Итерационный метод решения задачи Дирихле и ее модификаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2017. Том 24, № 3

УДК 519.63

ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И ЕЕ МОДИФИКАЦИЙ

В. И. Васильев, А. М. Кардашевский, В. В. Попов

Аннотация. Исследованию существования, единственности и численным методам решения обратной задачи Дирихле для гиперболических уравнений второго порядка посвящен цикл работ научной школы члена-корреспондента РАН С. И. Кабани-хина. В данной работе рассматривается численное решение неклассической задачи Дирихле и ее модификаций для двумерного гиперболического уравнения второго порядка. Применяется метод итерационного уточнения недостающего начального условия с помощью дополнительного условия, заданного в конечный момент времени. При этом на каждой итерации численно реализуется прямая задача. Эффективность предлагаемого вычислительного алгоритма подтверждена расчетами для модельных двумерных задач, в том числе при задании дополнительных условий со случайными ошибками.

БС1 10.25587/SVFU.2018.3.10888 Ключевые слова: гиперболическое уравнение, обратная задача, задача Дирихле, метод конечных разностей, итерационный метод, метод сопряженных градиентов, случайные ошибки.

Введение

Задача Дирихле для гиперболического уравнения второго порядка относится к классу условно корректных задач математической физики. Доказательство корректности постановки задачи Дирихле для уравнений гиперболического типа второго порядка можно найти в книгах [1—3]. Общий подход к решению таких некорректных задач базируется на их сведении к обратным задачам с последующим использованием градиентных итерационных методов. Основу этих методов составляет нахождение приближенного численного решения некорректных задач из итерационной минимизации соответствующего функционала. В цикле работ С. И. Кабанихина и его учеников [4,5] численно исследовано решение задачи Дирихле для волнового уравнения оптимизационными итерационными методами Ландвебера и наискорейшего спуска, проведено теоретическое исследование их устойчивости и сходимости приближенного решения к решению исходной дифференциальной задачи для одномерного и двумерного гиперболических уравнений второго порядка.

Работа выполнена при поддержке гранта Росссийского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17.01.000732).

© 2017 Васильев В. И., Кардашевский А. М., Попов В. В.

Как правило, дополнительная информация в обратных задачах известна приближенно, поскольку используемые при замерах приборы имеют определенный класс точности. Следовательно, методы решения обратных задач должны обладать устойчивостью к малым погрешностям во входных данных (условиях переопределения). Также актуален вопрос единственности решения, исследование которого дает ответ на вопрос о том, достаточно ли имеющейся экспериментальной информации для однозначного определения искомой характеристики изучаемого объекта или процесса [1,3].

Как указано в монографии [3], большие перспективы имеют итерационные алгоритмы решения эволюционных обратных задач, которые хорошо учитывают специфику рассматриваемых задач, в них итерационно уточняется начальное условие, поскольку на каждой итерации решается корректная прямая начально-краевая задача. Так, для численного решения ретроспективной обратной задачи теплопроводности, аналогу задачи Дирихле для параболического уравнения, академик А. А. Самарский с учениками [6] предложил итерационный метод, заключающийся в уточнении начального условия итерационными методами вариационного типа. В работах [7-9] нами для численного решения задачи Дирихле использован итерационный метод сопряженных градиентов.

В данной работе для численного решения задачи Дирихле и ее модификаций для двумерного гиперболического уравнения второго порядка предлагается использовать подход с итерационным уточнением недостающего начального условия по дополнительной информации, в том числе заданной с ошибкой. Для поставленных неклассических задач по заданным значениям решения или производной от решения по времени на конечный момент времени методом сопряженных градиентов уточняются начальные значения решения или производной от решения по времени. Приводятся результаты расчетов на модельных задачах с квазиточными решениями, демонстрирующие возможности итерационного метода.

1. Решение прямой задачи для гиперболического уравнения

Рассмотрим начально-краевую задачу для гиперболического уравнения второго порядка

,еП, 0<,<Т. (1,

а=1 4 у

где О = (0,11) х (0,12). Пусть на границе области выполняются однородные граничные условия первого рода

п^, I) = 0, x е Г, 0 <1 < Т. (2)

Здесь Г — граница области О: Г = Пусть в начальный момент времени

заданы начальные условия в виде

ди

и(х, 0) = </?(х), — (х,0) =^(х), хео. (3)

При достаточной гладкости входных данных 0 < сх < А^^) < с2 < те, а = 1, 2, ф^) задача (1)—(3) поставлена корректно.

Ее численное решение проведем с помощью метода конечных разностей [10]. В области определения задачи (1)—(3), представляющей собой параллелепипед [0,1х] х [0,12] х [0,Т], введем равномерную сетку с шагами Н\,Н2 и т:

йнт = шъ х шт,

где

ши = üih х ÖJ2/i,

h = {xh = ihi, i = 0,1,... , ni; hi = li/ni},

= {x2j = jh2, j = 0, 1, . . . , n2; h2 = ?2/n2},

ÜJT = {tm = тт, m = 0,1, ... , M; r = T/M}.

На множестве сеточных функций y £ H таких, что y(x) =0, x £ Ih определим сеточные операторы

2

A =Y. Aa,

а=1

Аху = — (а^)^ )Х1, x е шь, А2У = — )Х2, x е шь,

положив, например, а^^) = — 0.5Л.а), а =1, 2.

В сеточном гильбертовом пространстве Н скалярное произведение и норму введем соотношениями

(y,v)=53 yvhih2, ||y|| = (y,y)i/2.

хеши

В Н оператор А является самосопряженным, положительно определенным и ограниченным:

А = А*, 8сх(1/г2 + 1/12) < ||АН < 4С2(1/Л? + 1/Л2).

При использовании симметричной трехслойной разностной схемы с весовым множителем а дискретный аналог задачи имеет вид

У~2У2+У + А((ту + (1 - 2 ет)у + ау) = 0, (4)

г/(о) = «^(х), г/(г) = г/(о) + г^(х), (5)

где 0 < а < 1 и использована безиндексная система обозначений А. А. Самарского [10]:

у = у3+1, У = У°, У = У3~1, х£шн.

Хорошо известно [10], что разностная схема (4), (5) на решении начально-краевой задачи (1)-(3) имеет второй порядок аппроксимации 0(т2 + |Л.|2) и устойчива при выполнении условия

(6)

Для ее решения справедлива априорная оценка

\\уII* <\\УII* < ... <\\У(т)\\*, г е шт, (7)

где норма \\У\\* определяется следующим образом:

2 1 1

П1* = 4 IIУ + У\\а + Г2\Ы1_±А, И=-аЕ + <тА. (8)

Отметим, что для явной разностной схемы (а = 0) условие устойчивости (8) принимает вид

т < , ^ . (9)

у/^+Щ)

Таким образом, при достаточной гладкости входных данных и выполнении условия устойчивости (9) решение разностной схемы (4), (5) сходится к решению дифференциальной задачи (1)-(3) со скоростью порядка 0(т2 + |Л.|2).

Приведем результаты вычислительного эксперимента. Численную реализацию разностной схемы (4), (5) проведем на примере решения прямой задачи для двумерного уравнения гиперболического типа (1)-(3) при следующих значениях исходных данных: ка^) = 1, а = 1, 2, 0 < г < Т, и при начальных условиях

у>(х) =е-7((-1-г/2)2+(х2-г/2)2); (10)

0(х) = е-7((-1-г/2)2+(х2-г/2)2); (11)

Численное решение поставленной прямой задачи проводилось по явной разностной схеме с весовым множителем а = 0, 11 = 12 = 1 = 1, 7 = 100 на пространственно-временной сетке с параметрами п1 = п2 = N = 100, Н1 = ¡г2 = К = ¿/Ж, М = 57, т = 0.98/г/а/2, таким образом, Т = 0.39499.

На рис. 1А представлен график первого начального условия задавае-

мого формулой (10), на рис. 1В — график второго начального условия, задаваемого формулой (11), на рис. 1С — решение задачи в финальный момент времени УмМ, г = 0,1,..., п1, ] = 0,1,..., п2, а на рис. Ш — разностный аналог произ-

М _ М—1

водной по времени от решения задачи в финальный момент времени ———, г = 0, 1, .. ., п1, ] = 0,1, .. ., п2.

Рассмотренная задача в дальнейшем будет использована в качестве квазиточного решения для установления точности итерационных методов решения задачи Дирихле и ее модификаций для двумерного гиперболического уравнения второго порядка.

Рис. 1. Решение прямой задачи

2. Итерационное решение задачи Дирихле

В параллелепипеде ^ х (О, Т) ищем функцию и(х^) — решение задачи Дирихле для гиперболического уравнения второго порядка

с однородными граничными условиями первого рода

и(х, г) = о, х е г, о < г < т, (13)

и условиями по времени

гл(х, 0) = </?(х), гл(х, Т) = г/(х), хеП. (14)

Задача Дирихле (12)-(14) относится к классу неклассических задач математической физики и является условно корректной [1]. Она может, как подтверждает нижеследующий простейший пример, иметь неединственное решение. Пусть ф(х) = 0; ^(х) = 0; ка = 1, а = 1, 2; /1,12,Т е N, тогда задача (12)-(14), помимо тривиального решения и(х, г) = 0, имеет семейство решений, задаваемых формулой

и(х 1 , х2,г) = с• вт(кпг) • сов(тпх1) • соб(ппх2), с е Я, к,т,п е N, п2 = к2 + т2,

т. е. натуральные числа k,m,n представляют собой пифагоровы тройки.

При использовании симметричной трехслойной разностной схемы с весовым множителем г дискретный аналог задачи (12)—(14) имеет вид

у-2у + у + А(сгу + (1 - 2a)y + ау) = 0, х G uhT, (15)

т 2

y(to) = ip(x), j/(ím)=^(x), х £ HJh- (16)

Для численной реализации системы линейных алгебраических уравнений (15), (16) воспользуемся наиболее быстро сходящимся итерационным методом сопряженных градиентов, связанным с уточнением производной по времени в начальный момент времени. На каждой итерации решается корректная прямая задача для гиперболического уравнения.

Для нахождения решения дискретной задачи Дирихле (15), (16) используем итерационный метод сопряженных градиентов [11], основанный на последовательном уточнении искомого начального условия ф(х) с дальнейшим решением на каждой итерации дискретного аналога прямой задачи. Придадим этой задаче соответствующую операторную формулировку. Последовательно исключая промежуточные значения сеточной функции y(t), t £ шт, при заданных у и v на конечный момент времени получим

yM = sí ф + у = v,

где sí, ÍM — соответственно операторные полиномы от положительно определенного самосопряженного оператора A. Следовательно, самосопряженными являются и операторы sí, ÍM. Таким образом, численное решение задачи Дирихле сводится к решению линейного операторного уравнения

s/ф = v - ту. (17)

В силу самосопряженности, а также положительной определенности при выполнении условия устойчивости (6) оператора sí решение операторного уравнения (17) предлагается проводить с помощью быстро сходящегося трехслойного итерационного метода сопряженных градиентов [11].

1. Полагаем k = 0.

1a. Задаем начальное приближение искомой производной от решения в начальный момент времени фо(х) = (ух(х) — у°(х))/т, х £

1b. Находим решение дискретного аналога прямой, следовательно, корректной задачи для гиперболического уравнения с известными начальными условиями в начальный момент времени

уо(0) = </?(х), у0(т) = уо(0) +тф0(х.), x£ÜJh, ——+ + А{<ту0 + (1 - 2<т)уо + о-уо) = 0, х G шНт.

т 2

1с. Вычисляем начальную невязку го(х) = у^(х) — ф(х), х £ ZOh, и задаем начальное приближение сеточной функции po(x) = ro(x), х £

2. Запускаем счетчик итераций к = к + 1.

2a. Находим вектор гк = ^рм, решая дискретный аналог прямой задачи для вспомогательного гиперболического уравнения:

гк(0) = 0, гк(т) = трк(х), х

У к ~ 2ук + У к , л / ~ , /1 о \ , - \ п ---Ь А(аук + (1 - 2(т)ук + стук) = 0,

2Ь. Находим значение первого итерационного параметра = .

2е. Вычисляем очередные приближения искомого начального условия и невязки по формулам

Ук+1 = «к + акРк, Гк+1 = Гк - акгк, х е Шн■

2d. Находим очередной итерационный параметр и значение вспомогательного вектора

вк = (Гк+1 ,Гк+1)/(Гк ,Гк ), Рк+1 = Гк + вкРк, х е Шн.

3. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится критерий остановки итераций ||гк||/||<^|| < £, иначе продолжаем процесс, возвращаясь к п. 2.

Поскольку решаем обратную задачу, в силу того, что дополнительное условие в рассматриваемой задаче Дирихле задается с некоторой погрешностью, в дальнейшем будем использовать генератор случайных чисел. В вычислительных экспериментах заданная функция ^(х), х е ш, возмущалась следующим образом:

(х) = ^ + (х), х е ш,

где ¥(х) — случайные величины, равномерно распределенные на промежутке (-0.5,0.5).

Вычислительную эффективность предложенного метода будем иллюстрировать на примере численного решения модельной задачи Дирихле для уравнения с постоянными коэффициентами ка(х) = 1, а = 1, 2, 0 < г < Т. Ниже приведены результаты вычислительного эксперимента по восстановлению начальной скорости при тех же значениях исходных данных, которые ставились при решении прямой задачи. Численное решение поставленной обратной задачи Дирихле проводилось по явной разностной схеме с весовым множителем а = 0, 11 = 12 = I =1, 7 = 100 на пространственно-временной сетке с параметрами п 1 = п2 = N = 100, Нг = Н2 = Н = 1/М, М = 57, т = ОМк/лД, следовательно, Т = 0.39499.

На рис. 2А представлен график заданного значения решения в финальный момент времени ^(х) = и(х, Т), полученного в результате решения прямой задачи с начальными условиями (10), (11). На рис. 2В — погрешность восстановленного с помощью рассматриваемого итерационного метода второго начального условия. Проведено всего 66 итераций, относительная точность определения

Рис. 2. Погрешность итерационного метода для задачи Дирихле

искомого начального условия получилась порядка Rc = 4 • 10-5, R = 10-9. На рис. 2C представлен график возмущенного решения в финальный момент времени vs(x), 5 = 0.003 (1%), а на рис. 2D — погрешность второго начального условия, найденного с помощью зашумленного дополнительного условия. При наличии шума проводилось 6 итераций, относительная точность и точность определения искомого начального условия получились порядка Res = 36%, Rs = 27%.

Здесь использованы обозначения:

II у1(х)~У(х)

RC = max

хеП

RCs = max

хеП

У1 (x) - ^(x)

Vs(x) - ^(x)

- ФМ

- 0(x)

R =

Rs =

- ^ixi

mxj

- ф^)

3. Итерационное решение первой модификации задачи Дирихле

В параллелепипеде П х (0, Т) ищем функцию и(х, £) — решение задачи Дирихле для гиперболического уравнения второго порядка

^ . д I ди \

х е п, о < £ < г, (18)

d2u v-^ d Л , . du \

^-Esr Мх)^ =0,

а=1

т

т

с однородными граничными условиями первого рода

и(х,г)=0, х е г, 0 <г < т, (19)

и условиями по времени

и(х,0) = <р(х), =гу(х), хей. (20)

Конечно-разностная аппроксимация рассматриваемой обратной задачи (18)-(20) имеет вид

-^--\-Ау = 0, (21)

у(го) = <£>(х), у(ЬМ) = У^М-х) + Т7/(х), X £

(22)

Рис. 3. Погрешность метода для первой модификации задачи Дирихле

Полученная система уравнений также решалась методом сопряженных градиентов. Приведем результаты численной реализации первой модификации задачи Дирихле. На рис. ЗА представлен график заданного значения скорости решения в финальный момент времени

полученного в результате решения прямой задачи с начальными условиями (10), (11). На рис. ЗВ представлено восстановленное с помощью рассматриваемого

итерационного метода второе начальное условие, проведено 132 итерации, относительная точность определения искомого начального условия получилась порядка Rc = 4 • 10-5, R = 2.91 • 10-9. На рис. 3C представлен график возмущенной скорости решения в финальный момент времени при наличии шума ns(x), 5 = 0.045 (1%), а на рис. 3D — найденное с помощью рассматриваемого итерационного метода второе начальное условие (10), проводились 34 итерации. Точность определения значения производной от решения по времени в начальный момент времени в равномерной метрике Res = 20%, а относительная точность ее определения в 12 получилась порядка Rs = 8.5%.

4. Итерационное решение второй модификации задачи Дирихле

В параллелепипеде О х (0, Т) ищем функцию u(x, t) — решение задачи Дирихле для гиперболического уравнения второго порядка

d2u d ( , du \ ,

xG0, 0<i<T, (23)

a=1 4 y

с однородными граничными условиями первого рода

u(x, t) = 0, x e Г, 0 <t < T, (24)

и условиями по времени

du(x,0)

= ф(х), и(х, T) = г/(х), xGO. (25)

&Ь

Конечно-разностный аналог поставленной обратной задачи (23)—(25) имеет

вид

----V Ау = 0, (26)

т 2

у (и) = у(г0) + тф(х), у(гм) = г/(х), хей),. (27)

На рис. 4 приведены результаты квазиреального вычислительного эксперимента по восстановлению первого начального условия при тех же значениях исходных данных, которые ставились при решении прямой задачи. На рис. 4А представлен график заданного значения решения в финальный момент времени V(х) = и(х, Т), полученного в результате решения прямой задачи с начальными условиями (10), (11). На рис. 4В представлена погрешность восстановленного с помощью рассматриваемого итерационного метода дискретного аналога второго начального условия фо(х) = (ух(х) — у°(х))/т, х £ ТИ^, проведено 126 итераций, относительная точность определения искомого начального условия получилась порядка Ко = 4 • 10-5, К = 2.96 • 10-9. На рис. 4С представлен график за-шумленного решения в финальный момент времени v¿(х), 6 = 0.035 (10%), а на рис. 4Б — погрешность второго начального условия, найденного с помощью рассматриваемого итерационного метода. Здесь потребовалось проводить 50 итераций. При этом при задании зашумленного дополнительного условия

Рис. 4. Погрешность метода для второй модификации задачи Дирихле

относительная точность определения искомого начального условия получилась порядка Яс5 = 16%, Я§ = 4.6%, здесь

Яс = тах |у0(х) - ^(х)

хеп

Я =

Ясз = тах |у° (х) - ^(х)|, Я§ = хеп

'(х) - ^(х;

/0(х) - ¥>(х)

5. Заключение

В статье для численного решения конечно-разностного аналога двумерной задачи Дирихле для гиперболического уравнения второго порядка и двух ее модификаций использован итерационный метод сопряженных градиентов. Приведенные результаты вычислительного эксперимента на квазиточных решениях, в том числе и при наличии шума, подтверждают, что восстановление искомого начального условия производится с любой приемлемой точностью — увеличивая число итераций, можем достичь очень высокой точности идентификации искомого условия. А в случае зашумленного дополнительного условия идентификация искомого условия осуществляется с невысокой точностью. При этом можем задать условие выхода из итерационного цикла, сопоставимое с величиной «шума». Увеличение количества итераций в этом случае в силу некорректности задачи Дирихле может привести к неверному численному результату.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kabanikhin S. I. Inverse and ill-posed problems. Theory and applications. Berlin: De Gruyter, 2011.

2. Lavrent'ev M. M., Romanov V. G., Shishatskii S. P. Ill-posed problems of mathematical physics and analysis. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1986.

3. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N. Numerical methods for solving inverse problems of mathematical physics. Berlin: De Gruyter, 2007.

4. Kabanikhin S. I., Bektemesov M. A., Nurseitov D. B., Krivorotko O. I., Alimova A. N. An optimization method in the Dirichlet problem for the wave equation //J. Inverse Ill-posed Probl. 2012. V. 20, N 2. P. 193-211.

5. Кабанихин С. И., Криворотько О. И. Численный метод решения задачи Дирихле для волнового уравнения // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 4. С. 90-101.

6. Самарский A. A., Вабищевич П. Н., Васильев В. И. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности // Мат. моделир. 1997. Т. 9, № 5. C. 119-127.

7. Vasil'ev V. I., Popov V. V., Eremeeva M. S., Kardashevsky A. M. Iterative solution of a non-classical problem for the equation of string vibrations // Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. Im. N. Eh. Baumana, Ser. Estestv. Nauki. 2015. N 3. P. 77-87.

8. Вабищевич П. Н., Васильев В. И. Итерационное решение задачи Дирихле для гиперболического уравнения // Мат. X Междунар. конф. Сеточные методы для краевых задач и приложения. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. С. 162-166.

9. Васильев В. И., Кардашевский А. М. Итерационное решение некоторых обратных задач для гиперболических уравнений второго порядка // Тр. Междунар. конф. Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики, 2015. Новосибирск: Абвей, 2015. С. 150-156.

10. Samarskii A. A. The theory of difference schemes. New York; Basel: Marcel Dekker, 2001.

11. Saad Yu. Iterative methods for sparse linear systems. 2nd ed. Philadelphia, PA: SIAM, 2003.

Статья поступила 4 августа 2017 г.

Васильев Василий Иванович, Кардашевский Анатолий Михайлович, Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, ул.Белинского, 58, Якутск 677000 vasvasil@mail.ru, kardam123@gmail•com Попов Василий Васильевич

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова,

ул.Белинского, 58, Якутск 677000;

Институт проблем нефти и газа СО РАН,

ул.Октябрская, 1, Якутск 677000

imi.pm.pvvl@mail. ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2017. Том 24, № 3

UDC 519.63

ITERATIVE METHOD FOR THE DIRICHLET PROBLEM AND ITS MODIFICATIONS

V. I. Vasil'ev, A. M. Kardashevsky, and V. V. Popov

Abstract: A series of works of S. I. Kabanikhin's scientific school are devoted to study of the existence, uniqueness, and numerical methods for the inverse Dirichlet problem for the second-order hyperbolic equations. We consider a numerical solution to the non-classical Dirichlet problem and its modifications for the two-dimensional hyperbolic second-order equations. The method of iterative refinement of the missing initial condition is applied by means of an additional condition specified at the final time. Moreover, the direct problem is numerically realized at each iteration. The efficiency of the proposed computational algorithm is confirmed by calculations for two-dimensional model problems, including additional conditions with random errors.

DOI 10.25587/SVFU.2018.3.10888 Keywords: hyperbolic equation, inverse problem, Dirichlet problem, finite difference method, iterative method, conjugate gradients method, random error.

REFERENCES

1. Kabanikhin S. I., Inverse and Ill-Posed Problems. Theory and Applications, De Gruyter, Berlin (2011).

2. Lavrent'ev M. M., Romanov V. G., and Shishatskii S. P., Ill-Posed Problems of Mathematical Physics and Analysis, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1986).

3. Samarskii A. A. and Vabishchevich P. N., Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics, De Gruyter, Berlin (2007).

4. Kabanikhin S. I., Bektemesov M. A., Nurseitov D. B., Krivorotko O. I., and Alimova A. N., "An optimization method in the Dirichlet problem for the wave equation," J. Inverse Ill-posed Probl., 20, No. 2, 193-211 (2012).

5. Kabanikhin S. I. and Krivorotko O. I., "A numerical method for solving the Dirichlet problem for the wave equation," J. Appl. Ind. Math., 7, No. 2, 187-198 (2013).

6. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N., and Vasil'ev V. I., "Iterative solution of a retrospective inverse problem of heat conduction," Mat. Model., 9, No. 5, 119-127 (1997).

7. Vasil'ev V. I., Popov V. V., Eremeeva M. S., and Kardashevsky A. M., "Iterative solution of a nonclassical problem for the equation of string vibrations," Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. Im. N. Eh. Baumana, Ser. Estestv. Nauki, No. 3, 77-87 (2015).

8. Vabishchevich P. N. and Vasil'ev V. I., "Iterative solution of the Dirichlet problem for hyperbolic equations [in Russian]," in: Setochnye Metody dlya Kraevykh Zadach i Prilozheniya, Mat. X Mezhdunar. Konf., pp. 162-166, Izd-vo Kazansk. Univ., Kazan (2014).

9. Vasil'ev V. I. and Kardashevsky A. M., "Iterative solutions to some inverse problems for second-order hyperbolic equations [in Russian]," in: Aktualnye Problemy Vychislitelnoi i Prik-ladnoi Matematiki, Tr. Mezhdunar. Konf., pp. 150-156, Abvei, Novosibirsk (2015).

The work was supported by a grant from the Russian Foundation for Basic Research (project code 17.01.000732).

© 2017 V. I. Vasil'ev, A. M. Kardashevsky, V. V. Popov

10. Samarskii A. A., The Theory of Difference Schemes, Marcel Dekker, New York, Basel (2001).

11. Saad Yu., Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd ed. SIAM, Philadelphia, PA (2003).

Submitted August 4, 2017

Vasily I. Vasil'ev and Anatoly M. Kardashevsky M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 58 Belinsky Street, Yakutsk, 677000 Russia vasvasil@mail.ru, kardam123@gmail.com

Vasily V. Popov

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 58 Belinsky Street, Yakutsk, 677000 Russia; Institute of Oil and Gas Problems SB RAS, 1 Oktyabrskaya Street, Yakutsk 677000, Russia imi.pm.pvvl@mail. ru