CC BY
4
УДК 519.716
С. С. Марченков1
КРИТЕРИЙ ПОЛНОТЫ В КЛАССЕ
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО-ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ*
Рассматривается класс ЕР^ экспоненциально-полиномиальных функций, которые можно получить произвольными суперпозициями из функций 0,1, х + у, х ■ у, ху. В ЕР^ эффективно определяются 6 предполных (относительно операции суперпозиции) классов, на основе которых формулируется критерий полноты и алгоритм распознавания полноты для конечных систем функций.
Ключевые слова: экспоненциально-полиномиальные функции, критерий полноты.
1. Введение. В теории функциональных систем важное место занимают функциональные системы с операцией суперпозиции [1, 2]. Носителями систем могут быть самые разнообразные множества функций: булевы функции, функции многозначной логики, конечно-автоматные функции, функции счетнозначной логики, а также различные множества рекурсивных функций. Основными задачами, рассматриваемыми для функциональных систем с операцией суперпозиции, являются задача о полноте (в алгоритмической и функциональной постановках) и задача описания решетки всех замкнутых классов. Решение задачи о полноте дается, как правило, в терминах предполных классов.
Если рассматривать множество всех функций от натурального аргумента — множество функций счетнозначной логики, то число предполных классов гиперконтинуально [3]. Континуальным будет множество предполных классов для многих хорошо известных классов рекурсивных функций [4-6].
В последнее время внимание специалистов привлекает задача о полноте для весьма узких подмножеств множества рекурсивных функций: множеств линейных, полиномиальных или экспоненциально-полиномиальных функций. Так, в работе В. Ш. Дарсалии [7] рассматривается задача о полноте для полиномиальных функций над множествами натуральных чисел, целых чисел или рациональных чисел. Для первого случая задача о полноте решается довольно просто: имеется ровно 4 легко описываемых предполных класса. Во втором случае число предполных классов континуально, а задача о полноте алгоритмически неразрешима. В третьем случае число предполных классов также континуально. В работах А. И. Мамонтова и Д. Г. Мещанинова [8, 9] определены все предполные классы для множества линейных функций над кольцом целых чисел (их оказалось счетное число), построен алгорим распознавания полноты конечных систем функций и оценена его сложность.
В настоящей работе в терминах предполных классов решается задача о полноте для множества экспоненциально-полиномиальных функций — функций, которые можно получить произвольными суперпозициями из функций 0,1,х + у,х ■ у,ху. Это множество существенно сложнее множества полиномиальных функций (для полиномов с натуральными коэффициентами), однако монотонность функций и некоторые аналогии с полиномиальными функциями позволяют найти все предполные классы. Устанавливается, что этих классов ровно 6 и каждый из классов имеет вполне эффективное описание. Это дает возможность сформулировать критерий полноты и построить алгоритм, решающий проблему полноты для конечных систем экспоненциально-полиномиальных функций.
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ssmarchenQyandex.ru
* Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект № 19-0Ю0200.
2. Основные понятия и предварительные сведения. Пусть N — множество натуральных чисел, включая число ноль. Обозначим через Р^ ^^^^^^^^^ ^^х функций на N (множество функций счетнозначной логики). На множестве PN рассматриваем операцию суперпозиции. Эта операция не является алгебраической, однако А. И. Мальцев [10,11] предложил четыре алгебраические операции, которые в совокупности эквивалентны "общей" операции суперпозиции:
(/)(Ж1,...,Жп) = / (Ж2,Жз,...,Жп ,Ж1),
(т/)(Ж1, . . . ,Жп) = /(Ж2,Ж1,Жз, . . . ,Ж„),
(V/)(Ж1,... , Жп— 1 ) = / (Ж1 , ж1, ж2, . . . ) Жп— 1)
(мы не включили операцию V введения фиктивной переменной, поскольку в классе экспоненциально-полиномиальных функций это можно сделать за счет использования, например, формул типа /(ж1, ..., Жп) + 0 • Жп+1). Если функция / одноместна, то все три операции дают функцию /. Для функций /(ж1, ..., Жп) и $(ж1,..., жт) двуместная операция * определяется равенством
(/ * $)(ж2 , . . . , Жп+т) = /(£(жп+ъ . . . ,Жп+т) ,ж2) . . .)Жп).
Если М С РN то иосредством [М] будем обозначать замыкание множества М относительно четырех введенных операций. Множество М называем замкнутым классом, если оно совпадает
[М]
Пусть Q С РN Q — замкнутый класс и М С Q. Множество М называется полным в Q, если [М] = Q, и предполным в если [М] = Q ж [М и /] = ^ ^^^ ^^^^ функции / из множества Q \ М.
Основным объектом исследования будет замкнутый класс [{0, 1,ж + у,ж ■ у,жу}], который обозначим через ЕР^ ^здесь ж + у, ж ■ у, жу — арифметические функции сложения, умножения и возведения в степень, значение 00 в этой работе полагаем равным 0). Функции из класса EPN называем экспоненциально-полиномиальными функциями (сокращенно эп-функции). Отметим, что все функции / (ж1,...,жп ) класса ЕР^ если Ж1 ^ у 1,..., жп ^ уп, то / (ж1, ..., Жп) ^ / (у1,..., уп). Это сразу следует го монотонности исходных функций класса EPN и сохранения свойства монотонности при операции суперпозиции.
Следующий простой факт нетрудно вывести из способа определения функций класса ЕР^
Утверждение 1. Если / (ж1, ..., жп) — эп-функция, то / (ж1, ..., Жп) можно получить из исходных функций 0, 1,ж1 ,... ,жп (которые можно рассматривать как функции от всех пе-
Ж1 , . . . , Жп)
Л е м м а 1. Пусть /(ж) — эп-функция. Тогда, л,ибо она, является константой при ж > 0, либо строго монотонна на, всем, множестве N.
Доказательство. Проведем индукцию по числу применения операций сложения, умножения и возведения в степень при получении функции /(ж) из исходных функций 0,1, ж. Для них утверждение леммы очевидно. Если же функция /(ж) получается из функций $1 (ж),^2(ж) с помощью одной из трех указанных операций, то утверждение леммы легко следует из индуктивного предположения (для функций монотонности функций монотонности рассматрива-
емых операций, а также следующего факта: если функция $1(ж) строго монотонна, то функция ($1 (ж))0 при ж > 0 есть константа 1. Лемма доказана.
Л е м м а 2. Пусть /(ж1, ..., Жп) — эп-функция и для некоторых ненулевы,х значений а1,..., ап выполняется равенство /(а1,..., ап) = 0. Тогда, функция / совпадает с константой 0.
Доказательство. Положим а = шт(а1,... ,ап). В силу монотонности функции /будем иметь / (а,..., а) = 0. Если определить $(ж) = / (ж, ... ,ж), то согласно лемме 1 и ввиду монотонности функции $ получим $(ж) = /(ж,...,ж) = 0. Пользуясь теперь монотонностью функции /, заключаем, что при любых Ж1,..., жп выполняется равенство /(ж1, ..., жп) = 0, т.е. / есть константа 0. Лемма доказана.
По аналогии с леммой 2 (и с использованием леммы 1) нетрудно также установить следующее утверждение.
Л е м м а 3. Пусть f (х1,..., хп) — эп-функция и для некоторых значений а1;..., ап, больших 1, выполняется равенство f (а1;..., ап) = 1. Тогда, функция f в области
х1 > 0, ..., хп > 0 (1)
совпадает с константой 1.
Обозначим через Уо множество всех эп-функций, не равных константе 0. Отметим, что множество Уо содержит функции 1,х + у, х ■ у, ху. С использованием леммы 2 нетрудно показать, что Уо — замкнутый класс.
Пусть То — множество всех эп-функций, сохраняющих 0. Очевидно, что множество То содержит функции 0, х + у, х ■ у, хуи является замкнутым классом.
Обозначим через Т множество всех эп-функций, сохраняющих множество N\{1}. Множество Т1 является замкнутым классом, который содержит функции х + у, х ■ у, х • у2, а также все константы, отличные от 1.
Пусть У^т обозначает множество всех эп-функций, из которых подетановкой констант 0,1 вместо части переменных невозможно получить функцию вида Xi + х^-, где г = Легко видеть, что множеству Узит принадлежат фун кции 0,1, х • у, ху.
Обозначим через Урго^ множество всех эп-функций, из которых подстановкой констант 0,1 вместо части переменных невозможно получить функцию вида Xi ■ х^-, где г = Множеству Ургой принадлежат функции 0,1, х + у, ху.
Пусть У^хр обозначает множество всех эп-функций, из которых подстановкой констант 0,1 вместо части переменных невозможно получить функцию вида х^, где г = Множеству Уехр принадлежат функции 0,1, х + у, х ■ у.
3. Основные результаты. Л е м м а 4. Для любой эп-функции f (х1,..., хп) найдется полиномиальная функция р(х1,..., хп), имеющая в области (1) те же существенные переменные, что и функция f (х1,... ,хп), для которых в области
х1 > 1, ..., хп > 1 (2)
справедливо неравенство
f(х1,... ,хп) ^ р(х1,... , хп
). (3)
Доказательство. Будем предполагать, что функция f (х1,..., хп) получена из функ-0, 1, х1 , . . . , хп
операций сложения, умножения и возведения в степень при получении функции f. Для исходных функций 0,1, х1,..., хп утверждение леммы очевидно.
Пусть далее функция f (х1,..., хп) получена из функций ..., хп), f2(x1,..., хп) с по-
мощью одной из указанных операций, полиномиальные функции р1(х1,...,хп), Р2(х1 ,...,хп) имеют в области (1) те же существенные переменные, что и соответствующие функции и
для функций ,Р2 в области (2) выполняются аналоги неравенства (3). Если применяется
операция сложения или умножения, то утверждение леммы легко выводится из предположения индукции и следующих двух фактов: в области (1) существенные переменные функций Д + f2 и Л1 ■ f2 совпадают с существенными переменными соответствующих полиномиальных функций Р1 + Р2 и р1 ■ Р2; операции сложения и умножения монотонны.
Предположим теперь, что Д = Л£2. Если в области (1) одна из функций принимает
£
значение 0, то согласно лемме 2 она является константой 0 и потому функция Л£2 либо является константой 0, либо в области (1) равна 1. Для этих случаев выбор полиномиальной функции в неравенстве (3) очевиден.
Если в области (2) функция Д принимает значение 1, то согласно лемме 3 в области (1) она является константой 1 и, следовательно, в этой области функция Л(2 также равна 1. В качестве функции р1 в неравенстве (3) следует взять, разумеется, константу 1. Если в области (2) функция Л2 принимает значение 1, то в области (1) выполнявтся соотношение Л(2 = Д. Поэтому для получения полиномиальной оценки функции Д следует воспользоваться функцией р1.
/1 , /2
ет значения 0, а в области (2) — значения 1. Ввиду этих условий и в силу леммы 1 функция /'(ж) = /1 (ж,...,ж) либо при ж > 0 является константой, большей 1, либо при ж ^ 0 — строго монотонной функцией. В первом случае в силу монотонности функция /(Ж1, ... ,жп) в области (1) также будет константой, большей 1. Здесь можно считать, что полиномиальная функция р1 совпадает с данной константой. Во втором случае при ж ^ 0 имеем /1 (ж) ^ ж. Поэтому в области (2) справедливо неравенство Д(ж1, ... ,жп) ^ 2. Аналогичные соотношения выполняются для /2 /1 , /2 (для упрощения записи переменные опускаем)
/ = Л/2 ^ /1 ■ /2 ^ Р1 ■ Р2.
Лемма доказана.
Следствие. В условиях леммы 4 в области (2) справедливо неравенство
/ (ж1 , . . . , Жп) ^ ЖП + ... + Жгт ,
где Жгх,..., Жгт — все переменные, существенные для функции /(ж1, ..., Жп) в области (1).
Доказательство. Достаточно воспользоваться неравенством (3) и соотношением ж ■ у ^ ж + у, которое верно в области ж, у > 1.
Л е м м а 5. Пусть /(ж, у, г) — эп-функция и /(у, у, г) есть одна из функций у + г, у • г или ух. Тогда одна из функций /(1, у, г), /(у, 1, г) совпадает с функцией /(у, у, г).
Доказательство. Из условий леммы следует, что в области ж, у, г > 0 функция /(ж, у, г) существенно зависит от переменной г и хотя бы одной из переменных ж,у. Покажем, что от всех трех переменных она в этой области существенно зависеть не может. В самом деле, в противном случае согласно следствию из леммы 4 в области ж, у, г > 1 будет выполняться неравенство /(ж, у, г) ^ ж+у + г. В частности, /(2, 2, 2) ^ 6. Однако это противоречит включению /(у, у, г) € {у + г, у ■ г,уг}. Таким образом, от одной из переменных ж,у функция /(ж,у,г) в области ж, у, г > 0 существенно не зависит. Пусть это будет, например, переменная ж. Тогда в данной области имеет место равенство /(ж,у,г) = /(1,у, г). Далее отдельно рассмотрим три возможности для функции /(у, у, г).
1. Пусть сначала /(у, у, г) = у + г Поскольку при у, г > 0 выполняется равенство /(1, у, г) = = у + г остается доказать, что /(1, 0, г) = г и /(1, у, 0) = у при всех значениях рг. В силу равенства /(у, у, г) = у + г и монотонности функции / имеем
г = /(0,0, г) < /(1,0, г) < /(1,1, г) = г + 1.
Пусть при некотором г > 0 выполняется равенство /(1, 0, г) = г + 1 Тогда при данном г функция /(1, у, г) не является строго монотонной по переменной у. Согласно лемме 1 это означает, что при у > 0 функц ия / (1, у, г) есть константа (в данном случае г + 1). Пр и г > 0 получаем противоречие с равенством /(1, у, г) = у + г, которое справедливо в области у, г > 0. Таким образом, при любом г > 0 выполняется равенство /(1, 0, г) = г. В силу леммы 1 функция /(1, 0, г) строго монотонна при г ^ 0. А поскольку /(1,0,1) = 1, должно быть /(1,0,0) = 0, т.е. при всех значениях г получаем /(1,0, г) = г.
Рассмотрим функцию /(1,у, 0). Если при у > 0 она является константой, то эта константа есть 1 (поскольку /(1,1, 0) = 1). Значит, должно быть /(1, 2, 0) = 1. Вместе с тем /(2, 2, 0) = 2.
/(ж, 2, 0)
/(4, 2, 0) ^ 4. Однако ввиду несущественности переменной ж (в области Ж,у, г > 0) будем иметь
/(4, 2,1) = 3. Последнее соотношение вместе с предыдущим неравенством противоречит моно/
Итак, при у > 0 функция /(1,у, 0) не является константой. Тогда по лемме 1 она при всех значениях у будет удовлетворять неравенству /(1,у, 0) ^ у. Пользуясь условием /(у, у, 0) = у и
монотонностью функции Л заключаем, что при у > 0 выполняется неравенство У(1,у, 0) ^ у.
у = 0 у
имеем Л(1, у, 0) = у. Это завершает доказательство равенства У(1, у, г) = у + г.
2. Пусть теперь У(у, у, г) = у ■ г. Здесь требуется дашь установить, что У(1, 0, г) = 0 и Л(1,у, 0) = 0. Поскольку при любых у выполняется соотношение У(у, у, 0) = 0, в силу монотонности функции Л при у > 0 будем иметь У(1,у, 0) = 0. Отсюда в силу монотонности вытекает также равенство У(1,0,0) =0.
Перейдем к функции У(1, 0, г). Если при г > 0 она отлична от константы, то в силу леммы 1 при всех г будем иметь У (1, 0, г) ^ г. Если У (1, 0, 2) > 2, то ввиду монотонности У получаем противоречие с равенством У(1,1, 2) = 2. Пусть У(1, 0, 2) = 2. Тогда в силу леммы 1 и ввиду равенства У(1,1, 2) = 2 при у > 0 функция У(1,у, 2) есть константа 2. Однако в области у, г > 0 имеем Л(1, у, г) = у • г, в частности, У(1, 2, 2) = 4. Вновь получаем противоречие.
Пусть при г > 0 функция У(1, 0, г) есть ненулевая константа с. При с > 1 в силу монотонности У приходим к противоречивым соотношениям У(1, 0,1) > 1 и У(1,1,1) = 1. Если же с = 1, то ввиду леммы 1 получаем, что функция У(1,у, 1) при у > 0 есть константа 1. Однако по выбору переменной х должно выполняться равенство У(1, 2,1) = 2, что снова дает противоречие. Таким образом, все всех г > 0 должно выполняться равенство У(1, 0,г) = 0 (равенство У (1, 0, 0) = 0 установлено ранее).
3. Пусть, наконец, У(у, у, г) = у2. В этом случае нам необходимо установить равенства Л(1, 0, г) = 0 и Л(1,у, 0) = sg(y). При у > 0 равенство У(1,у, 0) = 1 следует из монотонности функции Л и соотношений
1 = Л (1,1,0) < Л (1,у, 0) < Л (у, у, 0) = 1.
Кроме того, если бы выполнялось равенство У (1, 0, 0) = 1, то ввиду соотношения У (1,1, 1) = 1 было бы Л(1, 0,1) = 1. А тогда в силу леммы 1 функция У(1,у, 1) равнялась бы тождественно 1. Это противоречит тому, что при у, г > 0 справедливо равенство У(1,у, г) = у2. Итак, функция Д(1, у, 0) (у)
Если при г > 0 функция У (1, 0, г) отлична от константы, то в силу леммы 1 имеем У(1, 0, г) ^ г. В силу монотонности функции Д также выполняется неравенство У (1,1, г) ^ г. Однако У(1,1, г) = =1
Предположим, что при г > 0 функция У(1, 0, г) есть ненулевая константа с. При с > 1с
Д(1, 0, 1) > 1, Д(1, 1, 1) = 1 с = 1
Д(1, 0, 1) = 1, Д(1, 1, 1) = 1 Д(1, у, 1)
при у > 0 должна быть константой 1. Однако это противоречит, например, равенству У(1, 2,1) = = 2. Остается один вариант: У (1, 0, г) = 0. Лемма доказана.
Следствие. Множества У^ит, Ургой, Уехр замкнуты относительно о перации V.
Л е м м а 6. Множество У5ит замкнуто относительно операции побстановки *.
Доказательство. Считая, что функции У (х1,..., хп) и $(х1,..., хт) принадлежат множеству предположим, что У * $ / У«ит- Тогда для некоторых г, где г < ], найдется
такой набор констант {а^} (из множества {0,1}), что
(Л * $)(^2,..., ^-1, х^ ат,..., х^,%•+!,..., ап+т) = Xi + х^-.
Возможны три варианта расположения чисел г,^ относительно п.
1. ] ^ п.
Пусть с = $(ап+1,..., ап+т) и
Л1(хьх^х^) = Д(х1,а2,... ,а^ьх^+1,... , а-,_1,х^, а-,-+ь ... ,ап).
Тогда Л1 (с, Xi, х^-) = Xi + х^-. При с € {0,1} получаем противоречие с включением У € У^ит- Пусть с > 1 и функция Д1(х1, Xi, х^-) в области х1, Xi, х^- > 0 существенно зависит от переменной х1. Тогда
д1 X1, Xi, х, >> 1
У1(х 1, xi, ) ^ х 1 + xi + х<?,
что ведет к противоречию при xi = с, Xi = Xj = 2.
Пусть функция fi в области X1, Xi, Xj >> О не зависит существенно от переменной xi. Это значит, что при любых x¿ , Xj > О выполняются равенства
fi (1, x¿, Xj) — fi (c, X¿, Xj) — X¿ + Xj.
Рассмотрим функцию fi(xi, О, Xj). В области xi, Xj > О v нее есть по крайней мере одна существенная переменная (поскольку fi(c, О
, x j ) — x j
). Но обе переменные существенными быть не могут: тогда в силу следствия из леммы 4 при xi, Xj > 1 было бы верно неравенство fi(xi, О, Xj) ^ Xi + Xj (однако fi(c, О,Xj) = Xj и c > 1). Значит, у функции fi(xi, О, Xj) в области Xi , Xj > О одна существенная переменная Xj. В частности, в этой облает и имеем fi(c, О, Xj) = fi(1, О, Xj). Так как при Xj > О функция fi(1, О, Xj) не является константой, по лемме 1 получаем fi(1, О, Xj) ^ Xj (при Xj ^ О). Вместе с тем соотношение fi(1, О, а) > а невозможно, поскольку fi(c, О, а) = а. Следовательно, fi(1, О, Xj) = Xj. Аналогично рассматривается функция fi(1,x¿, О), где будем иметь fi(1,x¿, О) = x¿. Таким образом, вообще fi(1 , Xi , Xj ) — Xi + X j '
2. i ^ n + 1.
Ввиду леммы 1 функция fi(xi) = f (xi, а2,..., ап) должна быть строго монотонной (при xi ^ ^ О). Поскольку при подстановке в функцию fi(xi) функции ^(а^+i,..., Xi, а^+i, ..., Xj,..., а^+m) получается функция Xi + Xj, которая принимает все значения из N, функция fi(xi) может совпадать только с функцией xi. Однако в этом случае функция ^(ага+!,..., Xi, а^!,..., Xj,..., ап+т)
Xi + Xj
3.2 ^ i ^ n, n + 1 ^ j ^ n + m.
В этом случае функция gi(xj) = ^(ап+i,..., а^--i, Xj, а^-+i,..., ага+т) равна переменной Xj (по-
Xj
значение, значит, тогда функция f (gi(xj), а2,..., а^, О, а^,..., ап) также не будет принимать хотя бы одно значение). Отсюда сразу следует, что функция f (xj, а2,..., а^, xi, а^,..., ап) сов-Xi + Xj
Л е м м а 7. Множества Vprod, Vexp замкнуты относительно операции побстановки *.
Доказательство. Применяем схему доказательства леммы 6. Укажем лишь те отличия, которые имеются в пунктах 1-3 для функций
1. Рассмотрим функцию fi(xi, О, Xj). Для обоих случаев (xi • Xj и x¿J) в области x i, X j » О переменные xi, Xj существенными быть не могут: тогда в силу следствия из леммы 4 при xi, Xj > 1 было бы fi(xi, О, Xj) ^ xi + Xj однако fi(c, О, Xj) = О и c > 1. Значит, у функции fi(xi, О, Xj) в области
x i, X j » О имеется не более одной существенной переменной. Если это переменная xi, то для некоторого а > О функция fi(xi, О, а) в области xi > О отлична от константы. Согласно лемме 1 получаем неравенство fi(xi, О, а) ^ xi. В частности, fi(c, О, а) ^ с, что противоречит равенству fi(c, О, а) = О.
Пусть в области
x i, X j » О существенной переменной функции fi(xi, О^^-) является переменная Xj. Тогда ввиду несущественности переменной xi функция fi(c, О,Xj) при Xj > О будет отлична от константы. Это влечет за собой строгую монотонность функции fi (с, О, Xj) и далее — противоречие с равенством fi (с, О, Xj) = О.
Таким образом, в области
x i, X j » О у функции fi(xi, О^-) нет существенных переменных. В силу равенства fi(c, О^-) = О заключаем, что в данной области функция fi(xi, О, Xj) равна 0. По монотонности получаем также, что fi(1, О, Xj) = О. Ввиду коммутативности функции Xi • Xj аналогичный результат будет справедлив для функции fi(1,Xi, О).
Рассмотрим теперь функцию fi(xi, Xi, О) для случая fi (с,
^Xi, Xj ) — Xi j. Как и выше, устанавливаем, что в области Xi,Xi > О обе переменные v функции fi(xi,xi, О) существенными быть не могут (пользуемся при этом равенством fi(c, 1, О) = 1). Так же легко получаем, что переменная Xi существенной не является: в противном случае при некотором а > О функция fi(xi, а, О) будет строго монотонной и, следовательно, мы получим противоречие с равенством fi(c, а, О) = 1.
Xi
ция fi(c, Xi, О) является строго монотонной, что противоречит равенству fi(c, Xi, О) = x0. Из по-
следнего равенства и несущественности функции Д(х1 ^, 0) по перемен ной х1 следует, что при х1 > 0 выполняется соотношение , 0) = 1. Поскольку, как уже установлено, У1 (1, 0, 0) = 0,
то в итоге приходим к равенству Д(1,х^ 0) = sg(xi).
Пункты 2, 3 рассматриваются так же, как в лемме 6. Лемма доказана.
Теорема 1. Все предполные в ЕР^ классы исчерпываются классами
ТО Т1, Vsмm, ^рго^ ^вхр. (4)
Доказательство. Замкнутость классов относительно операций
П, т очевидна, а замкнутость относительно операций V, * установлена в леммах 5-7. Попарное невключение классов (4) нетрудно установить, рассматривая функции
0, 1, 2, х + у, х ■ у, 2х, ху, х ■ у2
и устанавливая принадлежность/непринадлежность этих функций классам (4).
Пусть теперь система функций Q целиком не входит ни в один из классов (4). Обозначим через У1,..., Уб функции системы Q, которые не принадлежат соответственно классам списка (4). Функция Д, очевидно, является константой 0, а константа с = У2(0,... , 0) отлична от 0. Пусть с = 1. Для функции Уз найдутся такие значения а1,..., ат, отличные от 1, что Уз(а1,..., ат) = 1. Ввиду наличия констант 0, с можно считать, что в наборе (а1,..., ат) все значения отличны от 0 и с. Если функция Уз(а1,..., ат-1, хт) при хт > 0 отлична от константы, то согласно лемме 1 она строго монотонна при всех хт ^ 0 и потому Уз(а1,..., ат-1, ат) ^ ат, что противоречит равенству Уз(а1,... , ат) — 1. Следовательно, при хт > 0 функция Уз(а1,..., ат-1, хт) есть константа (очевидно, 1). Поэтому Уз(а1,..., ат-1, с) = 1. Если т — 1 > 0, то повторяем проведенные выше рассуждения для функции Уз(а1,..., ат-2, хт-1, с) и так далее до получения константы 1. Имея константы 0 и 1, подстановками их в функции У4, уб, Уб получаем соответственно функции х + у, х ■ у, ху. Теорема доказана.
Следствие. Существует алгоритм, распознающий полноту конечных систем функций в классе ЕР^.
Доказательство. Ввиду критериальности системы предполных классов (4) достаточно
Д
эффективным образом. Для классов уо,то, Уехр это очевидно. Рассмотрим класс Т1.
Предположим, что функция У(х1,..., хп) не сохраняет множество N \ {1}. Тогда найдутся такие элементы а1,..., ап из множес тва N \ {1} та о У (а1,...,ап) = 1. Можно считать, что все элементы а1, . . . , ап Д
перешли к набору, не содержащему нулей). Положим а = ш1п(а1,..., ап) и Д1(х) = У(х,..., х).
Д Д1(а)
Д(а) = 0 согласно лемме 2 получим тождественно Д(х) = 0. Тогда и функция У(х1,..., хп) будет тождественно равна нулю. Если же Д(а) = 1, то в силу леммы 3 при х > 0 будем иметь Д(х) = 1. Сравнивая между собой функции Д(х) и У(х1,..., хп), ввиду монотонности функции У приходим к выводу, что в области х1,..., хп > 0 значение функции У есть 1. В частности, У(2,..., 2) = 1. Поэтому для проверки вхождения функции У в класс Т достаточно вычислить ее значения на {0, 2}п
Вопрос о числе замкнутых классов, содержащихся в классе ЕР^ решается довольно просто: достаточно рассмотреть классы, состоящие только из функций-констант, и получить континуальную совокупность таких классов. Гораздо интереснее выглядит вопрос о числе замкнутых классов, включающих те или иные множества неконстантных функций. Мы остановимся на множестве всех полиномиальных функций.
Теорема 2. Класс EPN содержит континуальное число замкнутых классов, включающих все полиномиальные функции.
Доказательство. Пусть PoIn — множество всех полиномиальных функций из EPn-Для любого множества M С N обозначим через MPn замыкание множества функций
PoIn U {pf : i € M},
где pi — i-e простое число.
N
бом i функция pf не входит в замыкание множеств а функций Qj = Ро In U {pf : j = i}. Пусть это не так и Ф(ж) — формула над множеством Qj, реализующая функцию pf. Заметим, что все неконстантные функции класса Qj строго монотонны. Учитывая рост функции pf, заключаем, что в формулу Ф(ж) не может входить подформула вида pA(f\ где А(ж) — нелинейный экионенци-альный полином (считаем, что в формуле Ф(ж) отсутствуют подстановки в функции-константы). Поэтому формулу Ф(ж) после несложных преобразований можно привести к сумме мономов вида
a ■ жь ■ pcif+di . . pcsf+ds
a ж pj1 • • • pjs ,
где a, b, ci, •.., cs, di,..., ds € N Считая, что все величины a, ci, • • •, cs отличны от нуля, преобразуем мономы к виду
(a-xb-p£ •••••pdr)-(pC1 •••••pj:)f. (5)
Если pC1 ■•. •■ pC: > pj, то получаем противоречие, сравнивая pост функций (p^1 ••.. ■ pC: )f и pf. Если
o/i .у: o/i j:
же для каждого монома соответствующая величина pj ■• • •■ pj меньше pi, то каждое слагаемое (5) и сумма всех таких слагаемых будет, начиная с некоторого ж, меньше, чем pf. Теорема доказана. Автор признателен рецензенту за полезные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Марченков С. С. Функциональные системы с операцией суперпозиции. М.: Физматлит, 2004.
2. Марченков С. С. Представление функций суперпозициями. М.: КомКнига, 2010.
3. Гаврилов Г. П. О функциональной полноте в счетнозначной логике // Проблемы кибернетики. Вып. 15. М.: Наука, 1965. С. 5-64.
4. Марченков С. С. Об одном методе построения максимальных подалгебр в алгебрах общерекурсивных функций // Алгебра и логика. 1978. 17. № 5. С. 581-595.
5. Марченков С. С. О мощности множества предполных классов в некоторых классах функций счетнозначной логики // Проблемы кибернетики. Вып. 38. М.: Наука, 1981. С. 109-116.
6. Марченков С. С. О максимальных подалгебрах в алгебрах одноместных рекурсивных функций / / Дискретный анализ и исследование операций. 2016. 23. № 3. С. 81-92. (Marchenkov S. S. On maximal subalgebras of the algebras of unary recursive functions //J. Appl. Industr. Math. 2016. 10. N 3. P. 380-385.)
7. Дарсалия В. Ш. Условия полноты для полиномов с натуральными, целыми и рациональными коэффициентами // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. 2. № 2. С. 365-374.
8. Мамонтов А. И., Мещанинов Д. Г. Проблема полноты в функциональной системе линейных полиномов с целыми коэффициентами // Дискретная математика. 2010. 22. № 4. С. 64-82. (Mamontov A. I., Meshchaninov D. G. The completeness problem in the function algebra of linear integer-coefficient polynomials // Discrete Mathematics and Applications. 2010. 20. N 5-6. P. 621641.)
9. Мамонтов А. П., Мещанинов Д. Г. Алгоритм распознавания полноты в функциональной системе L(Z) // Дискретная математика. 2014. 26. № 1. С. 85-95. (Mamontov A. I., Meshchaninov D. G. The algorithm for completeness recognizing in function algebra L(Z) // Discrete Mathematics and Applications. 2014. 26. N 1-2. P. 21-28.)
10. Мальцев A. II. Итеративные алгебры и многообразия Поста // Алгебра и логика. 1966. 5. № 2. С. 5-24.
11. Мальцев А. И. Итеративные алгебры Поста. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1976.
Поступила в редакцию 02.09.19 После доработки 02.10.19 Принята к публикации 02.10.19
