Крены массивных фундаментов при расчетной модели слоя ограниченной мощности Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Вывод. Таким образом, в случае водонасыщенного основания коэффициенты матрицы податливости метода граничных элементов являются комплексными. Это дает основание говорить о новой модификации метода граничных элементов, а именно - о комплексном методе граничных элементов.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. 2. Новацкий В. Теория упругости - М.: Мир, 1975. - 872 с.

3. Зарецкий Ю. К. Лекции по современной механике грунтов. - Ростов-на-Дону, 1989 -

4. Напряженно-деформированное состояние упругого весомого водонасыщенного полупространства, к верхней границе приложена вертикальная сосредоточенная сила. Зб. наук. пр. (галузеве машинобудування, будiвництво). // ПолтНТУ .- Полтава., 2009. - Вип. 3 (25), Т. 3. - С. 228 - 233.

5. Шаповал В. Г., Нажа П. Н., Шаповал А. В., Седин В. Л. К определению граничных элементов в рамках модели упругого весомого полупространства. Зб. наук. пр. (галузеве машинобудування, будiвництво) // ПолтНТУ. - Полтава, 2009. - Вип. 3 (25), Т. 3. - С. 234 - 238.

6. ПК ЛИРА, версия 9.0. Программный комплекс для расчета и проектирования конструкций / Руководство пользователя. Книги 1-3. НИИАС, Киев, 2002.

7. ПК Мономах. Программный комплекс проектирования ж/б многоэтажных каркасных зданий. Руководство пользователя. Разделы 1-9. НИИАСС. Киев, 2004.

УДК 624.151.2

КРЕНЫ МАССИВНЫХ ФУНДАМЕНТОВ ПРИ РАСЧЕТНОЙ МОДЕЛИ СЛОЯ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ

Ключевые слова: крен, упругий слой конечной толщины, АЭС, деформации.

Постановка проблемы. Рекомендуемые в ДБН В.2.1-10-2009 "Основания и фундаменты сооружений" способы определения кренов массивных фундаментов не рассматривают расчетную модель основания в виде упругого слоя ограниченной мощности при полном водонасыщении, хотя в настоящее время находится в эксплуатации много важных объектов с подобной расчетной схемой фундаментов.

Актуальность. Наблюдения в течение 30 лет за осадками реакторных отделений и фундаментов турбоагрегатов энергоблоков ТЭС и АЭС [1; 2], которые относятся к массивным сооружениям с большими площадями поверхностей опирания, показывают, что текущая осадка нередко сопровождаются общим креном. Этот крен может привести к дополнительным, весьма нежелательным деформациям в конструкциях объекта, затрудняющим его нормальную эксплуатацию. Выложены результаты теоретических исследований закономерностей развития во времени кренов фундаментов с прямоугольной формой подошвы на водонасыщенном грунтовом основании. В качестве модели и расчетной схемы основания принят упругий

608 с.

Ф. В. Бабич, к .т. н., доц., В. Л. Седин, д. т. н., проф., Г. М. Сухенко, студ.

изотропныи водонасыщенныи грунтовый слои конечной толщины, подпираемым несжимаемом породой. Допускаем, что эпюра контактных напряжений на границе «основание - фундамент» имеет прямолинейные очертания (этой эпюре соответствует расчетная схема абсолютно гибкого фундамента [3]).

Цель работы. Разработка аналитического решения по прогнозу крена прямоугольного фундамента в рамках модели линейно упругого изотропного водонасыщенного основания при расчетной схеме основания как слоя конечной толщины.

Методика исследования. Задача исследований для математической модели имела следующие исходные. Грунтовый слой толщиной Н подстилается малосжимаемым скальным основанием. На поверхности слоя ограниченной мощности или конечной толщины расположен прямоугольный фундамент со сторонами Ь и Ь. На фундамент действует моментная нагрузка М=Q■e, где М - действующий на уровне подошвы фундамента опрокидывающий момент, Q -равнодействующая приложенных к фундаменту вертикальных нагрузок, а е - эксцентриситет ее приложения. Предполагается, что в общем случае момент М является функцией времени г.

Грунтовое основание характеризуется упругими характеристиками - модулем сдвига G=Е/[2■(1+v)] и коэффициентом Пуассона V, где Е - модуль общей деформации грунта. При этом реологической характеристикой основания является коэффициент пространственной консолидации Сv=Сkl3■(X+2G)/(3X+2G), где Ск - коэффициент консолидации при компрессии, а □ - константа Лямэ X=v■E/[(1+v)■(1-2v)] [4 - 7]. Предполагается, что моментная нагрузка приложена к фундаменту в момент времени г = 0.

Рассмотрен случай постоянной во времени моментной нагрузки. В качестве фундаментального используем полученное автором [4] решение (1) задачи о сосредоточенной силе, приложенной к верхней границе слоя ограниченной мощности. Решение (1) было получено в предположении о том, что на контакте «раздробленный грунт - скала» имеет место фильтрующая прослойка. Если таковая отсутствует, то в (1) следует удвоить толщину грунтового слоя, т. е. вместо Н положить Н1 = 2Н.

Я(г, г) = Ш(г, г, Н) =

1-у 2яОН'

0

Я/?(а)

2(1-2у) 5//2(а)(1+С/(а))2 а

а+БКауСКа) 1-у

ж

Е

22 I к

2 , .2 2

а +г к

Н

С г

V

[а+ЯКа)-С/(а)]2 г =1,3,5г2к2 + а2

(1)

3г, (—, а)й?а; 0Н

В формуле (1) а - параметр; ЯИ(а) и СИ(а) - соответственно гиперболические синус и косинус; 30(х) - функция Бесселя первого ряда с нулевым индексом; г - координата; Ш(г, г, Н) -вертикальное перемещение верхней границы основания; Б(г, г) - осадка верхней границы основания [4; 8]. Исследуем граничные (при г = 0 и г — да) значения (1). При г — 0 имеем:

Я(г,0) = Ш (г,0, Н ) =

1-у 2кЗН

2

¡И (а)

2(1 - 2у) ¡И2 (а) - [1 + /а)]2 - а

а + ¡И(а)сИ(а)

1 -у

а+¡/(а)-с/(а)

ж г2к2 п г , гч, г = 1,3 (г2 к2 + а2)2 0 Н

С учетом равенства [9]

■ 2 2 г к

1 Л + ¡И(а)с/(а) можно выразить:

Т,3(12 к2 + а2)2 4а [1 + с/(а)]2

22

1 ж

¡(г,0) =-Г

¡И2(а)

4яОН 0 а + ¡И(а)сИ(а)

•30 а

соответственно при г-

1 - у ж

¡(г, ж) =

¡И2 ( а)

Н

• 3 01 а— Уа

(2)

2кЗН 0 а + ¡И(а)сИ(а) Н ) (3)

Сопоставление (2) и (3) позволило сделать вывод о том, что в процессе фильтрационной консолидации средняя осадка любой точки дневной поверхности слоя конечной толщины увеличится в 2(1-V) раз. В случае если коэффициент Пуассона грунтового скелета V = 0.5, то фильтрационная консолидация отсутствует вообще.

сс

1

ж

г

Расчет зависимостей «относительный крен - безразмерное время» для слоя конечной толщины выполнялся поэтапно. Вначале с использованием зависимостей вида

ък 2 (а )

10 * 2 а 0г ■ Т1 (2 0 );

(4)

а + ък (а)ск (а) ^ _ 1

г0 _ ехр( - d0 а )

была выполнена аппроксимация первого слагаемого подынтегральной функции выражения (1). Здесь Тг(х) - смещенные полиномы Чебышева [8]. Далее с использованием зависимостей

2 10 * ехр( -а ск') ® 2 а11Т1 (21); г _ 1

г, _ ехр

- dl а ■

4

С ■ г

н

(5)

была сделана аппроксимация входящей в (1) экспоненциальной функции. После этого с использованием выражений вида

Бк 2( а) ■ (1 + Ск (а)) 2 к 2 я2 2 Т *

а + БН (а) ■ СН (а) '(а 2 + (я2)) ~ г _ 1 а 2г г (" 2);

2 2 _ ехР (- d 2 а ) (6)

была выполнена аппроксимация первых одиннадцати членов входящего в подынтегральную функцию (1) ряда. В результате выполненных таким образом преобразований подынтегральная функция была представлена в виде:

ък 2 ( а )

а + ък (а ) ■ ск (а ) 1 -V

10

2(1 - 2v) ък 2 (а) ■ [1 + ск 2(а)] ■ а 2

22 г я

(а + ък (а ) ■ ск (а ))

2

2 Т * ( ) 2(1 - 2v) 21

2 апТ (20)--;- 2 ехР

I _ 1 02 1 0 1 - V !0 _ 1

( г 2_2 г я

„С ■ г 2 V

г _ 1,3 (а2 + г2я2 )2

10 10 г У 2 2 2 2 г _ 1 ] _ 1 к _ 11 _ 1

ехр

( 2 + . 2 2 а + г я

Н 2

С г

V

к - 1 I - 1

ук1 1

к - 1 I - 1

_ ехр

'С ■ г

(I - 1)d1^|Н^- + 2d ■ ]

(7)

Здесь аг ,к1 = а1,-а2^ ■ск с , где ск, и С1 - к-й и 1-й коэффициенты смещенных полиномов Чебышева г-й и]-й степени.

Далее с использованием соотношения (6) были аналитически вычислены несобственные

интегралы вида

|е-azJ0 (аг)dr_

472

г + а

(8)

В результате равенство (1) было представлено в виде:

V

а

1

8 (г,г )_ \ 10 2 а ^ (Н, г)-

2я°в [г _ 1 ] _ 1 г } } 1

2 (1 - V)

г2я2С г __V,

11 н 2 10 10 г } , ч

н 2 2.,2.,2. аик141(н,г,г)

■ 2 е г0 _1

V. (н, г) _

- при ] _ 1; г

при к _ I _ 1;

г -1 . _ 1 к _ 1 / _ 1

при ]Ф1;

(Н, г,г ) =

1

-¡г2 +(/-1)2 Скг

д/г2 +(к - 1)

2 d I.Н

при к _ 1 и / ф 1;

при к ф 1 и I _ 1;

при к Ф 1 и / ф 1

г2 +

(( - + (к - ^

■н

(9)

Далее найдем дифференциал осадки в точке с координатами (х, у) от элементарной силы dg (£, п), которая приложена в точке с координатами (£, п) имеем:

d 8 _

¿г (§А

2 я О

11

■ 2 е

г 0 _ 1

10 . ! ч 2 (1 - V)

2 2 а.. V . (Н , г, х, у ,4,*)--т---

{ г _ 1 ] _ 1

г ] ]

1 - V

г2я2С г

Н

2 10 10 г ]

2 2 ; 2 ; 2 аг.к1 -*к1 (Н ,г, х, У, 4,*)

г _ 1 ] _ 1 к _ 1 I _ 1

V. (н , х, У, 4,ч) =

л/(х -4)2 +(у -*)2

при ] _ 1;

при ] Ф 1;

Фк I( x, У,4,*) =

¡(х-4)2 + (у-*)2 1

при к _ I _ 1;

Р -4)2 + (у -*)2 + ((-1)2 Скг

при к _ 1 и IФ1;

: при к Ф1 и I _ 1;

{1

при

кф1

(х-4)2 +(у-*)2 +

С, г

2 IФ1

■ Н 2

(10)

Теперь найдем прогиб основания в направлении оси 0Х [9], т. е. дифференциал крена при действии моментной нагрузки относительно оси 0У. Имеем:

- V

г

1

2

V

1

1

1

а г

е * а g )(1 - V)( 10 Е * ( * )

— =--4—£-¿1 Е Е аг ,■ ф (х, у, )-

е х 2 к £ I г = 1 ■ = 1 ■>

г2 к 2 С , г

к

2 (1 - V) 11 Н 2 10 10 г ] *

- (1 „ / Е е Н Е Е Е Е а1]к1 ф* 1 (Н , г, х, у, ),))

(1 - V) г 0 = 1

г = 1 / = 1 к = 1 I = 1

ф* (( у,пЛ) =

- при / = 1;

при / ф 1;

(х-4)2 +((-) + Н2 а2 (■-1)2'

/, к,!((,х, у)))=

[(х-) + (-^Л2]/

- при к =1 = 1;

(х -) +((-) +(-1)2 Скг 1

при к = 1 и I ф 1;

при к ф 1 и / = 1;

(х -) +(-) +((-1)2 /2

к ф 1

при

С г

(х -) +((-) -1)^2 ■ +(/-1)а11л^Н2 Г Н2

2/ - -пцН2"

% ! ф 1 2

(11)

Следующим шагом было подставлено в (11) значение дифференциала нагрузки dg(£,r^) и проинтегрируем полученное таким образом выражение по площади фундамента на интервале £

е (- Ь/2; Ь/2 ) и це (- ; Ь2). При этом положим х = у = 0 (в этом случае так найден крен в центре фундамента). Имеем:

Ь/ Ь/ г

6 а е /2 /2 ,[ 10 10 „ , ч

г = 6/,ег 3 = 1 I/2 | Е1 Е1 «г/ Ф* (Н , 4))-

к £ ЬЬ3 _ Ь/ _ Ь/ I г = 1 / = 1 ■> ■> /2 /2 1

г2 к 2

2 (1- V) 11 Н2" 10 10 г / * е м ,е

- -тт1-^-) Е е Н 2 Е Е Е Е а! ■ к I-Ф* I (Н ,4)) Г а4 ; ^ г0 = 1 г=1 / = 1 к = 1 I = 1 г/к/ к! I

() 2 + ) 2 )32

при /=1;

42 + )2 + Н 2 а02 (/-1)

3

,2 л/2

при /ф1;

к Г

()2 + )2 ^

при к = ! =1 ;

4 2 + )2 + (-1 )2 а!2 Скг

при к = 1 и I ф1;

при к ф1 и I = 1;

42 + )2 + (к-1 )2 а2 . н 2 "Р2

4 2 + )2 + н 2] (к-1 )а 2 + (-1

2 Л 2

к ф 1

при

v i ф1

(12)

1

1

1

ф

1

1

1

Далее представим, что

г) * • Ь

= г

£' • ь

= £ , 1 * =

2 Ск1 Ь2

= ь

'Ь и

п = 2 Ь . В этом

случае (12) принимает новый вид:

л О Ь 3

} ^ г* и21 2 2 а,^] (* ,г*)"

-у2 е п 2 2 2 2 а к, -Фк1 ( ,г)\Л£

(1 - V ) '„ = 1 '„ = 1 ] = 1 к = 1 I =1

1

* е *2 , 2 >X , . £ + г

V* ,г*)= 1

при ] = 1;

2 + г2 + л0 (] - 1 )2

при ] ф 1;

* ,. * 2 * 2 ^ т £ + г

при к = I = 1;

* *2 *2 2 2 * - £ + г + (, - 1) Л1 I

Уг

V к,

,г*) =

*£*2 + г*2 + (к - 1 )2 Л2

при к = 1 и I ф 1;

при к ф 1 и I = 1;

(, - 1 )а + (к - 1 2

к ф 1 -при ,

П 2 1/2 I Ф 1

(13)

т * £ *2 + г"2 + п 2

Выражения (13) интегрировались методом трапеций [10]. При этом для удобства расчетов табулировались вычисленные по формуле (14) значения относительных кренов -0 и полученные результаты рассматривались в графическом виде [10].

Выводы. Анализ полученных графических зависимостей позволяет сделать четкие выводы. В процессе фильтрационной консолидации крен расположенного на слое ограниченной мощности на интервале времени Хе(0,ю) изменяется в 2(1-V) раз. При этом если коэффициент Пуассона грунтового скелета У>0.5, то изменения крена во времени не происходит вообще. Чем выше значение коэффициента Пуассона грунтового скелета водонасыщенного слоя конечной толщины, тем быстрее происходит стабилизация крена фундамента. Чем меньше отношение Ь/Ь, тем быстрее завершается процесс развития крена во времени. При прочих равных условиях процесс развития крена фундамента с прямоугольной формой подошвы в напрвлении его большей стороны характеризуется более медленным затуханием, чем процесс развития крена в сторону меньшей стороны фундамента.

2

2

'=1 ]

т

т

т

1

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Наблюдения за деформациями оболочек и построек Запорожской АЭС: Научно-технический отчет ЛАМИДОТ по х/д 214 / ДИСИ. - Д., 1991. - 199 с.

2. Заключение по результатам наблюдений за осадками и кренами реакторных отделений Запорожской АЭС: Научно-технический очет ОНИЛ АЭС по х/д 725 этап 46 / ПГАСА. Д., 1993. - 21 с.

3. Горбунов-Посадов М. И. Расчет конструкций на упругом основании.: изд. 3-е./ Горбунов-Посадов М. И., Маликова Т. А., Соломин В. И. - М. : Стройиздат, 1984. - 679 с.

4. Зарецкий Ю. К. Теория консолидации грунтов. - М. : Наука, 1967. - 270 с.

5. Флорин В. А. Основы механики грунтов. - Л. - М. : Госстройиздат, 1959. - Т. 1. - 357 с.

6 . Флорин В. А. Основы механики грунтов. - Л. - М. : Гостройиздат, 1961. - Т. 2. - 543 с.

7. Гудьир Дж. Теория упругости / Гудьир Дж., Тимошенко С. П. - М. : Наука, 1966. - 635 с.

8. Корн Г. Справочник по математике / Корн Г., Корн Т. - М.: Наука, 1974. - 840 с.

9. Ватсон Д. Н. Теория бесселевых функций. - М.: Изд-во иностр. лит., 1949. - 798 с.

10. Бабич Ф. В. Особенности развития крена прямоугольных фундаментов на водонасыщенном основании для слоя конечной толщины. : Дисс. канд. техн. наук: 05.23.02 / Приднепровская гос. академия строительства и архитектуры. - Д., 2006. - 171 с.