Критерии статической устойчивости симметричных летательных аппаратов в пространственном движении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

ТомУ/ , 1975 №5

/

УДК 626.76.015.017.2.016.82

КРИТЕРИИ СТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИММЕТРИЧНЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ В ПРОСТРАНСТВЕННОМ ДВИЖЕНИИ

В. К. Святодух

Получен общий критерий статической устойчивости симметрично оперенных летательных аппаратов при наличии аэродинамического взаимовлияния каналов тангажа, курса и крена. Рассмотрены понятия коэффициента продольно-путевой статической устойчивости и коэффициента поперечно-путевой статической устойчивости, характеризующих статическую устойчивость аппарата в соответствующих парциальных движениях. Проанализирована качественная зависимость этих коэффициентов от аэродинамических перекрестных связей.

1. Постановка задачи. Обычно необходимые характеристики устойчивости и управляемости симметричных аппаратов обеспечиваются средствами автоматики. Однако в ряде случаев связи автопилота, обеспечивающие ориентацию продольной оси аппарата в пространстве или по отношению к вектору скорости, могут отсутствовать, и для нормального полета автоматически управляемого аппарата обеспечение устойчивости собственного движения становится так же важным, как и для пилотируемого.

Одним из условий устойчивости собственного движения является наличие у аппарата статической устойчивости, под которой в динамике полета понимают свойство аппарата возвращаться в исходное положение равновесия под действием позиционного аэродинамического момента, вызываемого отклонением аппарата от положения равновесия.

По сравнению с летательными аппаратами самолетной схемы, устойчивость которых изучена достаточно подробно, симметричные аппараты имеют следующие особенности. Во-первых, углы скольжения могут быть такими же большими, как и углы атаки, в отличие от „самолетных“ компоновок, для которых характерно ^:=0. При больших углах скольжения устойчивость в существенной мере определяется аэродинамическими перекрестными связями. Во-вторых, для управления траекторией полета необходимо либо осуществлять автоматическую стабилизацию угла крена, либо отклонять рули в каналах тангажа и курса в соответствии с текущим значе-

нием угла крена. Условия устойчивости в этих двух случаях различны.

Ранее статическая устойчивость рассматривалась для частных случаев связанных движений: продольного и бокового движений —■" в работах [1, 2], бокового движения и движения крена — в работе [2]. В данной статье рассмотрим общий случай.

Для получения условий статической устойчивости симметричных аппаратов при больших углах атаки, когда учет аэродинамических перекрестных связей существен, удобно использовать уравнение моментов в проекциях на оси системы координат, связанной с плоскостью угла атаки: ось Ох этой системы совпадает с осью

симметрии аппарата, ось Ог направлена по вектору г0 — [и, л0], х0 — орт оси Ох-, ось Оу образует с осями Ох и Ог правую систему.. Имеем

+ (/“7 ак + 1Х шх)

/а>7 _ (/а>7 ак + 1Х тх)<»~ = М~;

0>

здесь ак — угол атаки корпуса, или угол между осью симметрии аппарата и вектором скорости центра масс, ®х — угловая скорость крена, 1Х, I— главные моменты инерции; остальные величины показаны на фиг. 1, а. Плоскость, содержащую угол ак, будем называть плоскостью угла атаки.

Каждый из моментов Мх, М~ и можно представить в виде суммы позиционного и демпфирующего компонентов, например-Мх = Мхс + Мхд. В рассматриваемой задаче будет важен учет лишь позиционных компонентов моментов, коэффициенты которых представим в виде:

т1с = т1 с (ак> N. 8, {*8, 8Э), 1 = Х,У, г, (2)

где ¡а« — угол между плоскостью симметрии аппарата и плоскостью угла атаки (фиг. 1, а), 8Э — угол отклонения органов управления

креном, 8 = ]/ 8i-)-8|, ¡AS = arctg —, §! и 82 —углы отклонения органов управления тангажом и рысканием соответственно. Плоскость, проходящую через ось симметрии аппарата и составляющую угол 14 с плоскостью симметрии Оху, будем называть плоскостью управления.

При наличии п рулевых поверхностей, отклоняемых на углы <fj (J = 1, 2, . . ., п), под 8Ь 82 и 8Э понимают некоторые эквивалентные углы отклонения, причем условия эквивалентности устанавливают обычно из геометрических соображений. В качестве примера на фиг. 1, б показаны величины 8,, 82, 8 и [Ч для случая

п = 3, при этом 8э = -^-(<р1-{-ср2 + <р3).

В дальнейшем будем полагать 8 = const и учитывать, что при использовании автоматической системы управления величина [д.5 может зависеть от угла крена аппарата f (фиг. 1, а), а величина 8Э— от 7 и от угловой скорости крена, например

N = N + & т, К = ¿7*(ï Тз) + (3)

где ^з. Тз> kf и Ц — некоторые заданные величины.

При интегральной обратной связи по углу крена вместо уравнения для 8Э (3) будем использовать уравнение _

К = Мт — Тз) + к2 шх + 63 «V

где kt, i—\, 2, 3 — заданные величины.

Будем считать, что движение аппарата вокруг центра масс не зависит от движения центра масс аппарата.

Систему уравнений (1) дополним следующими кинематическими уравнениями: ч

= N = “^ + <BFctgaK, 7 = «v (4)

Тогда задача сводится к линеаризации уравнений (1) —(4) в

окрестности точки равновесия

=mx=:fnj==m7 = 0 (5)

и к исследованию свободного члена соответствующего характери-

стического уравнения.

2. Критерии устойчивости. Проведя линеаризацию уравнений (1) и (4) с учетом соотношений (2), (3) и (5), получим, что свободный член характеристического уравнения линейной системы будет положительным при выполнении неравенства

Здесь использованы обычные обозначения для производных аэродинамических коэффициентов: верхний символ обозначает переменит;-'

ную, по которой берется производная, например, ----------= /ге~к. Мно-

дак г

житель ctgaK>0 сохранен для нормирования производных т~> т~

Н'а

и яг~ •

I I •

Величина т] представляет собой частную производную аэродинамического коэффициента т1 по углу крена аппарата при фиксированном положении плоскости угла атаки и плоскости управления в пространстве.

Величина 8^ есть частная производная угла 8Э по углу крена и зависит от использованной системы стабилизации аппарата по крену. Если 8Э = const или если осуществляется только демпфирование движения крена, т. е. если в (3) k^=k^=0 или ^ — 0, то 8| = 0; при наличии позиционной обратной связи 8* = &т.

Величина ¡л| представляет собой частную производную угла ¡as. определяющего ориентацию плоскости управления в связанных с аппаратом осях, по углу крена и характеризует связь плоскости управления с углом крена аппарата. Если плоскость управления фиксирована по отношению к аппарату, т. е. если в (3) ki = 0, то р| = 0; если эта плоскость составляет постоянный угол с вертикальной плоскостью, проходящей через ось Ох аппарата, то в (3) k~a = 1 и [а]=1. Поэтому в зависимости от используемой системы стабилизации аппарата по крену и от характера связи плоскости управления с углом крена аппарата из общего критерия статической устойчивости (6) можно получить различные частные условия статической устойчивости. Для случая гпхэ<С,0 и maz<C0 эти условия приведены в таблице, при этом

= (mr m7 ~ m7K ) ctg ак’ ^10^

Зар-, = aa(5 гп/ + aTp rti~. (11)

Заметим, что при = §¡ = 0 можно говорить о статической устойчивости аппарата при связанных движениях тангажа и рыскания; условие е/р >0 получается из уравнений (1), (2) и (4) без учета первого уравнения (1) и третьего уравнения (4). При интегральной обратной связи по углу крена знак свободного члена характеристического уравнения определяется знаком за^.

Характер связи плоскости управления ^ч. с углом крена Способ ^ч. стабилизации движения кренэ Плоскость управления фиксирована по отношению к аппарату W = °) Плоскость управления составляет постоянный угол с вертикальной плоскостью, проходящей через ось аппарата

Стабилизация угловой скорости или 8Э = const (В| = 0) 3áp>° атР>°

Позиционная обратная связь по углу крена (SJ == /Ст) °ap>0 Чп<°

Интегральная обратная связь по углу крена *яр>0 °«р>0

Выясним физический смысл величин а„р и отр. В выражении для зар (7) основным членом является обычно первое слагаемое. В частности, если момент крена не зависит от <хк и ¡ха либо отклонение элеронов не влияет на продольный и боковой моменты, ТО а„р=0^ (Ш)- ,

Величина m~ctgaK является аналогом коэффициента путевой

статической устойчивости, а величина т~ — аналогом коэффициента продольной статической устойчивости, В частности, при [*«* = 0 имеем соотношения

“к “ И-а . В

т~ — тг, ш~ ctg ак = Шу eos а,

где тг и ту — коэффициенты моментов тангажа и рыскания, а и ¡3 — обычные углы атаки и скольжения. Поэтому величину аар можно назвать коэффициентом продольно-путевой статической устойчивости. Коэффициент продольно-путевой статической устойчивости з«э>0 характеризует свойство аппарата восстанавливать балансировочные значения углов атаки и скольжения в условиях аэродинамического взаимовлияния каналов тангажа и курса.

Из таблицы видно, что в большинстве случаев определяющим условием статической устойчивости является положительность величины oa¡3.

В выражении для отР (8) в общем случае трудно отдать предпочтение какому-либо из трех слагаемых. В частном случае при

балансировке вблизи плоскости симметрии, когда 0, ве-

личина атр будет определяться, главным образом, первым слагаемым в правой части (8). В это слагаемое входят величина т\ (9), характеризующая поперечную статическую устойчивость, и величина т~, характеризующая путевую статическую устойчивость. Поэтому

величину aYp можно назвать коэффициентом поперечно-путевой статической устойчивости. Коэффициент поперечно-путевой статической устойчивости о7р > 0 характеризует свойство аппарата восстанавливать балансировочные значения угла крена и угла скольжения в условиях аэродинамического взаимовлияния каналов тангажа, курса и крена. Из (6) видно, что этот коэффициент существен только в тех случаях, когда ^ ф 0, т. е. когда углы отклонения рулей в каналах тангажа и курса зависят от угла крена.

При больших углах атаки коэффициенты аэродинамических моментов являются периодическими функциями Поэтому в общем случае периодическими функциями ¡ла будут также и величины Зсф, Зтр и Оарт. Из этого следует, что при некоторых положениях плоскости угла атаки, т. е. при некоторых ¡^(“кбал). где акбад — балансировочное значение ак, величины о принимают минимальные значения, и если эти значения удовлетворяют приведенным выше условиям, то статическая устойчивость по рассматриваемому критерию обеспечивается во всем диапазоне балансировочных углов атаки и скольжения.

3. Исследование влияния аэродинамических перекрестных связей на статическую устойчивость

Зависимость коэффициента продольно-путевой статической, устойчивости от [*„.

Исследуем функцию оар (¡ла) в предположении, что эффективность рулей не зависит от угла атаки, приняв выражения для т~ и т~ в виде

ту = Ф sln +mz 8 sin (f*8 — Ia“) — mz =/o +f\ cos + ml5 eos (¡¿6 — p.«) = o,

(12)

где п—ЧИСЛО плоскостей симметрии; ф, /о и /х — произвольные функции угла атаки ак.

В рассматриваемом случае величина аа(3 определяется соотношением (10), на основании которого получаем ''

где

^0 =

Ф = + Fx cos npot -f F2 cos 2пра,

ctg «к д

(13)

4

дак

(2 Я’^/i + 2/о +/i + ф2),

*я^ + Т~(/оА)

С/ак о ак

ctgaK

[2 \‘ д«к

А

_дф_

дак

1

CtgaK.

Для изучения функции (fAa) (13) достаточно рассмотреть ее на интервале —. Экстремумы a„p (¡j,a) соответствуют значе-

ниям ¡j.a, которые удовлетворяют уравнению

(F¡ + 4F2 cos П[1Х) sin n\¡.a = 0.

Видно, что при

Р\

>4 функция OapÍH-a) имеет два экстремума на

концах рассматриваемого интервала, т. е. при балансировке в пло-

<4 имеется три экстремума: два до-

скостях симметрии. При

стигаются при ра?=0 и ц«2 =

как и при

¡>4, а третий

при р.«з = —arccos п

НИЙ аав имеют вид

л

4 F,

. Выражения для экстремальных значе-

a(i> = Oaß(Ni) = F0 + F, + /V, о<2'= (ра 2) = F0 — Fj + F2\

8 Fl

причем соотношение для а<3> имеет смысл только при

(14)

F,

<4.

Пай п. \

п /

п * У

/ 7Ц, /

/ / / * •ч

-4 \ а ¥

Фиг. 2

Поскольку интерес представляет наименьшее значение о<|, из

(14) получаем, что при Р2<^0 независимо от величины — опре-

Р2

деляющим будет либо условие 0<У>0, если .р1<0, либо условие

о£9>0, если /\>0; при ^>0 и

Fi

■< 4 определяющим будет

условие о(а3р>;>0. Значения при которых достигается мини-

мальная величина оар, показаны на фиг. 2 (пунктир для Р2 > 0, сплошные линии для Р2 < 0).

При оценках устойчивости иногда используют приближенное соотношение <}> = — ¿/о где к — постоянный коэффициент, к> 1.

1 д/? ,

В таких случаях величина = -¿-(1 — отрицательна, если

/4—возрастающая по модулю функция ак.

Зависимость коэффициента поперечно-путевой статической устойчивости от р.„.

При анализе зависимости атР ({ла) воспользуемся для т~ и т~ соотношениями (12), а для тх — соотношением

(15)

в котором х — функция угла атаки аК) a тх0 — постоянная, выбираемая при заданных значениях ак и ¡а* так, чтобы выполнялось

условие тх(ак, [ха) = 0.

Выражение для (8) можно представить в виде

ОС /

т к пг~

атР =“ 4" —¡г + дз Чг" . (16)

т

г г

где *

д 1 = (/о + /i cos Я|*«) «xcos га[*а Ctg ак; д2 = [/o/i + (А — Ф2) cos n[ia] п sin «jj.« ctg ак;

Д3 = яфх sin 2пра ctg ак;

_ _|х_ sln п .

дак

ак 0Ф . т~ — —1- S1Í1 п\ха;

аак

ак ¿í/o i Ö/l i

т~ = + V1- cos л(д.а. '

При /1 = ф=^0, что соответствует круговой симметрии продольного и бокового моментов, зависимость ОтР от ¡*« определяется только функцией Ai([Aa), которая в этом случае, как видно из (16), является гармонической. При изменении (ла от 0 до 2тс области устойчивости чередуются с областями неустойчивости, причем ширина

этих областей одинакова (Д[*а=—) и не зависит от балансировоч-

ного угла атаки за исключением точки ак = 0, где атр = 0. Из-за влияния круговой несимметрии продольно-бокового момента области устойчивости могут значительно изменяться — как сужаться, так и расширяться за счет соответствующей деформации областей неустойчивости, поскольку основной период функции атр (р.а), равный 2я/л, не изменяется. Однако, если при балансировке в плоскостях симметрии условие продольной статической устойчивости яг“к-< 0 выполняется во всем диапазоне углов атаки (при этом для симметричного аппарата /о+ /х со8Л(Аа<0), функция °тр (р«) всегда знакопеременна, так как при экстремальных значениях Д, величины Д2 и Д3 обращаются в нуль. Поэтому всегда найдутся области значений при которых атР > 0, и области значений [*а, при которых о1?<0. Для случая, когда в (12) и (15) /„ = аак — | Ь | а2, /, = Ьа^ , = а<<0, ¿>0, области поперечно-путевой статиче-

ской устойчивости показаны на фиг. 3. В рассматриваемом случае характер зависимостей ф(ак) и х(ак) одинаков, и величина отР не зависит от коэффициента с, характеризующего амплитуду бокового момента. '

Зависимость оар и ат? от угла атаки ак. Если в (12) и (15) функции/0(ак), /] (ак), Ф(ак) и х(ак) представить степенными рядами и учесть, что ряд для /о (ак) содержит степени ак не ниже первой, а

ряды для других функций — степени ак не ниже второй, то выражения для и а7? можно записать в виде

т п

авР = [ти~к (О)]2 + 4 2 а1 а1» ат? = ак X ЪI ак.

г=о г=о

а

где /п~(0)— частная производная коэффициента продольного момента по углу атаки ак при акбал = 0; а,., некоторые коэффициенты, зависящие от коэффициентов степенных рядов и от балансировочного значения угла ¡Аа.

Видно, что зависимости оаР и от угла атаки с точки зрения устойчивости качественно различны. Различны и возможности обеспечения необходимых величин а„р и в рассматриваемом диапазоне изменения угла атаки ак условие оар>0 может быть обеспе-

а

чено выбором соответствующего значения т~ (0), в то время как для коэффициента такая возможность отсутствует, поскольку при ак == 0 всегда отр = 0. Поэтому коэффициент поперечно-путевой устойчивости существен лишь при „больших“ углах атаки. При небольших углах атаки а7з — обычно малая величина, и, например, в правой части (11) основную роль играет первое слагаемое.

Автор благодарит А. А. Шилова за обсуждение статьи при подготовке ее к печати.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лукошкин'В. В. Влияние аэродинамических перекрестных Связей на свободное продольно-боковое движение летательного аппарата. „Ученые записки ЦАГИ“, т. V, № 3, 1974.

2. Свято дух В. К. Динамика пространственного движения управляемых ракет. М., „Машиностроение“, 1969.

Рукопись поступила 41VII ¡974 г.