CC BY
27
УДК 519.8
МОДЕЛЬ ОЦЕНИВАНИЯ ПОКРЫТИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ ОБЛАСТЕЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ ПОЛОСАМИ ОБЗОРА КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ ДИСТАНЦИОННОГО
ЗОНДИРОВАНИЯ
Е.П. Минаков, А.О. Воложинский, М.А. Александров
Приводится порядок оценивания покрытия пространственно-временных областей на поверхности Земли полосами обзора космических аппаратов дистанционного зондирования. Представляется модель оценивания покрытия сферических треугольников с использованием трасс космических аппаратов дистанционного зондирования Земли. Представлены соответствующие результаты вычислительных экспериментов и дана оценка полученных результатов.
Ключевые слова: пространственно-временная область, полоса обзора.
Предметом исследования служат космические аппараты дистанционного зондирования Земли (КА ДЗЗ). Своевременное и точное получение информации об обстановке в пространственно-временных областях (ПРВО) на поверхности Земли позволяет обеспечивать ею максимально оперативно лицо принимающее решение, что, в свою очередь, позволит снизить пагубные эффекты от возникающих в них чрезвычайных ситуациях природного и техногенного характера (ярким примером являются возникающие на территории России лесные пожары)
Постановка задачи и принятые допущения. Рассмотренный в [1,2] подход позволяет разработать математические модели покрытия ПРВО на поверхности Земли полосами обзора КА ДЗЗ, что позволяет оценивать потенциальную возможность их применения (табл. 1).
Исходные данные для оценивания покрытия ПРВО полосами обзора КА ДЗЗ
Таблица 1
а„
км
еz
ь, град
Юz,
град
Тга,
С МДВ
Loz, град
Тн, с мдв
Тк,
С МДВ
Аи, град
а о
л го £ £ в *
л н к ю
л
н ' £
« а
о
и т
о со
<и к <С н о О
К К м а н X <и Я
о
О
х н о
л н к ю а о <и к
X <и X о ч и
СЗ
X
З З
<С
а о
я 00
й го к «
& <с
с «
<С «
3 н к
ю со
срсо <и
(н
к а
р со В «
&
а и (Я с
л н к ю а о
сЗ
ч
со
О
х
(н
о
Ер ^ х к К
(Я
р о оЗ а
к к
<и р
(Я
к
X оз (Я
о р
к
<и р
(я
л н о
к
X оз
о ®
а 9 го
К ^го
§ £ ^
(н <Я
Э В
Задача оценивания покрытия ПРВО полосами обзора КА ДЗЗ имеет следующую формулировку в принятых [1, 2] обозначениях: определить (ёх) = ^рд(WKв х(КоГ, Вос, Тос}), где - множество сферических тре-
301
угольников ПРВО , покрытых полосами обзора КА ДЗЗ за время [Тн, Тк] не менее одного раза. Каждый сферический треугольник задается геоцентрическими угловыми координатами его вершин - {ук, ^к}, [к=1(1)3].
Исходные данные для решения этой задачи представлены в табл.1, через «МДВ» обозначено Московское декретное время и считается, что тп7
< н
Все представленные в табл.1 данные являются в рамках принятых допущений постоянными величинами. Величина времени прохождения перигея орбиты КА ДЗЗ - тп изменяется от витка к витку на одну и туже величину периода обращения КА ДЗЗ.
Помимо данных табл. 1, для оценивания покрытия ПРВО полосами обзора КА ДЗЗ при моделировании использовались следующие постоянные величины:
1) гравитационная постоянная Земли - Кз = 398600,44 км3/с2;
2) средний радиус Земли - Яз = 6371 км;
При этом полагалось, что начальное значение аргумента широты КА ДЗЗ соответствует времени начала прогнозирования 1н: и0 = и(1н) = 00.
Модель оценивания покрытия сферических треугольников с использованием трасс КА ДЗЗ. В рамках принятых расчетных условий угол зоны видимости 7-го КА ДЗЗ для сферической модели поверхности Земли может быть рассчитан по формуле (рис.1)
фг(I) = р/2 - (уг + Ь2Пр) - агсоб((1 + И2(1)/К3) ■ аи(у2 + Ь2ПП)), (1)
где у7 - угол полураствора аппаратуры 7-го КА ДЗЗ; р7пр - предельный угол крена БСА 7-го КА ДЗЗ; И() - текущая высота полета КА 7-го КА ДЗЗ; t -текущее время.
гпр
Рис. 1. К расчету фъ(1)
Входящая в (1) высота полета КА ДЗЗ может быть определена из уравнения траектории [3]:
И2 ^) = а /(1 + е ■ сов(м^) - ю)) - Яз, (2)
где u(t) - аргумент широты КА ДЗЗ на момент времени t.
Его величина в (2) может быть вычислена с определенным шагом -
Ли:
u(t) = mq + n - Au , (3)
где n - номер шага.
Расчет времени t может быть осуществлен в соответствии с уравнением Кеплера [1]:
t = tп + T /(2 - p) - (E(t) - e - sin E(t)), (4)
где T = 2-p-д/(a3/Kз) - период обращения КА ДЗЗ; E(t) - эксцентрическая аномалия, соответствующая моменту времени t.
Величина угла E(t) может изменяться в диапазоне от 0q до 360q и, как следствие этого, для однозначного определения E(t) должны быть использованы две формулы:
sinE(t) = (1 - e2) - sin(u(t) - w)/(1 + e - cos(u(t) - w)); (5)
cosE(t) = (cosu(t) - w) + e)/(1 + e - cos(u(t) - w). Широта подспутниковой точки на момент времени t - y(t) может быть определена по правилу Непера (рис.2) [4]:
sin y(t) = sin i - sin u(t), y(t) e [-90q,900]. (6)
u(t)
Рис. 2. Пятиугольник Непера
Долгота подспутниковой точки - X(t) определяется по формуле
1(t) = L + AL(t) -юз -1, (7)
где юз = 7,2921158553^ 10-5 1/с = const - угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси; ЛЬ^) изменяется в диапазоне от О0 до 3600 и, свою очередь, может быть определена по правилу Непера по совокупности формул (рис.2):
cos AL(t) = cos u (t )/cos y(t); (8)
sin AL(t) = ctgi - tgy(t). (9)
Разность долготы подспутниковой точки и k-й вершины сферического треугольника - ЛА,к(0 = X(t) - Xk, k = 1,2,3 (рис.3);
Это позволяет определять угловое расстояние между подспутниковой точкой и k-й вершины сферического треугольника (рис. 3) по теореме косинусов сферической тригонометрии [4]
3О3
cos Djk (t) = sin y k ' sin ¥(t) + cos У k • c°s y(t) • cos D1(t). (10) В том случае, если 9z(t) в момент времени t удовлетворяет критерию пригодности: 9z(t) > A9k(t) для каждой k-й вершины, то считается, что весь сферический квадрат покрыт полосой обзора КА ДЗЗ в этот момент времени. Более того, если этот критерий выполняется для всех вершин сферического квадрата для хотя бы одного из значений u(t) всем интервале прогнозирования движения КА ДЗЗ, то также считается, что треугольник покрыт полосой обзора КА ДЗЗ.
Рис. 3. Угловые расстояния между точками
Для оценивания адекватности разработанной модели по исходным данным табл.2 были организованы и проведены вычислительные эксперименты.
Таблица 2
Исходные данные
'Ь Pz^ еz iz, fflz, L0z, Тн, Тк, Au,
град град км град град с МДВ град. с МДВ с МДВ град
0,435417 17,083333 7000 0 82 0 0 70 0 86400 10
В табл.3 приведены принятые в экспериментах координаты вершины сферического треугольника.
Таблица 3
Координаты в вершины сферического треугольника_
Vl, град ^Ч,град V2, град ^2, град ¥3, град ^3, град
69 88 68 86 69 87
Равенство нулю эксцентриситета орбиты КА ДЗЗ позволило вместо графиков зависимостей Дфк(0 построить графики Дфк(ы(ф (рис. 4 - 6).
Графики для Дф\(ы(ф приведены на рис. 4. Графики для Дф2(м() приведены на рис. 5.
На рис. 4 - 6 графики «а» приведены для первых семи витков движения КА ДЗЗ на рассматриваемом интервале времени, «б» - для последующих семи витков.
а б
Рис. 4. Графики зависимостей \ф\(ы(1))
а б
Рис. 5. Графики зависимостей \ф2(ы(1))
Графики для Дф3(п(ф приведены на рис. 6.
а б
Рис. 6. Графики зависимостей \фъ(ы(1))
В табл.4 приведены для каждого витка рассматриваемого интервала половина углового размера зоны обзора КА ДЗЗ, минимальные значения Дфк(ы(ф = Дфк и критерии покрытия вершин сферического треугольника и его всего полосой обзора КА ДЗЗ (1 - покрыт, 0 - не покрыт).
305
Таблица 4
Результаты оценивания повиткового покрытия вершин __сферического треугольника __
№ вит- ф2(1), Дф1, Кр.покр. Дф2, Кр.покр. Дф3, Кр.покр. Кр.покр. тр-
ка град град 1 град 2 град 3 ка
1 1,794762 0,808456 1 0,525763 1 0,559770 1 1
2 1,794762 8,635295 0 8,877794 0 8,553233 0 0
3 1,794762 12,46764 0 12,90768 0 12,26503 0 0
4 1,794762 13,09249 0 14,04561 0 13,06781 0 0
5 1,794762 9,927038 0 11,14509 0 10,08554 0 0
6 1,794762 4,447660 0 5,283001 0 4,806024 0 0
7 1,794762 4,387701 0 3,757628 0 4,029407 0 0
8 1,794762 12,98277 0 12,56640 0 12,63618 0 0
9 1,794762 21,07677 0 20,90165 0 20,75805 0 0
10 1,794762 26,55445 0 27,07735 0 26,37990 0 0
11 1,794762 28,99153 0 29,97660 0 28,98512 0 0
12 1,794762 27,58992 0 28,81115 0 27,75204 0 0
13 1,794762 23,00323 0 24,15486 0 23,31101 0 0
14 1,794762 15,09361 0 16,12902 0 15,43350 0 0
Данные табл. 4 представлены графически на рис. 7.
|Д(р1,град Д(р2, град ДсрЗ. град 92(1). град
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Рис. 7. Гистограмма критериев покрытия
Из приведенных результатов видно, что рассматриваемом интервале в одни сутки сферический треугольник с заданными координатами покрывается полосой обзора КА ДЗЗ только один раз.
Оценивание характеристик этого покрытия представляет особый интерес. В табл.5 с шагом в 1 по аргументу широты приведены значения соответствующего времени и критерии покрытия каждой вершины и всего сферического квадрата полосой обзора КА ДЗЗ.
Таблица 5
Характеристики покрытия сферического треугольника
и©, град Ъ с Кр.покр.1 Кр.покр.2 Кр.покр.3 Кр.покр. тр-ка
65 1052,3711 0 0 0 0
66 1068,5614 0 0 0 0
67 1084,7517 0 0 0 0
68 1100,942 0 1 0 0
69 1117,1324 1 1 1 1
70 1133,3227 1 1 1 1
71 1149,513 1 1 1 1
72 1165,7033 1 0 1 0
Из данных табл.5 видно, что время частичного покрытия сферического треугольника, с указанными в табл.3 координатами составляет немногим более 1 минуты, а полного - только 32 секунд, что позволяет прогнозировать незначительные суточные интервалы времени применения даже многочисленной группировки КА ДЗЗ и требует дополнительного исследования.
Заключение. Полученные результаты демонстрируют адекватность разработанной модели, которая может быть использована в дальнейших исследованиях.
Следует иметь ввиду, что для получения рассмотренных величин могут быть использованы другие баллистические модели [3]. Переход от одних моделей к другим не представляется сложной задачей и в работе не рассматривается. К достоинствам предлагаемой модели следует отнести ее относительные простоту и быстродействие, достигаемые за счет выбора в качестве независимой переменной аргумента широты КА ДЗЗ, ее наглядность и возможность использования для любых видов с точки зрения их эксцентриситета орбит КА ДЗЗ.
Основным недостатком является необходимость применения итерационной процедуры оценивания удовлетворения критерия пригодности для всех подспутниковых точек на заданном интервале прогнозирования, а также необходимости применения методов половинного деления или Ньютона для обеспечения требуемой точности оценивания покрытия ПРВО полосами обзора КА ДЗЗ [5].
Список литературы
1. Минаков Е.П., Воложинский А.О., Александров М.А. Модели оценивания прогнозной вероятности применения орбитальных группировок космических аппаратов землеобзора по пространственно-временным областям информационного обеспечения действий группировок сил флота // Труды Военно-космической академии имени А.Ф.Можайского / под общ.ред. Ю.В. Кулешова. СПб.: ВКА имения А.Ф.Можайского, 2019. Вып. №1 (671). С. 218-226.
2. Минаков Е.П., Александров М.А., Кубуша А.В Алгоритм определения характеристик проекций областей применения космических аппаратов в околоземном космическом пространстве // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. Вып. 10. С. 48-55.
3. Основы теории полета космических аппаратов. Под ред. Г.С. Нариманова и М.К. Тихонравова. М.: Машиностроение, 1972. 608 с.
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.-Л.: ОГИЗ, 1946. 556 с.
5. Демидович Б.П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960. 660 с.
Минаков Евгений Петрович, д-р техн. наук, профессор, maks. aleksandrov. vkaamail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского,
Воложинский Андрей Ольгертович, генеральный конструктор, richmauzerayandex.ru, Россия, Москва, АО «Корпорация СПУ- ЦКБ ТМ»,
Александров Максим Андреевич, канд. техн. наук, преподаватель, maks. aleksandrov. vkaa mail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского
MODEL FOR ESTIMATING COVERAGE OF SPACE-TIME AREAS ON EARTH SURFACE REMOTE SENSING SPACECRAFT VIEWING BANDS
E.P. Minakov, A.O. Volozhinsky, M.A. Aleksandrov
The procedure for estimating the coverage of space-time areas on the surface of the Earth by viewing bands of remote sensing spacecraft is given. A model for estimating the coverage of spherical triangles using Earth remote sensing spacecraft trails is presented. Corresponding results of computational experiments are presented and evaluation of obtained results is given.
Key words: space-time area, viewing band.
Minakov Evgenii Petrovich, doctor of technical sciences, professor, maks. aleksandrov. vkaa mail. ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky,
Volozhinsky Andrei Olgertovich, general designer, richmauzerayandex. ru, Russia, Moscow, «SPU Corporation - TsKB TM JSC»,
Aleksandrov Maksim Andreevich, candidate of technical sciences, lecturer, maks. aleksandrov. vkaa mail. ru, Russia, St. Petersburg, Military Space Academy named after A.F. Mozhaisky
