Хаотические режимы в магнетронном диоде с пространственно неоднородными электрическим и магнитным полями Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОНИКА И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ

УДК 621.385.01

Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин

ХАОТИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В МАГНЕТРОННОМ ДИОДЕ С ПРОСТРАНСТВЕННО НЕОДНОРОДНЫМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ

И МАГНИТНЫМ ПОЛЯМИ

Проведено численное исследование характера движения зарядов в магнетронном диоде в условиях пространственно неоднородных электрического и магнитного полей. На основе расчёта показателей Ляпунова определены области существования хаотического поведения системы.

N.Yu. Khorovodova, V.B. Bayburin

CHAOTIC REGIMS IN THE MAGNETIC DIODE WITH SPATIALLY NON-UNIFORM

ELECTRICAL AND MAGNETIC FIELDS

The article shows a numerical research of character of movement of charges in the magnetic diode in conditions of spatially non-uniform electrical and magnetic fields. There are determined areas of existence of chaotic behaviour of system on the basis of calculation of Liapunov parameters which are demonstrated here as well.

В настоящее время имеется ряд работ по исследованию колебательных режимов в динамической системе «заряд в скрещенных электромагнитных полях». Значительное внимание уделяется возможности возникновения хаотической динамики движения зарядов в рассматриваемой системе в условиях неоднородных электромагнитных полей. Так, в работе [1] было показано, что радиальная неоднородность магнитного поля оказывает существенное влияние на характер траекторий заряженных частиц. Хаотическая динамика подтверждается и результатами работы [5], в которой рассматривалось влияние на электронные траектории изменяющегося по углу магнитного поля. В меньшей степени исследовались условия возникновения хаотических колебательных режимов в условиях пространственно неоднородного электрического поля.

В данной работе предлагается рассмотреть некоторые особенности динамики движения зарядов в скрещенных полях магнетронного диода с учётом изменяющегося по углу электрического поля.

В прямоугольной системе координат уравнение движения заряда в скрещенных полях магнетронного диода можно представить в следующем виде:

^=E+ П±

й л

й2 у ^йх

= -0—,

л

где Е - функция, описывающая электрическое поле магнетронного диода; О - циклотронная частота.

Системе уравнений (1) можно поставить в соответствие фазовое пространство с фазовыми переменными х, у, Ух = йх / й, Уу = йу / й .

Для электрического поля предлагается рассмотреть следующие зависимости:

Еху =

1п

Г

а

V Г )

4хг+ у!

- + А Е БІп(а) ;

Еху =

и

О

1п

^ О /

V

V гк )

• + А Е БІп(2а) ;

2 , 2 х + у

Еху =

и

О

1п

ГО Г - І

V гк )

- + А Е БІп(4а) .

(2)

(3)

(4)

х2 + у2

Для определения величин фазовых переменных использовался неявный метод, изложенный в [3]. Все расчёты проводились в безразмерных единицах.

В качестве начальных значений параметров электромагнитных полей были выбраны следующие: 0=1, и0=1; значение параметра АЕ выбирается равным значению напряжённо-

сти электрического поля на катоде, т.е. АЕ =

и

гк1п

С И

а

V гк )

где га=10 - радиус анода, гк=0,5 - ра-

диус катода. Начальные значения фазовых переменных Ух0, Уу0 полагались равными нулю.

Для оценки степени хаотичности системы использовались данные расчёта показателей Ляпунова и спектра мощности. Результаты представляются в удобной визуальной форме в виде карт динамических режимов в плоскости параметров (X, У). Белый цвет соответствует отрицательным значениям показателя Ляпунова, градации серого (от светлого до тёмного) -различным положительным значениям показателя.

Для областей, окрашенных в белый цвет, характерна регулярная динамика. Траектории, стартующие при практически одинаковых начальных условиях, по существу совпадают (рис. 1, а). Тёмные области свидетельствуют о наличии хаотических режимов в движении заряженных частиц. При той же незначительной разнице в начальных условиях траектории с течением времени значительно расходятся (рис. 1, б).

На рис. 2 представлены карты динамических режимов в плоскости параметров (X, У), рассчитанные для различных зависимостей электрического поля от координат и азимута (2)-(4).

Для анализа полученных результатов представим карту динамических режимов, рассчитанную для случая, когда электрическое поле изменяется только по радиусу, т. е.

Еху =

и

О

1п

г г! г ^ V

V гк )

(5)

2 , 2 х + у

а б

Рис. 1. Траектории движения заряда в магнетронном диоде, электрическое поле вида (3): а - регулярные траектории - Х0=0,6, Уо=-1; б - хаотические траектории - Х0=-0,8, У0=0,2

а б в

Рис. 2. Карты динамических режимов в плоскости координат (X, У): а - электрическое поле (2); б - электрическое поле (3); в - электрическое поле (4)

Как видно из рис. 3, исследуемая область окрашена в светло-серый цвет, показатели Ляпунова отрицательные или близкие к нулю. Вид траекторий и спектра мощности также свидетельствует о том, что заряд движется по типичным регулярным циклоидальным траекториям.

Очевидно, что введенная в зависимость электрического поля меняющаяся по азимуту добавка АЕ БІп(а) играет дестабилизирующую роль в динамике движения заряда. Более сильное изменение по углу ( А Е БІп(2а), А Е БІп(4а)) приводит к появлению большего числа областей хаотичности рассматриваемой системы.

Усиление хаотичности подтверждается и результатами расчёта спектра мощ-

Рис. 3. Карта динамических режимов в плоскости координат (X, У): электрическое поле изменяется по радиусу

ности. Так, на рис. 4 представлены спектры мощности, полученные для электрических полей вида (1) и (4). В первом случае (рис. 4, а) спектр имеет регулярный вид, а во втором (рис. 4, б) - спектр содержит значительно больше пиков, его вид характерен для хаотической динамики.

а б

Рис. 4. Вид спектра мощности

Представилось целесообразным рассмотреть динамику движения заряда при сочетании пространственно неоднородного электрического поля (3) и пространственно неоднородного магнитного поля вида:

О = О0 + АО вт(2а) . (6)

Рассчитанные карты динамических режимов представлены на рис. 5.

Рис. 5. Карты динамических режимов в плоскости координат (X, У): а - 00=1, А0=0.6, ДЕ=0.667; б - 00=1, А0=0.6, ДЕ=1.4

Данные карты были рассчитаны для различных значений параметра АЕ при прочих равных значениях параметров электромагнитных полей и фазовых переменных. Карта на рис. 5, б не содержит (вне области катода) белых регулярных областей. Таким образом, увеличение амплитуды переменного электрического поля, как ожидалось, приводит к усилению хаотичности системы.

В дальнейшем был рассмотрен случай, когда электрическое и магнитное поля изменяются с одинаковой частотой, но в противофазе:

Ех, у = г и°---------+ А Е (2а) (7)

ln

v Г

і

x2 + y2

0 = 0° -АО,вт(2а) .

Как видно из рис. 6, области нестабильности системы приходятся на области максимального электрического поля, в то время как регулярные светлые области расположены в пространстве слабого электрического поля. При этом сохраняется рассмотренная выше зависимость уменьшения регулярных областей с ростом амплитуды азимутального изменения электрического поля.

Рис. 6. Карты динамических режимов в плоскости координат (X, У): электрическое и магнитное поля изменяются в противофазе а - Оо=1, Д0=0.6, ДЕ=0.667; б - Оо=1, Д0=0.6, ДЕ=1.4

Во всех рассмотренных случаях значения параметров электрического поля задавались таким образом, что значительную роль играла изменяющаяся по углу добавка A E sin (a).

Примем значение потенциала U0=4 (значение АЕ оставлено без изменений), снизив тем самым влияние на движение заряда азимутально изменяющейся добавки электрического поля.

Полученные при этом результаты (рис. 7) сопоставимы с результатами, которые наблюдались при сочетании радиальной неоднородности электрического поля и магнитного поля, изменяющегося по углу [5]. Области сильной хаотичности системы приходятся на слабое магнитное поле, для сильного магнитного поля характерна регулярная динамика.

а б в

Рис. 7. Карты динамических режимов в плоскости координат (X, У): электрическое поле задаётся как для рис. 1, магнитное поле вида

О = О0 + АО^(2а) , и0=4, ДЕ=0.667, Д0=0.6

В заключение следует отметить: с введением в рассмотрение изменяющегося по углу электрического поля наблюдается появление хаотических режимов в динамике движения заряда в магнетронном диоде; уменьшение периода изменения электрического поля по углу и увеличение амплитуды этого изменения приводит к усилению степени хаотичности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Байбурин В.Б., Мантуров А.О., Юдин А.В. Хаотическое поведение зарядов в скрещенных полях // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10. № 6. С. 62.

2. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Мир, 1988. 240 с.

3. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. 285 с.

4. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: Эдиториал УРСС,

2001. 318 с.

5. Хороводова Н.Ю., Байбурин В.Б. Исследование хаотичности движения зарядов в магнетронном диоде // Элементы и устройства систем низких и сверхвысоких частот: Меж-вуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2004. С. 67-70.

Байбурин Вил Бариевич -

профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета

Хороводова Наталия Юрьевна -

аспирантка кафедры

«Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета