CC BY
9
УДК 519.716
DOI 10.21685/2072-3040-2019-4-3
С. С. Марченков
критерии эквациональнои полноты в трехзначной логике1
1
Аннотация.
Актуальность и цели. Операторы замыкания - один из основных инструментов классификации функций многозначной логики. Помимо широко известного оператора суперпозиции имеется еще целый ряд так называемых сильных операторов замыкания - операторов, которые при любом к > 2 порождают конечные либо счетные классификации на множестве Рк функций к -значной логики. Первым из таких операторов стал оператор параметрического замыкания, предложенный А. В. Кузнецовым в середине 1970-х гг. В 2005 г. автор на основе идей Ж. Эрбрана и К. Геделя, относящихся к рекурсивным функциям, ввел новый сильный оператор замыкания - оператор эквацио-нального замыкания. В отличие от других сильных операторов замыкания, в операторе эквационального замыкания определение функций происходит с помощью вывода равенств специального вида. Эта отличительная особенность оператора эквационального замыкания не позволяет при исследовании эквационально замкнутых классов использовать технику и результаты, имеющиеся для других операторов замыкания. Отчасти поэтому, за исключением множества булевых функций, в множествах Рк до сих пор не получены критерии эквациональной полноты. Цель работы состоит в нахождении всех эквационально предполных классов в Р3 и, тем самым, получении критерия эквациональной полноты.
Материалы и методы. В построениях и доказательствах используются логико-функциональные методы.
Результаты и выводы. Рассматривается оператор эквационального замыкания - сильный оператор замыкания, который базируется на выводе равенств специального вида из системы уравнений, задающих оператор. При любом к > 2 с помощью алгебраических средств определяется довольно значительное число эквационально замкнутых классов в Рк. При к = 3 выделяется
10 классов указанного типа и доказывается, что они образуют критериальную систему из предполных классов. Полученные результаты могут быть использованы как для дальнейшего изучения оператора эквационального замыкания, так и для сравнения оператора эквационального замыкания с другими сильными операторами замыкания, в частности, с близким к нему по порождаемым классификациям оператором позитивного замыкания.
Ключевые слова: эквациональное замыкание, трехзначная логика.
'Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 19-01-00200.
© Марченков С. С., 2019. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
S. S. Marchenkov
equational completeness criterion in ternary logic
Abstract.
Background. Closure operators is one of the main tools for classifying multivalued logic functions. In addition to the well-known superposition operator, there are a number of so-called strong closure operators, i.e. operators that, for any k > 2, generate finite or countable classifications on the set of Pk functions of k -valued logic. The first of these operators was the parametric closure operator proposed by A. V. Kuznetsov in the mid of 1970s. In 2005, the author based on the ideas of J. Herbrand and K. Godel, relating to recursive functions, introduced a new strong closure operator, the equational closure operator. Unlike other strong closure operators, in the equational closure operator, the definition of functions is done by deriving equations of a special kind. This distinctive feature of the equational closure operator does not allow the study of equationally closed classes of the set Pk to use the technique and results available for other closure operators. In part, therefore, with the exception of the set of Boolean functions, in sets Pk criteria for equational completeness have not yet been obtained. The aim of this paper is to find all equationally precomlete classes in P3 and thus obtain a criterion of equational completeness.
Materials and methods. Logical-functional methods are used in constructions and proofs.
Results and conclusions. We consider the equational closure operator, i.e. a strong closure operator, which is based on the derivation of equations of a special kind from the system of equations that define the operator. For any k > 2 using an algebraic means is defined by a fairly significant number of equationally closed classes in Pk . For k = 3, 10 classes of this type are distinguished and it is proved that they form a criterion system of preface classes. The obtained results can be used both for further study of the equational closure operator and for comparison of the equational closure operator with other strong closure operators, in particular, with the positive closure operator close to it in terms of generated classifications.
Keywords: equational criterion, ternary logic.
Введение
Одним из основных инструментов классификации функций многозначной логики являются операторы замыкания. Среди операторов замыкания наиболее известен оператор суперпозиции. Несмотря на широкое распространение, в вопросах классификации оператор суперпозиции обладает одним существенным «изъяном»: при любом k > 3 число замкнутых классов в k -значной логике Pk континуально [1]. Это обстоятельство заставляет искать другие, более сильные операторы замыкания, по отношению к которым число замкнутых классов в Pk конечно либо счетно (такие операторы получили название сильных операторов замыкания).
В ряде работ на основе различных идей определено несколько сильных операторов замыкания. Все они являются расширениями оператора суперпозиции. Обычно после доказательства того, что вводимый оператор замыкания при любом k > 2 порождает на множестве Pk конечную либо счетную классификацию, проводится исследование получаемой классификации при k = 2 . Однако наиболее интересным, на наш взгляд, представляется изучение действия сильных операторов замыкания на множестве P3 .
Для первого из известных сильных операторов замыкания - оператора параметрического замыкания - все 25 замкнутых классов булевых функций определены А. В. Кузнецовым [2]. В случае трехзначной логики все 2986 замкнутых классов найдены и подробно описаны А. Ф. Данильченко [3-5]. В работе [6] введено понятие S -классификации функций многозначной логики (оператор £ -замыкания). В работе [7] найдены все 48 £ -замкнутых классов трехзначной логики (полное и автономное доказательство этого результата содержится в книге [8]). Один из способов введения сильного оператора замыкания состоит в добавлении к любому замкнутому классу фиксированной функции. На этом пути в работе [9] описаны все 144 замкнутых класса трехзначной логики, которые содержат тернарный дискриминатор р. Естественное «позитивное» обобщение оператора параметрического замыкания приводит к оператору позитивного замыкания [10]. Все 192 позитивно замкнутых класса функций трехзначной логики найдены в работе [11]. Интересные сильные операторы замыкания предложены в работах [12, 13]; для одного из них в классе Р3 имеется конечное число замкнутых классов, для другого - счетное число. Отметим еще дальнейшее обобщение оператора позитивного замыкания - оператор импликативного замыкания, для которого в [14] определены все 17 замкнутых классов из Р3 .
В работе [15] введен сильный оператор замыкания - оператор эквацио-нального замыкания. Этот оператор получается применением к функциям многозначной логики идеи определения рекурсивной функции с помощью системы равенств, принадлежащей Ж. Эрбрану и К. Геделю [16], что существенно отличает его от других известных операторов. В работе [15] установлены основные свойства оператора эквационального замыкания, в частности, найдены все эквационально замкнутые классы булевых функций. Там же при любом к > 3 указаны некоторые эквационально предполные классы в Р\ . Однако даже при к = 3 полного списка эквационально предполных классов не получено.
В настоящей работе мы при любом к > 3 с помощью алгебраических средств определяем довольно значительное число эквационально замкнутых классов из Рк , что позволяет соотнести операторы позитивного и эквацио-нального замыкания. Кроме того, в Р3 определяем все 10 эквационально предполных классов (которые одновременно являются единственными позитивно предполными классами). Тем самым в трехзначной логике получаем эффективный критерий эквациональной полноты.
Основные понятия
Пусть к - натуральное число, к > 2, Ек ={0,1,..., к — 1} и Рк - множество всех функций на Ек (множество функций к -значной логики). Если
Q с Рк и п > 1, то через обозначим множество всех функций из Q , зависящих от п переменных.
Пусть /(Х1,...,хп),g(х)е Рк . Будем говорить, что g есть эндоморфизм функции / , если выполняется тождество
f (g ( xi),..., g (x„ )) = g (f ( xb..., xn )). (1)
Множество всех функций из Pk , имеющих эндоморфизм g , обозначим через F(g ).
На множестве Pk предполагаем заданной операцию (оператор) суперпозиции. Посредством [Q] будем обозначать замыкание множества функций Q œ Pk относительно операции суперпозиции. Хорошо известно [17], что для любой функции g ( x) множество F ( g ) содержит все селекторные функции и замкнуто относительно операции суперпозиции.
Для любого a е Ek обозначим через Ta множество F(g), где g - константа a (множество всех функций, сохраняющих a или имеющих эндоморфизм a ), и через Sg - множество F (g ), где g - перестановка на Ek (множество всех функций, имеющих автоморфизм g или самосопряженных относительно перестановки g ).
Основным оператором замыкания у нас будет оператор эквационального замыкания [15, 18]. Чтобы определить этот оператор, введем сначала язык Eqk эквационального замыкания. При любом k > 2 язык Eqk состоит из
предметных переменных x2,... (с областью значений Ek ), символов fj~n') для обозначения n -местных функций k -значной логики
(1 <i <kk ,n = 1,2,.), символов ф(п) функциональных переменных с областью значений P^n) ( i,n = 1,2,. ), знака равенства =, левой и правой скобок и
запятой. Если это не вызывает недоразумения, индекс k в обозначении Eq k будем опускать.
Пусть Q œ Pk . Определим терм над Q . Если ..., tn - символы предметных переменных (не обязательно различные), f~n) и ф(п) - символы соответственно n -местной функции из Q и n -местной функциональной пере-
(n) (n)
менной, то f- tn) и tn) суть термы над Q . Второй пункт
определения терма над Q отличается от первого лишь тем, что i[,...,tn уже могут быть термами над Q . Если ij, t2 - термы над Q , то выражение t1 = t2 называем равенством над Q . Равенства t1 = t2 и t2 = t1 не различаем.
Частным случаем равенства t1 = t2 называем любое равенство t^ = t2', где выражения ty, t2' получаются из термов t2 подстановкой вместо всех предметных переменных некоторых значений из Ek . При этом все вхождения одной и той же переменной в термы t1, t2 заменяются одним и тем же значением из Ek .
Пусть E - конечная система равенств. Последовательность равенств Tb...,Ts, не содержащих предметных переменных, называется выводом из системы равенств E , если каждое равенство Ti этой последовательности удовлетворяет одному из следующих условий:
1) Т есть частный случай одного из равенств системы Е ;
2) для некоторого ] < 7 равенство Т получается из равенства заменой выражения вида ./^(аъ--,ап) значением а, где а^...,ап е Ек и
/mn)(aь...,ап) = а;
3) для некоторых I < 7 равенство Т получается из равенства заменой выражения вида ф^^а1,...,ап) значением а , где равенство Т имеет
вид фт)(а1,.,ап) = а и а,аь...,ап е Ек .
Равенство Т , не содержащее предметных переменных, называется выводимым из системы равенств Е , если существует вывод из системы равенств Е, который содержит равенство Т . Система равенств называется корректной, если из нее невозможно вывести два равенства вида
ф(п)(аь..., ап ) = а и ф(п)(аь..., ап ) = Ь , где а Ф Ь .
Пусть Q с Рк, Е - корректная система равенств над Q и ф^ - функциональная переменная, входящая в равенства системы Е . Говорим, что функция g(Х1,.,хп) из Рк определима системой равенств Е над Q по
функциональной переменной ф^ , если для любого набора (а^...,а п)е из системы равенств Е выводимо равенство вида ф^^а^...,ап) = а, где а = g (а1,., ап). Множество всех функций, определимых системой равенств Е над Q , обозначим через Е^). Положим
Еч[£] = Це (Q),
где объединение берется по всем корректным системам равенств Е над Q . Определенный таким образом оператор Eq называем оператором эквацио-нального замыкания. Понятия эквационального замыкания, эквационально порождающего множества, эквационально полного множества и эквацио-нально предполного класса аналогичны соответствующим понятиям для оператора суперпозиции.
В работах [15, 18] доказано, что оператор эквационального замыкания является расширением оператора суперпозиции: всякий эквационально замкнутый класс функций является также замкнутым относительно суперпозиции.
Назовем множество функций Q с Р^т) накрывающим, если в множестве Q найдутся такие функции gl,..., gk, что для некоторого набора (а1,..., ат) е Ект имеет место равенство
, ат
),gk (al,., ат )} = Ек.
В работе [15] доказано следующее
Утверждение 1. Если Q - эквационально замкнутый класс функций из Рк и множество Q(т) является накрывающим, то Q = Ед^(т)].
Результаты
Теорема 1. Для любой функции g(х) из Рк множество ^(£) является эквационально замкнутым классом.
Доказательство. Пусть Q с ^(^) и Е - корректная система равенств
над Q , которая определяет функцию /(хц,...,хп) по функциональной переменной ф(п). Зафиксируем набор (а^...,ап) из Еп и рассмотрим вывод Ту,...,Т3 равенства ф(п)(а15.,ап) = Ь из системы равенств Е, где /(а1,..., ап) = Ь . Покажем, что существует вывод Т^,..., Т/ равенства
ф(п)(g(а1),.,g(ап)) = g(Ь) из системы равенств Е . Для этого в соответствии с индуктивным определением вывода заменим в выводе 71,...,Т3 все входящие в него величины й величинами g (й). Образующуюся последовательность равенств (не содержащих переменных) обозначим через 71',..., Т/.
Очевидно, что если равенство 7 является частным случаем одного из равенств системы Е , то аналогичное утверждение будет справедливо и для равенства 7, при этом все величины а^,...,равенства 7 будут замещены
соответствующими величинами g (а^),..., g (йр).
Предположим далее, что равенство 7 получено из равенства Т^, где 7 < 1, заменой выражения вида /^п)(с1,...,сп) значением с , где (с\,..., сп ) = с . Замечаем, что /т\ g (С1),., g (сп )) = g (с), и потому в последовательности Т,...,Г/ выражение (сО,...,g(сп)) будет заменено «истинным» значением g (с).
Пусть для некоторых 7, I < 1 равенство Т получено из равенства Т7
заменой выражения вида ф^^с!,...,сп) значением с , где равенство Т имеет вид ф^,...,сп) = с . Тогда в последовательности Ту,...,Г/ равенство Тр имеет вид ф^^g(с1),...,g(сп)) = g(с), а равенство Т^ содержит выражение ф^^(с),.••,g(сп)) (соответствующее выражению ф^г)(с1,^^,сп) в равенстве Т^). Значит, в равенстве Т^ выражение ф^^(с1),...,g(сп)) будет заменено «истинным» значением g (с). Таким образом, последовательность
Ту,...,Г/ будет являться выводом равенства ф(п)^(а^,...,g(ап)) = g(Ь) из системы равенств Е . Теорема доказана.
Следствие. При любом к > 2 любой позитивно замкнутый класс функций из Рк является эквационально замкнутым.
Доказательство. Как установлено в [19], всякий позитивно замкнутый класс в Рк является пересечением конечного числа позитивно замкнутых
классов вида ^(g), где g е Р^. Согласно доказанной теореме класс ^(g)
эквационально замкнут, а пересечение эквационально замкнутых классов также является эквационально замкнутым классом. Следствие доказано.
Далее предполагаем, что к = 3 . Произвольную функцию / из Р^ будем изображать вектором (/(0)/(1)/(2)). Посредством ^002,^010,^011, ^022,^112,^212 обозначим эквационально замкнутые классы Е^) соответственно для эндоморфизмов (002), (010), (011), (022), (112), (212).
В последующем одноместные линейные функции рассматриваются по модулю 3. Через Sx+l обозначим класс Е(g), где g (х) = х +1.
Лемма 1. Класс Sx+l эквационально предполон в Р3 и эквационально порождается каждой из функций х +1, х + 2.
Доказательство. Эквациональная замкнутость класса Sx+l следует из теоремы 1. Кроме того, класс Sx+l, как хорошо известно [20], является пред-полным в Р3 относительно операции суперпозиции. Далее, каждая из функций х +1, х + 2 получается из другой с помощью суперпозиции. Если
/ (хь... ,хп) - произвольная функция из ^х+ь ^Ь^^ап)е Е3 и /(а^...,ап) = а , то равенство ф(х + а^...,х + ап) = х + а правильно определяет функцию / на трех наборах:
(аь..., ап), (а1 +1,., ап +1), (а1 + 2,., ап + 2) (2)
(и только на этих наборах). Поэтому функцию / можно определить корректной системой равенств над функциями х +1, х + 2, которая состоит из
3п-1 равенств, отвечающих попарно непересекающимся тройкам (2). Лемма доказана.
Лемма 2. Если эквационально замкнутый класс Q содержит функцию 2х и функцию, не сохраняющую 0, то Q = Р3 . Аналогичные утверждения справедливы для функций 2х +1,2 х + 2 и констант 2,1.
Доказательство. Поскольку функции 2х,2х +1,2х + 2 попарно сопряжены, рассмотрим только случай, когда класс Q содержит функцию 2х . Система равенств
ф1 (х, 2 х) = х, ф2 (х) = ф1 (х, х)
определяет по переменной ф2 частичную функцию, которая равна 0 в точке 0 и не определена в двух других точках. Эту функцию мы запишем более компактно в виде (0 .
По условию в класс Q входит функция, не сохраняющая 0. Отождествлением всех переменных получаем из нее функцию /(х) = (аЬс), где а, Ь, с е Е3 и а Ф 0. Подстановка функции (0 оо) в функцию /(х) дает функцию (аоо). Равенство Ф3((аоо)(х)) = (0оо) определяет одну из функций (о0о) или (оо0). С помощью подстановки в нее функции 2х получаем другую функцию. Далее из функций (0 оо),(о0о),(оо0) «собираем» константу 0:
ф4( x) = (0 с)( x), Ф4( x) = (o0o)( x), Ф4( x) = (oo0)( x).
Имея константу 0, подстановкой ее в функцию f получаем константу a Ф 0, а затем - константу 2a, отличную от a . Остается заметить, что система трех констант эквационально полна в классе P3 [15]. Лемма доказана.
Теорема 2. Все эквационально предполные в P$ классы исчерпываются классами
70> 7Ъ T2' Sx+1, ^002' ^010, V01b V022' V212. (3)
Доказательство. Прежде всего убедимся, что ни один из классов списка (3) целиком не содержится в другом. Для этого достаточно рассмотреть, например, множества одноместных функций из соответствующих классов и сравнить их между собой. Поскольку эта процедура носит рутинный характер, мы ее опускаем.
Теперь для установления справедливости утверждения теоремы возьмем произвольное множество Q функций из P3, которое целиком не содержится ни в одном из классов последовательности (3), и покажем, что множество Q эквационально полно в P3. Это будет означать, что классы последовательности (3) образуют относительно оператора эквационального замыкания критериальную в P3 систему.
Поскольку нас интересует эквациональная полнота множества Q , можно без ограничения общности предполагать, что Q - эквационально замкнутый класс. Из функций класса Q, не входящих в классы 7q,71,72, отождествлением переменных получаем функции f0(x), f1(x), f2(x) класса Q, которые соответственно не входят в классы 70,71,72 . Отметим, что все три функции f (x), f (x), f (x) отличны от тождественной функции x. Обозначим через f (x) какую-либо из этих функций и рассмотрим для нее имеющиеся возможности.
Прежде всего, в силу леммы 1, можно считать, что f (x)g {x + 1,x + 2}
(иначе iS^+1 с Q, а ввиду Q с Sx+1 класс Q будет совпадать с P3). Из леммы 2 следует, что функцию f (x) можно считать отличной от функций 2 x, 2x +1, 2 x + 2.
Предположим, что f = (001). Тогда, очевидно, 0 е Q . Подстановка функции 0 в функцию f0(x) дает одну из функций 1 или 2. Если имеется константа 1, то с помощью констант 0, 1 можно определить любую частичную функцию вида (a oo) или (обо), где a,b е{0,1}. Подставляя функцию (001) в функцию (o0o), получим функцию (oo0). Из этих функций «собираем» функции (010) и (100). Например, для первой функции имеем
Ф1(x) = (0 oo)(x), Ф1(x) = (o1o)(x), Ф1(x) = (oo 0)(x).
Теперь система равенств
Ф2((010)( x),(100)( x)) = x, ф3( x) = ф2( x, x)
задает (по переменной 93) функцию (2 оо), из которой подстановкой константы 0 получаем константу 2. Если же функция /0 дает константу 2, то подставляем ее в функцию (001) и приходим к рассмотренному случаю.
В силу принципа сопряженности аналогичные рассуждения справедливы для функций (020), (110), (122), (202), (211).
Как мы убедились выше, класс Q не может содержать только одну константу. Поэтому рассмотрим случай, когда в Q входят ровно две константы. Пусть это будут, например, константы 0 и 1. Поскольку эквационально замкнутый класс Q содержит тождественную функцию х,
множество Q(1) в этом случае оказывается накрывающим и, следовательно,
Q = Еч |б(1) 1. (4)
Поэтому из соотношения {0,1, х} с Рдю и невхождении класса Q
010
в класс %0 следует, что Q(1) Ф {0,1, х}.
Если в Q(1) есть функция, не сохраняющая множество {0,1}, то в Q(1) будет входить константа 2, что приводит к эквационально полной системе трех констант. Исключая из рассмотрения такие функции, а также функции,
уже рассмотренные выше, приходим к выводу, что в множество Q(1), помимо функций 0, 1, х, могут входить лишь функции
(002), (010), (011), (100), (101), (112). (5)
Если Q(1) с {0,1,х,(002),(010),(101)} или Q(1) с {0,1,х,(011),(100), (112)}, то получаем противоречие с равенством (4) и невхождением класса
Q в классы ^010,^011. Поэтому далее в качестве множества Q(1) будем рассматривать расширения множества {0,1, х} с помощью функций из списка (5), в которые входят как функции множества {(002),(010),(101)}, так и функции множества {(011), (100), (112)} . Здесь возможны девять случаев:
1. {(002),(011)} с Q(1). Подстановка функции (002) в функцию (011) дает ранее рассмотренную функцию (001).
2. {(002),(100)} с Q(1). Суперпозиция функции (100) дает функцию
(011).
3. {(002),(112)} с Q(1). Система равенств
Ф1((002)(х),(112)( х)) = (002)( х), ф^ х) = фг( х, х)
задает (по переменной ф2) функцию (оо2) . Далее с помощью констант 0 и 1 определяем функции (1 оо) и (о0о). Как и выше, из функций (1 о о), (о0о), (о о 2) «собираем» функцию (102) = 2х .
4. {(010),(011)}с Q(1). Из констант 0, 1 образуем функцию (10о) . Подставляя в нее функцию (011), получаем функцию (100). Система равенств
ф3 ((010)( x), (100)( x)) = x, Ф4 (x) = фз (x, x) (6)
задает (по переменной ф4) функцию (2 оо), из которой подстановкой константы 0 получаем константу 2.
5. {(010),(100)} с Q(1). Пользуемся системой равенств (6).
6. {(010),(112)} с Q(1). Подстановка функции (112) в функцию (010) дает рассмотренную выше функцию (110).
7-9. (101)е Q(1) и {011),(100),(112)} nQ(1) . Подстановка функции (101) в себя приводит к случаям 4-6.
Для завершения доказательства теоремы остается рассмотреть случай,
когда множество Q(1) не содержит констант. Нетрудно убедиться в том, что
в этом случае множество Q(1)\{x} может входить только в одно из трех попарно сопряженных множеств
{(010), (011), (100), (101}, {(002), (022), (200), (220)}, {(112), (121), (212), (221)}.
Пусть, например, для Q(1)\{x} мы имеем включение в первое из
множеств. Если в Q(1) входит пара функций (010), (100), то с помощью системы равенств (6) образуем функцию (2оо). Подставляя в нее функцию (100), получаем функцию (о22). Далее из функций (2 оо) и (о22) «собираем» константу 2.
Пусть в множество Q(1) входят функции (011), (101). Тогда подстановка функции (101) в себя дает функцию (010), а подстановка функции (011) в функцию (101) - функцию (100). Получили рассмотренную пару функций.
Остаются следующие возможности для множества Q(1) \ {x} :
{(010)}, {(011)}, {(010), (011)}, {(010), (101)}, {(011), (100)}.
Первые три множества из этого списка целиком содержатся в классе Tq , что по условию невозможно.
Рассмотрим случай Q(1) = {(010),x,(101)}. Здесь множество Q(1)
является накрывающим, и потому в силу утверждения 1 имеем Q = -£g[Q(1)].
Однако Q(1) с Vq1q . Следовательно, Q с Vq1q, что невозможно по предположению.
Аналогично рассматривается случай Q(1) = {(011),x,(100)}. Теорема доказана.
В заключение отметим, что классы Tq,T[, T2, ^x+1,Vqq2,Vq1q,Vq11, Vq22,V.12,V>12 - единственные позитивно предполные классы в р [21].
Библиографический список
1. Янов, Ю. И. О существовании к -значных замкнутых классов, не имеющих базиса / Ю. И. Янов, А. А. Мучник // Доклады академии наук СССР. - 1959. -Т. 127, № 1. - С. 44-46.
2. Кузнецов, А. В. О средствах для обнаружения невыводимости и невыразимости / А. В. Кузнецов // Логический вывод. - Москва : Наука, 1979. -С. 5-33.
3. Данильченко, А. Ф. О параметрической выразимости функций трехзначной логики / А. Ф. Данильченко // Алгебра и логика. - 1977. - Т. 14, № 4. - С. 397416.
4. Данильченко, А. Ф. Параметрически замкнутые классы функций трехзначной логики / А. Ф. Данильченко // Известия АН МССР. - 1978. - Т. 2. - С. 13-20.
5. Danil'cenko, A. F. On parametrical expressibility of the functions of к -valued logic / A. F. Danil'cenko // Colloq. Math. Soc. J.Bolyai. - 1981. - Vol. 28. - P. 147159.
6. Марченков, С. С. Основные отношения S -классификации функций многозначной логики / С. С. Марченков // Дискретная математика. - 1996. - Т. 8, № 1. - С. 99-128.
7. Нгуен Ван Хоа. О структуре самодвойственных замкнутых классов трехзначной логики P3 / Нгуен Ван Хоа // Дискретная математика. - 1992. - Т. 4, № 4. -С. 82-95.
8. Марченков, С. С. S классифация функций трехзначной логики / С. С. Марченков. - Москва : Физматлит, 2001. - 80 с.
9. Марченков, С. С. Дискриминаторные классы трехзначной логики / С. С. Марченков // Математические вопросы кибернетики. - 2003. - Вып. 12. -С. 15-26.
10. Марченков, С. С. О выразимости функций многозначной логики в некоторых логико-функциональных языках / С. С. Марченков // Дискретная математика. - 1999. - Т. 11, № 4. - С. 110-126.
11. Марченков, С. С. Критерий позитивной полноты в трехзначной логике / С. С. Марченков // Дискретный анализ и исследование операций. - 2006. - Т. 13, № 3. - С. 27-39.
12. Тарасова, О. С. Классы к -значной логики, замкнутые относительно расширенной операции суперпозиции / О. С. Тарасова // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. - 2001. - № 6. - С. 54-57.
13. Тарасова, О. С. Классы функций трехзначной логики, замкнутые относительно операции суперпозиции и перестановки / О. С. Тарасова // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. - 2004. - № 1. -С. 25-29.
14. Марченков, С. С. Расширения оператора позитивного замыкания с помощью логических связок / С. С. Марченков // Дискретный анализ и исследование операций. - 2018. - Т. 25, № 4. - С. 46-58.
15. Марченков, С. С. Эквациональное замыкание / С. С. Марченков // Дискретная математика. - 2005. - Т. 17, № 2. - С. 117-126.
16. Клини, С. К. Введение в метаматематику / С. К. Клини. - Москва : Мир, 1957. - 526 с.
17. Кон, П. Универсальная алгебра / П. Кон. - Москва : Мир, 1968. - 352 с.
18. Марченков, С. С. Сильные операторы замыкания / С. С. Марченков. -Москва : МАКС Пресс, 2017. - 93 с.
19. Марченков, С. С. Задание позитивно замкнутых классов посредством полугрупп эндоморфизмов / С. С. Марченков // Дискретная математика. - 2012. -Т. 24, № 4. - С. 19-26.
20. Яблонский, С. В. Функциональные построения в k -значной логике / С. В. Яблонский // Труды математического института АН СССР им. В. А. Стеклова. -1959. - Т. 51. - С. 5-142.
21. Марченков, С. С. Критерий позитивной полноты в трехзначной логике / С. С. Марченков // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. - 2006. -Т. 13, № 3. - С. 27-39.
References
1. Yanov Yu. I., Muchnik A. A. Doklady akademii nauk SSSR [Reports of the USSR Academy of Sciences]. 1959, vol. 127, no. 1, pp. 44-46. [In Russian]
2. Kuznetsov A. V. Logicheskiy vyvod [Logical conclusion]. Moscow: Nauka, 1979, pp. 5-33. [In Russian]
3. Danil'chenko A. F. Algebra i logika [Algebra and logic]. 1977, vol. 14, no. 4, pp. 397416. [In Russian]
4. Danil'chenko A. F. Izvestiya AN MSSR [Proceedings of the Academy of Sciences of Moldavian SSR]. 1978, vol. 2, pp. 13-20. [In Russian]
5. Danil'cenko A. F. Colloq. Math. Soc. J.Bolyai. 1981, vol. 28, pp. 147-159.
6. Marchenkov S. S. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 1996, vol. 8, no. 1, pp. 99-128. [In Russian]
7. Nguen Van Khoa Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 1992, vol. 4, no. 4, pp. 82-95. [In Russian]
8. Marchenkov S. S. S klassifatsiya funktsiy trekhznachnoy logiki [Classification of functions of ternary logic]. Moscow: Fizmatlit, 2001, 80 p. [In Russian]
9. Marchenkov S. S. Matematicheskie voprosy kibernetiki [Mathematical issues of cybernetics]. 2003, iss. 12, pp. 15-26. [In Russian]
10. Marchenkov S. S. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 1999, vol. 11, no. 4, pp. 110-126. [In Russian]
11. Marchenkov S. S. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy [Discrete analysis and operations research]. 2006, vol. 13, no. 3, pp. 27-39. [In Russian]
12. Tarasova O. S. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 1, Matematika. Mekhanika [Bulletin of Moscow University. Series 1, Mathematics. Mechanics]. 2001, no. 6, pp. 54-57. [In Russian]
13. Tarasova O. S. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 1, Matematika. Mekhanika [Bulletin of Moscow University. Series 1, Mathematics. Mechanics]. 2004, no. 1, pp. 25-29. [In Russian]
14. Marchenkov S. S. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy [Discrete analysis and operations research]. 2018, vol. 25, no. 4, pp. 46-58. [In Russian]
15. Marchenkov S. S. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 2005, vol. 17, no. 2, pp. 117-126. [In Russian]
16. Klini S. K. Vvedenie v metamatematiku [Introduction to mathematics]. Moscow: Mir, 1957. [In Russian]
17. Kon P. Universal'naya algebra [Abstract algebra]. Moscow: Mir, 1968. [In Russian]
18. Marchenkov S. S. Sil'nye operatory zamykaniya [Strong closure operators]. Moscow: MAKS Press, 2017, 93 p. [In Russian]
19. Marchenkov S. S. Diskretnaya matematika [Discrete mathematics]. 2012, vol. 24, no. 4, pp. 19-26. [In Russian]
20. Yablonskiy S. V. Trudy matematicheskogo instituta AN SSSR im. V. A. Steklova [Proceedings of the Mathematical Institute of the USSR Academy of Sciences named after V. A. Steklov]. 1959, vol. 51, pp. 5-142. [In Russian]
21. Marchenkov S. S. Diskretnyy analiz i issledovanie operatsiy. Ser. 1 [Discrete analysis and operations research. Series 1]. 2006, vol. 13, no. 3. pp. 27-39. [In Russian]
Марченков Сергей Серафимович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математической кибернетики, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (Россия, г. Москва, Ленинские горы, 1)
E-mail: ssmarchen@yandex.ru
Marchenkov Sergey Serafimovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of mathematical cybernetics, Lomonosov Moscow State University (1 Leninskie gory, Moscow, Russia)
Образец цитирования:
Марченков, С. С. Критерий эквациональной полноты в трехзначной логике / С. С. Марченков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2019. - № 4 (52). - С. 29-41. - DOI 10.21685/2072-3040-2019-4-3.
