CC BY
71
УДК.621.385.01
В.Б. Байбурин
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В СИСТЕМАХ СО СОКРЕЩЕННЫМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ И МАГНИТНЫМИ ПОЛЯМИ
Рассмотрены хаотические процессы в некоторых устройствах со скрещенными электрическими и магнитными полями. Показано в частности, что в магнитных ловушках открытого типа хаотизация траекторий зарядов приводит к их быстрому уходу из ловушки. Установлено, что в приборах магнетронного типа цилиндрической конструкции неустойчивость электронных траекторий является причиной аномального шума. Предложен метод количественной оценки шумов. Показано, что увеличение магнитного поля, как правило, приводит к регуляризации хаотических траекторий зарядов.
Скрещенные поля, траектория зарядов, устойчивость, хаотичность, шумы
V.B. Baiburin DYNAMICAL CHAOS IN CROSSING MAGNETIC AND ELECTRIC FIELDS SYSTEMS
Chaotic behavior in some crossing fields systems is considered in this paper. In particular, for magnetic traps of open type it is shown when chaotic behavior of charged particle is appeared this particle leaves the magnetic trap in short time.It is determined that the instability of the charged particle trajectory is the cause of anomalous noise in magnetron type devices of the cylindrical design. The method of evaluation of noise is presented. The phenomenon of the sign change of the charged particle drift is described. It is shown that as rule an increase in magnetic field leads to the transition from chaotic behavior to regular motion of charged particles.
Crossed fields, trajectory of charge, stability, chaotic nature, noise
В последние десятилетия методы нелинейной динамики находят всё большее распространение при исследовании динамических свойств систем самой различной природы [1-4]. При этом выявляются ранее не обнаруженные хаотические режимы, позволившие объяснить ряд эффектов и особенностей систем, которые до этого не имели приемлемой физической трактовки.
С этой точки зрения особый интерес вызывают задачи, связанные с движением заряженных частиц в скрещенных электрических и магнитных полях, в таких областях как астрофизика, физика ускорителей, СВЧ-электроника и др.
Дело в том, что характер траекторий заряженных частиц фактически определяет параметры (энергетические, частотные, шумовые и др.) многих устройств: приборов СВЧ, в частности магнетронного типа, магнитных плазменных ловушек и др. Решение задач в этих областях, как представляется, с одной стороны, будет содействовать более глубокому пониманию механизма физических процессов в отмеченных и аналогичных устройствах, а с другой - имеет самостоятельный интерес с точки зрения малоисследованных объектов теории динамических систем.
Известен ряд работ, посвященных теоретическому исследованию хаотического поведения зарядов в скрещенных полях: классические работы Г.М. Заславского, Р.З. Сагдеева, А.Усикова, А. А. Черникова и др. [5-7], работа С.В. Поршнева о движении заряда в магнитном поле земли [8]. Хаотические
режимы в магнетроне рассмотрены в теоретических и экспериментальных работах Г.Г. Соминского, В.Г. Усыченко, А.В. Смирнова, В.В.Малышева Э.В. Кальянова и др [9-11].
Вместе с тем анализ поведения зарядов в скрещенных электрических и магнитных полях далек от завершения. Отсутствуют сведения о динамике различных систем «заряд - скрещенные поля» в условиях специальных видов неоднородностей действующих полей и изменения их параметров.
В данной работе систематизированы некоторые результаты исследований, выполненных В.Б. Байбуриным с аспирантами и сотрудниками (А.О. Мантуров, А.В. Юдин, М.П. Беляев, К.Каминский,
Н.Ю. Хороводова), начиная с 2001 г.
При этом ввиду ограниченности объема статьи главное внимание уделено изложению физической стороны рассмотренных процессов. Детали расчетов: интервалы изменения входных данных, параметры дискретизации и т.п. указаны в цитируемых работах. В основе применённых математических моделей лежит общее уравнение движения зарядов в скрещенных полях:
- _ _ (1) где ?/ = д/т , с[ - заряд частицы, т - масса, V - вектор скорости, Е (л, у, г, Е) В(х,у, г, £) - соответственно векторы электрического и магнитного полей, в общем случае нелинейно зависящие от трехмерных координат и времени.
Одной из первых рассмотренных задач было численное моделирование поведения заряженной частицы в магнитном поле ловушки открытого типа [12] для установок термоядерного синтеза. Как известно, в ловушках открытого типа магнитное поле неоднородно и возрастает к краям ловушки в области так называемых магнитных зеркал. В этих областях продольная скорость частицы уменьшается за счет увеличения поперечной составляющей скорости и частица либо отражается от магнитного зеркала и движется в обратном направлении, либо покидает ловушку. Анализ проводился применительно к схеме ловушки открытого типа на рис. 1.
Рис.1. В прямоугольной системе координат указаны величина и направление вектора индукции магнитного поля магнитной ловушки открытого типа
В декартовой трехмерной системе координат (х,у,£) уравнения движения заряда представляются в следующем виде:
4 =
K, = i
Vy ~ y
VM = *
□
□
Численное решение системы (2) проводилось методом Рунге-Кутта /У порядка точности. Типичный вид траекторий зарядов представлен на рис. 2.
в г
Рис. 2. Типичные траектории зарядов для системы с магнитными зеркалами: а) регулярные траектории; б) регулярные траектории в увеличенном масштабе; в) хаотические траектории; г) вид на хаотические траектории со стороны оси 07 (вдоль линий магнитного поля)
[14-16]
Как показали расчеты, после отражения от зеркал в зависимости от скорости и угла выстрела частицы разделяются на две группы: движущихся по регулярной траектории (рис. 2 а,б) и движущихся по хаотической (рис. 2 в,г) траектории. При этом «регулярные» частицы сохраняют ларморовский радиус, прежнюю траекторию центра ларморовской орбиты и не покидают магнитную ловушку, испытывая многократные отражения от зеркал.
Для хаотических частиц характеристики траектории меняются существенно и непредсказуемо: ларморовский радиус может увеличиваться или уменьшаться в несколько раз, центр ларморовской спирали смещается в произвольном направлении. В итоге хаотически движущаяся частица достаточно быстро покидает ловушку. Расчеты показали, что длительное пребывание зарядов в ловушке возможно лишь при определенных значениях модуля вектора скорости выстрела заряда и угле выстрела а ~ 45 °, что соответствует значению а по известной эмпирической формуле [13] .
Одним из самых распространенных приборов магнетронного типа является многорезонаторный магнетрон, используемый как генератор мощных колебаний. Существенной особенностью магнетронов является так называемый «аномальный шум», уровень которого значительно превышает шумы других приборов СВЧ, в частности ЛБВ.
Различным аспектам этого вопроса посвящено значительное число публикаций (см., например, Ван Дузер, Д.Ц. Трубецков, Г.Г. Моносов, И.А. Каржавин, Г.С. Гундобин, В.И. Вислов, Усыченко,
Э.В.Кальянов, А.В. Смирнов, В.М. Малышев и др.), в которых предлагаются тот или иной механизм, та или иная модель возникновения шума. Общим недостатком известных работ является недостаточность
теоретических количественных оценок уровня аномального шума, основанных на предлагаемых механизмах и моделях шумовых явлений.
В [17-21] предложен механизм возникновения шума, основанный на численном анализе неустойчивости электронных траекторий и описывающий его хаотическую природу. Суть анализа заключается в следующем. Уравнение (1) записывается в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений в двумерной цилиндрической системе координат;
г = V
Кг = г\$ I Ег ПгУ<р, (3)
Ч-=
где Е , - компоненты электрического поля соответственно в радиальном и азимутальном направле-
нии; й=пР - циклотронная частота.
Для компонент электрического поля магнетрона, работающего на п - виде колебаний можно записать:
Ев = Ей - Ец - Еоегсоз(0ф) эт([у0 5 = -5- £ ' _■ 1.У.
где Р - постоянная распределения, со - частота ВЧ поля, Ео - амплитуда ВЧ поля, Е - поле пространственного заряда
Е =______Ч&___
й т,ЧГа/0’
где Ыа - анодный потенциал, га - радиус анода, гс - радиус катода.
Для Ед в условиях ограничения эмиссии пространственным зарядом можно записать простые аналитические выражения [17]; в случае температурного ограничения эмиссии Е д=0.
Расчеты траекторий зарядов проводились для номинального режима восьмирезонаторного магнетрона соответственно условиям температурного ограничения эмиссии и ограничения эмиссии пространственным зарядом. При имитационном моделировании использовалось 5000 частиц. На рис. 3 показаны типичные траектории зарядов в обоих режимах. Сплошная и пунктирная линии на этих рисунках соответствуют траекториям, выходящим из одной точки на катоде, но имеющим небольшие различия в начальных скоростях (в пределах значения начальных скоростей вылета электронов из катода, не превышающих, как известно, 0,03-0,05 от скоростей бомбардировки анода).
Видно, что в режиме температурного ограничения эмиссии (рис. 3а) неустойчивость траектории (их расхождение) не успевает развиться. В режиме ограничения эмиссии пространственным зарядом (рис. 3б) заряды значительную часть времени проводят в малоскоростной прикатодной области и расходимость траекторий (пунктирной и сплошной) существенно больше.
Различие траекторий и скоростей в соответствии с теоремой Шокли-Рамо ведет к различным величинам тока наведенным зарядом движущимся по разным траекториям, а значит и ВЧ мощности; это обстоятельство и приводит к появлению шумовой компоненты. Отношение разностей ВЧ мощностей зарядов движущихся по сплошной и пунктирной траекториям к средней величине ВЧ мощности можно рассматривать как количественную оценку шума, связанного с отдельным зарядом. Проведенные расчеты с 5000 крупных частиц (зарядов) показали, что в режиме ограничения эмиссии пространственным зарядом, как и ожидалось, мощность шума на 30-40 Дб больше мощности шума в режиме ограничения эмиссии, что количественно согласуется с известными экспериментальными данными, в частности, полученными И.А.Каржавиным, Г.С. Гундобиным, В.И. Висловым, и подтверждает адекватность предложенной модели шумов. Отсюда вытекает и способ подавления шумов, заключающийся в создании условий, минимизирующих траекторный путь зарядов и время их нахождения в пространстве взаимодействия магнетрона. Такими способами, как показали расчеты, является специальный закон распределения магнитной индукции вдоль радиуса, либо использование азимутально-меняющейся магнитной индукции [18,19]. Эти способы обеспечивают уменьшение шумов на 30-40 Дб.
2 -1.5 -1 -0.5 □ 0 5 1 1.5 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
а б
Рис. 3.Траектория заряда: а - в режиме температурного ограничения эмиссии, б - в режиме ограничения эмиссии пространственным зарядом В [21,23] исследовалось влияние меняющейся по экспоненте вдоль радиуса магнитной индукции в магнетронном диоде и многорезонаторном магнетроне и обнаружен эффект смены знака дрейфа заряженной частицы. Зададим экспоненциальный закон изменения циклотронной частоты Q (а следовательно и магнитной индукции):
Q(r) = Q о exp (or), ( 4 )
где а - некоторая константа.
На рис. 4 представлена схема магнетрона и типичная траектория заряда в номинальном режиме генерации с магнитной индукцией, меняющейся по закону (4).
-4-3-2-101234
Рис. 4. Траектория заряда в магнетроне с магнитным полем, изменяющемся согласно (3)
Стрелками показаны направления дрейфа. При заданном законе изменения магнитной индукции вблизи катода имеет место электрический дрейф, скорость которого, как известно, равна Er/B (стрелка по часовому ходу) и соответствует условию синхронизма скоростей ВЧ волны и зарядов. Однако под действием тангенциальной составляющей высокочастотного поля циклоида сдвигается к аноду и попадает в область существенно неоднородного магнитного поля, здесь начинает преобладать так называемый магнитный дрейф (против часовой стрелки) пропорциональный grad B/B. Участок, отмеченный на рис. 4 квадратом, соответствует области, где скорости двух видов дрейфа сравниваются. Естественно, при этом условия синхронизма электронов с высокочастотной волной нарушаются, что приводит к лавинообразному срыву генерации. На рис. 5 показана форма электронного облака (5000 частиц), соответствующая изложенному механизму срыва генерации. Видно, что электроны не долетают до анода.
Изложенный эффект целесообразно учитывать при проектировании магнетронов с меняющимся вдоль радиуса магнитным полем, вводимым, в частности, для увеличении КПД [22].
В [23-28] проведен анализ движения зарядов при некоторых практически важных распределениях действующих постоянных и переменных во времени полей.
В режиме циклотронных колебаний неразрезного магнетронного диода [26-29] показаны неустойчивость траекторий движения и радиальная неоднородность плотности пространственного заряда при однородной эмиссии. Установлено, что в условиях постоянных во времени азимутально-неоднородного магнитного поля и радиального электрического поля для, зарядов стартующих из области сильного магнитного поля, характерны близкие к регулярным режимы движения, а хаотические наблюдаются для зарядов, стартующих из области слабого магнитного поля.
Показано, что в условиях постоянных во времени однородного магнитного поля и азимутально-неоднородного электрического поля увеличение числа периодов азимутального изменения электрического поля приводит к усилению хаотичности движения зарядов.
(¿•■'•Ч..-'.; 1
\ •' у- ¿V
/
Рис. 5. Форма электронного облака при магнитном поле, изменяющемся согласно (3)
В [23-25] показано, что при электрическом поле стоячей волны и гармонически изменяющемся в пространстве магнитном поле степень хаотичности уменьшается с увеличением циклотронной частоты и имеет место периодичность областей хаотического и регулярного движений, связанная с периодичностью стоячей волны с периодичностью изменения магнитного поля. Показано также, что при электрическом поле стоячей волны желобковом магнитном поле происходит регуляризация хаотических траекторий по мере движения в сторону сильного магнитного поля.
Численное моделирование траекторий движения заряженных частиц подтвердило предсказанные приближенными аналитическими методами в работах Л.А.Вайнштейна, Д.Е.Ваймана [30] наличие малых нерезонансных осцилляций: эластичность основной орбиты, медленное изменение размеров орбиты, наличие эпициклов, дополнительный дрейф центра основной орбиты из-за нелинейности поля.
Следует отметить, что во всех рассмотренных в данной работе случаях увеличенное магнитное поле приводило либо к уменьшению хаотичности траекторий, либо к их полной регуляризации, т.е. к циклоидальным траекториям.
ЛИТЕРАТУРА
1. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах / В.С. Анищенко. М: Наука,
1990.
2. Мун Ф. Хаотические колебания / Ф. Мун. М: Мир, 1990. 312 с.
3. Анищенко В.С. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем / В.С. Ани-щенко, Т.Е. Вадивасова, В.В. Астахов. Саратов: Изд - во Сарат. ун-та, 1999. 368 с.
4. Рабинович М. Введение в теорию колебаний и волн / М. Рабинович, Д.И. Трубецков. М: Ижевск, 2000. 312 с.
5. Заславский Г.М. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса / Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев. М: Наука, 1988.
6. Заславский Г.М. Слабый хаос и квазирегулярные структуры / Г.М. Заславский, Р.З. Саг-деев, Д.А. Усиков, А.А. Черников. М: Наука, 1991. 237 с.
7. Минимальный хаос, стохастическая паутина и структуры с симметрией типа «квазикристалл» / Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. // Успехи физических наук. 1988. Т. 156. №2. С.193-251.
8. Поршнев С.В. Динамическая неустойчивость движения заряженных частиц в постоянном неоднородном магнитном поле / С.В. Поршнев // Журнал радиоэлектроники. 2000. №11.
9. Бондарцов Г.И. Исследование аксиальных колебаний пространственного заряда в усилителе со скрещенными полями / Г.И. Бондарцов, Г.Г. Соминский. // ЖТФ, 1975. Т. 45. №8. С. 16641668.
10. Смирнов А.В. Возникновение хаоса и избыточного шума в магнетроне / А.В. Смирнов, В.Г. Усыченко. // Радиотехника и электроника. 1988. Т. 33. №4. 883 с.
11. Кальянов Э.В. Хаотизация колебаний в митроне / Э.В. Кальянов. // Письма в ЖТФ. 2005. Т.31. №6. С. 79-83.
12. Рютов Д.Д. Открытие ловушки / Д. Д. Рютов // УФН. 1988. Т.154. №4. 565 с.
13. Арцимович Л. А. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях / Л. А. Арцимович, С.Ю. Лукьянов. М: Наука, 1978.
14. Юдин А.В. Хаотическое поведение зарядов в скрещенных полях / В.Б. Байбурин, А.О. Мантуров, А.В. Юдин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10. №6. С. 62-70.
15. Юдин А.В. Влияние хаоса на время удержания заряженных частиц в магнитной ловушке / В.Б. Байбурин, А.В. Юдин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т. 13. № 1-2. С. 38-46.
16. Юдин А.В. Критерии оценки степени хаотичности траектории заряда в магнитной ловушке / В.Б. Байбурин, А.В. Юдин // Вестник СГТУ. 2005. №3. С. 100-104.
17. Каминский К.В. Неустойчивость электронных траекторий и шумы в многорезонатор-ном магнетроне / В.Б. Байбурин, К.В. Каминский // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15. №6. С. 22-28.
18. Каминский К.В. Влияние условия равенства дрейфовой скорости зарядов и фазовой
скорости волны на шумы в многорезонаторном магнетроне / В.Б. Байбурин, К.В.Каминский // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т.16. №4. С. 21-25.
19. Каминский К.В. Математическая модель анализа механизма шумов в многорезонаторном магнетроне / К.В. Каминский // Вестник СГТУ. 2009. №3. С. 108-111.
20. Каминский К.В Влияние азимутально-неоднородного магнитного поля на шумы в многорезонаторном магнетроне / В.Б. Байбурин, К.В. Каминский // Письма ЖТФ. 2009. Т. 35. Вып. 12. С. 90-94.
21. Каминский К.В Эффект смены знака дрейфа зарядов в многорезонаторном магнетроне / В.Б. Байбурин, К.В. Каминский, М.П. Беляев // Письма в ЖТФ. 2009. Т. 35. Вып. 19. С. 37-43.
22. Байбурин В.Б. Влияние неоднородного вдоль радиуса магнитного поля на выходные параметры магнетрона / С.Т. Умнов, С.И. Ширигин // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. Вып. II (321).
23. Беляев М.П. Исследование хаотических и регулярных траекторий зарядов в переменном электрическом и радиальном магнитном полях / В.Б. Байбурин, М.П. Беляев // Вопросы прикладной физики: межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.12. С. 99-102.
24. Беляев М.П. Вейвлетный анализ движения заряда в переменном электрическом и магнитном полях / В.Б. Байбурин, М.П. Беляев // Вестник СГТУ. 2008. №3. Вып.2. С. 81-87.
25. Беляев М.П. Хаотическое поведение заряда в скрещенных электрическом и желобковом магнитных полях / В.Б. Байбурин, М.П. Беляев // Электромагнитные волны и электронные системы. 2004. Т.9. №6. С. 111-113.
26. Хороводова Н.Ю. Хаотические режимы в магнетронном диоде с пространственно неоднородными электрическими и магнитными полями / Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин // Вестник СГТУ. 2005. №1(6). С. 103-108.
27. Хороводова Н.Ю. Влияние азимутально-неоднородного магнитного поля на характре движения зарядов в магнетронном диоде / М.А. Кудимов, Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин // Вестник СГТУ. 2007. 1(21). Вып.1. С. 111-116.
28. Хороводова Н.Ю. Исследование хаотичности движения зарядов в магнетронном диоде / Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин // Элементы и устройства систем низких и сверхвысоких частот: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2004. С. 67-70.
29. Хороводова Н.Ю. Влияние поля пространственного заряда на устойчивость движения зарядов в магнетронном диоде / Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин // Радиотехника и связь: материалы Четвёртой Междунар. науч. техн. конф. Саратов: СГТУ, 2007. С. 274-279.
30. Вайнштейн Л. А. Разделение частот в теории колебаний и волн / Л. А. Вайнштейн, Д.Е. Вакман. М.:Наука; Физматлит, 1983 г.
Байбурин Вил Бариевич -доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, академик РАЕН, заведующий кафедрой «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», Саратовского Государственного технического университета им Гагарина Ю.А.
Baiburin Vil Barievich -
doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Honored Worker of Science, Academy of Natural Sciences, Head of Department "Software of computer technology and automated systems" Saratov State Technical University
