Кросс-спектральный анализ временных рядов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 528.06 С. Г. ВАЛЕЕВ, В. А. ФАСХУТДИНОВА

КРОСС-СПЕКТРАЛЬНЫИ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Описываются алгоритм кросс-спектралыюго анализа для двух временных рядов, его программная реализация в виде модуля, включённого в автоматизированную систему АС ДРМ, и результаты исследования зависимостей между гармоническими составляющими моделей динамики двух временных рядов.

Ключевые слова: кросс-спектр, временные ряды, многомерный анализ, динамическое регрессионное моделирование.

Поддержано грантом РФФИ № 04-02-16633

Введение

Для обработки и анализа временных рядов предложен подход динамического регрессионного моделирования (ДРМ) [1], реализованный в виде пакета программ — автоматизированной системы АС ДРМ первой версии [1,2]. В указанном программном продукте возможна обработка только одного ряда; однако часто возникает проблема многомерного анализа рядов, поиска взаимосвязей между ними. Эта проблема частично решена в АС ДРМ внедрением новых модулей: «Сдвиг ряда» и «Совместный спектральный анализ». Первый модуль используется для вычисления и графического отображения взаимной корреляционной функции для двух стационарных временных рядов при условии сдвига временных серий друг относительно друга на некоторый временной промежуток (лаг), при этом влияние одного явления на другое проявляется с некоторым запаздыванием или опережением. Модуль совместного спектрального анапи-за позволяет изучить зависимости между гармоническими составляющими двух рядов [3].

Алгоритм

При изучении общих характеристик двух временных рядов используется понятие взаимного спектра мощности (кросс-спектра) [4,5]. В области оценок этому понятию соответствует взаимная периодограмма (кросс-периодограмма). Совместный спектральный анализ предназначен для изучения взаимосвязей между гармониками двух временных рядов.

Пусть имеются две дискретные центрированные последовательности действительных чисел

хк ~ х(тк ),/* = А/Аг,А = 0,1,..., N-1, (1)

У к ~У((к)’*к = &к,к = (2)

Обозначая символом * операцию комплексного сопряжения, определим взаимную периодограмму рядов хк и ук с помощью соотношения

ОхЛи) = ~Х-(о)Г(.о) (3)

N

N-1

где

Х(и)= У х„е ,2"\

Аг ~0

Г(и)= ї'.п.е-'2”"'

/с = О

(4)

(5)

С. Г. Валеев, В. А. Фасхутдинова, 2006

Кросс-периодограмма предназначена для выявления гармоник с общими периодами. В отличие от обычной периодограммы взаимная периодограмма представляет собой комплекснозначную функцию

Оху (и) = Рху (и) - /Оу. (и), (6)

где рху (о) = РеХ ■ ИвУ + ГтХ • 1тУ, (7)

У.ху(о) = РеХ ■ 1тУ - ЛеУ ■ 1тХ. (8)

Соотношение (7) определяется суммой произведений одноимённых компонентов, т. е. произведениями действительной на действительную и мнимой на мнимую части функций Х(и) и

У (и), в то время как соотношение (8) определяется суммой произведений разноимённых компонентов, т. е. произведениями действительной на мнимую часть тех же функций. Поскольку на комплексной плоскости одноимённые компоненты направлены вдоль одной оси, а разноимённые компоненты направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей, функцию Р (и) называют коспектром, а функцию Охх (и) - квадратурным спектрол I.

Кросс-амплитудой называется квадратный корень из квадратов значений кросс-плотности и квадратурной плотности:

(9)

Кросс-амплитуда может интерпретироваться как мера ковариации между соответствующими частотными компонентами двух рядов.

Можно нормировать значения кроссамплитуды, возведя их в квадрат и разделив на произведение оценок спектральной плотности каждого ряда. Результат называется квадратом когерентности, который может быть проинтерпретирован как квадрат коэффициента корреляции; т. е. значение когерентности - это квадрат корреляции между циклическими компонентами двух рядов соответствующей частоты.

Оценки фазового спектра вычисляются как арктангенс коэффициента пропорциональности оценки квадратурной плотности и оценки кросс-плотности:

•**,,[/> (|0)

* Г*,т

Оценки фазового спектра показывают, насколько каждая частотная компонента одного ряда опережает частотные компоненты другого.

Значение усиления в анализе вычисляется делением значения кросс-амплитуды на оценки спектральной плотности одного или двух рядов. Следовательно, могут быть вычислены два значения усиления, которые могут интерпретироваться как стандартные коэффициенты регрессии, соответствующей частоты, полученные методом наименьших квадратов.

Программное обеспечение

Программная реализация алгоритма кросс-спектрального анализа осуществлена в виде отдельного модуля «Совместный спектральный анализ» автоматизированной системы АС ДРМ, выполняющего следующие функции:

спектральный анализ выбранных факторов (построение кросс-периодограммы, коспекгра, квадратурного спектра, кросс-амплитуды, фазового спектра, квадрата когерентности и усиления):

♦

отображение графиков зависимости от частоты и периода;

формирование данных по составляющим спектрального анализа от частоты и периода с нормировкой значения.

Интерфейс модуля представлен на рис. 1.

тд.. _

Месяц

Г гцбинъ

Мэги-пуда

Количество

X

У

2

РасЛиг-уеМст

Выберите два ряда:

■—| г Зависимость-

Период С частота

^-------- ^ *

]• НОС^ІфОВК^ |1 ту':

• •

> У* 4 • ,

. .-.ж X-

\Л’ 4<;‘

' л ■*?*■' ■

Г” Т йбпъхъ эи-г*?**# плсгпкзсш

количество ^ереэлов Г --I

і . —і

□і Г-

• • І -• ІІ / . .•

»• - • • •••- • М'МІ гм* . і*». • «-•

Ко спектр

< • • • • М • » •

Ке-ЗАр спектр Кросс-амл/чгпца Фаіосьій сптр Квадрат когер-мтности Усиление для 1 ряіз У СИЛЄНИЄ ДЛЯ 2 Р^ДЛ

і

0<*>стнть і

. ПсмошьІ Отмена

Совместный спектральный анализ рядов сейсмической активности и положения барицентра системы Земля-Луна

Данные по землетрясениям (магнитуда по шкале Рихтера), усреднённые ежемесячно, взяты с сайта 1Щр:/Лууууу.isc.uk за 1995-2004 годы. Для координат барицентра системы Земля-Луна находится радиус-вектор и также усредняется по месяцам за период 1995-2004 годы.

Построены кросс-периодограмма (рис. 2, а), коспектр (рис. 2, б) и квадратурный спектр (рис. 2, в) для глубины землетрясений и радиус-вектора барицентра. Эти характеристики показывают, что два данных ряда имеют общие гармоники с периодами 1 год и 13 месяцев.

Построение кросс-амплитуды (рис. 3) привело к следующим результатам: максимальное значение амплитуды равно 4,129109 на частоте 0,08333333 (период 1 год), минимальное - 0,0009343 на частоте 0,441666667 (период 2,26 месяца). Получаем существенную связь между гармониками двух рядов с периодом 1 год. Получены также наибольшие значения кросс-амплитуды: 1,9411 на частоте 0,075; 0,48134657 па частоте 0,09166667; 0,35381 на частоте 0,1; 0,17278 на частоте 0,008333; 0,107838 на частоте 0,05.

0.1* 0.1 > О.л *

«4.1« 0.1

• ми* »•.» г»

• *7 О.О* О ХУ*

0.04

о

•им 0 0-1 о

аля «*<гЧ*Л Ну ГСЮ>

5 ! і I

т~:

у

1 . • , ! II Vі"

• •• - - * Г* •*

І. І.. I.. -4... *

: : • ' .

: і • : 4 і і

і і •’.!.! І .. І

• І

< Н н ІП « «# «4 ««і їй ЛІ 1'/ ЖІ

0%А% П*% Лі •

а

•••* » а*'» і»н* І /А»

• в*»И» <4 • - • • •

ОО)

• к: « * і ► ' • • * - * *І*і Iі ІД 1 ' ' ' I ; ! 7 : - ' 1

• • і • • >. 1 і • .> < і • • • * •- . « « • • • • • * г

? \ • і 1 { ? І

* ! т г : : * . * - • 1 ! - т - ! ;

! І Ц М! ' І І 1 і і • і і і ї ; І

— • ■ і • * >/ V І І *.. •-****" * —— • •— — —. — ••••. •• •••• — • • • • «... . * —* •

« • ■ * • — •- -

•'І V 4 •• •• 1|| «?•*!•• ЇМ *Л9 79 ЇА *^м ч » 4*/ •» «« ЛІ і «V 4 4 Л'І 4 Н ЧЛ VI 4П Я* І

б

14 •• «П IV 1«І ІГ»

і Г> /ЯІ Ж2 У* У* >и • «_• X «м 4М Щ-у «4 4^ -П V» *4Л

в

Рис. І. Интерфейс модуля «Совместный спектрапъпый анализ»

Рис. 2. Характеристики кросс-спектралыюго анализа рядов сейсмической активности и барицентра системы Земля-Луна: а) кросс-периодограмма, б) коспектр.

в) квадратурный спектр

Кроед-ампдетул» дп« Мчпм>уд4*. »ЛкЛи1»-^с/ гкз '««т»*'/.у С .‘<4

/Л- ЧЧП-ГУЛ» IX* 1>*ГН«*Х\У

О г 4 в в 10 12 м Ю Ш 20

М М ПО .М ЭЙ Л ДО 42 44 4Я 40 50 Я2 « 5^1 56 »«П

Рис. 3. Кросс-амплитуда рядов сейсмической активности и барицентра системы Земля-Луна

Проведен фазовый сдвиг (рис. 4). Его максимальное значение равно 1,5094296 на частоте 0,2833333. Это означает что гармоническая составляющая магнитуды с периодом 3,5 месяца опережает гармоническую составляющую барицентра на 1,5094296. Минимальное значение фазового спектра на частоте 0,5 (период 2 месяца).

СП»ЧТ11 АЛ* I

I \ *

I- 1

? : / Г : \ : . =13 5*1

: / : • \ : ’ !

| • • • '/'/*' ' ’ " ? • * * • I

, V ? : \ I I : \ : :

М . I :/ : : : 1 \ I : • 1 ■ 5 • I

' 1Д •■ / ■ ч М4-и-1_и

1 1 £ Л : 1* * : 1 : * г • } г 5 г ' *

п Ь .• : | ! 1

• •>/ . *- : : ......... Л

2 91 1- : :

: : 1 Т 1 I I Г Г } г! ? !

4--

:

Ч* ‘У

1 *

]_ 1 3 »■

2

•: 1 ф

1 ! ■ 1 ? I • : * !

■ *

11.

и а < • » ю о и 1в 1в го и з< » » » » м ж » « « м « «то о л •< «« «о

Рис. 4. Фазовый сдвиг ряда сейсмической активности относительно барицентра системы Земля-Луна

Значения квадрата когерентности в целом показывают слабую связь между гармониками двух рядов. Существенная взаимосвязь (когерентность имеет значения, приближенные к 0,8) наблюдается только для гармоник с периодами порядка I года (И, 12, 13, 14 месяцев).

Построены для каждого из рядов усиления (рис. 5, а,.б), значения которых могут интерпретироваться как коэффициенты регрессии. Для гармоник первого ряда в зависимости от гармоник ряда барицентра получаем следующие коэффициенты: 0,9007 на частоте 0,025; 1,1584 на частоте 0,03333; 5,076758 на частоте 0,0416667; 0,69425228 на частоте 0,05; 1,3877159 на частоте 0,0583333; 6,4311 на частоте 0.066667; 7,9019 на частоте 0,075; 27,4257379 на частоте 0,08333. Для гармоник ряда в зависимости от гармоник ряда барицентра получаем следующие коэффициенты: 15987,34 на частоте 0,025; 12430.63357 на частоте 0,03333; 2836,4558 на частоте

0,0416667; 20741,73958 на частоте 0,05; 10376,76348 на частоте 0,0583333; 2239,11913 на частоте 0,066667; 1822,34547 на частоте 0,075; 525,05424 на частоте 0,08333.

»

24

XI

«О

Ю

\ и

1П

п

п

л

*

о

* %

д.

Г

г

« • «

I

О 2 4 А О ю и

:

* •

! •

» • : . :

•г •»

? :

Г."

I

• • • I

?

1

\ \

• »

• 1 4

: :

Ь Г ^ V*

• * •

*• •••«•.-: ; 1

* •

• ••• - •

. : ; *

■ а

• • • « •

• • • •

г • г г •

\л г • •

4- !

! ^ I • •

.1 1 ?

Л .

>0 ЭЙ 4.0 +2 ^ 40 4® «о « 54 *0 6* ео

а

1

1 ми МП 1 ЬЬ 100 •о тч%

41»

МУ! 0X1 • 1Г.1П

ООО

ООО

%ж«*

<м «Г.

оо-э

ООО

«300

<ЮС1

лщ

о

А*'" ^ • » »»!'» • • гч»»*АТ #*ЛО

• •»

: : : : .

. . - . . • “1 :3 1 I •' Г • - •

: ? : : ‘ ; 1 ! : • ‘ : * ;

г | | | { | - ; 1 .1 I 1 I 3

а • I *• • 3 ->•* 1 • •

» . .. 1 1 ! I

• • •< • ^ • •• • • • ч • | • р

* \ 1

и.

I I ни I | ; ! ‘ • 5 1 1 ; 1 I 11 ! ; ‘

II * ^ С и* Л» -I ^ 1 .1 . . V#

* : : : ? • г ? ; г : : - : . 1

к ! ! |-М ‘ , 3 I 1 С I

31: I- !. « -> *• I : Г • • ; •? ' * 1

‘ I :

И»- ' V- 7 - • « I • • • • • • —• • • • •• • • . «

П 5 5 ! I I ^ : . • ] : ;

Л . ; \| « *____1—* - ? -ИГ

* 1

У 1 « :

• > -ч.

.и

I «

\

ш

У ■■

: : г - '

• • 1-Л^

. I ■! I ' ! ' •

( 1* г*1

V • ч« • > • • г ■ :

‘ : {

1 - V ?

I I ~

• а « • I • ) • •-

► ! -! I

I •* ;

• г •

!•'•! >

: : г- г-?**:

“••т-ГТ

7

л

:

*

Г1 > - г\ п ю 17М 1П1Л /I х/ ^ ^ *1/» .1^ >4 1И .1*1 4/« «'2 •%* 41» VI -%2 ГУ1 *^1

Рис.5. Усиление: а) ряда магнитуды относительно ряда радиус-вектора, б) ряда радиус-вектора относительно ряда магнитуды.

Заключение

На примере совместной обработки двух рядов проиллюстрированы новые возможности модифицированного программного обеспечения.

С помощью разработанного модуля были проанализированы взаимные спектральные характеристики рядов сейсмической активности (магнитуда, глубина, количество), рядов солнечной активности (числа Вольфа, поток радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см), рядов динамики движения Северного полюса Земли.

Планируется дальнейшая модификация пакета АС ДРМ с целью расширения возможностей модуля взаимного анализа двух временных рядов.

Исследования проводились при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований (грант РФФИ № 04 - 02 -16633).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Валеев, С. Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений / С. Г. Валеев. - М. : Наука, 1991. - 272 с. (второе издание, дополненное и переработанное: Валеев С. Г. Регрессионное моделирование при обработке данных. - Казань : ФЭН, 2001. - 296 с.).

2. Валеев, С. Г. Алгоритмическая реализация подхода динамического регрессионного моделирования / С. Г. Валеев, Е. С. Сергеев // Труды международ. конф. «Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации». -Ульяновск : УлГТУ, 1999. - Т. 3. - С. 58-62.

3. Валеев, С. Г. Модели динамики среднемесячной сейсмической и солнечной активности / С. Г. Валеев, С. В. Куркина, В. А. Фасхутдинова // Труды международ. конф. «Континуальные

алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике»: Информатика, системы искусственного интеллекта и моделирование технических систем. - Ульяновск : Ул-ГТУ, 2006.-С. 86-88.

4. Витязев, В. В. Спектрально-корреляционный анализ равномерных временных рядов : учебное пособие / В. В. Витязев- СПб. : Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. - 48 с.

5. Боровиков, В. П. Прогнозирование в системе 8ТАТ18ТГСА в среде \Утс1о\У8 / В. П. Боровиков, Г. И. Ивченко. - М. : Финансы и статистика, 1999.-384 с.

Валеев Султан Галимзянович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области астрометрии и небесной механики, математической статистики и разработки информационных технологий.

Фасхутдинова Венера Арифзяновна, студентка группы ПМд-51 экономико-математического факультета Ульяновского государственного технического университета.

УДК 539.3:534.1 Ю. Н. САНКИН, С. А. ЯВКИН, К. Ю. АХМЕТОВ

УСТОЙЧИВОСТЬ ОБРАБОТКИ ТОНКОСТЕННЫХ ЗАГОТОВОК КОНЦЕВЫМИ ФРЕЗАМИ

На стадии проектирования технологических операций необходимо задавать такие режимы резания, которые обеспечивают требуемое качество готового изделия и интенсивность обработки. При максимально интенсивной обработке прежде всего необходимо обеспечить устойчивость процесса резания. Подобная задача особенно актуальна при обработке нежёстких заготовок.

В современном авиа- и машиностроении существует проблема обработки нежёстких заготовок, удельное количество которых в современных самолётах может достигать 60%. Связано это, например, с короблением, возникающим в процессе обработки тонкостенных заготовок.

Ключевые слова: нежёсткие заготовки, тонкостенные заготовки, обработка заготовок, коробление заготовок.

Если учесть влияние следов обработки, то линейная динамическая характеристика процесса резания для і -го зуба фрезы в линейной постановке может быть записана в следующем виде [1]:

КХх^рг - і)

г- г

слоя или подача на зуо; £0 = —— усадка стружки;

а

ТРІР +1

(1)

где к„ - коэффициент резания на г -м зубе фрезы; т = — - время поворота фрезы на один зуб

пг

(здесь п - частота вращения фрезы; 2 - число зубьев фрезы); Т„ = = — - постоянная

п V V

времени стружкообразования, зависящая от ско-

ш

рости резания (здесь — = 1ч-1,5 - постоянный ко-

п

эффициент; а0 - заданная толщина срезаемого

5 Ю. Н. С'анкин, С. А. Явкин, . К. Ю. Ахметов, 2006

О

а, - толщина стружки; V - скорость резания; 1р. -

некоторый путь движения резца, определяющий формирование силы резания). При необходимости учёт нелинейности можно осуществить согласно методике, изложенной в работе [2].

Ранее в работах [3,4] была исследована устойчивость процесса торцового фрезерования. В данной работе рассматривается концевое фрезерование.

Рассмотрим процесс фрезерования концевой фрезой, когда основной съём материала осуществляется цилиндрической частью фрезы при получистовой / чистовой обработке заготовок (рис. 1).

На рис. 1 аЦ1 - угол наклона силы РЦ1 к обрабатываемой плоскости; Д,- - угол между горизонтальной проекцией РхуцI и осью Хщ системы координат, связанной с г'-м зубом фрезы; щ -угол, определяющий текущее положение цилин-