CC BY
7Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2021. Том 28, № 4
УДК 517.946
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СОСТАВНОГО ТИПА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ А. И. Григорьева
Аннотация. Изучается разрешимость задачи Дирихле для дифференциальных уравнений составного (соболевского) типа вида
Бг [(-1)р и - Ь,(х)ихх] + а(х)ихх + с(х, г) и = /(х, г)
в области ( = {(х,г) : х € (-1, 0) и (0, 1), г € (0, Т), 0 < Т < (р > 1 целое,
^ = ^ = "щ)" Особенностью рассматриваемых уравнений является то, что
коэффициенты Ъ,(х) и а(х) в нем могут иметь разрыв первого рода при переходе через точку х = 0. Помимо обычных граничных условий Дирихле в изучаемой задаче задаются также условия сопряжения на линии х = 0. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений.
Б01: 10.255877SVFU.2021.56.53.002 Ключевые слова: дифференциальные уравнения составного типа, задача Дирихле, разрывные коэффициенты, регулярные решения, существование, единственность.
1. Введение
Работа посвящена исследованию разрешимости краевой задачи с данными Дирихле и дополнительными условиями сопряжения для дифференциальных уравнений составного (соболевского) типа вида
А [(-1)РА2р+1и - к(х)пхх] + а(х)пхх + с(х, ¿)и = /(х, I) (1)
(.О^ = ^рг, = р > 0 целое) с коэффициентами /¿(ж) и а(х), имеющими, быть может, разрыв первого рода в некоторой внутренней точке своей области определения.
Краевые задачи для дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами достаточно хорошо изучены для классических уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов [1—5], для уравнений смешанного типа [6—12]; из работ последнего времени по близкой к настоящей работе
Результаты получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России (НИР N0. FSRG—2020-0006).
© 2021 Григорьева А. И.
тематике отметим работы [13—16]. Краевые задачи для неклассических дифференциальных уравнений (уравнений составного типа, уравнений с кратными характеристиками, уравнений с меняющимся направлением эволюции и т.п.) с разрывными коэффициентами исследованы в значительно меньшей степени; из работ, схожих с данной статьей по постановке задач и технике их исследования и посвященных теории краевых задач для неклассических дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами, выделим работы [17—32].
Дифференциальные уравнения (1) в случае р = 0 и с непрерывными коэффициентами в некоторых источниках [33—35] называют псевдогиперболическими уравнениями. Для таких уравнений (т. е. уравнений (1) при р = 0) будет корректна классическая начально-краевая задача, но вместе с тем может быть корректна и классическая задача Дирихле.
Именно задача Дирихле, но для более общих уравнений — при р > 0 и в случае разрывных коэффициентов — и будет предметом исследования в настоящей работе.
Уточним, что целью работы будет доказательство существования и единственности регулярных решений — решений, имеющих в областях непрерывности коэффициентов все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение.
Пусть х — точка отрезка [-1,1] оси Ох, Ь — точка отрезка [0, Т], 0 < Т < го, (¿г, д2и(3 - цилиндры (-1, 0) х (0, Т), (0,1) х (0, Т) и (-1,1) х (0, Т) соответственно, с(х,Ь) и /(ж, £) — функции, определенные при (х,Ь) € (3, Ь(х), а(х) — заданные функции, определенные при х € [— 1,1] и, быть может, имеющие разрыв 1-го рода при х = 0, а, в — заданные действительные числа.
Краевая задача. Найти функцию и(х, Ь), являющуюся в цилиндрах Qх и решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия
2. Постановка задачи
и(-М)= и(М)=0, Ь € (0,Т), яки(х,г)|4=0 = 0, к = 0,... ,р, х € (-1, 0) и (0,1), и(х,Ь)|4=т = 0, к = 0,... ,р, х € (-1, 0) и (0,1),
¿=0
(2)
(3)
(4)
а также условия сопряжения
и(-0,Ь) = аи(+0,Ь), их(+0,Ь) = вия(-0,Ь), Ь € (0,Т).
(5)
Определим необходимые функциональные пространства Ух, У2 и У:
Qi
У = |«(х,Ь) : и(х,Ь) € Ух, и(х,Ь) € У2}
(все производные понимаются как обобщенные производные по С. Л. Соболеву). Норму в этих пространствах зададим равенствами
I "И*
Qi
И* = Ик + Иу2 .
Очевидно, что пространства VI, ^ и V с этими нормами будут банаховыми пространствами.
3. Разрешимость краевой задачи
Пусть
^1(х)
Л.(х)
при х £ [-1, 0),
Ит Л.(х) при х = 0,
х—»■—0
( а(х) при х £ [-1, 0),
а1(х) = ^ ^¿т а(х) при х = 0,
^2 (х)
Л.(х)
при х £ (0, 1],
Ит Л.(х) при х = 0,
х^+0
а(х)
при х £ (0, 1]),
а2(х) | Ит а(х) при х = 0,
х^+0
Л.01 = тах |Л.'1(х)|, ^02 = тах |^2(х)|.
се[—1,0]
е[0,1]
Заметим, что для функций и(х,£) £ V! и и(х, £) £ ^ справедливы неравен-
ства
(6)
(7)
(8)
J и^хМ < ^ J(1х(И, г = 1,2,
Qi Qi
при условии, что -О^и(х,^)|4_0 = 0, к = 0,... ,р.
Исследуем вопрос о единственности решений краевой задачи (2)—(5).
Теорема 1. Пусть
авЦ-0)М+0) > 0, Мх) £ С1 ([-1,0]), ^(х) £ С1 ([0,1]), 01(0:) £ С2([-1,0]), а2(ж) £ С2([0,1]), с(х, £ С1^), 4 £ (0, Т),
а''(х) + 2с(х, £) < 0, х £ (-1, 0) и (0,1), I £ (0,Т), (9)
а'(-0) > 0, а'(+0) < 0, (10)
М+0)а(-0) = й(-0)а(+0). (11) Пусть также существует число ¿0 > 0 такое, что
2^а(х) - ^21 > 0, х £ [-1, 0), 2^а(х) - > 0, х £ (0,1], (12)
¿2Т2р < 2п2р. (13)
и
х
Тогда краевая задача (2)-(5) может иметь не более одного решения в пространстве У.
Доказательство. Пусть 7 = , и пусть в уравнении (1) выполняется
/(х,Ь) = 0. Рассмотрим равенство
J [(—1 )р-02р+1и — + а{х)ихх + с(ж, (—и) с1хсИ+
Ql
+ J [(—1 )р-02р+1и — к(х)ихх\ + а(х)ихх + с(ж, (—7и) йхеИ = 0,
которое посредством интегрирования по частям, а также в силу условий (2)-(5) приводится к виду
J(£Р+1и)2 ¿х^Ь + ^У (др+хи)2 ¿х^Ь + J а(х)иХ ¿х^Ь + 7 J а(х)иХ ¿х^Ь
а''(х)
+ с(х, Ь)
Ql
и ¿х^Ь - 7
Q2
а''(х)
+ с(х, Ь)
и ¿х^Ь
00
+/ Ы'(хКи ^+^=0.(14)
Ql
Q2
Применим неравенства Гельдера и Юнга к последним двум слагаемым левой части (14):
Ы' (х)ижи^
У Ы' (х)их и^
с1хсИ < / с1хсИ + [ и^ с!хсИ,
51 2
2
2^о '
Ы2
ЫП9
(15)
йхеИ < — и+ йхМ Н—/
Тогда из равенства (14) в силу (15), а также неравенства (6) и условий (7)-(13) функция и(х, Ь) будет тождественно равна нулю. Это означает, что краевая задача (2)-(5) будет иметь не более одного решения в пространстве У.
Теорема доказана.
Перейдем к доказательству существования решения рассматриваемой краевой задачи. Пусть
_ аа(+0) _ 13а(-0) 01 ~ а(—0) ' ^ ~ о(+0) '
2
2
2
(16)
(18)
Теорема 2. Пусть выполняются условия (7)—(13) и условия
c(x,t) е C1 ([— 1, 0)) и C 1((0,1]), c(-0, t) = c(+0,t), 0 < Cx(x,t) < со, cx(+0,t) > 0, cx(—0,t) < 0, x е (—1,0) и (0,1), t е (0,t).
Пусть также существует число > 0 такое, что
2^a(x) > h01 + CO, 2^a(x) > h02 + CO, x е (— 1,1), t е (0,T), (17) f (—1,t) = f (1, t) = 0, t е (0,t),
a!01/*(—0, t)f (+0, t) = f (—0, t)fx(+0, t) = 0, t е (0, T).
Тогда краевая задача (2)-(5) имеет решение, принадлежащее пространству V, для любой функции f (x, t), fxx(x, t) из пространства L2(Q).
Доказательство. Вначале воспользуемся методом регуляризации. Рассмотрим следующую краевую задачу: найти функцию u(x,t), являющуюся в Q решением уравнения
Leu = Dt [(—1)pDt2p+1u — h(x)uxx] + a(x)uxx + c(x, t)u — euxxxx = f (x, t), (19)
где e — положительное число, и для которой выполняются условия (2)-(5) и условия
Uxx(—1,t)= Uxx(1,t) = 0, t е (0,T), (20)
Uxx(—0,t)= a1Uxx(+0,t), Uxxx(+0,t) = 01Uxxx(—0,t), t е (0,T). (21)
Пусть VO — линейное пространство,
VO = {v(x, t) : v(x, t) е V, vxxxx(x, t) е L2(Q 1) , vxHi(x,i) е L2(Q2)}
с нормой
д2
Нужно показать, что регуляризированная краевая задача при фиксированном е разрешима в пространстве УО для любой функции /(ж, 4) из пространства Ь2(ф).
Воспользуемся методом продолжения по параметру [36, гл. III, § 14]. Возьмем число А из отрезка [0,1] и рассмотрим семейство краевых задач: найти решение уравнения (19) такое, что для него выполняются условия (2)—(4), (20), (21), а также условия
и(-0,£) = Ааи(+0,4), Их(+0,£)= Авих(-0,г), 4 € (0,Т), (22)
ихх(-0, 4) = Аоцихх(+0,4), и*хх(+0,4) = Авх«ххх(-0, 4), 4 € (0, Т). (23) Воспользуемся далее техникой работы [21]. Заменой
'ж3 2
+ тг + тг
2 3
н со x2 1N "Т + 3
6
уравнение (19) нетрудно преобразовать в систему двух дифференциальных уравнений с «нагруженными» слагаемыми, но при этом для самих функций w(x, t) и z(x,t) будут выполняться однородные граничные условия, естественные для эллиптических краевых задач. Разрешимость при Л = 0 в пространстве V0 соответствующих краевых задач имеет место, и для разрешимости этих же задач в пространстве V0 при Л G [0,1] достаточно будет установить равномерную по Л оценку в L2(Q) всех слагаемых, входящих в уравнение для функций w(x,t) и z(x, t) (см. [36]). Искомая оценка будет иметь место, если для любых решений задачи (19), (2)-(4), (20)-(23) из пространства V0 будет справедлива оценка
IMk < NII/|U2(Q) (24)
с постоянной N, определяющейся функциями h(x), а(ж), c(x, t), а также числами а и в.
Покажем,что требуемая оценка (24) действительно имеет место.
Рассмотрим равенство
J Lue ■ (-и) dxdt + 7 J Lue ■ (-и) dxdt = J / ■ (-и) dxdt + 7 J / ■ (-и) dxdt.
Qi Q2 Qi Q2
Повторяя выкладки, выполненные при анализе равенства (14), и применяя неравенства Гельдера и Юнга, а также используя неравенства (16) и условия (7)-(12) и (18), получим оценку
J (-Dp+1u,)2 dxdt + J (-Dp+1u,)2 dxdt + J и2 dxdt + J и2 dxdt Qi Q2 Qi Q2
+ ej u2xx dxdt + ej u2xx dxdt < MJ/(25)
-2(Q)'
Qi Q2
где M1 определяется функциями h(x), a(x), c(x, t) и числами а и в. Теперь рассмотрим равенство
У Lue ■ (-иХ11г) dxdt + 7 У Lue ■ (-иХ11г) dxdt Qi Q2
= У / ■ (-ихххх) dxdt + 7 У / ■ (-ихххх) dxdt. Qi Q2
Применяя интегрирование по частям и используя условия (2)-(5), получим следующее равенство:
>Т+1ига)2 dxdt+7 /(^Р+1и )2.
У (Dp+1uxx)2 dxdt+7 У (Dp+1uxx)2 dxdt+У а(х)иХхх dxdt+7 У а(х)иХхх dxdt Qi Q2 Qi Q2
T
— — У a"(x)uxx dxdt—У a"(x)uxx dxdt + — j a {—0)uxx(—0, i) dt
dxdt
—У а/(+0)ихх(+0, Ь) ей + J еихххх ¿хМ + 7 J еихххх ¿хМ о 31 32
+ J сх(ж,4)ииххх + 7 J сх(ж,4)ииххх + J с(ж,£)ихг
31 32 31
+ ^ ф, 4)ихиххх + / Ы ^^ + ^ Ы ^^ ^
32 31 32
+ 1 /(ж,4)ихххх ^ж^ + ^У /(ж, 4)ихххх ^ж^ = 0. 31 32
Применяя неравенства Гельдера и Юнга, а также условия (7)—(13), (16)-(18), получим оценку
J (£Р+1ихх)2 + J (^Р+1ихх)2 + J их + J их 31 32 31 32
I иххх + 1иххх ^ + ^ ихххх ^ 31 32 31
+ eyULxx dxdt < M2^f H^q), (26)
Q2
где M2 определяется функциями h(x), a(x), c(x,t) и числами e, а и в. Следующим рассмотрим равенство
У Lue ■ (A — t)(— 1)p(Dt2p+2u) dxdt + 7 J Lue ■ (A — t)(—1)p (Dt2p+2u) dxdt Qi Q2
= J f ■ (A — t)(—1)p(Dt2p+2u) dxdt + 7 у f ■ (A — t)(—1)p(Dt2p+2u) dxdt,
Qi Q2
где A > T. Интегрируя по частям в этом равенстве и применяя условия (2)-(5), а также неравенства Гельдера и Юнга, условия (7)-(13), (16)-(18), получим оценку
У (Dt2p+2u)2 dxdt + J(Dt2p+2u)2 dxdt < Ma||f ||L(q), (27)
Qi Q2
где M3 определяется функциями h(x), a(x), c(x, t) и числами e, а и в.
Из оценок (25)-(27) следует равномерная по параметру Л оценка (24) для всех решений u(x, t) из пространства V0 краевой задачи (2)-(4), (20)-(23) при фиксированном e в пространстве V0 для любой функции f (x, t) из пространства
L2(Q).
Покажем, что для семейства решений ue(x, t) имеет место априорная оценка, равномерная по e и такая, что с ее помощью можно будет осуществить предельный переход. Воспользуемся тем, что функция f(x, t) имеет обобщенные
производные по переменной х до второго порядка включительно, принадлежащие пространству Ь2(^). Повторяя по сути доказательство оценок (26) и (27), но в правой части дополнительно интегрируя по частям, для семейства решений ие(х, £) получим новую оценку
У (££+1ие)2 ¿х^ + У (£Р+1ие)2 ¿х^ + У (££+1иехх)2 ¿х^ 2
+ /(^р+1иехх)2 ¿х^ + /(^2Р+2ие)2 ¿х^
0
+ У (^2р+2ие)2 + 1 и2 + 1 и;2 + 1 и^ + J и^
02 01 02 01 02
+ е У и2хх + ^ У и2хх + У и2ххх + J и2ХХХ
01 02 01 02
+ е / и*2ХХХХ | е / ^^2ХХХХ
¿х^^ I е ^ 01 02
< М^^У /2(х,£) + 1 /2(х, £) + 1 /Хх(х,£) + J /Хх(х,£) ¿х^^ , 01 02 01 02
где М0 определяется функциями Л.(х), а(х), с(х,£) и числами а, в.
Из этой оценки и рефлексивности пространства Ь2 следует, что существуют последовательности {еп} положительных чисел и функция и(х, £) такие, что при п ^ го выполняется еп ^ 0, иЕп(х,£) ^ и(х,£), Др+1иЕпХХ(х, ¿) ^ Др+1ихх(х, ¿), ^2р+2иеп (х,£) ^ ^2р+2и(х, ¿) слабо в пространстве £2(ф). Таким образом, предельная функция и(х, £) будет принадлежать пространству V и будет решением краевой задачи (2)-(5) из требуемого класса. Теорема доказана.
4. Заключение
В работе получены теоремы существования и единственности регулярных решений краевой задачи с условиями Дирихле и дополнительными условиями сопряжения на внутреннем многообразии для некоторого класса дифференциальных уравнений составного типа. Изучаемые уравнения имеют модельный вид, и нетрудно будет получить результаты, аналогичные представленным выше, для более общих уравнений — например, для уравнений с дополнительными младшими производными, для уравнений со старшими коэффициентами, зависящими и от переменной и т. п. Краевые условия в изучаемых задачах также можно «пошевелить» — одно или оба из условий (2) можно заменить условием на производную их, и т. д. Наконец, коэффициенты а и в условий сопряжения (5) и (6) могут быть функциями переменной
ЛИТЕРАТУРА
1. Олейник О. А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типов с разрывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1961. Т. 25. С. 3-20.
2. Ильин В. А. О разрешимости задач Дирихле и Неймана для линейного эллиптического оператора с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137, № 1. С. 2830.
3. Ильин В. А. Метод Фурье для гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1962. Т. 142, № 1. С. 21-24.
4. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
5. Ильин В. А., Шишмарев И. А. Метод потенциалов для задач Дирихле и Неймана в случае уравнения с разрывными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 1961. Т. 2, № 1. С. 46-58.
6. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.
7. Ладыженская О. А., Ступялис Л. Об уравнениях смешанного типа // Вестн. Ленингр. ун-та. 1967. № 18. С. 38-46.
8. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970.
9. Ладыженская О. А., Ступялис Л. Краевые задачи для уравнений смешанного типа // Тр. МИАН СССР. 1971. Т. 116. С. 101-136.
10. Ступялис Л. Краевые задачи для эллиптико-гиперболических уравнений // Тр. МИАН СССР. 1973. Т. 125. С. 211-229.
11. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1986.
12. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.
13. Рогожников А. М. Исследование смешанной задачи, описывающей процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков, при условии совпадения времени прохождения волн по каждому из этих участков // Докл. АН. 2012. Т. 441, № 4. С. 449-451.
14. Кулешов А. А. Смешанные задачи для уравнения продольных колебаний неоднородного стержня со свободным либо закрепленным правым концом, состоящего из двух участков разной плотности и упругости // Докл. АН. 2012. Т. 442, № 4. С. 451-454.
15. Рогожников А. М. Исследование смешанной задачи, описывающей процесс колебаний стержня, состоящего из нескольких участков с произвольными длинами // Докл. АН. 2012. Т. 444, № 5. С. 488-491.
16. Смирнов И. Н. О колебаниях, описываемых телеграфным уравнением в случае системы, состоящей из нескольких участков разной плотности и упругости // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 49, № 5. С. 643-648.
17. Potapova S. V. Boundary value problems for pseudoparabolic équations with a variable time direction. TWMS // J. Inequal. Pure Appl. Math. 2012. V. 3, N 1. P. 73.
18. Кожанов А. И., Потапова С. В. Задача Дирихле для одного класса уравнений составного типа с разрывным коэффициентом при старшей производной // Дальневост. мат. журн. 2014. Т. 14, № 1. С. 48-65.
19. Кожанов А. И., Шарин Е. Ф. Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка. II // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 1. С. 18-28.
20. Кожанов А. И., Потапова С. В. Задача сопряжения для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, со знакопостоянной функцией при старшей производной // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2015. Т. 15, № 2. С. 51-59.
21. Кожанов А. И., Потапова С. В. Задача сопряжения для дифференциальных уравнений нечетного порядка с двумя временными переменными и с меняющимся направлением эволюции // Докл. АН. 2017. Т. 474, № 6. С. 661-664.
22. Кожанов А. И. Задача сопряжения для одного класса уравнений составного типа пермен-ного направления // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2002. С. 96-109.
23. Шубин В. В. Краевые задачи для уравнений третьего порядка с разрывным коэффициентом // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2012. Т. 12, № 1. С. 126-138.
24. Кожанов А. И., Шарин Е. Ф. Задача сопряжения для некоторых неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка // Укр. мат. вюник. 2014. Т. 11, № 2. С. 181202.
25. Антипин В. И. Разрешимость краевой задачи для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С. 8-15.
26. Pyatkov S. G., Popov S. V., Antipin V. I. On solvability of boundary value problem for kinetic operator-differential equations // Integral Equ. Operator Theory. 2014. V. 80, N 4. P. 557-580.
27. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Науч. кн., 1998.
28. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.
29. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroup of operators. Utrecht: VSP, 2003.
30. Hayashi N., Kaikina E. I., Naumkin P. I., Shishmarev I. A. Asymptotic for dissipative nonlinear equations. Berlin: Springer-Verl., 2006.
31. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.
32. Корпусов М. О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях. М.: Либроком, 2011.
33. Кожанов А. И. Псевдогиперболические и гиперболические уравнения с растущими младшими членами // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 1999. Т. 3, № 2. С. 31-47.
34. Потапова С. В. О разрешимости краевых задач для псевдогиперболических уравнений переменного направления времени // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 1. С.108-124.
35. Кожанов А. И., Лукина Г. А. Псевдопараболические и псевдогиперболические уравнения в нецилиндрических по временной переменной областях // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 3. С. 31-47.
36. Треногин В. A. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2007.
Поступила в редакцию 20 октября 2021 г. После доработки 20 октября 2021 г. Принята к публикации 26 ноября 2021 г.
Григорьева Александра Ивановна,
Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова,
Институт математики и информатики,
кафедра высшей математики,
ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891;
Академия наук Республики Саха (Якутия),
пр. Ленина, 33, Якутск 677891
shadrina_ai@mail.ru
Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2021. Том 28, № 4
UDC 517.946
THE DIRICHLET PROBLEM FOR THE HIGHER ORDER COMPOSITE TYPE EQUATIONS WITH DISCONTINUOUS COEFFICIENTS A. I. Grigorieva
Abstract: We study the Dirichlet problem for the composite type differential equations
Dt [(-1)pDt2p+1 u - h(x)uxx\ + a(x)uxx + c(x, t)u = f (x, t)
in the domain Q = {(x,t) : x € (-1,0) U (0, 1), t € (0,T), 0 < T < where
p > 1 is an integer, D£ = Jpf, and Dt = J^-. The feature of such equations is that the coefficients h(x) and a(x) can have a discontinuity of the first kind when passing through the point x = 0. In addition to the usual Dirichlet boundary conditions, the problem under study also specifies the conjugation conditions on the line x = 0. Existence and uniqueness theorems are proved for regular solutions (those having all generalized Sobolev derivatives).
DOI: 10.25587/SVFU.2021.56.53.002
Keywords: differential composite type equations, the Dirichlet problem, blow-up coefficient, regular solution, existence, uniqueness.
REFERENCES
1. Oleinik O. A., "Boundary value problems for linear equations of elliptic and parabolic type with discontinuous coefficients," Izv. AN USSR. Ser. Math, 25, 3-20 (1961).
2. Il'in V. A., "On the solvability of the Dirichlet and Neumann problems for a linear elliptic operator with discontinuous coefficients," Sov. Math., Dokl., 2, 228-231 (1961).
3. Il'in V. A., "The Fourier method for a hyperbolic equation with discontinuous coefficients," Sov. Math., Dokl., 3, 12-16 (1962).
4. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., and Uraltseva N. N., Linear and Quasilinear Parabolic Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1967).
5. Ilyin V. A. and Shishmarev I. A., "Potential method for the Dirichlet and Neumann problems in the case of equations with discontinuous coefficients," Sib. Math. J., 2, No. 1, 46-58 (1961).
6. Bitsadze A. V., Equations of Mixed Type [in Russian], Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow (1959).
7. Ladyzhenskaya O. A. and Stupyalis L., "About mixed type equations [in Russian]," Vestn. Leningrad. Gos. Univ., No. 18, 38-46 (1967).
8. Smirnov M. M., Mixed Type Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1970).
9. Ladyzhenskaya O. A. and Stupyalis L., "Boundary value problems for mixed type equations," Tr. MIAN USSR, 116, 101-136 (1971).
10. Stupyalis L., "Boundary value problems for for elliptic-hyperbolic equations," Tr. MIAN USSR, 125, 211-229 (1973).
11. Juraev T. D., Boundary Value Problems for Equations of Mixed and Mixed-Composite Types [in Russian], Fan, Tashkent (1986).
© 2021 A. I. Grigorieva
12. Moiseev E. I., Mixed Type Equations with a Spectral Parameter [in Russian], Izdat. Moskov. Univ., Moscow (1988).
13. Rogozhnikov A. M., "Study of a mixed problem describing the oscillations of a rod consisting of several segments with arbitrary lengths," Dokl. Math., 85, No. 3, 399-402 (2012).
14. Kuleshov A. A., "Mixed problems for the equation of longitudinal vibrations of a heterogeneous rod and for the equation of transverse vibrations of a heterogeneous string consisting of two segments with different densities and elasticities," Dokl. Math., 85, No. 1, 98-101 (2012).
15. Rogozhnikov A. M., "Study of the mixed problem, describing the process of shaft vibrations, consisting of several sections with arbitrary lengths," Dokl. Math., 444, No. 5, 488-491 (2012).
16. Smirnov I. N., "Oscillations described by the telegraph equation for a system consisting of several sections of different density and elasticity [in Russian]," Differ. Equ., 49, No. 5, 643648 (2012).
17. Potapova S. V., "Boundary value problems for pseudoparabolic equations with a variable time direction. TWMS," J. Inequalities Pure Appl. Math., 3, No. 1, 73 (2012).
18. Kozhanov A. I. and Potapova S. V., "The Dirichlet problem for a class of composite equations type with a discontinuous coefficient of the highest derivative [in Russian]," Dalnevost. Math. J., 14, No. 1, 48-65 (2014).
19. Kozhanov A. I. and Sharin E. F., "A conjugate problem for some higher order nonclassical equations, II [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU, 21, No. 1, 18-28 (2014).
20. Kozhanov A. I. and Potapova S. V., "Conjugate problem for a third order equation with multiple characteristics and a positive function at the higher order derivative," J. Math. Sci., New York, 215, No. 4, 510-516 (2016).
21. Kozhanov A. I. and Potapova S. V., "Transmission problem for odd-order differential equations with two time variables and a varying direction of evolution," Dokl. Math., 95, No. 3, 267-269 (2017).
22. Kozhanov A. I., "A conjugation problem for a class of composite-type equations of variable direction [in Russian]," in: Nonclassical Equations of Mathematical Physics, pp. 96-109, Izdat. Sobolev Inst. Mat., Novosibirsk (2002).
23. Shubin V. V., "Boundary problems for third-order equations with discontinuous coefficients [in Russian]," Vestn. Novosib. Gos. Univ., 12, No. 1, 126-138 (2012).
24. Kozhanov A. I. and Sharin E. F., "A conjugation problem for some nonclassical differential equations of higher order [in Russian]," Ukr. Mat. Vestn., 11, No. 2, 181-202 (2014).
25. Antipin V. I., "The solvability of the boundary value problem for a third-order equation with changing time direction [in Russian]," Mat. Zametki YaGU, 18, No. 1, 8-15 (2011).
26. Pyatkov S. G., Popov S. V., and Antipin V. I., "On solvability of boundary value problem for kinetic operator-differential equations," Integral Equ. Oper. Theory, 80, No. 4, 557-580 (2014).
27. Demidenko G. V., Equations and Systems Which Are Not Solved With Respect To Higher Derivative [in Russian], Nauch. Kniga, Novosibirsk (1998).
28. Kozhanov A. I., Composite Type Equations and Inverse Problems, VSP, Utrecht (1999).
29. Sviridyuk G. A., Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroup of Operators, VSP, Utrecht (2003).
30. Hayashi N., Kaikina E. I., Naumkin P. I., and Shishmarev I. A., Asymptotic for Dissipative Nonlinear Equations, Springer (2006).
31. Sveshnikov A. G., Al'shin A. B., Korpusov M. O., and Pletner Yu. D., Linear and Nonlinear Equations of Sobolev Type [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2007).
32. Korpusov M. O., Blow-up in Non-Classical Non-Local Equations [in Russian], Librokom, Moscow (2011).
33. Kozhanov A. I., "Pseudo-hyperbolic and hyperbolic equations with growing lower terms [in Russian]," Vestn. Chelyab. Gos. Univ., 3, No. 5, 31-47 (1999).
34. Potapova S. V., "Boundary value problems for pseudohyperbolic equations with a varying time direction [in Russian]," Mat. Zametki YaGU, 18, No. 1, 108-124 (2011).
35. Kozhanov A. I. and Lukina G. A., "Pseudoparabolic and pseudohyperbolic equations in non-cylindrical time domains [in Russian]," Mat. Zametki SVFU, 26, No. 3, 31-47 (2019).
36. Trenogin V. A., Functional Analysis [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2007).
Submitted October 20, 2021 Revised October 20, 2021 Accepted November 26, 2021
Aleksandra I. Grigorieva
Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia; Academy of Sciences of the Republic of Sakha (Yakutia), 33 Lenin Avenue, Yakutsk 677000, Russia shadrina_ai@mail.ru
