CC BY
11
УДК 624.131
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ О ВЕРТИКАЛЬНОЙ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЕ, ПРИЛОЖЕННОЙ К ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЕ ВОДОНАСЫЩЕННОГО СЛОЯ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ
В. Г. Шаповал, д. т. н., проф., А. В. Шаповал, к. т. н. А. С. Головко, соиск., Е. С. Титякова.,
Выполнена аппроксимация фундаментального решения задачи о приложенной к верхней границе водонасыщенного слоя конечной толщины сосредоточенной вертикальной силе. Область применения полученных в работе результатов - определение НДС грунтового основания с использованием принципа суперпозиции.
Фундаментальное решение задачи о приложенной к верхней границе водонасыщенного упругого слоя конечной толщины вертикальной сосредоточенной силе [1] содержит несобственный интеграл вида
я (г,г) = • Я • Т-^И- 2П • 6 (а г )| • J0(a • Г) ■а (1)
0 [ 2 • (1 - V) I 0 Н
где
2 ж О • Н 6(а) =
2(а)
; 6(а, г) = 46(а) П(а, г); а + sh(а) • еИ(а) 1
6(а) =
sh2(а) а[1 + е^а)]2 [а+sh(a) • е^а)]2
^(а, г) =
I = 1, 3, 5
(- ж)2
ехр
а2 + (, • ж)2
а2 + (, • ж)2 Н2
• с • г
V
Здесь Я - величина сосредоточенной силы; Н - толщина слоя (рис. 1); О, V и ^ - соответственно модуль сдвига, коэффициенты Пуассона и пространственной
консолидации основания [2]; а - безразмерный параметр; Jo(•) - функция Бесселя первого
рода с нулевым индексом [3]; sh(х) и е^х) - соответственно гиперболические синус и косинус [3]; Г и г - соответственно координата и время.
В этой связи (т. е. из-за наличия несобственного интеграла) использование для расчетов фундаментального решения (1) весьма затруднительно. На практике обычно поступают так. Выполняют аппроксимацию подынтегрального выражения 6(а) (например, с
использованием
ряда б(а) = X Л, р. (а), где (р\а) - некоторые функции параметра
I = 1
а, а Л,- - коэффициенты аппроксимации).
При этом функции (р. (а) принимают таким образом, чтобы интегралы
Г Г
вида | (а) • J о (а •——) • йа = У- вычислялись в аналитической форме.
о 1 0 Н I Н
оо
2
Рис. 1. Расчетная схема
Рассматриваемое фундаментальное решение представляют в виде
n r
S(r)» I У(Г). i = 1 Н
В частности, автором работы [4] фундаментальное решение задачи о приложенной к верхней границе упругого слоя конечной толщины Н вертикальной сосредоточенной силы было представлено в виде:
\2
sh (a)
r
S(r)= (1 v) • Q■ f---J (a—)• da =
p• Е • H 0 a + sh(a) ■ ch(a) 0 Н
(2)
(1 -v)2 ¥ 4 -= V ; ■ Q ■ f I B ■ e Е■ H 0i = о i
=^ ■ Q ■ I -
pЕ i=0
J (a—) ■ da = 0V Н
B
2
Г*'Н) + '
Значения полученных автором работы [4] параметров а^ и коэффициентов аппроксимации
Bi представлены в таблице 1.
Таблица 1
Результаты аппроксимации
i 0 1 2 3 4
ai 0 0,8 1,4 2,0 2,6
B. i 1,0 0,426 -6,051 7,395 -2,770
При выполнении аппроксимации (1) нами в качестве функций (а) были приняты
зависимости
ф.(a)=exp[-d •(i-1)-
a
(3)
a • a
2
Здесь da — 0 - установленная в ходе аппроксимации константа.
_ а
Далее положим 2 = е . В этом случае первое слагаемое подынтегральной функции (1) имеет вид:
2
Полученная таким образом функция--4-^—7 была аппроксимирована
sh¿(a) (1 _ 2 О
^(а) =-—-=—4---—. (4)
а + sh(a) ■ ек(а) 2 + 4 ■ 1п(2) ■ 2 _ 1 (1 _ 22) 24 + 4 ■ 1п(2) ■ 22 _ 1
рядом вида
(1 _ 22) 10 d
О(а)-2-» I Аг ■ 2 а , (5)
2 4 + 4 ■ 1п( 2) ■ 22 _ 1 I = 1
где 2 € (0,1) . Аппроксимация методами теории оптимизации [4]. Варьировались значения параметра d и на каждом шаге аппроксимации определялись коэффициенты А -.
а I
Процесс оптимизации считался законченным, когда определялось такое значение параметра «dа», которому соответствовало минимальное среднее квадратичное уклонение
приближенной зависимости от точной.
Результаты аппроксимации функции ^ представлены в таблице 2.
Таблица 2
Результаты аппроксимации
Значения коэффициентов
А В С1, к С2, к С3, к С4, к С5, к С6, к С7, к С8, к С9, к С10, к
1 0 3.7Е- 09 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.004 87 3.7Е-07 0.000 44 1.7Е- 05 2.1Е- 06 8.9Е-07 1.8Е-07 1.2Е-07 7.8Е-08 3.2Е-08 1.9Е-08 2.5Е-08
0.859 6 -2Е- 05 0.003 1 0.000 2 -3Е- 05 -9Е- 06 3.7Е-07 -4Е-07 -5Е-07 -7Е- 08 -7Е- 08 -3Е-07
21.75 3 0.000 26 0.036 74 0.002 3 0.000 25 6.1Е- 05 -2Е- 05 -4Е- 06 1.1Е-07 -2Е- 06 -8Е-07 1.5Е- 06
87.75 04 0.001 9 0.172 8 0.011 7 0.001 1 0.000 2 0.000 17 5.2Е-05 1.7Е- 05 2Е-05 9.5Е-06 -4Е- 06
158.6 7 0.007 77 0.504 01 0.034 75 0.002 97 0.000 36 0.000 6 0.000 2 -9Е- 05 -8Е- 05 -4Е- 05 1Е-06
159.6 18 0.019 8 0.879 8 0.061 3 0.004 5 0.000 3 0.001 28 0.000 48 0.000 21 0.000 17 8.8Е-05 1.1Е- 05
89.98 3 0.032 43 0.923 83 0.063 44 0.003 88 -5Е- 06 0.001 5 0.000 6 0.000 3 0.000 2 0.000 1 -2Е- 05
25.24 76 0.037 0.534 0.035 0.001 0.000 15 0.000 88 0.000 35 0.000 17 0.000 12 6.5Е-05 1.7Е- 05
7 5 4 7
2.351 2 1.018 91 0.133 77 0.008 19 0.000 29 -7Е- 05 0.000 2 -9Е- 05 -4Е- 05 -3Е- 05 -2Е- 05 -5Е- 06
Значения параметров
da d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 d 8 d 9 d10
0.711 0.111 0.041 0.008 0.003 0.002 0.001 0.000 7 0.000 5 0.000 3 0.000 2 0.000 2
Погрешность аппроксимации £ (рис. 2) определялась с использованием равенства
£ =
а О а I
а
о
•100%,
(6)
где & т и а п - соответственно точное и приближенное значения подынтегральной функции.
-1
1 ч
/ 1 I \ П^/
\
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
Рис. 2. Погрешности аппроксимации функции а. 1- с использованием зависимости (5); 2 - то же, с использованием зависимости (2), т.е. данных работы [4].
Анализ графических зависимостей на рисунке 2 позволил нам сделать вывод о том, что с использованием предложенной нами зависимости (5) удалось достичь большей точности аппроксимации, чем автору работы [4]. Далее с использованием равенства
а + sh (а) • ^ (а) 4 • а • [1 + ^(а)]2
функция (а, t) была представлена в виде:
¥
х
22 i • Р
(7)
1 = изд.. г 2,-2 2
а + i •р
2
I
/ = 1,3,5,.
О(а, г) =
sh 2(а)
(- ■р)2 а2 + (/ ■ р)2
■ ехр
(/•р) Н2
с ■ t
V
а + ^(а) ■ &(а)
I / = 1
(/ ■р)2
а2 + (/ ■ р)2
■ ехр
а
Н2
откуда
О(а, t ) =
с ■ t ^ 1
п
I /=1
С- (а) ■ ехр
(/ ■Р)
2
Н
2
■ t
■ ехр
а
2
Н
2 ^
с, ■ t
(8)
где
С. (а) = /
(/ ■Р)2
а2 + (/ ■ р)2
sh 2(а) а + ^(а) ■ е^а) п
I
/ = 1,3,5...
(/ ■Р)2
а2 + (/ ■ р)2
Для выявления необходимого числа членов ряда (8) нами был выполнен численный
эксперимент (рис. 3 - 5), в ходе которого сопоставлялись зависимости относительных средних * *
осадок основания о от безразмерного времени t . При этом предполагалось, что основание находится под воздействием распределенной по площади круга с радиусом а единичной
а
нагрузки и варьировались соотношения
Н ■
Согласно [1] при учете (8) средняя осадка равна:
о (0 = д ■ а ■ Ш (а)_ 1 _2 п -О (а,t)¡ сРУ' О 4 \ сРУ ' 2■ (1 -V) сР
(9)
2 ■ н ^
где О (а) =--|
ср
sh 2(а)
а 0 а + ■ е^а) 1 4 Н а2
г
■ 3 2(а~) ■ 1
da
- / ч 2 ■ Н ¥ п О (а, t ) = 2-Н ■ | I
СР а 0 / = 1,3,5,
С. (а) ■ехр
(/ ■р)2
Н2
с ■ t
V
■ ехр
а
с ■ t
г
3 2(а—) 1 Н
da
а
Н2 v
где С- (а) - см. (8), - функция Бесселя первого рода с единичным индексом [3].
Безразмерные осадка и время определялись по формулам:
о * = ■
^)
О
V, , ч —О (а)
сР (1 ^д■ а сРу ;
а
2 ■ (1 -V)
1 _ 2 V 2 ■ Н
и t
* с, ■ t
Н
2
(10)
оо
оо
2
2
2
1
0.9 0.8 0.7 0.6 : 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
I
\
\
1 \
1 \
\ V
1
---- - _
-1-
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
а
Рис. 3. Зависимости безразмерной осадки от безразмерного времени. —— =0,1.
1 - число членов ряда П = 1; 2 - П кривой 1 от кривой 3 С а
Н
= 10; П = 100000. Среднее квадратичное уклонение '-19%, а кривой 2 от кривой 3 С а = 5%
а
Рис. 4. Зависимости безразмерной осадки от безразмерного времени. —— =1,0.
Н
1 - число членов ряда П = 1; 2 - П = 10; П = 100000. Среднее квадратичное уклонение кривой 1 от кривой 3 С а = 9%, а кривой 2 от кривой 3 С а = 1%
0.8 0.6 0.4 0.2 0
к
\\
ч \ \ \ 1
- 2£/_
-
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
а
Рис. 5. Зависимости безразмерной осадки от безразмерного времени. — =10,0.
Н
1 - число членов ряда П = 1; 2 - П = 10; П = 100000. Среднее квадратичное уклонение кривой 1 от кривой 3 С а = 7%, а кривой 2 от кривой 3 С а = 0,7%
Представленные на рисунках 3...5 кривые позволили нам сделать вывод о том, что при числе членов ряда (8), равном 10, приближенное решение практически не отличается от точного. Поэтому нами была выполнена их аппроксимация с использованием зависимостей вида:
ехр
г \
о
-а2 ■ с ■ г
V
Н
2
с
10
х В ■ ехр
I = 1 г
а-й ■ с ■ г
Ь V V
Н
V
ехр
р2 ■ (2 ■ т -1)
(2 ■ т -1)2 ■ с ■ г
V
Н2
а2 + р2 ■ (2 ■ т -1)
П
I
т = 1,2,3...
р2 ^(2 ■ т -1)
а2 + р2 ^(2 ■ т -1)
ехр
(2 ■ т -1)2 ■ с ■ г
V
Н2
П
I С , ■ ехр(-dm ■а).
¡п1 тк -1 4 '
к=1,2,3...
(11)
Здесь , db, С и йт - установленные в ходе аппроксимации константы (см. табл. 2). В ходе аппроксимации первого выражения (11) оно с использованием подстановки
г = ехр
с I—^ -а^ с г
Н
было представлено в виде:
2
2
2
ехр
с \
9
-а2 ■ е t
V
Н
2
ехр ь 1п (2
(2 )}.
(12)
При этом второе выражение (11) путем подстановки 2 = е было представлено в виде:
р2 ■ (2 ■ т _ 1)
р2 ■ (2 ■ т _ 1)
а2 +р2 ■ (2■ т_ 1)2 1п(2/ +р2 ■ (2■ т_ 1)
С учетом (11) представим входящую в (1) функцию О (а, t) в виде:
ехр
10 10 10 10 в (а, 1) » II II Д
[=1] =1т =1 к =1
укт
■ехр
(2т_1)2 ■р2 ■еv г И2
(/ 1)^а+
( } ^ +
И
(к
Здесь Д., = Л.■ В.С, .
укт I ] кт
(13)
(14)
Для определения аппроксимации фундаментального решения подставим (5) и (14) в (1) и выполним операцию интегрирования. Имеем:
о (г, t) =
(1 _У> б 2 ■р О
■ У (г, t)
]кт
где
Д = Л ■ В ■ С ; с(г)
/кт / 1 кт * V \ /
/ 1 кт '
10
I Л.-с (г)_
/ = 1 ' '
1 _2-У ю ю ю ю ——-■ I I I I Д
2 ■ (1 _У) ! = 1] = 1т = 1к = 1 1т
при / = 1;
1;
, == при I Ф1.
1г2 + (/ _ 1)2 ■ d 2 ■ И2
(15)
2
а
V.., (r ) =
ijkm
exp
(2 • m - 1)2 •p 2 • с • t
H
при
i = j = k = 7;
(2 • m - 1)2 p 2 • с • t
exp v H 2
при i ^ 1,
r 2 +
(i - 1) d + (j - 1) • d
с • t
v
H
+ (k - 1) • d
• H
или
Здесь
j Ф 1, или k Ф 1.
D = ABC d d d - полученные нами в ходе аппроксимации
коэффициенты и константы (см. табл. 2).
Равенства (15) были использованы нами для определения функций влияния матрицы податливости метода граничных элементов. Был сделан вывод о том, что полученная нами аппроксимация фундаментального решения о приложенной к верхней границе водонасыщенного упругого слоя конечной толщины вертикальной сосредоточенной силе позволяет значительно упростить процесс вычислений.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Зарецкий Ю. К. Теория консолидации грунтов. - М.: Наука. 1967. - 270 с.
2.Егоров К. Е. К расчету деформаций оснований (сборник статей). - М.: ФГУП «ВНИИНТПИ», 2002 - 400 с.
3. Зарецкий Ю. К. Лекции по современной механике грунтов. - Ростов на Дону, 1989 - 608 с.
4.Егоров К. Е. К расчету деформаций оснований (сборник статей). - М.: ФГУП «ВНИИНТПИ», 2002 - 400 с.
5.Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. - М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1961. - 524с.
v
r
2
a
m
