТ„(Х1 ,Х2))О(-уО 1, получим

до'

1з

д *з

= 0,

до!

2з

д *з

= 0,

дО

1з

дО

+

2з

д*1 д*2

= 0;

дv1 ду2 дуз

£>п = т— = 0, Б22 = -— = 0, Бзз = -— = 0,

д*1 д*2 д*з

1 / ду1 ду2 \

В12 = - \—- н----------- = 0,

2\дх2 дх\I

1 / ду1 дуз \ 1 / ду2 дуз \

1 = 2 («хз + з*і/’ = 2\ахз + аё);

О1з 2^1з, О2з 2^2з;

(*1, *2) є Ца(1) : О1зП1 + о2зП2 = 0;

(*1, *2) є Г(0 : О1з = О1з = О1зО—1, о° = О^ = о2зО—1,

(2.з)

о1зП1 + о2зП2 = 0, (1 = т*( *1, *2));

М°(Ґ) = (*1о2з — Х2о1з)й*1 й*2.

П(0

Преобразуем начально-краевую задачу (2.3) к краевой задаче относительно скоростей деформации, скоростей перемещений и скоростей операторных напряжений. Для этого продифференцируем по 1 уравнения равновесия, уравнения состояния и краевое условие на неподвижной границе Цо(1). Для вывода граничного условия на границе роста Ц*(0 достаточно подействовать оператором дивергенции на начально-краевое условие на растущей границе.

В итоге получим следующую краевую задачу:

<95 із <95 2з ---------+------------= 0;

*1

*2

_ 1 / <9уі ду3 \ _ 1 (ду2 ду3'

13 2 \<9х3 + дх\) ’ 23 2 \<9х3 + дх2/ ’

5 1з = 5 2з = 2Я2з;

(*1, *2) є Цг) : 51зП1 + 52зП2 = 0; йМ°(0

и

ад

(*15 2з — *251з)й*1й*2,

(2.4)

до°.

І

Легко видеть, что формулы для скоростей перемещений У1, У2, Vз и ве-

личин 513 и 5 23 имеют следующую структуру:

VI = -е'(0*2Хз, ^2 = 0г'(г)хзХЬ Уз = 0'(г)ф(хЬ Х2, г),

513 = 0,'(г)

дф( Х1, Х2, г)

дх1

Х2

, 5 23 = 0,'(г)

дф(хьх2, О дх2

+ Х1

При этом функцию кручения ф(Х1, Х2, г) можно найти из следующей краевой задачи Неймана

д2ф(Х1, Х2, г) д2ф(Х1, Х2, г)

дХ21

+

дф

дХ22

= 0,

(х 1, х2) е Щ) : — = х2«1 - XIп2. дп

Функция кручения ф(Х1, Х2, г) имеет вид, аналогичный (1.7), ее можно получить формальной заменой Ь1 и Т1 функции кручения ф на Ь(г) и г

аЬ2(г) Х2

ф(Х1, Х2, г) = -аХ2 -

22 Х1 + Х2

Если задана крутка 0(г), то, вычислив производную 0'(г), находим скорости перемещений VI и величины 513 и 5 23:

аЬ2(г)Х2'

У1 = -0,'(г) Х2 Х3, У2 = 0г'(г) Х1Х3, У3 = -0г'(г)

513 = 0,'(г)

аХ2 +

х1 + х2 /

Х1Х2,

5 23 = 0,'(г)

дф( Х1, Х2, г) = 0('(г) 2аЬ2(г)Х1 Х2

Хг д х1 И + 4>2 Л21 ,

дф( Х1, Х2, г) я + Х1 дХ2 = 0('(г) 2аЬ2(г)(х^ - х2) + х\ - а

(4 + *2)2

(2.5)

Истинные напряжения и перемещения восстанавливаются по следующим формулам:

Г г

аг/Х1, Х2, То(Х1, Х2))

аг,-(Х1, Х2, г) = О(г)

а(Хо(Х1, Х2))

1 + J Я(г, т)йт

То(Х1 ,Х2)

+

г

I

То(Х1,Х2)

т

5,-у(Х1, Х2, т) + ^ 5 ;у( Х1, Х2, ?)^я,7(г, т)

То(Х1 ,Х2)

йт},

(2.6)

I

„К*,*,О = „,(х„х2,т°(х„+ / у,(Х„ Х2,т)Л.

то(Х1 ,Х2)

И наконец, определим М(г) на основании (2.2).

При заданном моменте М(г) поступим следующим образом. Сначала на-йМ°(г)

ходим

йг

по формуле

йМ°(г) Щ(г) Г дМ(г) дш(г, т) , ,.дш(г, то(Х1, Х2))

+ I — -------------------~—с1т + М(т$(х\, х2))—

йг О(г) J дт

то(Х1 ,Х2)

дг

дг

Затем находим скорость крутки 0'(t)

1 M°(t) 1

= о 2n Dl^ = тй (sin4a<X> + 8sin2a(0 + 12a(0) -

2a2 Di(t) dt 24

62(t) 463(t) 64(t) 6(0

-----— (sin 2a(?) + 2a(?)) н-----5— sin а(г)------Fa(0> ------= 2 cos а(г).

2a2 3 a3 4a4 a

Скорость перемещений Vi находим по формулам (2.5), а величины S13 и S 23 находим по формулам

1

2a2 Di(t) 1

2cP-D\(t)

2ab (t)xi X2

X2

[ (xi + X2)2 2ab2(t)(x2 - x2)

(xi + X2)2

dM°(t) dt ’

+ xi - a

dM°(t) dt

Истинные напряжения и перемещения восстанавливаются по формулам (2.6), а крутку находим по формуле

0(0 = Є(х„(х„ *)) + / е;(х)^т.

То(хі ,Х2)

Таким образом, задача кручения растущего бруса на этапе его непрерывного наращивания исследована.

3. Деформирование вала после остановки наращивания

Пусть в момент времени Т2 наращивание вала прекращается. В этот момент он занимает область П2 с поперечным сечением П2, ограниченным контуром Ь2, который представляет собой пересечение двух кругов с радиусами а и &2 .В этом случае краевая задача имеет вид (г ^ Т2)

до\ъ догз _ _ дх\ дх2 ’

о13Л(^ + ^, 023 =ц^+щ,

2\дхз дх\) 2 \<9хз дхг/

013 = 2.0(1 + М;0(х1,х2))е13> 023 = 2.0(1 + МоСч,х2))ё23; (3 .1)

(Х1, Х2) е Ь2 : О13И1 + 023^2 = 0;

(

M(t) = IJ (X1O23 - X2Oi3)dXidX2.

^2

Аналогично проделанному ранее можно получить следующую краевую

задачу:

дЯ із <9523 _

ЙХі дх2 ’

_ 1 / дУі ду3\ _ 1 / ду2 ду3 \

13 2 \<9хз + <9хі ] ’ 23 2\<9хз + <9х2/

5 із = 2Бхз, 5 23 = 2Б2з;

(Хі, Х2) є ^2 : $ із«і + $ 23«2 = 0; йМ°(г)

йі

Я

^2

(Х1$ 23 - Х2$ із)йХійХ2.

При этом функцию кручения ф(Х1, Х2, Т2) можно найти из следующей краевой задачи Неймана:

<92ф(х1,х2,т2) + 52ф(х1,х2,т2) _ 0

д х\

дф

д х2

(х 1, х2) е Ь2 : — = х2«1 - XIп2. дп

Скорость перемещений V!, У2, Vз и скорость операторных напряжений S13 и S 23 имеют следующую структуру:

V! = -0£(і)Х2 Хз, У2 = ег'(г)хі Хз,

дф(Хі, Х2, Т2)

5 із = 0,'(О

д хі

Х2

5 2з = 0,'(О

Vз = 0'(г)ф(Хі, Х2, Т2), дф(Хі, Х2, Т2)

дХ2

+ Хі

(з.2)

Функция кручения ф(хі,Х2,Т2) имеет вид, аналогичный (1.7), ее можно получить формальной заменой Ьі и ті функции кручения ф на Ь2 и Т2

аЬ2 Х2

ф(хьх2,т2) = ~ах2 - —-------

Хі + ^

Если задана крутка 0(г), то, вычислив производную 0'(О, находим скорости перемещений VI и величины 5 із и 5 2з:

Vl = -0^(0 Х2 Хз, V2 = 0^(0 Хі Хз, Vз = 0'(О

ах2 +

аЬ2 Х2 х? + х?

Хі Х2,

5 із = 0,'(О 5 2з = 0,'(О

дф(Хі, Х2, Т2) Х2 дхі = 0,'(О

дф(Хі, Х2, Т2) я + Х1 дХ2 = 0,'(О

2аЬ2ХіХ2

2

Х2

Х + х2)2

2аЬ2(хі - х2) ■2\2

(х\ + х2):

+ Хі - а

Истинные напряжения и перемещения восстанавливаются по формулам (2.6), а момент М(і) находим на основании последней формулы задачи (3.1).

При заданном моменте М(г) поступим следующим образом. Сначала на-ам°«)

ходим -------, затем скорость крутки 0 (?)

е;со =

1 M°(t> 1

0 ч > Dx(x2) = — (sin4a2 + 8sin2a2 + 12<х2)-

2a2 D1(x2) dt 24

b2 4b2 ^4 b2

---- (sin 2a2 + 2a2) н----- sin a2----------a2, — = 2 cos a2.

2a2 3a3 4a4 a

Скорость перемещений Vi находим по формулам (3.2), а величины S13 и S 23 находим по формулам

2ab2xiХ2

S13 -

S 23 -

1

2a2Di(x2)

1

2a2Di(x2)

■2л2

Х2

Х + x2>

2ab2(x1 - x2>

(x2 + 4)2

dM°(t) dt ’

+ Х1 - a

dM°(t)

dt

Истинные напряжения и перемещения восстанавливаются по формулам (2.6), а крутку находим по формуле

e(t> - е(Т2> +

t

I ет

(x)dx.

Т2

Таким образом, решение задачи полностью завершено.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№.05-01-00693).

Литература

[1] Арутюнян, Н.Х. Контактные задачи механики растущих тел / Н.Х. Арутюнян, А.В. Манжиров, В.Э. Наумов. - М.: Наука, 1991. -176 с.

[2] Манжиров, А.В. Общая безынерционная начально-краевая задача для кусочно непрерывно наращиваемого вязкоупругого стареющего тела / А.В. Манжиров // ПММ. - 1995. - Т. 59. - Вып. 5. - С. 836-848.

[3] Манжиров, А.В. Методы теории функций комплексного переменного в механике растущих тел / А.В. Манжиров, М.Н. Михин // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. - 2004. -№4(34). - С. 82-98.

[4] Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Изд во АН СССР, 1954. -647 с.

[5] Арутюнян, Н.Х. Кручение упругих тел / Н.Х. Арутюнян, Б.Л. Абрамян. - М.: Физматгиз, 1963. - 686 с.

[6] Обобщенные функции и действия над ними. - М.: Физматгиз, 1958. -439 с.

Поступила в редакцию 15/У/2007; в окончательном варианте — 15/У/2007.

TORSION OF GROWING SHAFTS3

© 2007 M.N. Mikhinf

In the paper the theory of torsion problem of aging viscoelastic round shafts is studied. Two methods for problem setting are considered. The main stages of solid deformation are analyzed: before the beginning of growing, during the process and after the growing stage.

Paper received 15/У/2007. Paper accepted 15/V/2007.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. A.V. Manzhirov.

4Mikhin Mikhail Nickolayevich ([email protected]), Dept. of Higher Mathematics, Moscow State University of Engineering and Computer Science, Moscow, 107846, Russia.