КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517

Худайбердиев Х.

Старший преподаватель, Туркменский государственный университет имени Махтумкули

Туркменистан, г. Ашхабад

Худайбердиева А.

Старший преподаватель,

Международный университет нефти и газа имени Я.Какаева Туркменистан, г. Ашхабад

Оразгулыева М.

Учитель,

Средняя специализированная школа №27 Туркменистан, г. Ашхабад

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Аннотация: В данной статье рассматривается метод конечных разностей для решения краевых задач для систем уравнений гиперболического типа. Метод основан на замене производных в уравнениях конечно-разностными аналогами и позволяет получить приближенное решение с заданной точностью.

Ключевые слова: краевые задачи, дифференциальные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с частными производными.

Системы уравнений гиперболического типа играют важную роль в математической физике и находят широкое применение в различных

областях, таких как теория упругости, электродинамика, теория гравитации и др. В данной работе мы рассмотрим краевые задачи для таких систем и предложим методы их решения.

Краевые задачи для систем уравнений гиперболического типа являются важным разделом математической физики. Они возникают в различных областях науки и техники, таких как теория волн, теория упругости, теория распространения тепла, теория гидравлики и т.д.

Краевая задача для системы уравнений гиперболического типа состоит из системы уравнений и граничных условий, которые задают поведение решения на границе области, в которой рассматривается задача.

Производные, которые входят в дифференциальное уравнение и краевые условия, заменяют их разностными аналогами — линейными комбинациями значений сеточных функций в некоторых узлах сетки. В результате краевую задачу заменяют дискретной краевой задачей (разностной схемой), представляющей собой систему конечного числа линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Решение разностной схемы (предполагается, что оно существует) принимают за приближенное решение краевой задачи.

Общая форма системы уравнений гиперболического типа имеет вид (иу)их+^(и.у)иуу1+£\(u.v)vx+g2(u.v)vy=0.=0. где и и V - неизвестные функции, ? и х - пространственные переменные, / (и.у)./2(иу), gl(u.v) и g2(u.v) - некоторые функции от и и V.

Наиболее распространенными типами граничных условий для систем уравнений гиперболического типа являются:

• Условия Дирихле: и(?,х,у)=и0(х,у)на границе.

• Условия Неймана: их^х,у)^у^ ху)=0на границе.

• Условия смешанные:

и(?,х,у )=и0(х,у),их(?,х,у )=гу(?,х,у )=0на границе.

Решение краевой задачи для системы уравнений гиперболического типа может быть найдено с помощью различных методов, таких как метод Римана, метод характеристик, метод разложения по собственным функциям и т.д.

Примеры краевых задач для систем уравнений гиперболического типа • Задача о распространении волны в однородной среде

Му1=сих,=сух,

где с - скорость распространения волны.

Условия Дирихле: и(?,0,у)=и0(у),у(?,0,у)=у0(у) Условия Неймана: их( ,0,у)=ух(? ,0,у)=0

• Задача о колебаниях струны utvt=uxx,=vxx,

где и(^х) и у^х) - проекции перемещения струны на две взаимно перпендикулярные оси.

Условия Дирихле: и^<0)=и^£)=0у^<0)=у^,Ь)=0 Условия Неймана: их(?,0)=ух(?,0)=0,их(?,£)=ух(?,£)=0

• Задача о распространении тепла в однородном теле utvt=кuxx,=кvxx,

где к - коэффициент теплопроводности. Условия Дирихле: и^0,у)=и0(у),у^0,у)=у0(у) Условия Неймана: их(7,0,у)=ух(7,0,у)=0

Краевые задачи для систем уравнений гиперболического типа имеют важное значение для решения практических задач в различных областях науки и техники.

Для решения поставленной краевой задачи можно использовать различные методы, например метод конечных разностей, метод конечных элементов, спектральные методы и другие. Рассмотрим один из наиболее распространенных методов - метод конечных разностей.

Суть метода конечных разностей заключается в замене производных в уравнениях системы на их конечно-разностные аналоги. Метод конечных разностей состоит в замене исходной (непрерывной) задачи математической физики ее дискретным аналогом (разностной схемой), а также последующим применением специальных алгоритмов решения дискретной задачи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1.В. И. Степанов. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1962.

2. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциальных уравнений с частными производными. — М.: Наука, 1972.

3. А. А. Самарский. Введение в теорию краевых задач для уравнений математической физики. — М.: Наука, 1977.

4. С. М. Никольский. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1971.

Hudaiberdiev H.

Senior Lecturer, Turkmen State University named after Magtymguly Turkmenistan, Ashgabat

Hudaiberdieva A.

Senior Lecturer, International University of Oil and Gas named after Y. Kakaev Turkmenistan, Ashgabat

Orazgulyeva M.

Teacher,

Secondary specialized school No. 27 Turkmenistan, Ashgabat

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR A SYSTEM OF EQUATIONS OF HYPERBOLIC TYPE

Abstract: This article discusses the finite difference method for solving boundary value problems for systems of hyperbolic equations. The method is based on replacing derivatives in equations with finite-difference analogues and allows one to obtain an approximate solution with a given accuracy.

Key words: boundary value problems, differential equations, ordinary differential equations, partial differential equations.