CC BY
12
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2001. №3. С. 27-29.
© Омский государственный университет УДК
КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ
СИСТЕМ С НРС*
В.В. Прудников, П.В. Прудников
Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр.Мира, 55A1
Получена 16 марта 2001 г.
A field-theoretic description of the critical behaviour of the weakly disordered systems is given. Directly, for three-dimensional systems a renormalization analysis of the effective Hamiltonian of model with replica symmetry breaking (RSB) potentials is carried out in the two-loop approximation. For the case with first-step RSB the fixed points (FPs) corresponding to stability of the various types of critical behaviour are identified with the use of the Pade-Borel summation technique. Analysis of FPs has shown a stability of the critical behaviour of the weakly disordered three-dimensional systems with respect to RSB effects and realization of the former scenario of disorder influence on critical behaviour. For the case of systems with arbitrary dimension from 3 to 4 the ranges of critical behaviour determined by RSB effects are found for each value of p-component order parameter without the use e expansion. Comparison with results of e expansion calculations is carried out and applicability of e expansion is discussed.
При описании критического поведения неупорядоченных систем для восстановления трансляционной симметрии эффективного гамильтониана используется метод реплик. Однако в работах [1,2] были высказаны идеи о возможности нарушения репличной симметрии в таких системах. В [1,2] для описания модели с потенциалом взаимодействия, характеризующимся нарушенной репличной симметрией (НРС), был применен метод е-разложения (е = 4 — б, б - размерность системы). Для систем с числом компонент параметра порядка р, меньшем четырех, было выявлено определяющее влияние эффектов нарушения репличной симметрии на критическое поведение. Предсказывалось неуниверсальное критическое поведение неупорядоченных систем с характеристиками, определяемыми влиянием примесей даже при их малой концентрации. Несмотря на интересные выводы работ [1, 2] проведенные исследования по теоретико-полевому описанию критического поведения непосредственно трехмерных неупорядоченных систем с применением методов суммирования получающихся асимптотических рядов показали [3], что результаты примене-
*Исследования поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 00-02-16455 и 0102-06206) и Конкурсным центром Минобразования РФ (грант Е00-3.2-43).
1 e-mail: prudnikv@univer.omsk.su
ния метода е -разложения можно рассматривать лишь в качестве грубой оценки. Поэтому результаты работ [1,2] требуют детальной переоценки с позиций применения более точного подхода.
В данной работе осуществлено ренормгруппо-вое описание модели слабо неупорядоченной системы с введенным потенциалом взаимодействия четвертого порядка по флуктуациям параметра порядка, задающим нарушение репличной симметрии. В рамках теоретико-полевого подхода для систем произвольной размерности от трех до четырех без использования метода е -разложения проведено описание модели с эффективным реп-личным гамильтонианом
Л
Hn = ddx{ -£]T[VC(x)]2
i=1 a=1
p n
+1 -E E[^a(x)]2
i=1 a=1
+4 E E gab [Фа (x)]2 ф (x)]2},
(i)
i,j =1 a,b=1
где индекс г определяет число компонент параметра порядка ф(х), индекс а нумерует реплики (образы) однородной составляющей в исходном гамильтониане неупорядоченной системы, матрица даь задает эффективное взаимодействие флуктуаций (п х р) - компонентного парамет-
pn
28
В.В. Прудников, П.В. Прудников.
ра порядка через поле дефектов. Данная статистическая модель термодинамически эквивалентна исходной неупорядоченной модели в пределе n ^ 0. Наличие дефектов структуры приводит к реализации в системе большого числа локальных минимумов энергии, и матрица gab уже не является реплично-симметричной, а имеет структуру НРС Паризи [4]. Так, в пределе n ^ 0 матрица gab характеризуется диагональными элементами g и недиагональными элементами, задаваемыми функцией g(x), которая определена на интервале 0 < x < 1: gab ^ (g,g(x)). Реплично-симметричной ситуации соответствует g(x) = const, не зависящая от x .В [1] была выявлена ступенчатая структура функции g(x) . Мы ограничились в работе рассмотрением функции g(x) одноступенчатого вида: g(x) = go для 0 < x < x0, и g(x) = gi для x0 < x < 1, где координата ступеньки 0 < xo < 1 остается произвольным параметром, который не меняется при масштабных преобразованиях. В результате ренормгрупповые преобразования репличного гамильтониана с НРС задаются тремя параметрами g,go,gi.
Ренормгрупповое описание модели, задаваемой репличным гамильтонианом (1), было осуществлено нами в двухпетлевом приближении как непосредственно для трехмерного случая, так и для 3 < d < 4. Возможные типы критического поведения и их устойчивость определяются коэффициентами ßk (g, go, gi) ренормгрупповых уравнений для вершинных частей неприводимых функций Грина. Для их определения был применен метод диаграмм Фейнмана и процедура перенормировки. Полученные ß-функции имеют вид
ßi = -g + (8 + p) g2 - pxo go2 - p (1 - xo) gi2
+ ((8 f - 40 h + 20)p + 16 f - 176 h + 88)g3
+ (24 h - 8 f - 12) xo pggo2
+ (24 h - 8f - 12) (1 - xo) pggi2
- (16 h - 8) xo pgo3 - (16 h - 8) (1 - xo) pgi3,
ß2 = -go + (4 + 2p) ggo + (2pxo - 4) go2 +2 (1 - xo) pgogi + ((8f - 48 h + 28)p + 16 f -48 h + 24)g2go - (((32 h - 16)xo +8 - 32 h)p +48 - 96 h)ggo2 - (32 h - 16) (1 - xo) pggogi +((48 h - 8 f - 20) xo p - 32 h +16)go3 + (32 h - 8) (1 - xo) pgo2gi(2) + (16h - 12 - 8f)(1 - xo)pgogi2, ß3 = -gi + pxo go2 - (p (xo - 2) + 4) gi2 + (4 + 2p) ggi + ((8 f - 48 h + 28)p +16 f
-48 h + 24)gig2 - (16 h - 8) xo pggo2
-(((8 - 16h) xo - 8)p + 48 - 96h)ggi2
+ (16 h - 8) xo pgo3 + (8 h - 8 f - 4) xo pgigo2
+((8 f - 24 h + 12) xo p + (48 h - 8 f - 20) p
+16 - 32 h)gi3
где введены обозначения
f (d) I (k) h(d) J
1 d
- J2 1 (k)|k2=o'
ddfciddfc2
(k2 + 1)(k2 + 1)((k i + k2 + k)2 + 1):
1
J2
ddkiddk2
(k 2 + 1)2(k2 + 1)((k i + k2)2 + 1)' J ddk/(k2 + 1)2
и осуществлено переопределение даь ^ даь• Для возможности сопоставления результатов данной работы с работами [1,2] мы по аналогии с [1,2] в выражениях (2) для в - функций изменили знаки на противоположные у недиагональных элементов матрицы да=ь ^ — да=ь, в результате чего до и д1 становятся положительно определенными. Нами был проведен численный расчет значений интегралов /(й) и Л(^) для 3 < ^ < 4.
Известно, что ряды теории возмущений являются асимптотическими, а вершины взаимодействия флуктуаций параметра порядка в критической области т ^ 0 достаточно велики, чтобы можно было непосредственно применять полученные выражения для в-функций. Поэтому с целью извлечения из них нужной физической информации нами был применен обобщенный на трехпараметрический случай метод Паде-Бореля, используемый для суммирования асимптотических рядов [5]. В двухпетлевом приближении для вычисления в-функций был использован аппроксимант [2/1]. Природа критического поведения определяется существованием устойчивой фиксированной точки, удовлетворяющей системе уравнений вк (д*, до, д 1) с к = 1, 2, 3 .В результате численного решения данной системы для просуммированных методом Паде-Бореля в-функций для значений числа компонент параметра порядка р = 1, 2, 3 было выделено три типа нетривиальных фиксированных точек в представляющей физический интерес области значений параметров д*,д0,д * > 0. Так, фиксированная точка (ФТ) 1-го типа с д* =0, д* = д* = 0 соответствует критическому поведению однородной системы, ФТ 2-го типа с д* = 0, д* = д * = 0 - критическому поведению неупорядоченной системы с репличной симметрией, а ФТ 3-го типа с д* = 0, д0 = 0, д * = 0 - критическому поведению
Критическое поведение неупорядоченных систем с НРС
29
неупорядоченной системы с НРС. При этом значения параметров д* , д* в фиксированной точке с НРС зависят от координаты ступеньки хо .
Возможность реализации того или иного типа критического поведения для каждого р определяется устойчивостью соответствующей фиксированной точки. Требование устойчивости фиксированной точки сводится к условию, чтобы действительные части собственных значений А; матрицы = двг (с?*, д*, д*) /дд5- были положительны. Анализ значений А; для каждого типа фиксированных точек позволил сделать следующие выводы:
1) для трехмерной модели Изинга (р = 1) устойчива ФТ 2-го типа. При пороговой размерности системы йс = 3.986 она теряет устойчивость, а поскольку во всем интервале изменения размерности системы 3 < й < 4 остальные фиксированные точки неустойчивы, то, следовательно, при 3.986 < й в системе за счет эффектов нарушений репличной симметрии вообще не реализуется устойчивое критическое поведение (фазовый переход приобретает черты «размытого» фазового перехода или перехода первого рода);
2) для трехмерной ХУ-модели (р = 2) получаемые малые положительные значения А; указывают на слабую устойчивость реплично-симметричной ФТ 2-го типа. Однако уже при размерности йс = 3.1 устойчивой становится ФТ 3-го типа с эффектами нарушений репличной симметрии. При этом критическое поведение, определяемое данной точкой, является неуниверсальным и оказывается зависящим от величины параметра хо , а следовательно, от концентрации примесей. Анализ устойчивости ФТ 3-го типа показал, что она оказывается устойчивой лишь для интервала 0 < хо < хс(й), где хс -некоторое пороговое значение параметра, зависящее от размерности системы. Так, для й = 3.1 хс = 0.1, а для й = 3.999 хс = 0.3. В интервале же хс(й) < хо < 1 ни одна из фиксированных точек не является устойчивой;
3) для изотропной трехмерной модели Гейзен-берга (р = 3) устойчивой становится ФТ 1-го типа, в то время как в других фиксированных точках константы до* , д * принимают нефизические отрицательные значения. Лишь при размерности системы йс = 3.999 значения констант д* , д * для ФТ 3-го типа принимают физические значения и одновременно ФТ3 становится устойчивой для интервала изменения 0 < хо < 0.4 .В интервале же 0.4 < хо < 1 ни одна из фиксированных точек не является устойчивой.
Таким образом, проведенные исследования показали, что критическое поведение трехмерных слабо неупорядоченных систем устойчиво относительно влияния эффектов нарушения реп-
личной симметрии. В системах с однокомпонент-ным параметром порядка реализуется критическое поведение, определяемое структурным беспорядком с реплично-симметричной фиксированной точкой (ФТ2). Наличие слабого беспорядка не влияет на критическое поведение трехмерных систем с многокомпонентным параметром порядка, хотя для доказательства этого в случае систем с р = 2 необходимо проведение расчетов в более высоких порядках приближения [3].
Эффекты нарушений репличной симметрии проявляются лишь при размерностях неупорядоченной системы больших трех, при этом пороговые значения размерности йс зависят от числа компонент параметра порядка р и величины параметра хо. Качественно предсказываемая картина влияния эффектов нарушений репличной симметрии на критическое поведение неупорядоченных систем с размерностью й > йс согласуется с результатами работ [1,2], получаемыми на основе е -разложения: для систем с р = 1 эффекты НРС разрушают устойчивое критическое поведение, а для систем с р = 2,3 возникает область неуниверсального критического поведения при значениях параметра 0 < хо < хс(й). При значениях параметра хо вне этого интервала устойчивое критическое поведение системы отсутствует, как и в случае с р = 1 .
С увеличением концентрации дефектов можно ожидать понижения пороговых значений йс и достижения ими значений йс < 3, начиная с некоторой пороговой концентрации.
[1] Dotsenko Vik.S., Harris A.B., Sherrington D., Stinchcombe R.B.// J.Phys.,1995. V.A28. P.3093; Dotsenko Vik.S., Feldman D.E.// J.Phys.,1995. V.A28. P.5183.
[2] Доценко Вик.С. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // Успехи физ. наук. 1995. Т.165. С.481.
[3] Mayer I.O., Sokolov A.I., Shalaev B.N. // Ferroelectrics, 1989. V.95. P.93; Shalaev B.N., Antonenko S.A., Sokolov A.I. // Phys.Lett., 1997. V.A 230. P.105; Прудников В.В., Белим С.В., Иванов А.В. и др. // ЖЭТФ.1998. Т.114. С.972; Pakhnin D. V., Sokolov A.I. // Phys.Rev., 2000. V.B 61. P.15130; Pelissetto A., Vicari E. // Phys.Rev., 2000. V.B 62. P.6393; Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Fedorenko A.A. // Phys.Rev., 2000. V.B 62. P.8777.
[4] Mezard M., Parisi G.// J.Physique I, 1991. V.1. P.809.
[5] Варнашев К.Б., Соколов А.И.// ФТТ.1996. Т.38. С.3665.
