CC BY
5
УДК 519.8 DOI: 10.24412/2071-6168-2021-6-184-188
КРИТЕРИЙ ОЦЕНИВАНИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ТОЧЕК РАВНОГО УДАЛЕНИЯ ОТ ВЕРШИН МНОЖЕСТВУ ТОЧЕК СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Е.П. Минаков, М.А. Александров, И.С. Абрамов
Излагаются результаты определения критерия, который рассматривается как руководящее правило об использовании одиночных комплексов управления в пределах заданных районов, множества точек возможного стояния этих комплексов.
Ключевые слова: критерий оценивания принадлежности, сферический треугольник, точки равного удаления.
Введение. При размещении комплексов управления в районах, аппроксимируемых сферическими треугольниками (СТ), возникает задача оценивания принадлежности точек равного удаления (ТРУ) от вершин СТ множеству точек этих треугольников.
Пусть известны положение эйлерова СТ А, Б, В, задаваемое сферическими координатами его вершин {уА, Ха}, {уБ, Хб), {уВ, X} и сферические координаты ТРУ от вершин СТ - {утру, Хтру} [1] (рис.1).
Л Д
Рис. 1. Сферический треугольник АБВ
Требуется оценить принадлежности ТРУ множеству точек СТ. Решение задачи базируется на понятии секущей дуги стороны СТ, под которой понимается дуга большого круга, проходящая через ТРУ перпендикулярно стороне СТ от ТРУ до этой стороны. Через ТРУ (точку Ц) проходят секущие дуги: и ГД стороны АБ, и КЛ стороны БВ, и МН стороны АВ (рис.1).
ТРУ принадлежит точке пересечения секущих дуг сторон СТ и принадлежит СТ, если секущие дуги каждой стороны СТ не меньше половины дуг соответствующих сторон. Его доказательство уместно провести для одной из секущих дуг, например, для и ГД (рис.1). Для этого для прямоугольного СТ АГР по правилу Непера [2] (рис.2) определяется и АР:
^и АР = ^ и АГ ■ ^ и ГР. (1)
Из формулы (1) видно, что, если и ГР = 0, то COSU АР = COSU АГ и и АР = иАГ. В этом случае ТРУ от вершин СТ располагается на стороне АБ, следовательно, и АР = иАГ и принимает минимальное значение. Это позволяет сформулировать условие принадлежности ТРУ множеству точек СТ: и АР >иАГ. Если и АР < иАГ, то ТРУ находится вне пределов СТ.
Для других сторон СТ соответствующие дуги определяются аналогично
БВ
С08и БР = С08и--С08и КР;
2 (2)
АВ
С08и ВР = С08и--С08и МР,
2
и могут быть сформулированы условия принадлежности ТРУ множеству точек СТ: и БР >иБК; и ВР >иВМ. Если или и БР <иБК, или и ВР <иВМ, то ТРУ находится вне пределов СТ.
l.AP
Рис. 2. Пятиугольник Непера
Для оценивания принадлежности ТРУ множеству точек СТ необходимо выполнить следующий алгоритм:
1) определить по правилу Непера секущие дуги: и ГД , и КЛ , и МН (рис.1, 3) (для и ГД (например, пятиугольник Непера имеет вид, представленный на рис.3)
sin и ГД = sin А • sin и АБ;
< Sin и КЛ = Sin В • sinu АВ; (3)
sin и МН = sin Б • sin и БВ. где А, Б, В - углы СТ, определяемые по формулам:
cos А = (cosu БВ - cosu АБ • cosu АВ)/^ти АБ • sin и АВ);
< cos Б = (cosu АВ - cosu АБ • cosu БВ) /(sin и АБ • sin и БВ); (4)
cos В = (cosu АБ - cosu АВ • cosu БВ) /(sinu АВ • sinu БВ).
Рис. 3. Пятиугольник Непера
2) с использованием теоремы косинусов [2] рассчитываются и ВО,иВП, и БС (рис.4):
а) для вычисления ^ВО
определяются по теореме косинусов [2] углы, образуемые секущей дугой при вершине А СТ:
cos Ai =
cosu АЦ - cosu АВ • cosu ВЦ
sin u АВ • sin u ВЦ cosu АЦ - cosu АБ • cosu БЦ
(5)
cosA2 = ,
sin u АБ • sin u БЦ
где дуги u АЦ, u БЦ, u ВЦ вычисляются по формулам:
cosu АЦ = sin у а • sin у ц + cos у а • cos у ц • cos(X ц - X а); < cosu БЦ = sin у б • sin у ц + cos у б • cos у ц • cos(X ц -Хб);
cosu ВЦ = sin у в • sin у ц + cos у в • cos у ц • cos(X ц -X в);
рассчитывается с использованием теоремы синусов [2] в предположении, что cos ВО Ф 0, тангенс u В :
(6)
tg u BO =
sinu БB • sin Б/ sinA2
(7)
^тВЛтА} + cosu БВ • sinБ/sinА2) б) для вычисления и ВП
определяются по теореме косинусов углы, образуемые секущей дугой при вершине Б СТ:
cosБl =
cosA2 =
cosu BЦ - cosu БB • cosu БЦ ;
sin u БB • sin u БЦ cosu АЦ - cosu АБ • cosu БЦ
(8)
sin u АБ • sin u БЦ где дуги u АЦ, u БЦ, u ВЦ вычисляются по формулам (4).
рассчитывается с использованием теоремы синусов в предположении, что cos ВП Ф 0, тангенс и ВП:
sinu АВ • sin А / sin Б2
tg u BП =
(9)
(sin В / sin Б^ + cosu АВ • sin А / sin Б2) в) для вычисления u БС
определяются по теореме косинусов углы, образуемые секущей дугой при вершине В СТ:
cosBj =
cosB2 =
cosu БЦ - cosu БB • cosu BЦ ;
sinu БB • sinu BЦ cosu АЦ - cosu AB • cosu BЦ
(10)
sinu АВ • sin u ВЦ где дуги u АЦ, u БЦ, u ВЦ вычисляются по формулам (4).
рассчитывается с использованием теоремы синусов в предположении, что cos БС Ф 0, тангенс и БС:
sinu АБ • sin А / sin В2
tg u БС = ■
(11)
(рис. 4):
(sinB/этВ} + cosu АБ • sinА/sinВ2) ' 3) с использованием теоремы косинусов рассчитываются u АО, u БП, u ВС
cosu AO = cosu AB • cosu BO + sinu AB • sin u BO • cos B; cosu БП = cosu БB • cosu BП + sinu БB • sinu BП • cos B; cosu BC = cosu БB • cosu БС + sinu БB • sinu БС • cos Б;
186
4) определяются по правилу Непера углы а, ß, у (рис.4):
cos а = tg и КЛ • ctg и АО;
< cos ß = tg и МН • ctg и БП; (13)
cos у = tg и ГД • ctg и ВС;
5) рассчитываются величины дуг проекций дуг между центром СТ и его вершинами на секущие дуги - и AXi, и БХ2, и ВХ3 (рис.4):
tg и AXi = cos а • tg и АЦ; <tg и БХ2 = cos ß- tg и БЦ; (14)
tg и ВХ3 = cos у • tg и ВЦ. Зависимости (1) - (14) позволяют сформулировать критерий оценивания принадлежности ТРУ множеству точек СТ: если и и КЛ >uAXi, и и МН >иБХ2, и и ГД >иВХз, то ТРУ принадлежит множеству точек СТ. В противном случае, а именно, если или и КЛ <uAXi, или и МН <иБХ2, или и ГД <иВХз, то ТРУ не принадлежит множеству точек СТ.
Пример оценивания принадлежности точек равного удаления от вершин множеству точек сферического треугольника. Принятые в примере координаты вершин СТ и ТРУ для различных типов СТ в табл.1.
В этой же таблице в последнем столбце приведены идентификаторы принадлежности ТРУ от вершин СТ множеству его точек (если Ц пр. СТ =1, то ТРУ принадлежит множеству точек СТ; если Ц пр. СТ =0, то центр СТ не принадлежит множеству его точек).
Координаты вершин СТ и ТРУ /для различных типов СТ
Тип СТ ¥а, гр гр Ув,гр ^в, гр ¥в, гр V гр Уцъ гр Vo^ гР Ц пр. СТ
Равнобедренный 60 60 60 70 70 65 64,73 65 1
Общего вида 60 60 62 70 70 67 65,29 60,62129 1
Общего вида 60 55 60 65 58 60 60,54 60 0
Заключение. Представленный алгоритм оценивания принадлежности ТРУ множеству точек СТ и сформулированный критерий позволяют выявить следующие варианты взаимного расположения ТРУ от вершин СТ:
1) одна из них принадлежит множеству точек СТ, а другая (диаметральная) -
нет;
2) обе они не принадлежат множеству точек СТ.
Приведенный критерий можно рассматривать как руководящее правило об использовании одиночных комплексов различного предназначения в пределах заданных районов, определении множества точек возможного стояния этих комплексов и решения ряда других задач.
Список литературы
1. Степанов Н.Н. Сферическая тригонометрия. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. 154 с.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.-Л.: ОГИЗ, 1946. 556 с.
Минаков Евгений Петрович, д-р техн. наук, профессор, vka@ mil.rH, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского,
187
Александров Максим Андреевич, канд. техн. наук, старший преподаватель кафедры, vka@mil.rH, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского,
Абрамов Иван Сергеевич, заместитель начальника службы - начальник отделения, vka@mil.rH, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф.Можайского
CRITERION FOR EVALUATION OF POINTS BELONGING EQUAL DISTANCE FROM VERTICES TO SET SPHERICAL TRIANGLE POINTS
E.P. Minakov, M.A. Aleksandrov, I.S. Abramov
The results of the definition of the criterion, which is considered as a guiding rule on the use of single control complexes within the specified areas, multiple points of possible standing of these complexes, are presented
Key words: membership evaluation criterion, spherical triangle, points of equal removal.
Minakov Evgenii Petrovich, doctor of technical sciences, professor, vkaaimil.ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky,
Aleksandrov Maksim Andreevich, candidate of technical sciences, senior lecturer, vka'a mil.ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky,
Abramov Ivan Sergeevich, deputy head of service - head of department, vka@mil.ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky
УДК 006.91 DOI: 10.24412/2071-6168-2021-6-188-193
АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВОПРОСУ ОТНЕСЕНИЯ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ К ИНДИКАТОРНЫМ С УЧЕТОМ ВЕРОЯТНОГО РИСКА
А.В. Дмитриев, Л.И. Шитова, А.С. Григорьев
Представлен алгоритм отнесения СИ к индикаторным в отличие от известных учитывающий вероятность безотказной работы как СИ, так и образцов ВВСТ и величину ущерба от применения метрологически необслуженных (неисправных) СИ на основе логико-вероятностной модели и теории нечетких множеств.
Ключевые слова: средства измерений, метрологические характеристики, индикатор, датчик, риск, ущерб, неопределенность, отказ, алгоритм, функция принадлежности.
Современный этап развития Вооруженных Сил (далее - ВС) Российской Федерации (далее - РФ) характеризуется значительным удорожанием и усложнением нового вооружения, военной и специальной техники (далее - ВВСТ), а также многократным увеличением у него количества параметров, которые необходимо контролировать при разработке, испытании и эксплуатации. Данная тенденция приводит к увеличению объема измерений и средств измерений (далее - СИ) военного назначения (далее - ВН), которые являются неотъемлемой частью как образцов ВВСТ, так и систем испытаний этих образцов. Поэтому обеспечение единства и требуемой точности измерений в ВС РФ является весьма актуальной научной и прикладной проблемой [1].
188
