Прогноз кренов фундаментов сооружений на водонасыщенном основании при расчетной схеме слоя конечной толщины Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.151.2

Ф. В. БАБИЧ, В. Л. СЕДИН, В. Г. ШАПОВАЛ (ПГАСА, Днепропетровск)

ПРОГНОЗ КРЕНОВ ФУНДАМЕНТОВ СООРУЖЕНИЙ НА ВОДОНАСЫЩЕННОМ ОСНОВАНИИ ПРИ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЕ СЛОЯ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ

Показано ршення для прогнозу крену прямокутного фундаменту на лшшному пружному i30Tp0nH0My водонасиченш основi при розрахунковш схемi грунтового шару шнцево! товщини. Доведене, що швидк1сть процесу фшьтрацшнш консолвдацп основи прямо пpопоpцiйна величин коефiцieнта Пуассона основи, ввд-ношенню довжини пвдошви фундаменту до його ширини й обернено пpопоpцiйна товщиш грунтового шару.

Показано решение для прогноза крена прямоугольного фундамента на линейном упругом изотропном водонасыщенном основании при расчетной схеме грунтового слоя конечной толщины. Доказано, что скорость процесса фильтрационной консолидации основания прямо пропорциональна величине коэффициента Пуассона основания, отношению длины подошвы фундамента к его ширине и обратно пропорциональна толщине грунтового слоя.

The solution for the forecast of incline of the rectangular base on the linear elastic isotropic water-saturated basement under the settlement scheme of a soil layer of a final thickness is shown. It is proved that rate of process of filtration consolidation of the basement is directly proportional to the value of Poisson's coefficient ratio of the basement, division of the foundation base length to its width and inversely proportional to the soil layer thickness.

Проблема

Расчет и прогноз развития кренов фундаментов сооружений, возведенных по расчетной схеме слоя конечной толщины на водонасы-щенном основании почти не представлен в ДБН В.2.1-10-2009 «Основания и фундаменты сооружений».

Актуальность

Наблюдения за осадками существующих зданий и строений показывают, что большие осадки нередко сопровождаются общим креном, приводящим к дополнительным, весьма нежелательным деформациям в конструкциях сооружений, затрудняющим их нормальную эксплуатацию. Выложены результаты теоретических исследований закономерностей развития во времени кренов фундаментов с прямоугольной формой подошвы на водонасыщен-ном грунтовом основании. В качестве модели и расчетной схемы основания принят упругий изотропный водонасыщенный грунтовый слой конечной толщины. Вносим допущение, что эпюра напряжений на контакте «основание-фундамент» имеет прямолинейные очертания (этой эпюре соответствует расчетная схема абсолютно - гибкого фундамента [1]).

Цель работы

Разработка аналитического решения по прогнозу крена прямоугольного фундамента в рамках модели линейно упругого изотропного во-донасыщенного основания при расчетной схеме грунтового слоя конечной толщины.

Методика исследования

Задача исследований для математической модели имела следующие исходные. Грунтовый слой толщиной Н подстилается малосжи-маемым скальным основанием. На поверхности слоя конечной толщины расположен прямоугольный фундамент со сторонами Ь и Ь. На фундамент действует моментная нагрузка М=Q■e, где М - действующий на уровне подошвы фундамента опрокидывающий момент, Q - равнодействующая приложенных к фундаменту вертикальных нагрузок, а е - эксцентриситет ее приложения. Предполагается, что в общем случае момент М является функцией времени

Грунтовое основание характеризуется упругими характеристиками - модулем сдвига 0=Е/[2■(1+v)] и коэффициентом Пуассона V, где Е - модуль общей деформации грунта.

© Бабич Ф. В., Седин В. Л., Шаповал В. Г., 2010

При этом реологической характеристикой основания является коэффициент пространственной консолидации Сv=Сk/3•(A+2G)/(3A+2G),

ментального используем полученное автором [2] решение (1) задачи о сосредоточенной силе, приложенной к верхней границе слоя ко-

где Ск — коэффициент консолидации при ком- нечной толщины. Решение (1) было получено в

прессии, а X — константа Лямэ A=v■£,/[(1+v)x x(1-2v)] [2, 3, 4, 5]. Предполагается, что момент-

предположении о том, что на контакте «раздробленный грунт — скала» имеет место фильт-

ная нагрузка приложена к фундаменту в момент рующая прослойка. Если таковая отсутству-

времени t = 0.

Рассмотрен случай постоянной во времени моментной нагрузки. В качестве фунда-

БШ)=ЖШ, Н)

2л6Н

ет, то в (1) следует удвоить толщину грунтового слоя, т.е. вместо Н положить Н1 = 2Н.

8Ь2(а) _ 2(1 - 2у) 8Ь2(а)(1 + СЬ(а))2 а а + 8Ь(а)СЬ(а) 1 -V [а + БЦа) • СЬ(а)]

I-

7 П

2^-22. 2 7=1,3,5 7 п + а

30(77,а)^а . (1)

Н

В формуле (1) а - параметр; 8Ь(а) и СЬ(а)- тикальное перемещение верхней границы осно-

соответственно гиперболические синус и коси- вания; Б(г^) - осадка верхней границы основания

нус; 30(х) - функция Бесселя первого ряда с ну- [2, 6]. Исследуем граничные (при t = 0 и t ^ да) зна-

левым индексом; г - координата; Щт^Н) - вер- чения (1). При t^ 0 имеем:

Б (г,0) = Щ (г,0, Н) =

1 -V 2%ОН ^

8И2(а)

2(1 _ 2у) 8И2 (а) • [1 + СИ(а)]2 • а

а + 8Ь(а)СИ(а)

1-у

а + 8И(а) • СИ(а)

;2 2 7 П

йЙС2 п2 + а2)2

30(®Н'

С учетом равенства [7]

^ 72 п 2 1 Х + Б^а )СИ(а)

77=13 (72 п 2 + а2)2

4а [1 + СИ( а )]2

найдем:

Расчет зависимостей «относительный крен -безразмерное время» для слоя конечной толщины выполнялся так. Вначале с использованием зависимостей вида:

s(г,0)=

т

тли!

8Ь2(а)

4пОН 0 а+8Ь(а)СЬ(а) \ Н)

• 301 а— \(а • (2)

При t ^ да имеем:

1 3

/ Л 1 -V <■

5 ( Г, 3 ) =

БЬ2(а)

2пОН 0 а + БЬ(а)СЬ(а)

- • 301 а— |(а . (3)

г

~Н

Сопоставление (2) и (3) позволило сделать вывод о том, что в процессе фильтрационной консолидации средняя осадка любой точки дневной поверхности слоя конечной толщины увеличится в 2(1—V) раз. В случае если коэффициент Пуассона грунтового скелета V = 0,5, то фильтрационная консолидация отсутствует вообще.

8Ь2 (а) • (1 + СЬ(а))2

8Ь2(а)

а + 8Ь( а )СЬ( а) 7=

г 0 = ехр(-( 0 а )

I а07 • т'(20);

(4)

была выполнена аппроксимация первого слагаемого подынтегральной функции выражения (1). Здесь Т7(х) — смещенные полиномы Чебышева [6]. Далее с использованием зависимостей

ехр(-а2с^) « I аиТ*(г1):

ехр

- ( а •

Н

(5)

была сделана аппроксимация входящей в (1) экспоненциальной функции. После этого с использованием выражений вида:

к 2 п 2

а + БЬ(а) • СЬ(а) (а2 + к2п2)2 7=1 г2 = ехр (-(2а )

I а 21Т1 Ч 2 2 )

(6)

была выполнена аппроксимация первых один- таким образом преобразований подинтегральная надцати членов входящего в подынтегральную функция была представлена в виде: функцию (1) ряда. В результате выполненных

зо

30

7 = 1

2(1 - 2V) • [1 + СИ20)] • а

а + а) • СИ(а) 1 -V (а + 8И(а) • СИ(а))2 ^ (а2 + 12п2)2 6ХР ( Н 2

-Сл

X а«¡т1 (2о)--:-ХехР

1=1 1 V ю = 1

Н

10 10 1 ]

-СV • / \XXXX а*, • -1 • 2 2-1

' 1=1 ] =1 к =1 /=1

гк 1 • г2 1 = ехр

(/ - 1)^,

1/н2

+ • ]

\

Здесь ак , = ац-ау с -с, , где ск, и с{ - к-ый и ,-ый коэффициенты смещенных полиномов Че-бышева 1-ой и ]-ой степени.

Далее с использованием соотношения (6)

ад 1

|е-Ч («ГК = ~ГТ

422 + а2

(8)

были аналитически вычислены несобственные В результате равенство (1) бьш° пртдота^ интегралы вида:

1 - V I 10 '

* (,/ ) = ^|ХX ^ ^■ (Н.г)-

лено в виде: 2 (1 - V)

1 - V

11 10 10 I ]

хХ е Н 2 ХХХХ ■Ф к/ (Н, г, /)

'0 =1

1-1 ]=1 к=1 /=1

Ф] (Н , Г) =

- при ] = 1; г

Фцк, (Н,Г,/) =

42 + Н2 (]■ -1)2 d 02

1 к = / = 1;

— при

г

1

4г2+(, -1)2 dl2 Ск

1

^г2 + (к -1)2 d22]Н

при ] Ф 1;

при к = 1 и / Ф 1; при к Ф 1 и / = 1;

1

(/ - 1НлНг + (к - 1К] • Н

Н

при к Ф 1 и / Ф 1

(9)

Далее найдем дифференциал осадки в точке dg (£,, п), которая приложена в точке с коорди-с координатами (х, у) от элементарной силы натами (£,, п) имеем:

d * :

(1 - V )

2 ( - v) •

10 10 1 ]

-g-dg (^, п)] X X аи Ф ] (н , г, х, у, ^, л)-^^ • X е Н' ХХХХ •Ф и (н , г, х, у, ^, п)

п ^ [ 1 = 1 у=1 1 v 10 =1 1 = 1 у=1 к = 1 / = 1

при ] = 1;

Фу (н ,х, у,I,п)

-у/(х-^)2 + (у-п)2

при ] Ф 1;

при к = / = 1

ф,,(Я, х, у,4,п] -

7(х+((-п)2

^ +((-п)2 +((-1)2 d12 Ск/ 1

1

при к = 1 и / Ф1; ; при кФ1 и/ = 1;

(-^)2 +( -п)2

С /

(Срт +((

кф1

при 2 / ф 1

• Н2

(10)

Теперь найдем прогиб основания в направ- действии моментной нагрузки относительно лении оси 0Х [8], т.е. дифференциал крена при оси 0У. Имеем:

^ = д7 =--27О-{V V: ^ (Х' У' % ' П)-

2 (1 - V )" ^^Ск' ^ 1е

2 ^ 10 10 г 1

Н V V V V

г = 1 1 = 1 к = 1 I = 1

•Фы (Н ,1 ,х,у,%,;

ф- (( у,п, %) =

1

[(х-%)2 +(у-п)2 ]

|32

- при 1 = 1;

[(х-%)2 +(у-П)2 +Н2 ¿2 (-1)2 ]А - при к =1 = 1:

при 1 Ф1;

ф",],к,1 ( х У' %'П) =

[(х-%)2 +(у-п)2 ]

|32

[(х-%)2 +(у-п)2 +((-1)2 4 СкР\

|32

[(х-%)2 +(у-п)2 +(к-1)2 ¿2)Н2 ]

|32

при к = 1 и IФ1;

при к Ф1 и I = 1;

кФ1

са.

(х-%)2 +(у-п)2 +|(к-1)а2] +((-1) н2 Н

Н2

Ж при / ф1

(11)

Следующим шагом подставляем в (11) значе- £ е (-6/2, Ь/2) и п е (-¿/2, Ы2). При этом поло-

ние дифференциала нагрузки ¿а (£, п) и проин- жим х = у = 0 (в этом случае так найден крен в

тегрируем полученное таким образом выраже- центре фундамента). Имеем: ние по площади фундамента на интервале

6 в е

п О Ь Ь

/2 /2 i 10 10

I а п I % 2 IV V а1; Ф- (н , %, п)- ^т!1^:1: еН ^ V V V V а1]11-ф'11 (н , %, п)[ а % ;

- ь/г - уг {.=1 у=1 -у; .0=1 -=1 1=1к=1 '=1 I

ф , =

(%2 + п2)

при 1 = 1;

[%2 + п2 + н 2 а0 (у -1 )2 ]'

при к = I = 1;

при у Ф 1;

Ф к, =

(%2 + п2)

[%2 + п2 + (, -1 )2 а,2 С,г];

[%2 + п2 + (к -1 )2 а 2 уН 2 ]'

при к = 1 и I Ф 1;

при к Ф 1 и I = 1;

кФ1

%2 + п2 + н2 | (к -1) а2 + (, -1) а^Нг2т

X при , ф 1

(12)

Далее представим, что

п * • ь

= п

В этом случае (12) принимает новый вид:

% • Ь . 2С,г

ь—^ = % , (. = к

—, ^ = Ьь и и =2 Н/ь.

1

1

1

1

1

2

пОЪ

I^Л^/,21ф;(,л') - ^I -2 -Ф« (',) [

-1 -1 I >_1 М I1 V <Ь _1 "Ъ _1 ■/_! к_1 I

е / со ; ' \

1

^ - при ' _1;

(Г2 +п'2 )2 1

Ф к1

((, п')

т','2 +П2 + 4 (-1)2 -2

1

при ' ф 1;

-у при к _1 _ 1; (( %2 +п'2 ) 1

тХ2 +п'2 +((-1)2 ^12 /'

т

','2 +п'2 +(к -1)2 £ -2

2'

при к _ 1 и I ф 1;

при к ф 1 и I _ 1;

к ф 1

при / ф 1

I 'е.. '2 '2 2

;т , 2 +п 2 +-

((-1)н- +(к-1)

2'

(13)

Выражения (13) интегрировались методом трапеций [8]. При этом для удобства расчетов табулировались вычисленные по формуле (14) значения относительных кренов /0 и полученные результаты рассматривались в графическом виде [8].

Заключение

Анализ полученных графических зависимостей позволяет сделать четкие выводы. В процессе фильтрационной консолидации крен расположенного на слое конечной толщины на интервале времени ^ е (0, да) изменяется в 2(1-у) раз. При этом если коэффициент Пуассона грунтового скелета V > 0,5, то изменения крена во времени не происходит вообще. Чем выше значение коэффициента Пуассона грунтового скелета водонасыщенного слоя конечной толщины, тем быстрее происходит стабилизация крена фундамента. Чем меньше отношение Ь/Ъ, тем быстрее завершается процесс развития крена во времени. При прочих равных условиях процесс развития крена фундамента с прямоугольной формой подошвы в сторону его большей стороны характеризуется более медленным затуханием, чем процесс развития крена в сторону меньшей стороны фундамента.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Горбунов-Посадов, М. И., Расчет конструкций на упругом основании [Текст]. - 3-е изд. / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Маликова,

B. И. Соломин. - М.: Стройиздат, 1984 - 679 с.

2. Зарицкий, Ю. К. Теория консолидации грунтов [Текст] / Ю. К. Зарицкий. - М.: Наука, 1967 -270 с.

3. Флорин, В. А. Основы механики грунтов [Текст]. - т. 1 / В. А. Флорин. - М.: Госстройиз-дат, 1959. - 357 с.

4. Флорин, В. А. Основы механики грунтов [Текст]. - т. 2 / В. А. Флорин. - М.: Гостройиз-дат, 1961. - 543 с.

5. Тимошенко, С. П. Теория упругости [Текст] /

C. П. Тимошенко, Дж. Гудьир. - М: Наука, 1966. - 635 с.

6. Корн, Г. Справочник по математике [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1974. - 840 с.

7. Ватсон, Д. Н. Теория бесселевых функцш [Текст] / Д. Н. Ватсон. - М.: Изд-во иностр. лит., 1949. - 798 с.

8. Бабич, Ф. В. Особенности развития крена прямоугольных фундаментов на водонасыщенном основании для слоя конечной толщины [Текст]: дис. ... канд. техн. наук: 05.23.02 / Приднепровская гос. академия строительства и архитектуры. - Д., 2006. - 171 с.

Поступила в редколлегию 23.03.2010.

Принята к печати 28.03.2010.

1

1