CC BY
54
УДК 621.385.01
К.В. Каминский
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛИЗА МЕХАНИЗМА ШУМОВ В МНОГОРЕЗОНАТОРНОМ МАГНЕТРОНЕ
Представлена математическая модель анализа электронных траекторий и оценки уровня шумов в многорезонаторном магнетроне. Установлено, что в режиме ограничения эмиссии пространственным зарядом наблюдается большая хаотичность траекторий зарядов, что, как показали расчеты, может являться причиной «аномального» шума.
Математическое моделирование, аномальный шум, магнетрон, цик-лоидальность траекторий.
K.V. Kaminsky MATHEMATICAL MODEL FOR NOISE MECHANISM ANALYSIS IN MULTICAVITY MAGNETRON
A mathematical model for electron trajectories analysis and noise level estimation is introduced. We discover the greater chaos of trajectories to be in a spatial charge emission limitation regime; as calculations show this phenomenon may cause the abnormal noise to appear in devices of magnetron type.
Mathematical modeling, abnormal noise, magnetron, cycloid trajectories.
Одним из наиболее распространенных приборов магнетронного типа является много-резонаторный магнетрон, используемый как генератор мощных электромагнитных колебаний. Существенной особенностью работы многорезонаторных магнетронов является так называемый «аномальный» шум, уровень которого значительно превышает шумы других приборов СВЧ, в частности, ЛБВ. Различным аспектам этого вопроса посвящено значительное число публикаций [1-3], однако природа аномального шума до сих пор полностью не ясна.
Предпринимаются попытки создания различных математических моделей для описания работы приборов М-типа с целью установления природы аномального шума и оценки его величины [2, 3]. Однако отмечается, что предложенные модели либо предназначены для качественного описания процессов в приборах М-типа и не могут быть использованы для количественной оценки величины шума [2], либо имеют количественное расхождение с экспериментом [3].
В связи с изложенным представляется целесообразным рассмотреть математическую модель, основанную на расчете траекторий зарядов и наведенных зарядами токов, а также использовании методов нелинейной динамики для оценки устойчивости траекторий.
Как известно, уравнения движения зарядов в многорезонаторном магнетроне в двумерном случае в полярной системе координат (r, ф) можно записать в виде:
г = уг,
Ф = уф,
уг = ™Ф + Ег -ОгУф, (1)
и Л1
у = —£2у Н-----Е — 2—уу
Ф г 1 *.2 Ф „ гк Ф’
ГГ г
где Ег и Еф - компоненты электрического поля в радиальном и азимутальном направлении соответственно; О = цВ - циклотронная частота; ц = е / да, В - магнитная индукция.
Для определенности рассмотрим восьмирезонаторный магнетрон, работающий в режиме, при котором два соседних резонатора колеблются в противофазе, то есть с фазовым сдвигом л, так называемый л-вид колебаний. Тогда для компонент поля можно записать следующие уравнения:
|Ег = Еа + Еч + ЕоеГ совфФ) йЦш їX [Еф = — Е0 ег 8Іп(Рф)8Іп(шї),
где Р - постоянная распространения; ш - частота высокочастотного поля; Е0 - амплитуда высокочастотного поля; Ей и Еч - постоянное электрическое поле в магнетроне и поле пространственного заряда соответственно.
Для Ей можно записать
Е„ (г) = ^, (3)
Г
где ио = —и-, иа - анодное напряжение.
ІП (га / гс )
При рассмотрении режима температурного ограничения эмиссии полем пространственного заряда можно пренебречь, поэтому в этом случае полагалось Еч = 0.
В режиме ограничения эмиссии пространственным зарядом, как известно, поле пространственного заряда на катоде равно постоянному электрическому полю на катоде и противоположно ему по знаку. Кроме того, как показывают многочисленные расчеты на численных моделях, основная часть пространственного заряда сосредоточена в так называемой цилиндрической «втулке».
Учитывая отмеченные обстоятельства, можно записать простые аналитические выражения для поля пространственного заряда втулки в следующем виде
— ЕС (гс ) + 2ЕС (гс )(г г ) , при гс< г < ^
г — г
0 с (4)
и0 У '
—0--------, при г0 < г < га ,
г — (г0 — гс )
где гс - радиус катода; га - радиус анода; г0 - радиус верхней границы втулки.
В расчетах значения безразмерных параметров в уравнениях (1)-(4) были заданы соответствующим стационарным номинальным режимом работы многорезонаторного магнетрона. При имитационном моделировании использовались 5000 крупных частиц. Уравнения движения решались методом Рунге - Кутта 4-го порядка точности с шагом интегрирования
0,005 для каждой крупной частицы.
На рис. 1, 2 представлены типичные траектории зарядов для режимов температурного ограничения и ограничения пространственным зарядом соответственно.
Сплошная и пунктирная линии на этих рисунках соответствуют траекториям, выходящим из одной точки на катоде, но имеющим небольшие различия в начальных скоростях (в пределах значений начальных скоростей вылета электронов из катода, не превышающих, как известно, 0,03-0,05 от скоростей бомбардировки анода). Из сравнения траекторий на
рис. 1 и 2 видно, что в режиме ограничения эмиссии пространственного заряда заряды значительную часть времени проводят в малоскоростной прикатодной области, для которой, в частности, хаотичность траектории выше.
Рассчитанная для каждой из траекторий автокорреляционная функция является спадающей, старший ляпуновский показатель положителен, причем для режима ограничения эмиссии пространственным зарядом старший показатель Ляпунова почти в 2 раза больше.
Заряд во время пролета взаимодействует с замедленной высокочастотной волной, отдавая ей свою потенциальную энергию. При этом из рассмотрения траекторий в указанных режимах можно сделать вывод, что наведенный ток в соответствии с теоремой Шокли-Рамо от разных траекторий будет различным. Основываясь на расчете наведенных токов, был предложен метод оценки уровня шумов.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Рис. 1. Траектория заряда в режиме температурного ограничения эмиссии
Рассмотрим отдельный заряд qг, эмитируемый катодом с некоторой начальной (в том числе нулевой) скоростью. Двигаясь в условиях действующих полей (магнитных и электрических), заряд создает некоторую величину наведенного тока Гн (наведенной ВЧ-
мощности PH ) в резонаторной системе магнетрона, по существу определяемой траекторией заряда. Даже при весьма малом изменении начальной скорости, как показывают расчеты, траектория заряда смещается (рис. 5). Соответственно изменяется величина наведенного тока и величина наведенной ВЧ-мощности, пропорциональной квадрату наведенного тока. Отношение разности наведенных токов (ВЧ-мощностей) к средней величине наведенного тока (ВЧ-мощности) можно рассматривать как количественную оценку шума, связанную с отдельным зарядом.
В расчетах использовалось N = 5000 зарядов (крупных частиц), для каждого из них рассчитывались наведенный ток Г'н 0 и ВЧ-мощность Рнг0 при нулевых начальных скоростях.
Затем для каждого из зарядов рассчитывались наведенный ток Г'нМ и ВЧ-мощность РгнМ при максимальных величинах начальных скоростей, составляющих обычно 0,03-0,05 от скорости бомбардировки анода. Эти результаты суммировались по всем зарядам, что определяло наведенные токи и ВЧ-мощность, создаваемые всеми зарядами.
Величину шума 8, создаваемого всем множеством зарядов, в дБ, можно оценить по формуле
2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Рис. 2. Траектория заряда в режиме ограничения эмиссии пространственным зарядом
, где P'H
___ i=1
2
Проведенные расчеты показали, что в режиме ограничения эмиссии пространственным зарядом мощность шума на 30-40 дБ больше мощности шума в режиме ограничения эмиссии температурой, что количественно согласуется с экспериментальными данными, полученными в работе [1].
Описанный метод был также применен для анализа влияния циклоидальности электронных траекторий на уровень шума. Одной из важнейших характерных особенностей электронных траекторий в приборах М-типа является их циклоидальность. Исходя из смысла теоремы Шокли - Рамо, можно ожидать, что величина тока, наведенного электронами по мере движения от катода к аноду, будет модулироваться с периодом, близким к циклотронному (из-за возвратного движения электронов по циклоиде), в то время как в случае гладкой адиабатической траектории нарастание наведенного тока в тех же условиях будет носить монотонный характер.
Проведенные расчеты показали, что адиабатическая траектория носит довольно гладкий характер, в то время как циклоидальная траектория имеет ряд участков возврата (см. рис. 1), в которых составляющие скорости меняют знак, наведенный ток в случае циклоидальной траектории испытывает существенно большую модуляцию по сравнению со случаем адиабатической траектории.
Был произведен расчет суммарного наведенного тока от 5000 крупных частиц. Для оценки влияния степени модуляции суммарного наведенного тока подсчитывалась сумма квадратов отклонения от прямой, соответствующей линейному изменению наведенного тока во времени. Расчеты показали, что логарифм отношения сумм квадратов отклонений наведенного тока от циклоидальных траекторий к сумме квадратов отклонений наведенного тока от адиабатических траекторий составляет величину, лежащую в пределах 7-10 дБ. Эту величину, по-видимому, можно принять за оценку величины шума, возникающего за счет цик-лоидальности траекторий.
Таким образом, количественная оценка аномального уровня шума, полученная с помощью математической модели в результате численного расчета, совпала с экспериментальными данными, что косвенно говорит о правильности сделанных допущений и выбранного метода расчета.
1. Каржавин И. А. Об аналогии шумовых процессов в приборах М-типа с центральным катодом и в магнетронных инжекторных пушках с длинной оптикой / И. А. Каржавин, Г.С. Гундобин, В.И. Вислов // Актуальные проблемы электронного приборостроения: материалы Междунар. науч.-техн. конф. Саратов: СГТУ, 2002. С. 149-152.
2. Riopoulos S.A. Feedback-induced noise in crossed field devices / S.A. Riopoulos // IEEE Trans. On Plasma Sci. 1992. Vol. 20. № 3. P. 360.
3. Сложная динамика и явления динамического хаоса в потоке заряженных частиц, формируемом магнетронно-инжекторной пушкой (численный и физический эксперимент) / Ю.А. Калинин, В.Н. Кожевников, А.Г. Лазерсон и др. // ЖТФ. 2000. Т. 70. Вып. 7. С. 83-91.
ЛИТЕРАТУРА
Каминский Константин Вячеславович - Kaminsky Konstantin Vyacheslavovich -
аспирант кафедры «Программное обеспечение Post-graduate student of the Department
вычислительной техники «Computer Engineering and Automation
и автоматизированных систем» Systems Software»
Саратовского государственного of Saratov State Technical University
технического университета
Статья поступила в редакцию 11.06.09, принята к опубликованию 17.07.09
