Общие свойства и приближенное описание многомерных функциональных зависимостей аэродинамических характеристик маневренных летательных аппаратов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIII 1992 № 4

УДК 629.7.015.3

ОБЩИЕ СВОЙСТВА И ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПИСАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МАНЕВРЕННЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

В. В. Лукошкин

Рассматриваются общие свойства функциональных зависимостей коэффициентов аэродинамических сил и моментов от кинематических параметров пространственного движения, обусловленные различными видами геометрической симметрии конфигураций оперенных летательных аппаратов. На основе указанных свойств приводится математическое описание функциональных зависимостей аэродинамических коэффициентов в виде многомерных смешанных рядов.

Одним из основных факторов, обеспечивающих высокие маневренные возможности оперенных летательных аппаратов различных аэродинамических схем, является широкий диапазон располагаемых углов атаки в каналах тангажа и рыскания. При этом по мере увеличения углов атаки усиливаются и становятся существенными- различного рода нелинейные эффекты аэродинамического силового воздействия, приводящие, в частности, к таким нежелательным с точки зрения устойчивости и управляемости аппаратов последствиям, как перекрестное аэродинамическое взаимодействие каналов управления и падение (в ряде случаев вплоть до реверса) эффективности органов аэродинамического управления. Исследование маневренных и динамических свойств, а также синтез системы управления и стабилизации летательных аппаратов в подобных случаях требуют достаточно подробного математического моделирования многомерных зависимостей аэродинамических сил и моментов от кинематических параметров пространственного движения.

Как известно, современный уровень развития теоретической аэродинамики не позволяет получить конечных аналитических выражений для достаточно подробного описания указанных функциональных зависимостей аэродинамических характеристик. Поэтому на практике вопросы математического моделирования функциональных зависимостей аэродинамических характеристик при пространственном обтекании решаются обычно на основе их представления в виде отрезков различного рода функциональных рядов, параметры которых определяются по результатам экспериментальных исследований в аэродинамических трубах. При этом единственным общим правилом построения рядов, отражающим физические особенности пространственного обтекания, является удовлетворение свойствам, обусловленным геометрической симметрией конфигураций летательных аппаратов.

Такой подход к математическому описанию функциональных зависимостей аэродинамических характеристик применительно к управляемым летательным аппаратам симметричных крестообразных конфигураций был методически разработан в работе [1] ив дальнейшем использовался в работах [2, 3]. В этих работах функциональная зависимость коэффициентов аэродинамических сил и моментов от углов атаки и углов отклонения органов управления представлялась в виде двойных тригонометрических рядов по угловым координатам плоскости угла атаки и плоскости управления. Такое представление аэродинамических характеристик было ориентировано на проведение анализа струк1-у-ры аэродинамического взаимодействия каналов управления и на изучение качественного влияния перекрестных связей на динамические свойства летательных аппаратов. Однако для практического построения математических моделей аэродинамических коэффициентов на основе данных экспериментальных исследований использование двойных тригонометрических рядов оказалось неудобным в силу недостаточной размерности аналитического описания функциональных зависимостей.

В настоящей статье излагается методика построения приближенного математического описания функциональных зависимостей аэродинамических характеристик от кинематических параметров пространственного движения в виде многомерных, функциональных рядов с учетом возможного многообразия компоновок летательных аппаратов с точки зрения симметрии их конфигураций. Математическое описание функциональных зависимостей аэродинамических характеристик ориентировано на использование для построения эмпирических математических моделей коэффициентов аэродинамических сил и моментов маневренных летательных аппаратов с большим эксплуатационным диапазоном углов атаки в каналах тангажа и рыскания.

1. Основные понятия и определения. Характерной особенностью аэродинамических компоновок различных типов летательных аппаратов является симметрия их конфигурации, определяемая геометрией и взаимным расположением основных внешних элементов конструкции (корпуса, несущих и управляющих поверхностей, надстроек и пр.).

В общем случае геометрическую симметрию конфигураций летательных аппаратов можно определить двумя основными видами: зеркальная и осевая.

Зеркальная симметрия характеризуется возможностью полного наложения на себя конфигурации летательного аппарата при отображении ее в плоскости, содержащей продольную ось. При этом указанная плоскость называется плоскостью зеркальной симметрии аппарата. Схематические примеры конфигураций летательных аппаратов, обладающих зеркальной симметрией, показаны на рис. 1, а, б, в. Только зеркальной симметрией, т. е. единственной плоскостью зеркальной симметрии, обладают аппараты плоских схем, а также могут обладать аппараты крестообразных и других схем, на корпусах которых имеются различного рода надстройки (воздухозаборники, гаргроты, бугеля и пр.).

Осевая симметрия характеризуется возможностью полного наложения на себя конфигурации летательного аппарата при повороте ее относительно продольной оси на угол 2я/п. При этом п — целое число, определяющее порядок осевой симметрии. Схематические примеры конфигураций, обладающих осевой симметрией, показаны на рис. 1,г,д. Только осевой симметрией обладают аппараты с прямыми крыльями, консоли которых имеют одинаковые углы заклинения на цилиндрических кбрпусах, и -с дугообразными крыльями, консоли которых складываются в одну сторону на цилиндрические корпуса.

В большинстве случаев компоновки маневренных летательных аппаратов обладают одновременно и зеркальной и осевой симметрией конфигураций. Для таких конфигураций, называемых обычно симметричными, число плоскостей зеркальной симметрии равно порядку осевой симметрии п. Схематически примеры симметричных конфигураций показаны на рис. \,ж, з, и, к.

«)

А

«)

------след плоскости зеркальной симметрии

п -порядок осеїоі симметрии

Рис. 1

Для определения кинематических параметров пространственного движения летательных аппаратов и коэффициентов действующих на них аэродинамических сил и моментов будем использовать две прямоугольные декартовые системы координат — связанную систему координат 0ХУ1 и связанную с пространственным углом атаки систему координат ОХУп1а (см. ГОСТ 20058-80).

Обе системы координат имеют начало О, расположенное на геометрической оси корпуса аппарата, обычно в центре масс, и продольную ось ОХ, направленную вдоль оси корпуса аппарата к носовой части. Нормальная ось ОУ связанной системы координат направлена к верхней части аппарата или части, условно ей соответствующей, а поперечная ось 01 дополняет систему координат до правой. Обычно при наличии у летательного аппарата или его крыла (оперения) плоскости зеркальной симметрии плоскость ОХУ связанной системы координат является этой плоскостью. Ось ОУп связанной с пространственным углом атаки системы координат лежит в плоскости угла атаки, образованной продольной осью и вектором скорости летательного аппарата V, и направлена противоположно проекции скорости на плоскость, перпендикулярную к продольной оси, а ось 01„ дополняет систему координат до правой.

Взаимная ориентация указанных систем координат и вектора скорости летательного аппарата V показана на рис. 2 и определяется двумя углами — пространственным углом атаки ап (угол между продольной осью ОХ и вектором скорости Ї? всегда положительный) и аэродинамическим углом крена <р„ (угол между нормальной осью ОУ и осью ОУп положительный, если ось ОУ„ совмещается с осью ОУ поворотом вокруг оси ОХ по часовой стрелке). Пространственный угол атаки а„ и аэродинамический угол крена фп определяются через проекции вектора скорости Г на оси связанной системы координат Ух, Уу, Уг из соотношений (см. рис. 3,а) :

ф.= — тг-

(1)

Отклонение аэродинамических органов управления летательных аппаратов будем определять тремя эквивалентными углами — углом отклонения рулой высоты 6В, углом отклонения рулей направления 6Н и углом отклонения элеронов 6Э, предназначенными соответственно для создания управляющих воздействий в каналах тангажа, рыскания и крена. В общем случае многоконсольных органов управления эквивалентные углы 6В, б„ и 6Э являются специальным образом составленными линейными комбинациями углов отклонений управляющих консолей. Знаки эквивалентных углов отклонений органов управления можно определить по соответствующим приращениям аэродинамических силовых воздействий при а„ = 0: угол 6„ положительный, если управляющая сила в канале тангажа А (&*) положительная; угол 6Н положительный, если управляющая сила в канале рыскания А#г (6Н) отрицательная; угол 6, положительный, если управляющий момент крена АМх (6Э) отрицательный. Схематический пример, йллюстрирующий указанное правило, показан на рис. 3,6.

Будем использовать введенное в работах [1, 2] векторное представление углов атаки и углов отклонения рулей на плоскости ОУ1.

Вектором угла атаки летательного аппарата будем называть вектор а, полярными координатами которого относительно полюса в точке О и полярной

У

п

Рис. 4

оси 01 являются величина пространственного угла атаки а„ и аэродинамический угол крена фп (рис. 4).

Вектором управления летательного аппарата будем называть вектор 6, координаты которого по осям 01 и О К связанной системы координат соответственно численно равны эквивалентным углам отклонения рулей высоты 6„ и направления 6Н. Определим также проекции вектора управления § на оси 01 п и ОУа связанной с пространственным углом атаки системы координат, обозначив их соответственно 6П и 6в (см. рис. 4):

Для рассматриваемого класса маневренных летательных аппаратов в достаточно общем случае функциональные зависимости аэродинамических характеристик от кинематических параметров представляются в виде суммы статических и динамических составляющих [1]. Статические составляющие аэродинамических характеристик зависят от кинематических параметров пространственного движения, определяемых ориентацией вектора скорости и углами отклонения органов управления. Динамические составляющие аэродинамических характеристик зависят от угловых скоростей вращения аппарата, причем на практике динамическими составляющими аэродинамических сил обычно пренебрегают как несущественными, а динамические составляющие аэродинамических моментов—демпфирующие моменты принимают линейно зависящими только от одноименных угловых скоростей, и параметры этих зависимостей (коэффициенты вращательных производных т"', т"» и т“г) определяются в большинстве случаев приближенно расчетным путем.

С учетом сказанного р дальнейшем ограничимся рассмотрением статических составляющих коэффициентов аэродинамических сил и моментов, представив их общие функциональные зависимости от кинематических параметров пространственного движения при ап Ф 0 в связанной с пространственным углом атаки системе координат в виде

где а„, ф„ — определяются проекциями вектора скорости аппарата из соотношений (1): б„, 66 — определяются эквивалентными углами отклонения рулей высоты и направления из соотношения (2), 6Э — эквивалентный угол отклонения элеронов.

б„ = 6„ С05 ф„ + б„ фп 6б = 6Н сое Ф„ — 6В вт Ф„

(2)

(3)

2. Свойства функциональных зависимостей аэродинамических коэффициентов. Функциональные зависимости аэродинамических сил и моментов от кинематических параметров пространственного движения обладают некоторыми общими свойствами, являющимися следствием геометрической симметрии конфигураций летательных аппаратов. Рассмотрим эти свойства применительно к функциональным зависимостям статических составляющих аэродинамических коэффициентов, определяемых выражением (3).

Свойства обусловленные зеркальной симметрией. При изменениях кинематических параметров движения летательного аппарата, соответствующих зеркальному отображению векторов угла атаки а и управления § относительно плоскости, перпендикулярной к плоскости зеркальной симметрии аппарата, и смене знака угла отклонения элеронов 6Э, статические составляющие главного вектора аэродинамических сил /? отображаются относительно плоскости симметрии, а главного момента аэродинамических сил М отображаются относительно плоскости, перпендикулярной к плоскости симметрии.

Ориентацию плоскости зеркальной симметрии аппарата относительно плоскости ОХУ будем определять углом фзс, положительным при совмещении плоскости симметрии с плоскостью ОХУ поворотом вокруг продольной оси ОХ по часовой стрелке, если смотреть в направлении оси ОХ.

Схематическая интерпретация свойств, обусловленных зеркальной симметрией, на примере летательного аппарата крестообразной конфигурации, симметричной относительно биссекторной плоскости крыла (ф3 с = 45°) показана на рис. 5, где а — схема конфигурации и реализуемых параметров а(ап, ф„), ${8„, 8б), 6Э и схема соответствующих аэродинамических сил /?*, /?„ (/?вп, /?гп) и моментов Мх, Л?„ (Муп, Мгп) до отображения; б — схемы конфигурации и тех же самых физических величин, обозначенных штрихами, после отображения. Равные по величинам углы на схемах а и б, определяющие зеркальное отображение векторов, обозначены метками.

Из данного определения и его схематической иллюстрации на рис. 5 можно установить следующие соотношения между кинематическими параметрами и составляющими аэродинамических сил и моментов до и после отображения:

< = ап> фп = 2 Фз.с — Фп.

б'6=-бб, 6' = — 8,

и

К'х — Куп = Куп >

М'х=-Мх, М'Уп=-МУп, М'гл = Мгп.

Откуда следует, что функциональные зависимости статических составляющих аэродинамических коэффициентов (3) для летательных аппаратов, конфигурации которых обладают зеркальной симметрией, должны удовлетворять следующим соотношениям:

^(«п. Фп. 6„. 66, 6Э) = х/7 (а„, 2«Рзс — <рп, бп, —бб, —бэ), (4)

где

П для сх, сУа, тгп,

1 Для с2п, тх, тУп.

Свойства, обусловленные осевой симметрией. При изменениях кинематических параметров движения^ летательного аппарата, соответствующих повороту векторов угла атаки а и управления § относительно оси симметрии на углы, кратные 2л/п (п — порядок осевой симметрии), и сохранении значения угла отклонения элеронов 6Э статические составляющие главного вектора аэродинамических сил В и главного момента Л? поворачиваются относительно оси симметрии на те же углы.

Возможные изменения ориентации векторов а и § при их повороте относительно оси симметрии (продольной оси ОХ) будем определять углами <рос = 2яЛ/л, Л= 1, 2

Схематическая интерпретация свойств, обусловленных зеркальной симметрией, на примере летательного аппарата с дугообразным четырехконсольным крылом (п = 4) показана^а рис. 6, где а — схема конфигурации и реализуемых параметров а(а„, <рп), £(6П, 66), 6Э и схема соответствующих аэродинамических сил /?*, Йп {Яу„, Яг„) и .моментов Мх, М„(Муп, Мгп) до поворота, а б —схемы конфигурации и тех же самых физических величин, обозначенных штрихами, после поворота относительно продольной оси на угол ср0 с = 90°. Равные по величинам углы на схемах а и б, определяющие поворот векторов, обозначены метками.

Из данного определения и его схематической иллюстрации на рис. 6 можно установить следующие соотношения между кинематическими параметрами и составляющими аэродинамических сил и моментов до и после поворота:

<=<*„. фп=фо.с + фп.

6'П = 6„, б' = б6, б;=б,

и

Ях'= /?х, Ку„= Ку„’ Кгп— Кгп>

М'Х = МХ, М'п = МУп, М'п = Мгп.

Откуда следует, что функциональные зависимости статических составляющих аэродинамических коэффициентов сх, сУп,...,шгп (3) для летательных аппаратов, конфигурации которых обладают осевой симметрией, должны удовлетворять соотношению:

Р («!.• Фп. б„. 6б, 6Э) = /=■(<*„, Фо.с + Фп. 6П. А. в,) . (5)

Для симметричных летательных аппаратов, конфигурации которых обладают одновременно и зеркальной и осевой симметрией, функциональные зависимости статических составляющих аэродинамических коэффициентов очевидно должны удовлетворять свойствам, определяемым соотношениями (4) и (5). При этом поскольку.для аппаратов таких конфигураций число плоскостей зеркальной симметрии равно порядку осевой симметрии п, то в соотношениях (4) и (5) необходимо полагать:

фз.с = уфо.с= * =1.2.....П. (6)

3. Математическое описание многомерных функциональных зависимостей аэродинамических коэффициентов. В общем случае при постоянных значениях пространственного угла атаки а„ и фиксированных произвольно отклоненных органах управления летательных аппаратов аэродинамические коэффициенты, определяемые выражениями (3), представляют собой некоторые периодические функции с периодом 2л аргумента <рп и,следовательно, могут быть представлены в виде тригонометрических рядов по этому аргументу. Если далее предположить, что рассматриваемые аэродинамические коэффициенты в эксплуатационном диапазоне изменения углов отклонения органов управления являются аналитическими функциями аргументов б„, б6 и 6Э (что является, вообще говоря, определенным допущением), т. е. могут быть представлены в виде кратных степенных рядов по этим аргументам, то многомерные функциональные зависимости аэродинамических коэффициентов (3) можно описать в виде следующих смешанных рядов:

оо

f(“n. Фп. вп. бб. б,) = £ [ Ap q r s(а„) cos РФ„ -I- Bp q r s{а„) sin рф„] 6^6*. (7)

p,q,r,s — О

Очевидно, что математическое описание функциональных зависимостей аэродинамических коэффициентов в виде рядов (7) в общем случае должно удовлетворять свойствам, обусловленным геометрической симметрией конфигураций летательных аппаратов. Удовлетворение свойствам симметрии налагает определенные условия на вид общих членов рядов (7). Рассмотрим эти условия.

Для летательных аппаратов, конфигурации которых обладают зеркальной симметрией, свойства функциональных зависимостей аэродинамических коэффициентов (4) определяют следующие тождественные равенства рядов (7):

£ [ Ар-яЛ*«) C0S РФП + 5М,лД«п) Sin РФп] =

p.q.rj = О

оо

= * Z [Ap.g.rÁ0*) C0S Р{— Фп + 2Фз.с) +

+ “Лsin К-Фп + 2ф3,)](- \у+*тк

Как видно, выполнение этого равенства при произвольных значениях фп, 6„, бб и 6, имеет место при условии

Ap.4,r.s К) cosp ф„ + Bp^r.s К) sin р ф„ =

= * (- 1)r+s[AP,4.r,s К) eos р (— ф„ + 2фзс) +

-4- Bp,q,r.s(a,¡) sin р (— ф„ + 2фзс) ]. (8)

С учетом (8) можно выполнить следующие преобразования сомножителей общих членов рядов (7):

, Ар,ч,r,s (а„) cospфп + Вр,ч.гЛап) sin р фп =

= -2^Ap,q.r,s (а„) [соврфп + * ( l)r+scosp (—фп + 2фзс) ] +

+ BpjS'S (<Хп) [зтрфп + х (— 1)'+Ssinp(- фп4-2фз.с)1 } =

= у [1 +54 (- í)r+s] [Ap.q.r¿ (ап) cosp ф3 с + (9)

+ Bp,q,r,s {aj sinРфз с] cosp (ф„ — фз с) + 4 + у [1 — х *)'+Ч [— Ap.q.r.s К) втрфз., +

+ Bp,4,r,s (а„) соврфз с] sinp (фп — фз с).

Введя обозначения

aP.q.r.s (а„) = Ap,q.r,s К) соврфз с + Bp,q,r,s (aj sinp93C, bp.q.r.* (а„) = — Ap,q,r,s (а„) этрфз, + Bp,q,r,s (а„) соврф,,

на основании выражений (7) и (9), функциональные зависимости статических

составляющих аэродинамических коэффициентов сх, сУп....................тгп летательных

аппаратов с зеркальной симметрией конфигураций могут быть описаны в виде

^(«П. Фп. S„, 66, бэ) = £ т{1 1 + Х(~ 1)r+Sí °Р.яЛаn) C0S К<Рп - Фз с) +

p,q,r,s=О

+ [l-x(-l)r+s] 6р.,^(ап)8тр(фп-фз.с)}б’б;б:, (10)

П для сх, сУа, т2„, х \—1 для с/пп, тх, тУп.

Для летательных аппаратов, конфигурации которых обладают осевой симметрией, свойства функциональных зависимостей аэродинамических коэффициентов (5) определяют следующие тождественные равенства рядов (7):

оо

X [ Ap.i.rÁ**)cos Wn + ВР.яЛа«) sin РФп] ЬЖ = p,qtr,s—О

оо

= Z [ АРл.'.Ла«) cos Кфос + фп) + Вр.я.гХап) sin р(ф0с + фп)] 6ДО’.

p,q,r,s — О

Как видно, выполнение этого равенства при произвольных значениях ф„, 0„, ôe и 6Э имеет место при условии

Рфос = 2лт, т = 0,1,2,....

А так как по определению фос = 2лk/n (k= 1,2,..., я), где п — порядок осевой симметрии, то полученное условие можно записать в виде

р = пт, т = 0,1,2,.... (И)

На основании выражений (7) и (11) функциональные зависимости статических составляющих аэродинамических коэффициентов сх, су , ..., mZn летательных аппаратов с осевой симметрией конфигураций могут быть описаны в виде

оо

^(«п, Фп. ôn, ôe, 0Э) = £ [ Anmq¡rl а„) cos лтфп +

m,q,r,s=0

+ ап) sin п/Пфп] ô’ô'ô* . (12)

Для летательных аппаратов, конфигурации которых обладают одновременно зеркальной и осевой симметрией, для рядов (7) необходимо обеспечить совместное выполнение условий (8) и (11) с учетом соотношения (6), являющегося, как было указано выше, следствием равенства числа плоскостей зеркальной Симметрии порядку осевой симметрии п. При этом, как несложно показать, для сомножителей общих членов рядов (7) имеет место

Ap,q,r,s (а„) cosрфп + Bp,q,r,s,(cL„) sin/Эф,, =

= у[1 + х(— l)'+s] Anm,q,r.s (aj cosfimq>„ +

+ у[1 — x(— l)r+S] Bnm,q,r,s (On) sinnm^n. (13)

Ha основании выражений (7) и (13) функциональные зависимости статических составляющих аэродинамических коэффициентов сх, суп, ..., mZn летательных аппаратов симметричных конфигураций могут быть описаны в виде

оо

^(<*п. Фп. &й. «в. бэ) — Y, ^~ ^ Л^яЛаn) COS "m<P" +

m,q,r,s=0

+ [ 1 - х(- 1)'+I] B^lоц.) sin П/Пфй} , (14)

х =

{

1 для сх, сУп, тХа, — 1 для с2а, тх, тУа

В заключение отметим, что полученные выражения (10), (12), (14) в единообразной форме описывают функциональные зависимости статических составляющих аэродинамических коэффициентов для летательных аппаратов, обладающих всеми возможными видами симметрии конфигураций. Единообразие формы описания достигается за счет определения аэродинамических коэффициентов и кинематических параметров их функциональных зависимостей в системе координат, связанной с пространственным углом атаки.

Очевидно, что для целей практического использования, в частности для построения эмпирических математических моделей^ аэродинамические коэффициенты следует представлять в виде отрезков соответствующих рядов (10), (12) или (14), т. е. в виде обобщенных полиномов. При этом обобщенные полиномы будут являться аналитическими выражениями от аэродинамического угла крена <рп и углов отклонения рулей высоты б„, направления 6Н и элеронов б,. Коэффициенты обобщенных полиномов — параметры математических моделей аэродинамических коэффициентов будут функциями пространственного угла атаки а„. Такая структура представления аэродинамических коэффициентов адекватна традиционно проводимым в аэродинамических трубах исследованиям пространственного обтекания, где аэродинамические коэффициенты определяются при различных фиксированных значениях параметров Фп> б,, бн, б, как функции угла а„. Указанное соответствие позволяет проводить определение параметров математических моделей аэродинамических коэффициентов непосредственно на основе аппроксимации (интерполяции) экспериментальных данных.

1. СвятодухВ. К. Динамика пространственного движения управляемых ракет.— М.: Машиностроение, 1969.

2. Лукошкин В. В. Анализ аэродинамических сил и моментов осесимметричных оперенных управляемых летательных аппаратов.— Труды ЦАГИ, 1978, вып. 1940.

3. Святодух В. К., Чернявский П. М. Динамика аппаратов с двухканальным управлением.— М.: Машиностроение, 1983.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 22/111 1991 г.