CC BY
40
ЭЛЕКТРОНИКА И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
УДК 621.385.01
В.Б. Байбурин, А.В. Юдин
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ СТЕПЕНИ ХАОТИЧНОСТИ ТРАЕКТОРИИ ЗАРЯДА
В МАГНИТНОЙ ЛОВУШКЕ
Проведено численное моделирование поведения заряженной частицы в магнитном поле ловушки открытого типа. Показано, что традиционно используемые критерии оценки степени хаотичности не работают в условиях полей магнитной ловушки. Предложен метод расчёта степени хаотичности, основанный на использовании фурье-спектров, позволяющий выявлять существование хаотических колебательных режимов в указанных условиях.
V.B. Bayburin, A.V. Yudin
ASSESSMENT CRITERIA OF CHAOTIC STATE OF CHARGE PATH
IN MAGNETIC TRAP
Numerical modeling of behavior of the charged particle in a magnetic field of an open trap is carried out. It is shown, that traditionally used assessment criteria of chaotic state don't work in conditions of fields of a magnetic trap. The method of calculation of chaotic state based on the power spectra is offered. It allows detecting an existence of chaotic oscillatory modes in the indicated conditions.
Факторы, влияющие на время удержания плазмы в магнитных ловушках, активно исследуются в первую очередь применительно к осуществлению управляемой реакции термоядерного синтеза [1, 2 и др.]. В работе [3] в качестве существенного фактора, влияющего на траекторию зарядов и, следовательно, время удержания плазмы, указано на эффект возникновения хаотических колебательных режимов в условиях магнитных полей, имеющих место в типичных конструкциях магнитных ловушек открытого типа.
В известной работе [4] уравнения движения заряда сводятся к одномерному уравнению возмущенного линейного осциллятора. В реальных устройствах траектории зарядов имеют трехмерный характер. В работе [5] показана возможность возникновения детерминированного хаоса в пространственно-неоднородном магнитном поле. Неоднородность магнитного поля, характерная для открытых ловушек, рассмотрена в работе [3].
Движение заряженной частицы в магнитном поле описывается уравнением:
dV e - -
BV = e (V X B) . (1)
dt m
В прямоугольной системе координат (х,у,г) уравнение (1) можно представить в виде:
й2 х = -{ В йу - Ву йг
йг2 йг у йг.
й2 у = В йг - В йх
йг2 т йг г йг
й2 г =-( В йх - В йу
йг2 т \ у йг йг
(2)
Системе (2) соответствует фазовое пространство с переменными х, у, г, Ух=йх/йг, Уу=йу/йг, Уг=йг/йг. Выражения для магнитного поля, характерного для открытых ловушек, будут различными, в зависимости от конструктивных параметров магнитной ловушки [1], и могут быть представлены, например, следующим образом:
I В 1=
В0, при
Втах , при
Во + (Втах - Во)
/ г/ < га; / г / > гь; ,1 г I - га 0 _
гЬ га
(
(В, г) = -а#
п-
С 8Ш Лу!
х2 + у2
В
(С 008 Л + +1)(гь - га)
В
(3)
I г I - г В
Л = п1 г 1 га ; С =- т
- —
гь - г
В
где (В, г) - угол между вектором магнитного поля и продольной осью магнитной ловушки; х,у,г - координаты точки пространства, в которой рассчитывается магнитное поле; га, гь - координаты начала и конца области «магнитного зеркала»; В0 - значение магнитного поля внутри ловушки; Втах - значение магнитного поля за пределами ловушки. Выражениям (3) соответствует магнитное поле, неоднородное по краям ловушки в области магнитных зеркал.
Продемонстрированное в работе [5] хаотическое поведение зарядов характерно для неоднородных условий (электрических и магнитных полей), в которых находится заряженная частица. Однако, согласно выражению (3), в области магнитной ловушки, где происходит инжекция частиц, магнитное поле однородно и определяется выражением:
В = егВо
(4)
где ег - единичный вектор, направленный вдоль продольной оси магнитной ловушки.
Тем не менее, в работе [3] показано, что и в этих условиях возможен динамический хаос, и возникновение хаотических колебательных режимов сокращает время удержания заряженных частиц в магнитной ловушке. Традиционно [4] для оценки степени хаотичности заряда используют расчёт показателей Ляпунова, который основан на скорости расхождения фазовых траекторий, стартующих при близких начальных условиях. Известно, что в однородном магнитном поле заряд совершает движения по спирали с радиусом, равным лармо-ровскому радиусу заряженной частицы:
Р =
т I У± I е I В I
(5)
В этих условиях при изменении начальных координат и скорости инжекции заряженных частиц фазовые траектории не будут расходиться вообще - изменится лишь радиус и
а
сместится ось спирали, по которой движется частица. Таким образом, расчёт ляпуновских показателей не позволит зафиксировать возникновение хаоса в рассматриваемой системе.
Особенности движения зарядов в магнитной ловушке открытого типа таковы, что качественное влияние на траекторию оказывает, прежде всего, поведение заряженной частицы в области магнитного зеркала, где силовые линии магнитного поля неоднородны. Показано, что для различных фазовых траекторий отражение от магнитного зеркала будет происходить по-разному. После отражения частица может продолжить движение практически вдоль той же траектории, по которой она подошла к магнитному зеркалу, но только в обратном направлении (регулярная траектория), или же характеристики траектории после отражения существенно изменятся - траектория становится хаотической. Данный факт позволяет по-иному взглянуть на проблему оценки степени хаотичности траектории заряда.
ю ю
а б
Вид спектральных характеристик при различных параметрах системы
(60=0,5 Тл; Bmax=1 Тл; А0=0,01 м; Yo=Zo=0 м; Vx0 = -\V|sin а; Vyo=0; Vz0 = \v\cos а ; h=2za=0,1 м;
а=45°): а) регулярный режим (/ V / = 1000), б) хаотический режим (/ V / = 100000)
В качестве возможного критерия оценки степени хаотичности предложено [3] использовать расчёт числа экстремумов спектра мощности. Для различных частиц степень стоха-стичности траектории может варьироваться от регулярной и многочастотной до хаотической, и, в соответствии с этим, как показано на рисунке, будет увеличиваться число экстремумов в спектре. Для достижения подобного результата алгоритм расчёта спектра мощности должен учитывать особенности движения зарядов в неоднородном магнитном поле, в области магнитных зеркал. Если в качестве отсчётов, применяемых для вычисления спектра мощности, использовать просто одну из координат частицы, то в спектрах, рассчитанных для регулярной частицы, появятся дополнительные экстремумы, вызванные сложным характером движения частицы в области магнитных зеркал. Для расчета спектральных характеристик предложено использовать изменение ларморовского радиуса частицы вдоль соответствующей оси координат. Например:
е ■ V
/ = р , (6) I У± I
где р - ларморовский радиус (5); / - значение, вычисляемое в каждой точке траектории и используемое для расчета спектра мощности. Представленные на рисунке спектры мощности построены с учётом этой особенности.
Такой метод позволяет выявить хаотические траектории, которые при использовании других оценок могут быть приняты за регулярные. Использование данного метода позволило установить взаимосвязь между степенью хаотичности траектории и продолжительностью удержания частицы в ловушке.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рютов Д.Д. Открытые ловушки / Д.Д. Рютов // Успехи физических наук. 1988. Т. 154. № 4. С. 565-614.
2. Рожанский В.А. Удержание плазмы в магнитных ловушках / В.А. Рожанский // Со-росовский образовательный журнал. 2000. Т. 6. № 10. С. 80-86.
3. Байбурин В.Б. Влияние хаоса на время удержания заряженных частиц в магнитной ловушке / В.Б. Байбурин, А.В. Юдин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т. 13. № 1. С. 38-46.
4. Слабый хаос и квазирегулярные структуры / Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев, Д.А. Усиков, А.А. Черников. М.: Наука, 1991. 214 с.
5. Байбурин В.Б. Хаотическое поведение зарядов в скрещенных полях / В.Б. Байбурин, А.В. Юдин, А.О. Мантуров // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10. № 6. С. 62-70.
Байбурин Вил Бариевич -
доктор физико-мматематических наук, профессор, заведующий кафедрой «Программно-вычислительные системы» Саратовского государственного технического университета
Юдин Андрей Витальевич -
аспирант кафедры «Программно-вычислительные системы» Саратовского государственного технического университета
