Преобразование координат, используемых в геодезии Текст научной статьи по специальности «Физика»

В.И. Куштин

(Ростовский государственный строительный университет) Преобразование координат, используемых в геодезии

Геодезисты часто сталкиваются с проблемой преобразования координат из одной системы в другую. Часто используют локальные системы координат, переход от которых к государственной системе по тем или другим причинам выполнить трудно или практически невозможно. Поэтому проблема преобразования координат, особенно в настоящее время, когда используют современные спутниковые технологии, является актуальной.

Используемые в геодезии системы координат можно классифицировать по положению начала координат: геоцентрическая, с началом в центре масс Земли, квазицентрическая - с началом вблизи центра масс и топоцентрическая - с началом на поверхности Земли; по координатным линиям: пространственные прямоугольные X, Y, Z, плоские х, у, сферические ф, X, Н - на шаре, эллипсоидальные или геодезические B, L, H -на эллипсоиде. Для определения небесных объектов применяют звездные системы, для объектов на Земле - земные системы координат, которые жестко фиксируются в теле Земли и участвуют в ее суточном вращении [1].

Связь прямоугольных X, Y, Z и геодезических B, L, H координат выражается известными формулами

X = (N + H ) cos B cos L ,

Y = (N + H) cos B sin L ,

Z = [n(l - e2) + H]sin B ,

где радиус кривизны первого вертикала N = а/V1 - e2 sin2 B , а, е - большая полуось и эксцентриситет эллипсоида.

При использовании параметров а и е референц-эллипсоида получают референцную систему координат, при применении а и е общеземного эллипсоида - общеземную систему координат. Референцные и общеземные системы отличаются по положению начал

Xo, Yo, Zo координат, повороту осей координат (обычно на малые углы) и разностью dm масштабов.

Положение координатной системы 1 относительно системы 2 можно характеризовать тремя углами Л.Эйлера: 1) угол нутации и между положительными направлениями осей OZ¡ и OZ2; 2) угол прецессии у между осью OX¡ и линией пересечения ОА плоскостей XjOYj и X2OY2, угол у отсчитывается от OX к OY; 3) угол чистого вращения ф - между ОА и ОХ2, направление отсчета от ОХ2 к OY2.

Проведя сферу единичного радиуса с центром в начале координат О, получим сферические треугольники (см. рис.1) X] Y1 Zi и X2 Y2 Z2. Для перехода от системы X¡ Y¡ Zi к X2 Y2 Z2 систему X¡ Y¡ Z¡ поворачивают вокруг Z¡ на угол у, затем вокруг А на угол ü и вокруг Z2 на угол ф. Координаты X¡, Y¡, Z¡ при известных значениях X2, Y2, Z2 определяют по формулам

X1 = l1X2 + l2Y2 + l3Z2 ,

Y1 = m1X2 + m2Y2 + m3Z2 ,

Z1 = n1 X2 + n2Y2 + n3 Z2 .

Координаты X2, Y2, Z2 при известных значениях X¡, Y1, Z¡ находят

Рис.1

по формулам

X2 = l1 X1 + m1Y1 + n1Z1 ,

Y2 = l2 X1 + m2Yl + П2 Z1 ,

Z 2 = l3 X1 + m3Y1 + n3 Z1 ,

где li, l2, l3; m1, m2, m3; n¡, n2, n3 - направляющие косинусы, которые согласно рис. 1

определяют по формулам косинусов сферических треугольников:

/1 = cos(X1, X2 )= cos/cos ^ + sin/sin^cosu,

12 = cos(X15Y2) = cos/cos(90° -^)+ sin/sin(90° -^)cos(180° -u) = cos/sin^-sin/cos^cosu,

13 = cos(X 1, Z2) = cos90° cos / + sin 90° sin / cos(90° - u) = sin / sin u,

m1 = cos(Y15X2) = cos^cos(90° -/)+ sin^sin(90° -/)cos(180° -u)= cos^sin/-sin^cos/cosu,

m2 = cos(Y15Y2 )= cos(90° -^)cos(90° -/)+ sin(90° -^)sin(90° -/)cosu = sin^sin/ + cos^cos/cosu,

m3 = cos(Y15Z2)= cos90°cos(90° -/)+ sin90°sin(90° -/)cos(90° + u)=-cos/sinu,

n1 = cos(Z15 X2 )= cos90° cos^ + sin 90° sin^cos(90° + u) = - sin^sinu,

n2 = cos(Z15Y2)= cos90°cos(90° -^)+ sin90°sin(90° -^)cos(90° -u)= cos^sinu,

n3 = cos(Z15 Y2) = cos u.

При малых значениях угла и и малом отличии углов у и ф (менее 1-2”) можно считать cos и = 1, sin и = и. В этом случае направляющие косинусы

l1 = cos/ - <р) = 1, l2 = - sin (/ - <р) = -(/ - ^), l3 = и sin /; m1 = sin/ - ^) = / - ^, m2 = cos/ - ^) = 1, m3 = -u cos /; n1 = -u sin ^, n2 = u cos ^, n3 = 1.

Учитывая несовпадение начала координат 1 и 2 систем на вектор AR , изменение

масштаба и поворот систем на угол Эйлера, в векторной форме фундаментальное

уравнение космической геодезии имеет вид:

r = r' + nMR + AR ,

где r, r' - геоцентрический и топоцентрический радиус-векторы спутника, R - радиус-вектор, определяющий положение пункта наблюдения, матрица масштаба

^X 0 0

M = 0 0

0 0

где /их , /ит , /лг - масштабы по осям геодезической системы. Матрица поворота

П =

1 - (щ - р) и sin щ

(щ - р) 1 - и cos щ

-usin/ ucosp 1

Часто возникает необходимость перехода от одной системы координат к другой на плоскости. В этом случае используют выражения

X1 = X0 + X[m cos a - Y1 m sin a,

Y1 = Y0 + Y1 m cos a + X[m sin a.

Принимая p = m cos a, 0 = m sin a , для двух точек в общих системах координат находим

X1 = X 0 + pX1 - QY11,

Y1 = Yo + QX1 + pY1 ',

X2 = X0 + pX2 - QY2,

Y2 = Y0 + QX 2 + pY2.

Вычитая из третьего уравнения первое, а из четвертого - второе, получаем

X 2 - X1 = ( X 2 - X;)p -(y; - y;Q,

Y2 - Y =(K- Y)p + (X 2 - X1 )Q.

Решение этих уравнений приводит к

Значения

Q = (X2 - Xi )(y; - Yi ') - (y; - y Q(X2 - x; )

(X2 - x; )2 + (y; - Yi ')2 ,

. = (X2 - Xi)(x2 - x; )+(y; - Yi 0(X2 - x; ) p = (x2 - x; )2 +(y; - Yi 1)2 .

X0 = pXl - QYi 1 - Xi = pX2 - qy; - X2,

Y0 = qx;+pYl1-Yi = QX 2 + pYl - Y;, m = V p2 + Q2 , tg a = Q.

Р

При избыточном числе точек задача решается по методу наименьших квадратов.

Литература

1. И.Ф.Куштин, В.И. Куштин. Геодезия: учебно-практическое пособие. - Ростов н/Д: Феникс, 2009. - 909с.