Противоспутниковое маневрирование наземных подвижных объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

1 2 3 ©

Минаков Е.П. , Грудинин И.В. , Кочанов И.А.

1Доктор технических наук, профессор; 2доктор военных наук, профессор;

3кандидат технических наук, доцент, Военно-космическая академия имени А.Ф. Можайского

ПРОТИВОСПУТНИКОВОЕ МАНЕВРИРОВАНИЕ НАЗЕМНЫХ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ

Аннотация

Представлены базовый понятийный аппарат и постановки задач оценивания эффективности противоспутникового маневрирования наземных подвижных объектов за счет выбора оптимальных маршрутов и путей их перемещения. В рамках сделанных допущений для принятого состава исходных данных установлены основные закономерности изменения вероятности обнаружения указанных объектов орбитальными средствами дистанционного зондирования, предложен алгоритм противоспутникового маневрирования наземных подвижных объектов.

Ключевые слова: наземный подвижный объект, противоспутниковое маневрирование, маршрут, маршрутный репер, зона информационного обеспечения движения, вероятность обнаружения.

Keywords: ground mobile object maneuvering, anti-satellite maneuvering, route, trip anchor, traffic information management zone, probability of detection.

Эффективное применение орбитальных средств разведки (ОСР) для обнаружения движущихся по поверхности Земли групповых и одиночных объектов, называемых в дальнейшем наземными подвижными объектами (НПО), потребность скрытия факта их перемещения при выполнении поставленных задач и ряд других причин делают актуальным решение задачи противоспутникового маневрирования (ПМС), под которым понимается выбор на заданных множествах таких путей и маршрутов НПО, которые обеспечивают минимальную вероятность их обнаружения заданным множеством ОСР [1]. Принципиальная возможность ПСМ НПО определяется разрывами по времени применения различных орбитальных средств разведки по одним и тем же областям, расположенным на поверхности Земли. На рисунке 1 на прогнозной карте применения ОСР приведены покрытия пути из пункта А (директивное время начала движения НПО из которого 00 час. 00 мин. 00 сек. 01.11), в пункт Б (время прибытия НПО не позднее 14 час. 00 мин. 00 сек. 01.11), полосами обзора [2] трех космических аппаратов на указанном интервале времени в 14 часов.

© Минаков Е.П., Грудинин И.В., Кочанов И. А., 2016 г.

Рис. 1 - Покрытие полосами обзора орбитальными средствами разведки

Соответствующие этим ОСР данные о покрытии зонами их обзора пути между пунктами А и Б приведены в таблице 1, а графики изменения протяженности пути, покрытой их зонами обзора, представлены на рисунке 2.

Таблица 1

Данные о покрытии зонами обзора ОСР пути между пунктами А и Б

1:н, чч,мм,сс 11к, чч,мм,сс А ёШах, км 1-шах, ЧЧ,мм,сс

ОСР-1 03,18,34 03,32,19 53 03,24,13

ОСР-2 08,03,10 08,13,28 19 08,9,00

ОСР-3 08,54,08 09,04,31 24 08,59,07

-¿\а,км- ОСР-1

ОСР-2

ОС Г

+ 7.

2 4 3 1 0 12

Рис. 2 - Графики зависимости участка пути, покрытого зонами обзора ОСР

В таблице 1 через tH обозначено время начала покрытия пути зоной обзора ОСР, через tK - время начала покрытия пути зоной обзора ОСР, через Admax - максимальная часть пути, покрытая зоной обзора, через tmax - соответствующее время.

Как видно из данных таблицы 1 и графиков рисунка 2 между зонами обзора ОСР существуют значительные временные интервалы, которые могут быть использованы для движения НПО, не обнаруживаемого с использованием указанных средств. Приведенный пример, указывает на принципиальную возможность эффективного ПСМ НПО. Однако, следует констатировать, в настоящее время отсутствует инструментарий, обеспечивающий данными для организации ПСМ НПО, что делает необходимым разработку основ соответствующей теории, имеющей в качестве объекта исследования ПСМ НПО, а предмета - закономерности оценивания соответствующей эффективности.

Формирование такой теории должно базироваться на аксиоматическом подходе, в рамках которого необходимо осуществить разработку понятийного аппарата и тезауруса, постановку задачи оценивания эффективности ПСМ НПО, выявление основных закономерностей и формирование системы аксиом, разработку методологического аппарата и инструментария теории оценивания эффективности ПСМ НПО. Основу такой теории должны составлять зонные пространственно-временные требования к моделированию применения ОСР [1].

Базовыми понятиями такой теории являются НПО, путь, маршрут, маршрутный репер, зона информационного обеспечения движения и пространственно-временная область (ПРВО).

Под наземным подвижным объектом в ней понимаются силы и/или средства, способные с целью выполнения поставленных задач осуществлять движение в заданных областях на поверхности Земли.

Путь - это геометрическое место точек положения НПО при движении из исходного в конечный пункт заданной области на поверхности Земли.

Маршрут - совокупность данных об участках и/или точках пути между его начальным и конечным пунктами и временах их прохождения НПО.

Маршрутный репер - совокупность данных о пространственном и временном положении характерных (м.б. виртуальных) точек маршрута НПО.

Под зоной информационного обеспечения движения (ЗИОД) понимается ПРВО на поверхности Земли, включающая путь НПО, в пределах которой может быть получена информация о перемещении НПО с использованием ОСР [3]. В свою очередь, пространственно-временной областью является любая область, расположенная на поверхности Земли, в ее воздушном или космическом пространстве, задаваемая геометрическим местом точек положения и времен их существования.

В соответствии со сделанными определениями маршрутом движения НПО является множество Ми, являющееся результатом декартова произведения двух множеств A/i и Tu

Мli = А хTHli = {(aim

Ац = {а\щ} - множество положений маршрутных реперов;

Тнц = {^нИц} - множество времен начала прохождения НПО маршрутных реперов;

I = 1(1)Ь - идентификатор пути прокладки маршрута НПО;

г - идентификатор маршрута на 1-м пути;

/ - идентификатор маршрутного репера.

Каждому /i-му маршруту сопоставляется векторный показатель эффективности

Qu = Wn, Ru, Ти),

W Rh Ti

вектор показателей результативности движения НПО; вектор ресурсных затрат на прохождение НПО маршрута; вектор операционных затрат НПО на прохождение маршрута.

Одной из компонент вектора Wli является вероятность обнаружения перемещения НПО по /i-му маршруту с использованием ОСР - Piio, которая зависит от маршрута движения НПО:

Pio = Pio(Km, W;в}), Dj g {.Dдоп}, (1)

В - множество баллистических и тактико-технических характеристик ОСР;

{Dd оп} - множество допустимых значений, которые может принимать на

маршруте Dj-я характеристика НПО.

Оптимальным маршрутом считается тот, для которого указанная вероятность минимальна, т.е.

Plio ® min

M.

Для определения минимума этой функции необходимо найти точки, подозрительные на экстремум, т.е. решить систему нелинейных уравнений

fP / эallM = 0; P / Э^1М = 0,

что приводит к решению трансцендентных уравнений и требует применения численных методов [2].

Для получения аналитического решения необходимо сделать ряд упрощений.

Во-первых, можно считать, что репера пространственно могут располагаться вдоль пути только в определенных местах, т.е. множество Ац априорно задано. В этом случае

Ро = РиоВ,Ац)}), ^ ^}.

Если можно представить, что путь НПО проходит по квадратам (прямоугольникам), на которые разбита топографическая карта заданной области перемещения НПО, то репера могут располагаться на границах этих квадратов в точках входа в них пути. Несмотря на значительное упрощение, для нахождения точек, подозрительных на экстремум, необходимо решить систему нелинейных уравнений

Р / Э^ = 0.

что, как и в общем случае, к решению трансцендентных уравнений и требует применения численных методов.

Вторым этапом упрощения можно считать переход от множества мощности

континуума к дискретному конечному множеству {^нци}. При указанной схеме

расположения реперов это означает, что каждому из них может быть сопоставлено определенное число времен (или время) их прохождения НПО.

Сделанные упрощения позволяют перейти к конечному дискретному множеству возможных маршрутов НПО по определенному пути. В случае применения ОСР для обнаружения перемещения НПО соответствующий факт может установлен как результат покрытия квадратов, на которые разбита топографическая карта и образующих ЗИОД, их полосами обзора [2]. Однако следует иметь в виду, что решение задачи о их покрытиях требует перехода к так называемым сферическим «квадратам» («прямоугольникам») и применения сферической тригонометрии для оценивания их покрытия полосами обзора ОСР.

Сделанные упрощения позволяют определить состав исходных данных для планирования и оценивания эффективности ПСМ НПО в условиях применения ОСР (таблица 2).

Таблица 2

Исходные данные для планирования и оценивания эффективности ПСМ НПО в

условиях применения ОСР

№ п/п Наименование Размерность

1 Карта ЗИОД -

2 Положение «квадратов» ЗИОД {(у Хд), (у ^2), (у jз, Ы (у V)} градусы

3 Время, отводимое на перемещение НПО

- начало - Тн год, месяц, число, ч, мин

- конец - Тк год, месяц, число, ч, мин

4 Скорость совершения перемещения НПО - АУ(1;) км/ч

5 Состав, баллистические и ТТХ ОСР

В таблице 2 через yj1,yj2у3у4 обозначены широта, а через 1j1,1j2,1j3,1j4 -долготы j-го «квадрата» ЗИОД (нумерация вершин «квадрата» идет с левого нижнего угла, для которого yj-1,1j1 - минимальны для Северного полушария Земли, «по часовой стрелке»).

В дополнение к сделанным упрощениям на данном этапе решения задачи считается, что все «квадраты» имеют одинаковые угловые размеры по долготе и по широте AV(t) = AV = const;;

время движения НПО в пределах каждого «квадрата» одинаково и принимается

равным

At ~ R3 ■ arccos(cos Al ■ cos Ay)/ А V, (2)

где A1 = 1j4 -1j1 = const - долготный размер «квадратов» ЗИОД;

Ay = yj2 -yj1 = const - широтный размер «квадрата»;

R3 = 6371 км - средний радиус Земли;

в ходе перемещения НПО может либо двигаться со скоростью AV , либо стоять на границе последующего «квадрата» маршрута.

Если число «квадратов» по пути перемещения НПО - N, то минимальное время его перемещения составит N ■ At. Очевидно, что требуемое перемещение может быть осуществлено, если N At < Тк - TH. Разница Atnpe = (Тк - TH) - N At образует полный резерв времени (ПРВ), которым обладает НПО на перемещение из исходной в конечную точку пути

и может быть израсходован на остановки НПО. В дальнейшем считается, что ЬЛ может

быть израсходован только на ожидание начала движения НПО перед «квадратом».

При принятых допущениях маршрут НПО может задаваться множеством упорядоченных пар - ^п^ Тн1п); (пи2, Тм2); ...(пт, ТнШ)}, где пи - н°мер ]-го «квадрата» И -го маршрута; Тн1]] - время начала движения по]-му «квадрату» 11 -го маршрута:

Т

\Тн1]], если по ] - му " квадрату" ПРВ не расходуется;

НН] ' = Т.„ + АЛ , если по ] - му " квадрату" расходуется ПРВ.

При принятых допущениях граф вероятностей возможных маршрутов НПО по заданному пути можно представить в виде дерева, каждой дуге которого приписывается вероятность обнаружения НПО при движении по «квадрату» (рисунок 3), где «да» соответствует «принятию решения» о задержке перед движением по очередному «квадрату» на величину АЛПрв ; «нет» - о движении по очередному «квадрату» без задержки, 1, 2, ..., N -

условный номер «квадрата» [5]. Общее число маршрутов НПО по зададному пути равно N.

Конечный пункт

Рис. 3 - Граф вероятностей возможных маршрутов НПО по заданному пути

Вероятности обнаружения НПО ОСР - Рцп могут рассматриваться, как вероятности наступления независимых событий и подчиняются следующим закономерностей изменения:

1) в пределах любого интервала времени [Тнп ,Ткп ] изменение вероятности обнаружения НПО в одном п-м пространственно-временном «квадрате» ЗИОД одним к-м ОСР - Рпк представляет собой вероятностную кумуляту -кривую накопления вероятности наступления последовательности случайных независимых событий, определяемую зависимостью [4]

Pnk = 1 - (1 - Pk )Jnt,

Рк = const - статистическая вероятность обнаружения НПО при ДЗ «квадрата»;

J nk - число покрытий «квадрата» зоной обзора ОСР на интервале времени

;

2) в пределах любого интервала времени [THn ,TKn ] изменение вероятности обнаружения НПО группировкой ОСР представляет собой вероятностную кумуляту (зависимость 1 рисунка 4)

Рк = 1 - ((1 - Рщ) ■ (1 - Pn2 )...(1 - PnK ) = 1 -П (1 - Pk ) =

K K k=1 (3)

=1 -П (1 - (1 - (1 - Pk)Jnk))=1-П (1 - Pk)Jnk,

k=1 k=1

где K - общее число ОСР, полосы обзора которых на интервале времени [Тнп,TKn]покрыли n-й квадрат;

Рис. 4 - Зависимости вероятности обнаружения НПО ОСР от времени

3) в пределах интервала времени [Тн, Тк ] изменение вероятности обнаружения НПО для совокупности N «квадратов» - РК представляет собой полигон вероятностей обнаружения НПО - Рпк (зависимость 3 рисунка 4);

4) вероятность обнаружения НПО в одном из N пространственно-временном «квадрате» маршрута на интервале [Тн, Тк ] представляет собой вероятностную кумуляту (зависимость 3 рисунка 4)

N

N

K

Л

Р = 1 - (1 - Р) • (1 - Р2)...(1 - Р,) = 1 -П (1 - P ) = 1-П11 - (!-П (! - Pk )Jnk)

n=1 n=1 V k=1 J

Л f K Л

N f K Л f K Л f K Л f K

1 -П1П (1 - Pk )Jnk = 1 - 1П (1 - p )j1kl • 1П (1 - Pk )j2k ..П (1 - Pk )Jn

n=1 V k=1

J V k=1

\J 11 /1 D \ J12

k=1 J V k=1

J1 K J21

J

=1 - (1 - p)• (1 - P) J12...(1 - Pk)J1K • (1 - p)J • (1 - P) J22...(1 - Pk)J 2 k ...(1 - P)JN1 • (1 - P)JN 2...(1 - Pk)JNK =

1 - (1 - P )J11+J21+...JN1 • (1 - P )J12 +J22 +...JN2 (1 - p )J1K +J2K +-JNK _

= 1 - (1 - P )Z ^ • (1 - P2)Z Jn2...(1 - Pk )S JnK ,

Показатель эффективности противоспутникового маневра НПО за счет выбора маршрута на заданном пути может быть представлен в виде отношения наилучшего по вероятностной мере к наихудшему маршруту этого пути, рассчитываемым по формуле (4)

Э.

1 - Pr 1 - P_

(1 - p)^ ** • (1 - p2)

S J 2,

(1 - Pk )Z ^

(1 - Pj)S J1'r

(1 - P)S J - ...(1 - P, )

S Jkiq

(1 _ p )S J1ir S J\iq (1 _ p )Z J2ir S J2iq (1 _ p )S Jkir S Jkiq

При решении определения не только маршрута НПО, но и пути его перемещения, уместно рассматривать схему возможных путей НПО, графически представленную на рисунке 5. В соответствии с ней при перемещении НПО из исходного пункта А в конечный пункт В могут встречаться развилки, имеющие не более двух путей, а вдоль пути быть не более шести «квадратов». Из рисунка видно, что каждая развилка добавляет ровно один путь и общее число путей М имеет следующую зависимость от числа развилок Ь - М = Ь +1, а общее число маршрутов по заданному числу путей составляет величину Ж = N • (Ь +1).

Рис. 5 - Граф возможных путей НПО

Задача комплексной оптимизации пути и маршрута перемещения НПО имеет вид:

pz ® min

Z

при ограничениях (1),

(5)

где I = Ь • М;

Ь - множество возможных путей НПО; М - множество возможных маршрутов НПО.

В качестве метода решения сформулированной задачи предлагается использовать модифицированный метод ветвей и границ с критерием

Рэ< Р/П, для любых 2,У при э +1 > /,

Рэ+1г, Р п - вероятностные кумуляты по s +1 -му и /-му квадратам г-го и у-го путей, зависящие от маршрутов предшествующих этим квадратам.

При небольшом количестве возможных путей задача может быть решена путем полного перебора путей и маршрутов ПНО. В случае значительного количества развилок необходимо использовать специальный алгоритм, для использования которого необходимо знать:

1) вероятности обнаружения НПО с использованием ОСР при ожидании перемещения по квадрату - Рэ (обозначены дугами), где э, э = 1(1)э - идентификатор маршрутного репера

(маршрутный репер исходного пункта - А имеет идентификатор «1»; маршрутный репер конечного пункта - В имеет идентификатор «16»);

2) вероятности обнаружения НПО с использованием ОСР при перемещении по квадрату - Р/, где э, / - идентификаторы маршрутных реперов на входе и выходе из

квадрата соответственно;

3) матрицу инцидентности маршрутных реперов - О, которая для графа на рисунке 5 имеет вид:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0

13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1

15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Решение задач (1) и (5) требуют использования специального инструментария, основу которого составляют карты космической обстановки в ЗИОД [6] и программный комплекс по расчету вероятностей обнаружения НПО, разработанный в Excel. Электронная карта расположения ЗИОД представляет собой отсканированную топографическая карта расположения ЗИОД с оцифрованной сеткой параллелей и меридианов, предназначенная для нанесения на нее комплексных данных о пространственных, временных и вероятностных характеристиках применения ОСР. Промежуточные результаты решения поставленной задачи получаются в маршрутных картах космической обстановки в табличной форме, которые в дальнейшем отображаются на электронных картах расположения ЗИОД. Конечные результаты целесообразно отображать на специальных картах ПСМ НПО.

Предлагаемые карты противоспутникового маневрирования наземных подвижных объектов обеспечивают максимальную эффективность уклонения этих объектов от ОСР и могут быть рекомендованы лицам, принимающим решения при планировании скрытного движения НПО. Дальнейшее развитие работ должно быть направлено, в первую очередь, на апробацию карт противоспутникового маневрирования, совершенствование моделей движения НПО, а также выявление требований, создание специального программного обеспечения и интерактивного интерфейса на основе геоинформационных технологий, комплексно обеспечивающих автоматизацию изготовления карт противоспутникового маневрирования НПО.

Литература

1. Е.П. Минаков. Сборник основных терминов, понятий и определений по вопросам оценивания эффективности и моделирования применения специальных организационно-технических систем / С. А. Мусиенко, И.Ш. Шафигуллин // - СПб.: ВКА имени А.Ф. Можайского, 2013.

2. К.Н. Баринов. Динамика и принципы построения орбитальных систем космических аппаратов / М.Н. Бурдаев, П. А. Мамон // - М.: «Машиностроение», 1975.

3. Е.П. Минаков. Зоны применения орбитальных группировок Военно-космических сил. - СПб.: ВИКА имени А.Ф. Можайского, 1997.

4. Е.С. Вентцель. Теория вероятностей. - М.: «Наука», 2005.

5. В.Ф. Волков. Основы теории графов / Е.П. Минаков // - СПб.: ВКА имени А.Ф. Можайского, 2006.

6. Е.П. Минаков. Карты космической обстановки для оценивания эффективности применения космических аппаратов дистанционного зондирования поверхности Земли / Е.П. Минаков // Материалы IV Международной конференции «Микротехнологии и новые информационные услуги в авиации и космонавтике». - СПб.: Изд. Политехнического университета, 2005.