К определению граничных элементов в рамках модели водонасыщенного грунтового слоя конечной толщины Текст научной статьи по специальности «Физика»

№ 7 - 8 липень - серпень 2012

6. Власов В. З. Строительная механика тонкостенных пространственных систем. - М. : Стройиздат, 1949. - 434 с.

7. Сливкер В. И. К вопросу о назначении характеристик двухпараметрового упругого основания // Строительная механика и расчет сооружений. - 1981. - № 1. - С. 36 - 39.

8. Барвашов В. А., Федоровский В. Г. Трехпараметрическая модель грунтового основания и свайного поля, учитывающая необратимые структурные деформации грунта // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 1978. - № 4. - С. 17 - 20.

УДК 657.012.43

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАМКАХ МОДЕЛИ ВОДОНАСЫЩЕННОГО ГРУНТОВОГО СЛОЯ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ

Ключевые слова: граничные элементы, осадка, матрица, модель, фильтрационная консолидация, упругое водонасыщенное основание

Цель исследования: В рамках модели упругого водонасыщенного основания получить формулы для коэффициентов (точнее, функций) влияния матрицы податливости для трех- и четырехугольных граничных элементов, а также для граничных элементов в виде кольцевого сектора [4; 6; 7].

Изложение материала: Задача решалась в рамках расчетной схемы основания в виде слоя конечной толщины.

В рамках расчетной схемы полупространства эта проблема решена авторами [6 - 8].

Указанный набор граничных элементов позволяет определить напряженнодеформированное состояние грунтового основания фундаментов с практически произвольной формой подошвы.

При нахождении функций влияния для описания процесса фильтрационной консолидации нами была использована теория старения [5; 8].

Задача исследований была сформулирована так.

Граничный элемент площадью D находится на грунтовом слое толщиной H , который характеризуется упругими техническими характеристиками Е и V (или соответствующим им упругими константами Ламе Я и G), а также коэффициентом пространственной консолидации У [1.6].

На этот элемент действует внешняя распределенная единичная нагрузка q = 1, которая остается неизменной во времени и приложена к рассматриваемому граничному элементу в момент времени t = 0.

Требуется определить функции влияния матрицы податливости B(t) для граничных

и

элементов в виде четырехугольника, треугольника и кольцевого сектора.

Напомним, что по определению под коэффициентом влияния понимают осадку точки

основания с координатами (х]-,у]), обусловленной распределением по площади некоторой геометрической фигуры (т. е. либо четырехугольника, либо треугольника, либо кольцевого сектора и т. д.) с центром в точке с координатами (х.,у) единичной нагрузкой q = 1 [4].

Согласно [5], осадка упругого слоя толщиной Н в точке с координатой r под воздействием сосредоточенной силы Q в момент времени t равна:

А. В. Шаповал, к. т. н., доц., А. С. Головко, к. т. н., доц., Е. С. Титякова, к. т. н.,

В. С. Андреев*, к. т. н., доц.

*Днепропертовский национальный университет железнодорожного транспорта

им. академика Лазаряна

S(r,t)

2-ж-G • Н

1 -V

• в •!№)

Ж

0

2 • (1 -V)

1 - 2 •V

(1)

57

Вісник ПДАБА

где

. sh2(a) €€ € . sh2(a)-a-\l + ch(a)]2

Щ(а) =-----------------; Щ( a, t) = 4 ■ Щ( а) ■Щ1(a, t) ; Щ(а) =--------------г^—

а + sh(a) ■ch(a) \а + sh(a) ■ ch(a)]2

; &і(а,t) = Z і

i = l , 3,5

(i ■n)2

а2 +(i ■ n)2

-|2

■ exp

а2 + (i ■ n)2 Н 2

■ cv ■t

Здесь Q - величина сосредоточенной силы; Н - толщина слоя; G, v и cv -

соответственно модуль сдвига, коэффициенты Пуассона и пространственной консолидации основания [6; 7]; а - безразмерный параметр; Jq(х) - функция Бесселя первого рода с

нулевым индексом [6]; sh(х) и ch(х) - соответственно гиперболические синус и косинус [2]; r и t - соответственно координата и время.

Равенство (1) содержит несобственный интеграл, в силу чего его использование в качестве фундаментального решения возникают проблемы вычислительного характера. Поэтому для определения функций влияния используем полученную аппроксимацию (1):

(1 - v)' Q "

S(r, t) = ■

J Щ(а)^ J0(а )■ йа ;

(2)

0

(і - »)• Q

2 ■ р ■ G

10

z A ■ 4i(r)-i = 1

1 - 2 ■ н 10 10 10 10

z z z z DiJkm • ші]кт (r ,t)

2 ■(1 - н) i = 1j = 1m = 1k = 1

где Dijkm Ai ■B j ■ Ckm ; x(r)

r2 + (i -1)2 ■ da2 ■ H2

exp

Vijkm (r ):

(2 ■ m -1)2 ■ n2 ■ cv ■ t

H‘

1

r2 +

Jcv ■ t

(i -1) ■da+(j -1) ■ db -2lH— + (k -1) ■ d

2

m

■ H

Здесь Djm = Ai,Bj,Ckm,da,db и dm - полученные коэффициенты и константы аппроксимации.

1

Вначале рассмотрим случай прямоугольного граничного элемента с размерами сторон L и B, на который действует распределенная нагрузка q = 1 (рис. 2).

58

№ 7 - 8 липень - серпень 2012

Рис. 2. К определению коэффициента влияния матрицы податливости для прямоугольного

граничного элемента

Найдем осадку дневной поверхности Б*(х, у) точки основания с координатами (x, y) от элементарной нагрузки dQ(%,n) = q ■ d£ ■ dn, приложенной в точке с координатами (Щ) (см.

рис. 2). В этом случае в формуле (2) радиус следует положить равным r = ^J(x-%)2 + (у -ц)2 )

и проинтегрировать полученное выражение по координате ^ в пределах от - — до + — . Кроме того, полученный таким образом результат следует проинтегрировать полученное выражение по координате Ц в пределах от - — до +— (рис.2). Имеем:

—

L b

s (x,y )j±vi 77

2 п G L b

2 2

2 2

10 . *, - 4 1 -2■v

У A. ■ X (x, y,t,n\-----

. =1 і лі У П 2^(1-у)

10 10 10 10 * u У j 1ИУ 1кУ j j (х,у,ш)

■ d£■ dц, (3)

где

X* (x,y,^n) =

>/(x-£f +(y-nf + (i - 1)2 ■ da ■ H2

* ( z Л zi( t)

V.ikm ( x,y,Z,n,t) = 7------—-г

tJKrn \ / zn(x,y,%,n,t)

; zi( t) = exp

(2 ■ m -1)2 n2 ■ cv • t

H2

1

zn(x,y,%,n,t ) =

(x-4f + (y-пц +

Ic ■ t

(i - 1) ■da+( j - 1) ■ db + (k - 1) ■ dm,

H

■ H2

2

Далее определим функции влияния матрицы податливости метода граничных элементов

Bj(t) . В рассматриваемом случае с физической точки зрения функция влияния матрицы U

податливости By (t) является осадкой точки основания с координатами (xj,Уj), обусловленной распределенной по площади прямоугольника с размерами сторон в плане — и Lі и центром в точке с координатами (x., y.) единичной нагрузкой q = 1 в момент времени t.

Поместим центр загруженной области в точку с координатами (x.,y.) и найдем осадку точки с координатами (x. ,y.). При этом примем размеры загруженной области равными — и Lі, а распределенную нагрузку q равной единице. Кроме того, положим нагрузку неизменной во времени. Имеем:

59

Вісник ПДАБА

L _ b_

Bj (t )^-У 1 \ ij 2-р ■ G ‘lV

2 2

гДе Xjj (,j,4,ri) =

10

II M •“"ч* •“"ч* чі1 )

10 10 10 10

M M I I

J1=1j1 = 1m = 1k = 1

1

1 _ 2 ■ н

2 ■ (1 _ н)

Di1j1km -uH1j1km(ij’°J’°)

> ■ d° ■ d3

(4)

Xi _xj _%)

‘ xJ

+ (

■ dr

* і \ zi(t) ., ,

11km(ij°J°) = ; zi(t) = exp

h - xj -$?+у - yj -’if

(2 ■ m _ 1)2 -n2 ■ cv ■ t

zn(i, j, tnt ) =

lx _ Xj _4f+ \yi _ yj _ ny +

jc~t

(i1 _1)■da+(j1 _1)■ db + (k_1)■ dm

-|2

■ H

Интегралы (4) для каждого момента времени t целесообразно вычислять методом трапеций. При этом первый интеграл по переменной n вычислялся аналитически.

В случае треугольного граничного элемента (рис. 3) функция влияния матрицы податливости Bij (t) с физической точки зрения является осадкой точки основания с

и

координатами (xj, у 2, которая обусловлена единичной постоянной во времени нагрузкой q = 1, распределенной по площади треугольника с координатами вершин (x1,y1) , (x2,y2), (x3,y3) и центром в точке с координатами (x^,y^) в момент времени t.

Рис. 3. К определению коэффициента влияния матрицы податливости треугольного

граничного элемента

Техника определения функций влияния в целом такая же, как и для прямоугольного элемента. Отличие заключается в том, что в данном случае верхний и нижний пределы интегрирования по переменной n являются функциями координаты % , т. е.:

П1

[u(%_ x1) _ U(t_ x3)\

У1 +

(y3 _ yj) ■ (%_ x1)

xj _ X1

и

60

№ 7 - 8 липень - серпень 2012

П2

J(Z- xj) - U(Z- Х2)\

У1

+ [u(Z-x2) - U(Z-x3)\

У2

+

+ (y2 -y1)• (Z-xj)

x2 - x1

(У3 - У2) •(Z-x2)

+

(5)

x3 - x2

где U(x) - ступенчатая единичная функция Хевисайда [7], а (х1,у1), (х2,у2) и (х3,у3) -координаты вершин треугольника (т. е. загруженной области), причем xj < x2 < x3.

В связи с изложенным имеем:

»t ).sla.Y!

yW 2пG П x n1 x1

10 л * , „ ч 1 - 2 •v

2 A •х (i,j,Z,n)---------------

t = 1 11 1Г и 2 • (1 -v)

222 2 Di1j1km Щ(i,J,Z,n,t)

10 10 10 10 2 2 2 2 І1 = 1j1 = 1m = 1k =!

- см. пояснения к формуле (2), а х* (i,j,Z>n) и (i,j,Z,V>t)

>• dZ • dn ’ (6)

где Ai1 и Di1j1km см. пояснения к формуле (4).

Для граничного элемента в виде неправильного многоугольника (рис. 4); такие элементы используются с вычислительных комплексах «Лира» и «Мономах». Коэффициенты влияния матрицы податливости Bij найдем в виде:

в у (t • \ з {

2 • р • G З x 31x1

10 . * .4 1 -2• н

2 Ач ■ ч* (ij,o,j)----------

і = 1 ч1 ч1у ' 2 • (1 - н)

10 10 10 10 *

• 2 2 2 2 Di1j1km • Mi,j,km(iJ,oj0

11 = 1j1 = 1m = 1k = 1

>• do • d3 (7)

где Ai1 u Di1j1km

- см. пояснения к

см. пояснения к формуле (4).

Здесь з 1 = U(o - x1) - U(o - x4^]-

y1

+

формуле (2Х а ч* (i,j,o,j) и (Цо^о)

(у 4 - y1) • (о - x1)

+ \j(o - x4) - U(o - x!)\

У4

+

з2 = U(o - x1) - U(o - x2)\

x4 - x1

(У3 - У4) • (o - x4)

x! - x4

(У2 - У1) • (o - x1)

У1

+

+ [u(Z-x2) - U(Z-x3)]

У 2

+

x2 - x1 (y3 - y2)•(Z-x2) x! - x2

+

, x1 < x2 < x4 < x! .

61

Вісник ПДАБА

Рис. 4. К определению коэффициента влияния матрицы податливости для граничного элемента в виде неправильного многоугольника

С физической точки зрения в рассматриваемом случае функция влияния матрицы

податливости Bj(t) является осадкой точки основания с координатами (x .,У.),

iJ J J

обусловленной распределенной по площади четырехугольника с координатами вершин (х1, у1), (х2, у2), (х3, у3), (х4, у4) и центром в точке с координатами (Хі,Уі) единичной постоянной во

времени нагрузкой q.

Для граничного элемента в виде кольцевого сектора при определении коэффициентов влияния матрицы податливости BiJ следует перейти от декартовой к полярной системе

координат (рис. 5).

В данном случае под коэффициентом влияния следует понимать осадку точки М, положение которой определяется вектором длиной b, наклоненным к горизонтали под углом в под воздействием распределенной по площади кольцевого сектора abcd единичной постоянной во времени нагрузки. При этом положение центра граничного элемента abcd определяется вектором длиной р, наклоненным к горизонтали под углом р, а расстояние между центром граничного элемента и точкой М равно:

r = ^р2 + b2 - 2 ■ b ■ р ■ cos( р) . (8)

Далее подставим (8) в (2) и проинтегрируем полученное таким образом выражение в по координате р в пределах от R1,j до R2,J, а по координате р - в пределах от pj j до Р2 j .

Имеем:

.. (1 -у) P2,jR2,j

bj(tьhi-1R' <

pj,jRi,j

10 . **Ґ 4 1 - 2-v

s A- -xu

ii =1

l1 Лі1 .......' 2-(1 -v)

10 10 10 10

■ s s s s

i1 = 1j1 = 1m = 1k =

1 V 'РФ / 4

s s s s Di1j1km ■ ^i1J1km (и,рр)

>■ d^-dq’

(9)

где Ai и Di j m - см. пояснения к формуле (2); (9)

**Р ■ \ 1

Xi1 (Ч,рр)= і

ур2 + bi2 - 2-bi-р- cos ■ (p)+[(k -1) ■ da H ]

Vi

** \ zi (t) * .

(і^,р,Р,ґ) = —-------------; zi (t) = exp

i1j1kmK

zn (ij^pt)

(2^m -11)2 n2 ■cv-t

62

№ 7 - 8 липень - серпень 2012

zn (i,j,p,%t) =

,2,2

+ bj - 2 • bi • p • C05- (<p) +

+

(ij -1) ■da+(j1 -1) • db v + (k -1) • dm

H

і

c, • t

2

• H

Интегралы (9) целесообразно вычислять методом трапеций. При этом первый интеграл по переменной p целесообразно вычислять аналитически.

Рис. 5. К определению коэффициента влияния матрицы податливости для граничного

элемента в виде кольцевого сектора

Выводы. В целом полученные в ходе выполнения настоящей работы коэффициенты влияния матрицы податливости метода граничных элементов в рамках модели основания в виде линейного упругого изотропного водонасыщенного слоя конечной толщины решать такие задачи проектирования:

- определение напряженно-деформированного состояния грунтовых оснований, находящихся под воздействием приложенной к их верхней границе распределенной нагрузки;

- определение напряженно-деформированного состояния систем «грунтовое основание -фундамент»;

- определение напряженно-деформированного состояния систем «грунтовое основание -фундамент - надфундаментное строение».

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. - М. : Наука, 1966. - 664 с.

2. Зарецкий Ю. К. Теория консолидации грунтов. - М. : Наука, 1967. - 270 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М. : Наука, 1974. - 840 с.

4. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. - М. : Мир, 1987. - 328 с.

5. Новацкий В. Теория упругости. - М. : Мир, 1975. - 872 с.

6. Шаповал А. В. Алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния обладающих свойством ползучести водонасыщенных грунтовых оснований методом граничных элементов // Будівельні конструкції: Міжвідом. наук.-тех. зб. - Вип. 65. - К. : НДІБК, 2006. - С. 305 - 310.

7. Шаповал А. В., Шаповал В. Г., Капустин В. В. Метод граничных элементов в задачах определения НДС водонасыщенных грунтовых оснований, обладающих свойством ползучести. // Вісник Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна. - Вип. 14. - Д. : вид ДНУЗТ, 2007. - С. 220 - 224.

8. Шаповал А. В. Особливості взаємодії водонасичених основ, що мають властивість повзучості, з будинками і спорудами. Автореф. канд. дис. - Д. : ПДАБА, 2007. - 24 с.

63