Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 514.126

А. И. Долгарев, И. А. Долгарев КРИВЫЕ 4-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ ГАЛИЛЕЯ

Пространство-время Галилея строится на основе галилеева скалярного произведения векторов. Ранее изучалось 3-мерное пространство. В статье кривые пространства-времени Галилея изучаются с учетом их пространственновременной специфики.

Геометрия 3-мерного пространства-времени Галилея изложена в [1, 2], она построена как одна из евклидовых геометрий на 3-мерном аффинном пространстве с учетом пространственно-временной специфики, содержит теорию кривых и поверхностей и элементы внутренней геометрии поверхностей. Сюда также включено описание одулей движений и подобий 3-мерного галилеева пространства. В настоящей работе построена теория кривых пространства-времени Галилея четырех измерений. Построения стандартны, аналогичны теории кривых евклидова и псевдоевклидова пространства и учитывают специфику пространства-времени Галилея.

1. Галилеево векторное пространство

1.1 Галилеево скалярное произведение векторов

Рассматриваем линейное пространство Ьп над полем И действительных чисел. Пусть Ь” = Ь1 © Ь”-1 - прямое разложение пространства Ь” . Векторы записываем в виде х = (х, хг), I = 1, 2,..., п -1; операции:

х + у = (х, X) + (у, у1) = (х + у, X + у1), гх = (х, X) = (хг, Хг).

Базис линейного пространства обозначаем Б = (е, в1), е = (1,0,..., 0), е1 = = (0,1,0,..., 0), ..., еп-1 = (0, 0,..., 0,1). Для всякого вектора х = (х, хг) имеем: х = хе + хе, числа х, х есть координаты вектора х в базисе Б. Через (а^..., ат) обозначаем линейную оболочку векторов щ , I = 1,2,..., т. На каждом из пространств Ь1, Ь”-1 определяем евклидово скалярное произведение векторов.

Галилеевым скалярным произведением векторов х = (х, х1) и у = (у, у1) называется

ху = ху, если х Ф 0 или у Ф 0; ху = ^ Ху1, если х = у = 0.

I

Галилеев скалярный квадрат х2 вектора х : х2 = х2, если х Ф 0 ; х2 = ^(х )2, если х = 0 .

I

г г 2 г 2

Свойство галилеева скалярного квадрата: для всякого х , х > 0; х = 0, если и только если х = о .

Нормой (модулем) ||х|| вектора х называется ||х|| = л/х2: ||х|| = |х|, если х Ф 0 ; ||х|| = (х )2~, если х = 0 .

В [3] галилеева норма векторов называется квазинормой. Вектор V = (0, х) называется евклидовым, вектор х = (х, х1), х Ф 0 , называется галилеевым.

Свойства галилеевой нормы векторов отличаются от свойств евклидовой нормы. Например, для галилеевой нормы не выполняется неравенство треугольника.

1.2 Галилеево векторное пространство

Линейное пространство, на котором определено галилеево скалярное произведение векторов, называется галилеевым векторным пространством и

обозначается У”.

По свойству галилеева скалярного квадрата векторов, п. 1.1, простран-

Уп

г не содержит изотропных векторов, т.е. ненулевых векторов, модули которых равны нулю.

Подпространства (в} = Ущ и (¿?1,..., еп-\) = УЩ-1 являются максимальными евклидовыми подпространствами галилеева векторного пространства У] (добавляя к Ущ или к УЩ-1 любой ненулевой вектор, получаем галилеево векторное пространство). Всякое подпространство (х) евклидово.

Векторы из Ур” называются перпендикулярными или ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Обозначение перпендикулярных векторов: х ^ у. Всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору. Галилеево пространство У]” есть прямая сумма взаимно ортогональных максимальных евклидовых подпространств уЩ и Ущ-1:

у] = уЩ © уЩ-1.

Пространство уЩ является времениподобной составляющей, а пространство УЩ-1 - пространственноподобной составляющей галилеева векторного пространства У]”. Всякий вектор г = (г, 0,..., 0) есть вектор времени, его норма ||Г|| - промежуток времени г, а всякий вектор I = (0, х1,..., х”-1) есть вектор расстояния - его длина ||?|| - это расстояние, пройденное в направлении I. Согласно определению в п. 1.1, скалярное произведение этих векторов равно нулю: г I = 0. Их мы считаем ортогональными и не измеряем углов между ними (углов между временем и расстоянием). Также не измеряем углов

между галилеевыми векторами, потому что в У]” время 1-мерно.

Всякий базис галилеева пространства Ур содержит хотя бы один галилеев вектор. Если Б] - базис евклидова подпространства У]-1, то, добавив к нему галилеев вектор, получаем базис галилеева пространства Ур . Всякий базис галилеева пространства Ур можно заменить базисом, содержащим один галилеев вектор и п -1 евклидовых векторов. Такие базисы мы и рассматриваем.

Базис пространства Ур? называется ортонормированным, если нормы входящих в него векторов равны 1 и векторы попарно ортогональны. Рассмотренный в п. 1.1 базис Б = (в, ег-) является ортонормированным. Пусть Б' = (в', в) еще один ортонормированный базис, и в базисе Б:

в' = (1, а1), е' = (0, а)), і, ) є {1,2,..., п -1}.

Матрица замены базиса:

А =

1

0

0

_,п-1

А = <іе1 А = йеі(а1)) = ±1;

матрица является галилеевой. Все матрицы замены составляют галилееву группу. Формулы замены координат векторов:

X = X ,

А = ±1.

1 1 ' I 1 ' 1

I х = ах + а^х -1;

Ортонормированный базис пространства У]” можно получить, пополнив ортонормированный базис евклидова пространства УЩ”-1 единичным галилеевым вектором (1, а1).

1.3 Пространство-время Галилея (точечное)

На множестве точек А” = {А, В, ..., М,...} аффинное пространство А”

определяется в схеме Г. Вейля посредством отображения А” X А” ^ Ь” . Если (А, В) ^ V, то пишем: АВ = V. Аксиомы Г. Вейля аффинного пространства:

1) для любых А, V существует единственная В, что АВ = V ;

2) для любых А, В, С, если АВ = V, ВС = и , то АС = V + и .

При этом Ь” называется линейным пространством аффинного пространства А” , векторы из Ь” называются векторами аффинного пространства, число ” называется размерностью пространства А” .

Для любых точек А, В, С выполняются: АА =о , ВА = - АВ, АВ + +ВС = АС.

Подмножество М в А” называется аффинным подпространством, если оно является аффинным пространством с линейным пространством Ь -

подпространством в Ьп , к < п . Пусть Ьк = ^,..., 4) ^ Ьп, А є Ап. Множество точек

М = ^А, Ьк^ = (А, а1,..., ак) = {м | АМ є Ьк} = {м | АМ = ггщ, (/) є Ьк}

является подпространством аффинного пространства Ап. Подпространство М называется к-плоскостью пространства Ап . Векторы гга называются векторами к-плоскости М. При к = 1 имеем прямую

I = ( А, а) = {М | АМ = га, г є И} ; при к = 2 имеем плоскость

П = (А,а!,а,2і = {м | АМ = иЛх + уа2,(ы,V)є И2};

при к = п -1 - гиперплоскость, при к = п - аффинное пространство Ап .

Пусть Б = (е, ег-) - базис линейного пространства Ьп , О - точка. Множество В = (О, в, в) называется репером аффинного пространства Ап . Координаты вектора ОМ в базисе Б называются координатами точки М в репере В. Если в базисе Б вектор ОМ имеет координаты (х, хг), то координаты точки М в репере В есть (х, хг), обозначение М = (х, хг).

Если А = (а, а1), В = (Ь, Ьг), то

АВ = (Ь - а,Ьг - а1).

Аффинное пространство, в линейном пространстве которого определено галилеево скалярное произведение векторов, называется пространством

Галилея; обозначение п-мерного пространства Галилея: Гп .

Расстоянием |АВ| между точками А и В называется норма вектора АВ. Галилеево расстояние между точками А и В равно

|АВ| = |Ь - а| , если а Ф Ь ; |АВ| = (Ьг - а1 )2 , если а = Ь .

Все прямые (А, х) пространства Г” евклидовы. Подпространства ^А, а1,..., ак) , где хотя бы один из векторов аг галилеев, являются галилеевыми. Подпространства (А,е) = Е1 и (А,ё?1, ..., = Е”-1 есть максималь-

Г”

; координатные

плоскости Оххг = {О,в,в) галилеевы, а (о,Г,евклидовы. Элементы пространства Галилея называются событиями или точками. Всякое событие (х, х) представляется в виде (х, х1) = хе + х1?;. Первая составляющая хе называется времениподобной или временной, смысл координаты х - время; вторая составляющая х1^ называется пространственноподобной или про-

странственной. Пространство Галилея Гп является пространством-временем Галилея. Через всякую точку Р пространства-времени Галилея проходит единственная евклидова гиперплоскость ^Р,в\, ..., еп-\) .

Репер В галилеева пространства Гп называется ортонормированным, если он содержит ортонормированный базис галилеева векторного пространства Ур . Пусть В' = (О', в , е\) еще один репер галилеева пространства Гп , и пусть в репере В: О' = (Ь,Ьг), е = (1,а1), е = (0, а\). Координаты точки М в

репере В обозначим, М = (х, хг), в репере В' обозначим М = (х , х'г). Формулы замены координат точек при замене репера В репером В таковы:

Г х = х + Ь,

\..................А = ±1.

I хг = агх + аіх ) + Ь1 ;

1.4 Пространство-время Галилея размерности 4

2-мерное пространство, группа движений которого состоит из преобразований

Г г = г + г0;

[ х = vг + х + х0,

называется плоскостью Галилея, 2-мерным пространством-временем Галилея. Это определение согласуется с Эрлангенской программой Ф. Клейна. Здесь точки обозначены (г, х), (г', хг). Выделяем 4-мерное пространство. Группа движений вида

г = г + г0,

I п г. , г ) , г

х = V г + а)х3 + хо;

= ±1, і, і = 1,2,3,

определяет 4-мерное пространство-время Галилея; обозначаем это простран-

1 3

ство Г; его максимальные евклидовы подпространства обозначаем Е и Е . Векторное пространство пространства Галилея обозначаем Уг .

Для точки (г, х), г = 1, 2, 3, координата I является временной, координаты х1 - пространственными. Геометрия пространства Галилея есть геометрия пространства-времени Галилея. Мы изучаем геометрические свойства пространства-времени Галилея.

1.5 Векторные функции

В пространстве Галилея Уг рассматриваем векторные функции

у(V) = (х(у), х (V)) одного параметра, V е I , где I - интервал в И, можно считать а < V < Ь , или I = И. Обозначение г (V) сохраняем для векторных функций евклидова векторного пространства. Функции у(у) определяют векторные поля на Уг. Наличие нормы на Уг позволяет дифференцировать векторные функции. Производные функций находятся покомпонентно: у (V) = (х(у), х1 (V)) . Правила дифференцирования векторных функций пространства Уг обычны.

2. Стандартная теория кривых

Имеется общая схема изучения кривых евклидова и псевдоевклидова пространств, см. [12], которая может быть осуществлена во многих пространствах с учетом их специфики. Осуществима она и в галилеевом пространстве.

2.1 Регулярные кривые

Отображение у : 11 ^ Г класса Ск , к > 4 , называется регулярной кривой пространства Г, где I! - интервал в И или И. Напомним, что у 'V Ф 0. В отображении

у : I! э V ^ М = (х, х) е Г.

Кривая является множеством точек

I = {М | ОМ =у(у),Vе^}, определяется векторной функцией

у = у(у) = (х(у), х1 (V)), V е I!, г = 1,2,3.

В касательном отображении вдоль кривой у^): М (V) ^ у'(V), V е ^ , возникает касательное векторное поле у'(V), V е ^ . Вектор у' ) есть касательный

вектор кривой у'(V) в точке Р = уV). Прямая (Р, у является касательной прямой для кривой у^) в точке Р. Рассматривая всевозможные кривые пространства Г, проходящие через точку Р и касательные векторы к ним в Р, имеем касательное пространство Уг пространства Галилея Г. Плоскости (Р,у'),

^Р,у',у'), (Р,у',у',у") называются соответственно 1-й, 2-й и 3-й соприкасающимися плоскостями для кривой у^) в точке Р. Положение соприкасающихся плоскостей кривой не зависит от параметризации кривой. Точка Р кривой называется обыкновенной, если еще векторы у , у неколлинеарны.

2.2 Виды кривых

Кривая у^) называется е-кривой в окрестности точки Р (на интервале ^), если вектор производной у'^) является евклидовым. е-кривая у^) в окрестности точки Р лежит в максимальном евклидовом подпространстве Е пространства Галилея Г. Кривая у^) называется г-кривой на интервале ^, если вектор касательной у'(V) является галилеевым для V е ^. г-кривая

у^) = (х^), х (V)), V е ^ , характеризуется условием

х'^) Ф 0, V е ^.

Значит, функция х^) монотонна на интервале ^.

е-кривые изучает евклидова геометрия. Будем изучать г-кривые пространства-времени Галилея.

2.3 Естественная параметризация кривой. Евклидова проекция

Пусть A = A(vi), B = B(V2), v Ф V2 , - точки г-кривой y(v) =

= (x(v),хг (v)), ve Ij. Тогда |AB| Ф 0 и |AB| = |x(V2) - x(vi)|. Если значение v3 таково, что v < v3 < v2 , и C = C(v3) e y(v), то |AC| + |CB| = |AB|. При произвольном разбиении дуги АВ кривой y(v), сумма длин звеньев ломаной, вписанной в дугу АВ, равна |AB|. Поэтому |AB| есть длина дуги АВ кривой y(v). Длина t дуги AM, где M = M (v) - произвольная точка кривой, равна t = |x(v) - x(vj)|. Репер пространства Г выбираем так, чтобы x(v2) > x(vj) для v2 > vi, тогда t = x(v) - x(vj).

Класс функции x(v) = t есть C4, п. 2.1, значит, и обратная функция v = v(t) имеет тот же класс. Таким образом, г-кривая есть кривая

y(t) =(t,xl(t)), te I, t >0. (1)

Параметр t является естественным параметром г-кривой y(t). Длина дуги кривой y(t) от точки to до точки ti равна tj - to.

г-кривую (1) в естественной параметризации записываем в виде

y(t) = te + x (t)в{.

Векторную функцию x (t)в{ евклидова пространства E3 обозначим r (t), т.е. r (t) = x (t)в{, теперь

y(t) = te + r(t). (2)

Кривую r (t) назовем евклидовой проекцией г-кривой.

Первое слагаемое te в (2) является времениподобной составляющей

г-кривой y(t), параметр t обозначает время, второе слагаемое r (t) в (2) явля-

ется пространственноподобной составляющей г-кривой y(t). Время течет вперед, что отмечено в (1). Функция y(t) описывает некоторое событие во времени, это функция мировой линии события; y(t) описывает событие в пространстве событий.

r3

Имеется биекция между евклидовыми кривыми r (t) пространства E и г-кривыми y (t) пространства Галилея:

r(t) ^ te + r(t), t e I .

2.4 Кривизны галилеевой кривой

Вектор касательной

r = Y(t) = (1, xn (t))

г-кривой y(t) (1) пространства Галилея Г, рассматриваемой в окрестности обыкновенной точки Р, является единичным (см. определение нормы вектора в п. 1.3). Время в пространстве Галилея Г течет равномерно, поэтому ||y|| = const. При замене репера пространства Г (см. п. 1.4) параметр t заменяется на пара-8

метр V = г + го ; скорость течения времени не изменяется - в этом смысл постоянной нормы вектора у (г). Далее получаем

г = у (г )= (0, х"г (г)) = Г (г).

Вектор т"(г) евклидов. По п. 1.2 Г ± &. Вектор т"(г) называется вектором главной нормали кривой у (г) в точке Р. Пусть Й1 - единичный вектор главной нормали: у = ||г*| Й1. Величина

к1 = И = 11у11

называется кривизной кривой у(г) точнее, первой кривизной кривой,

& = к1 Я1.

Создадим ортонормированный репер (Р, &, й1, «2, Й3) пространства Г с началом в точке Р кривой и движущийся вдоль кривой вместе с изменением параметра г. Вектор Й2 получим из равенства Й1 = ЦпЦ Й2 , ^ ^ %, величина

ЦяЦ = к2 называется второй кривизной кривой,

п = к2 Й2 .

Четвертый вектор пз репера определим, положив пз = п X п2 . Имеем: пз = п X п2 + п1 X ГІ2. Здесь п X п2 = к2 п2 X п2 = о . Из ^ ^ п2 следует ^*2 ^%,пз), обозначим ^ = и ^ + Vп2 . Вычислим: Xп2 = X(uп1 + Vпз) =

= -у(щXпз) = ^^. Таким образом, іІз = кз п2 , кз = -V = ||пз||. кз называется третьей кривизной кривой. Теперь ЇІ2 = и пі- кз пз . Так как п2 = пз X п и % = пз X п1 + пз X ^ = - кз пз - к2 п, то и = - к2. Поэтому

= - к2 п - кз пз.

Мы получили формулы Френе для кривой пространства Галилея Г:

& = к1 п1, п = к2 ^, п2 = - к2 п1 - кз пз, пз = кз ^ .

Матрица этих формул, т.е. матрица Френе:

' 0 к1 0 0 Л

0 0 к2 0

0 -к2 0 -кз

ч 0 0 кз 0 ,

По функциям кривизн кг = кг (г), і = 1, 2, з, на основании формул Френе можно получить функцию у(г), и кг = кг (г) есть натуральные уравнения кривой у(г).

2.5 Каппа-функция

Для единичного вектора п(г) евклидова пространства приходится вычислять вектор п(г) и его норму. Пусть а (г) - произвольный евклидов век-

тор. Обозначим: п = ц—-^т. Каппа-функцией к(а) вектора а(г) называется

1И(г )11

. гг/

и-'II г „ |Ц|' аа

норма п векторап . Так как а = -¡т^- = па , то

а

, а И - а (аа ) 1 . .

п = ——— ----------------= пГТ(а - п(па )).

а

из

а

Последнее означает, что п є ^а,а ). Вычисляя (п ) , получаем

||а X а\

= к(а).

(з)

(4)

Пусть а(г ) = (а1(г), а 2(г), аз(г)). Имеем: к(а) =

ГТТз з /2Ч2 , Ґ 1 /з з /1Ч2 , . 1 /2 2 /К 2

•у (а а - аа ) + (а а - аа ) + (а а - аа )

^(а1)2 + (а2)2 + (аз)2

г 12

Для 2-мерного вектора а(г) = (а (г), а (г)):

а '2 2/1

Л'2 „2/1

а а,,

V її її II II у

значит, как в [2],

к(а) =

1/2 2/1

а а - а а

Вторая кривизна к2 кривой у(г) является к-функцией вектора г '(г) к2 = к(г ”). Кривизна 3-мерной евклидовой кривой г (г) равна

к(г ) Г х г1|

кі =

Г || г II

г

2.6 Вычисление кривизн

Найдем векторы сопровождающего репера кривой, используя их определение, п. 2.4, и вектор (3):

г Г г Щ п1 = — , п2 = — к1 к2

Г" г- (Г г )

г - Г

г г Ч _ г 1 г А ГГ

, пз = п X п2 = ^----------------г X г .

к12к2

Для кривой у(г) =(г,х(г),у(г),г(г)), согласно п. 2.4,

к = ||у|| = Ц =•]х-2 + у■2 + г '2 . (5)

Кривизна к2, по определению п. 2.5, является к -функцией вектора т"(1), используя (4), имеем

кт =

II Г ^^|| |г* г/*|

г X г г X г

^112

(6)

2

2

2

к

1

Так как г" = кщ, то г"= к\ Йі + кщ = к\ щ + ккЙ2. С использованием

// /

второй и третьей формул Френе (п. 2.4) т"" = кі Йі + кі к2Й2 +

+ кі к2Й2 + кік2 Й2 -кік2 Йі-кік2к^щ. Умножим скалярно г"" на Й3 = Йі хЙ2:

г 7 їїгггїїї т1 г і ^ ^ ^

йз г = -кік2кзЙіЙ2Йз = кік2кз. Так как йз г = —— г г г , то

кі2к2

, і ггтггг, г г г • г ^

кз = —5— г г г = — ----------------:тг. (7)

7,27 \\^*^,^\ 2

кі к2 г х г

В координатах производных функции г (г) имеем

\, н пт н , ґ » т н х ґ н т * л\2

_\(у г -г У ) + (х г -г х ) + (х у - У х )

* »2 , »2 , *2

х + у + г

(8)

ґ ґ нм н ///• /г/г ґ н т * т-, , ґ н т н т-, ни-,

((у г - г у )х - (х г - г х ) у + (х у _ у х ) г )кх

кз= —

, » т 0 /и\2 , /- и ю и м-,2 , / * ю н лгч2 ?

(у г - г у ) + (х г - г х ) + (х у - у х )

где к\ =| \т "(г )|| и вычислена выше (5).

Список литературы

1. Долгарев, А. И. Элементы дифференциальной галилеевой геометрии и одуль галилеевых преобразований / А. И. Долгарев. - Саранск : Средневолжское математическое общество, 2003. - 116 с.

2. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств : монография / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2005. - 306 с.

3. Розенфельд, Б. А. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства / Б. А. Розенфельд, М. П. Замаховский. - М. : МЦНМО, 2003. - 560 с.

к