CC BY
37
УДК 519.63
Е. А. Крылова
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАСПРЕДЕЛЕННОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА ДЛЯ ИТЕРАЦИОННОГО РЕШЕНИЯ РЕТРОСПЕКТИВНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА
Рассматривается ретроспективная обратная задача Стефана по определению начального температурного состояния по температурным измерениям на конечный момент времени. В качестве модельной выбрана одномерная по пространству двухфазная обратная задача Стефана, дополненная граничными условиями третьего рода. Для поставленной задачи применяется итерационный метод приближенного решения, идея которого состоит в нахождении решения обратной задачи через последовательное решение набора прямых задач. Для ускорения сходимости к начальному приближению используется явный двухслойный итерационный метод минимальных невязок. Приведен краткий обзор основных подходов для приближенного устойчивого решения задач с обратным временем и численных методов решения классической фронтовой задачи Стефана. В работе прямая задача Стефана решена применением модификации учета теплоты фазового перехода, более точно описывающей реальный процесс тепловыделения на поверхности фазового перехода. Путем введения функции распределенного (в сторону образующейся фазы) источника тепла система из трех уравнений в формулировке двухфазной задачи Стефана сводится к краевой задаче для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами, которая по неявной разностной схеме решается методом прогонки. Предложены два варианта выбора функции источника тепла в виде линейной и показательной функций. Проведен квазиреальный эксперимент с целью проверки пригодности предлагаемого вычислительного алгоритма для ретроспективной обратной задачи Стефана. Получены распределения начальной температуры при двух вариантах выбора функции источника тепла. Сопоставлены скорости сходимости итерационного процесса при методе минимальных невязок и при постоянном итерационном параметре.
Ключевые слова: ретроспективная обратная задача, начальное условие, теплота фазового перехода, распределенный источник тепла, прямая задача Стефана, интервал сглаживания, разностная схема, метод прогонки, сеточный оператор, итерационный метод минимальных невязок, итерационный параметр.
E. A. Krylova
Application of Distributed Heat Resource
Method for Iterative Solution of Retrospective Inverse Stefan Problem
Retrospective inverse Stefan problem is considered to identify initial temperature condition by temperature measurement for final moment of time. The one-dimensional two-phase inverse Stefan problem added with boundary condition of the third was chosen as a model. To solve the problem we used iterative method of approximate solution. The idea of the method is to find solution of inverse problem through consequent solution of a set of direct problems. Two-layer iterative method of minimum residuals is used
КРыЛОВА Екатерина Анатольевна - к. ф.-м. н., доцент каф. математической экономики и прикладной информатики ИМИ СВФУ им. М.К. Аммосова. E-mail: krekan2012@mail.ru
KRYLOVA Ekaterina Anatolievna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Mathematical Economics and Applied Informatics, M.K. Ammosov North-Eastern Federal University.
to accelerate convergence to initial acceleration. The precise review of main approaches for approximate stable solution with reverse time and numerical solution of classical Stefan problem is presented in the article. In the paper Stefan problem is solved with application of heat phase transfer modification, exactly describing the real process of heat release on the phase transfer interface. Through introduction of the distributed heat resource function, upward to the phase being created, the system of three equations in formulating two-phase Stefan problem is concluded in boundary problem for thermal conductivity equation with discontinuous coefficients. It is solved with sweep method in the implicit difference scheme. We suggest two ways for choosing of heat resource functions as a linear function and dimension functions. We have conducted quasi-real experiment to check soundness of calculating algorithm for retrospective inverse Stefan problem. Distributions of initial temperature were obtained in two ways of choosing the heat resource function. Velocities of iterative process convergence were compared with the method of minimum residuals and consistent iterative parameter.
Keywords: retrospective inverse problem, initial condition, phase transfer heat, distributed heat resource, Stefan problem, smoothing interval, difference scheme, sweep method, difference operator, iterative method of minimum residuals, iterative parameter.
Введение
В теории обратных задач теплообмена [1, 2] можно выделить ретроспективную обратную задачу (задачу с обратным временем) по определению начального температурного состояния по температурным измерениям на конечный момент времени. Для ее приближенного устойчивого решения используются различные подходы. Среди основных можно отметить методы с возмущением исходного уравнения - методы квазиобращения в различных вариантах [3, 4]. Второй класс методов связан с возмущением начальных условий. Такой подход реализуется при использовании формулировки задачи как оптимального управления.
В настоящее время в теории приближенных методов решения некорректных задач [5, 6] наибольшего внимания заслуживают итерационные методы [7-10], которые наиболее четко реализуют идею нахождения решения обратной задачи через последовательное решение набора прямых задач. При таком подходе в качестве параметра регуляризации выступает число итераций, которое согласуется с погрешностью входных данных. При решении обратных задач для уравнений математической физики широко используются градиентные итерационные методы при вариационной формулировке обратной задачи [11].
В работе [12] для приближенного решения задачи с обратным временем для параболического уравнения применен итерационный метод уточнения начального условия. В качестве модельной рассмотрена двумерная однофазная задача, дополненная граничными условиями третьего рода.
В данной работе рассматривается наиболее простой итерационный метод при приближенном решении ретроспективной обратной задачи Стефана. Для поставленной обратной задачи итерационно уточняется начальное условие, т. е. на каждой итерации решается обычная прямая задача Стефана.
В настоящее время в зависимости от постановки задачи теплообмена в основном используются два типа математических моделей фазовых переходов: классическая фронтовая задача Стефана с границей раздела жидкой и твердой фаз и модели с фазовым переходом в протяженной области (двухфазной зоне). Обзоры работ можно найти в классической монографии [13].
Для численного решения классической фронтовой задачи Стефана наиболее широкое распространение получил метод, разработанный в работах [14, 15], в которых с помощью введения функции энтальпии решение задачи Стефана сводится к решению краевой задачи для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами. Разностная схема сквозного счета для таких уравнений строится с заменой дельта-функции Дирака
дельтаобразной функцией, отличной от нуля на интервале (и* - Д, и*+ А), а вне его равной нулю. При этом функция энтальпии аппроксимируется различными непрерывными в указанном интервале функциями. В работе [16] рассматривается аппроксимация вместо функции энтальпии единичной функции Хевисайда. В указанных методах принимается допущение, что фазовый переход при кристаллизации начинается с некоторой температуры, которая выше температуры кристаллизации.
На основе методики [12] построен вычислительный алгоритм приближенного решения одномерной по пространству двухфазной обратной задачи Стефана при ином способе учета теплоты фазового перехода путем введения распределенного в окрестности межфазовой границы источника тепла [17-19]. Приведены примеры расчетов, которые демонстрируют возможности используемого вычислительного алгоритма.
Постановка задачи
Рассмотрим в качестве модельной двухфазную одномерную задачу Стефана. В области О = {х : 0 < х < 1} ищется решение системы уравнений:
ди _ д 1 д1 дх
с ди \
\ — ,0 < х <£(0, 0 < ? < т, (1)
^ дх)
ди _д_г
2 дг дх
с условиями сопряжения на границе раздела фаз:
ди Л
Х2^ I, ^(г)<х< 1,0<г<т, (2)
ди ди ( £
д--^ дХ = 1Л ' и = и*, Х = 1 е(0'Г) (3)
ОХ ОХ (Т и граничными условиями третьего рода:
п ди < \ „ . ди , ч , Л— = а(и—ис ), х = 0; — Л— = а(и—ис ), х = I. (4)
дх дх
В рассматриваемой обратной задаче задается решение на конечный момент времени:
и(х,Т) = (х), 0<х<I. (5)
В уравнениях (1)-(5) введены следующие обозначения: с - коэффициент объемной теплоемкости, X - коэффициент теплопроводности, и*, и - температуры фазового перехода и окружающей среды соответственно, Ь - скрытая теплота кристаллизации (плавления), а - коэффициент теплоотдачи, х = £ () - уравнение границы раздела фаз. Индексы 1 и 2 относятся соответственно к фазам, у которых и > и* и и, и*.
Задача (1)-(5) является ретроспективной обратной задачей по определению начального температурного состояния по температурным измерениям на конечный момент времени.
Если вместо (5) задано начальное условие:
и(х,0) = v(x), 0<х<1, (6)
то получается прямая задача Стефана.
Для приближенного решения обратной задачи будем использовать простейший итерационный процесс, основанный на последовательном уточнении начального условия и решении на каждой итерации прямой задачи. Поэтому необходимо рассмотреть вопрос о численных методах решения прямой задачи Стефана (1)-(4), (6).
Метод введения распределенного источника теплоты для численного решения прямой задачи Стефана
В настоящей работе для численного решения обратной задачи Стефана применен метод введения распределенного источника теплоты, более точно описывающий реальный
процесс тепловыделения на границе фазового перехода [17-19]. Для этого вводится кусочно-непрерывная неотрицательная функция g(u), удовлетворяющая следующим условиям:
1. g(u)определена во всем диапазоне изменения температур, отлична от нуля в промежутке (ы* - Д, ы*), а вне его тождественно равняется нулю;
2. g(u,) = 1;
3. < 0 для ы е (ы* -А, ы*).
ди
Утверждение. Если g(ы)удовлетворяет указанным выше условиям, то уравнения (1)-(3) заменяются одним уравнением (7), заданным во всей области 0<х<1:
ди д с— = -
ди
+ L —, дt
(7)
X —
дt дх V дх у
где с = с X = Х1 при ы > ы* и с = с2, X = Х2 при ы < и*.
Доказательство данного утверждения по методике [11] приведено в работах [17, 18] (в [17] - в случае одномерной области, в [18] - в случае двумерной области).
Коэффициенты уравнения (7) как функции температуры терпят разрывы при ы = ы* и не определены в этой точке. Последний член правой части его объединим с левой частью, тогда эффективная теплоемкость с - Ldg/du имеет разрывы в точках ы = ы* и ы = ы* + Д. Исходя из сказанного, уравнение (7) представим в виде
_ ди
с— =
дt дх
д Л~дил А — дх
\
(8)
коэффициенты которого определены во всем диапазоне изменения температуры следующим образом:
с = <
с2, и < и* - А
с2 - L —, и* - А < и < и* du
0.5(с1 + с2)-L —, и = и* du
с, и ^ и*
(9)
х =
X, ы < ы* - А Х+х2 (Х+Х2)(ы-ы*)
2А
Х2, ы > ы* + А
ы - А < ы < ы + А.
(10)
Для коэффициента теплопроводности принята аппроксимация непрерывной функцией. Можно также доопределить его аналогично коэффициенту теплоемкости. Так как температурное поле наиболее чувствительно к величине коэффициента теплоемкости, то он должен быть доопределен так, чтобы наиболее точно соответствовал реальному процессу фазового перехода. Этим обусловлен выбор функции с в приведенном виде.
Параметр сглаживания Д выбирается так, чтобы учитывалось выделение теплоты фазового перехода на каждом временном шаге: чтобы интервал сглаживания (ы* - Д, ы*) содержал в себе на каждом слое по времени значение температуры хотя бы в одном узле пространственной сетки [18].
Граничные условия (4) примут вид:
г ди , ч _ ~ди , ч , Я— = а(и - ис ), х = 0; -Я— = а(и - ис ), х = I. (11)
дх дх
Таким образом, прямая задача (1)-(4), (6) сводится к решению задачи (8)-(11), (6). При выборе функции g (ы) необходимо учитывать направление хода процесса - фазовый переход происходит в результате понижения температуры или ее повышения. Она должна быть выбрана отличной от нуля в области вновь образующейся фазы. Итерационный метод для решения задачи с обратным временем Поставим в соответствие дифференциальной задаче (8)-(11), (5) дифференциально-разностную задачу, проведя дискретизацию по пространству. Пусть на отрезке [0, /] введена равномерная сетка юк ={х■ = ¡к, I = 0,1,..., N, к = I/. На множестве функций О,;,, заданных на сетке соь, определим сеточный оператор. I соотношением
Ау = -Лу,
где
(У)
л
3 = ( У'-0 )-
аы.
, I = 0
0.5кК ,0 0' 0.5Л Лу = (а (х) ух ) ., а (х) = Х (х - 0.5Ь), I = 1,2, ..., N -1.1 (12)
а + 1 ( \ аыс . дг
Лу=~055Й(( а)-йй •' = N
Линейный оператор А отображает на 0,1г . Введем скалярное произведение и норму соотношениями
N-1
[у'у] = + 0,5к (о + УNvN) |[у] = [у, У]1/2.
I =1
Оператор А = А* > 0 [20, 21].
От (8)-(11), (5) перейдем к дифференциально-операторному уравнению
с — + Ау = 0, х ею, 0 < г < Т, Л
при заданном
у(х,Т) = (х), хею.
(13)
(14)
Для приближенного решения задачи (13)-(14) используются итерационные методы, связанные с уточнением начального условия. Соответствующие корректные задачи решаются на основе использования стандартных двухслойных разностных схем [20]. Пусть вместо обратной задачи (13), (14) рассматривается прямая задача для уравнения (13), когда вместо (14) используется начальное условие
у (х,0 ) = V (х), х ею.
(15)
Обозначим через у разностное решение на момент времени V = /т, где т > 0 - шаг по времени, причем Зт = Т. С использованием двухслойной схемы переход на новый временной слой в задаче осуществляется в соответствии с
~iyj+1 - у] 1
~ Уг-+ _
у^1 - у/ +1 у/ +1 - у^1
] У 1+1 1 ] £1_У 1-1
г ^ г+1 ^—V1
. г+2 Ь г-2
= 0,
j = 0,1,..., I -1, (16)
У- = V. (17)
Коэффициенты теплоемкости и теплопроводности в (16) взяты для простоты на j-ом временном слое. Известно, что неявная схема (16), (17) является устойчивой [20] и легко решается методом прогонки. Если же коэффициенты теплоемкости и теплопроводности аппроксимируются на (] + 1)-ом слое, то схема становится нелинейной и решается с помощью соответствующих методов последовательных приближений (итерационных процедур).
Для приближенного решения обратной задачи (13), (14) будем использовать простейший итерационный процесс, основанный на последовательном уточнении начального условия и решении на каждой итерации прямой задачи [12]. Придадим этой задаче соответствующую операторную формулировку.
Из (16), (17) для заданного у0 на конечный момент времени получим
У = 8у \ (18)
где
J-1
(19)
5 = , Sj =( I + т(с )-1 А
]=1 1 - оператор перехода с нулевого временного слоя на J-ый слой, (С ) = — .
С учетом (13), (14) и (18) приближенному решению обратной задачи естественно сопоставить решение следующего сеточного операторного уравнения:
Sv = м(х), хей. (20)
В силу самосопряженности оператора А самосопряженным является оператор перехода в (20). Однозначная разрешимость сеточного уравнения (20) будет иметь место при положительности оператора 5. В нашем случае 0 < 5 < I при любых т > 0. Тем самым в (20)
0 < 5 = 5 * < I. (21)
Для решения уравнения (20), (21) можно использовать явный двухслойный итерационный метод, который записывается в виде [21]
^+1 - ^ + Svk = М>, к = 0,1,..., (22)
•к+1
где итерационные параметры. Этот итерационный метод соответствует следующей организации вычислений при приближенном решении ретроспективной задачи (1)-(5).
1. Использованием метода введения распределенного источника теплоты задача (1)-(4) сводится к задаче (8)-(11).
2. При заданном vк (х), х ею (У0 (х), х ею задается) решается прямая задача с использованием разностной схемы
с У +1 -У + = 0, j = 0,1,..., Т-1, (23)
т
у[ = , хею (24)
Ь
г
J
для определения yk .
3. В соответствии с (22) уточняется начальное условие:
vk+1 = vk sk+1
(-yJk). (25)
Для ускорения сходимости итерационного процесса необходимо ориентироваться на применение итерационных методов вариационного типа. При использовании итерационного метода минимальных невязок для итерационных параметров имеем:
^ =1(Иг)' Г = ^ -^ к = О'1'-- (26)
(г' 5гк)
В этом случае на каждой итерации минимизируется норма невязки, т. е. верна оценка
Г+1 < Г,к = 0,1,....
Численные расчеты
По данному алгоритму проведены численные расчеты. В рамках концепции квазиреального эксперимента ограничимся примером численного решения обратной задачи (8)-(11), (5), которое соответствует решению прямой задачи для уравнения (8)-(11) с начальным условием (6), где:
и (х,0 ) = V (х ) = 10. (27)
Из решения этой задачи находится функция w(x), которая фигурирует в формулировке задачи (13), (14).
Такая задача численно решается при следующих значениях параметров:
кДж кДж с1 = 2814—з-, \ = 6.3-
м3 ■ К' м ■ ч ■ К'
кДж кДж c2 = 2016—3-, а2 = 8.4
м3 ■ К' 2 м■ ч■ К'
и* = 00 C, uC = -250 C,
L = 0.4175-106 , а = 83.5
кДж кДж
м
3
м2 ■ ч ■ К'
l = 0.1 <, N = 100, т= 0,015.
Расчеты выполнены при использовании чисто неявной схемы.
Для метода введения распределенного источника теплоты рассмотрены два варианта выбора функции:
л / \ л u*— u 1. g (u) = 1 + -
А
2. g (u) = exp
f 0.69(u* -u + Д)
y
-1.
В табл. 1 приведены соответственно значения температурного поля (ы(х, /), °С) в узлах сетки, найденные в моменты времени t=0.75 и 1.5 ч, при предложенных выше вариантах выбора функции источника тепла.
Таблица 1
Распределения температуры при различных вариантах выбора функции источника тепла
х, (м)
1=0.75
t=1.5
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
-0.394 0.475 1.208 1.72 2.043 2.153
-0.732 0.200 0.996 1.558 1.911 2.031
-2.785 -0.108 -0.003 0.045 0.082 0.095
-3.040 -0.471 -0.041 -0.001 0.015 0.021
Таблица 2
Значения итерационных параметров, вычисленные методом минимальных невязок
Номер итерации (к) 1 2 3 5 7 9 11
0.582 0.029 0.054 0.044 0.023 0.031 0.029
12 10
Рис. 1. Функции v(x) и w(x) (при втором виде функции g(u))
Из решения задачи (8)-(11), (27) находится функция ^(х), которая фигурирует в формулировке задачи (13), (14). Функции v(x) и ^(х) показаны на рис. 1 при 1=7.5 ч.
10.5
6 -'-'-'-'-
0 0.02 0,04 0.06 0.08 0,1
X (м)
Рис. 2. Итерационные приближения к начальному условию методом минимальных невязок
Рис. 3. Итерационные приближения к начальному условию при постоянном итерационном параметре
Восстановление начального условия наблюдается за 11 итераций. На рис. 2 представлены итерационные приближения vt и v (при первой и одиннадцатой итерациях) к начальному условию (27) по формуле (25) методом минимальных невязок (26) (при начальном приближении v0 = 0o C). При этом средняя относительная погрешность составляет 5=0,14. Полученные значения итерационных параметров приведены в табл. 2.
Итерационный процесс с постоянным итерационным параметром sk1 = s = const сходится медленно. Например, на рис. 3 приведены для сравнения итерационные приближения Vj и v при s = 0.1 (v0 = 0o C).
Заключение
Для численного решения ретроспективной обратной задачи Стефана использован простейший итерационный процесс, основанный на последовательном уточнении начального условия и решении на каждой итерации прямой задачи Стефана. При таком подходе в качестве параметра регуляризации выступает число итераций, которое согласуется с погрешностью входных данных.
Для численного решения прямой задачи Стефана применен метод введения распределенного в сторону образующейся фазы источника тепла, который позволяет более точно описывать реальный процесс тепловыделения на границе фазового перехода. Сформулировано правило выбора параметра сглаживания так, чтобы учитывалось выделение теплоты фазового перехода на каждом временном шаге.
Приведенные результаты расчетов показывают пригодность предлагаемой методики для численного решения ретроспективной обратной задачи Стефана. Показано, что применение метода минимальных невязок ускоряет сходимость итерационного процесса, чем при постоянном итерационном параметре. Данный вычислительный алгоритм по определению начального условия можно далее использовать для случая двумерной по пространству задачи Стефана.
Выражаю огромную благодарность д.ф.-м.н., профессору Васильеву В. И., к.ф.-м.н., доценту Попову В. В. за помощь в работе над статьей.
Л и т е р а т у р а
1. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. - М.:Машиностроение, 1988.
2. Дж. Бек, Б. Блакуэлл, Ч. Сент-Клэр. Некорректные обратные задачи теплопроводности. - М.:Мир, 1989.
3. Латтес Р. Лионс Ж. Л. Метод квазиобращения и его приложения. - М.: Мир, 1970.
4. Samarskii A. A., Vabishevich P. N. Computational Heat Transfer. Vol 2.
5. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986.
6. Vasil'ev V. I., Kardashevsky A. M. and Sivtsev P. V. Computational experiment on the numerical Solution of some inverse problems of mathematical physics / 11th International Conference on "Mesh methods for boundary-value problems and applications" IOP Publishing IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 158 (2016) 012093 doi:10.1088/1757-899X/158/1/012093
7. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. - М.: Наука, 1986.
8. Гилязов С. Ф. Методы решения некорректных задач. - М.:Изд-во МГУ, 1987.
9. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Итерационные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1988.
10. Vasil'ev V. I. and Kardashevsky A. M. Iterative Solution of the Retrospective Inverse problem for a Parabolic Equation Using the Conjugate Gradient Method / Sixth Conference on Numerical Analysis and Applications, June 15-22, 2016. Lozenetz. - Bulgaria. LNCS. - 2017. - volume 10187. - Pp. 666-673.
11. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. - М.:Наука, 1988.
12. Самарский А. А., Вабищевич П. Н., Васильев В. И. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности // Журн. матем. моделир. - 1997. - Т.9. 5. - С. 119-127.
13. Васильев В. И., Максимов А. М., Петров Е. Е., Цыпкин Г. Г. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. - М.: Наука, 1996, 224 с.
14. Самарский А. А., Моисеенко Б. Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1965. - Т. 5. 5. - С. 816-827.
15. Будак Б. М., Соловьева Е. Н., Успенский А. Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задач Стефана // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1965. - Т. 5. 5. - С. 828-840.
16. Мажукин В. И., Повещенко Ю. А., Попов С. Б., Попов Ю. П. Об однородных алгоритмах численного решения задачи Стефана. - М., 1985. - 23 с. (Препринт/ Ин-т прикл. математики им. М.В.
Келдыша АН СССР; №122)
17. Павлов А. Р., Слепцова Е. А. Численное решение задачи Стефана введением распределенного источника // Материалы VI научно-технической конференции "Современные проблемы теплофизики в условиях Крайнего Севера" посвященной памяти профессора, д.т.н. Н.С. Иванова, Якутск, 2004, С. 74-79.
18. Слепцова Е. А. Математическое моделирование развития напряженно-деформированного состояния тонких пластин при их стыковой сварке. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Якутск, 2009. - 109 с.
19. Крылова Е. А. Численное решение обратной задачи Стефана методом введения распределенного источника теплоты // Математические заметки СВФУ. Январь-март. Вестник СВФУ им. М.К. Аммосова. 2014. - Том 21, №1(81). С. 29-37.
20. Самарский А. А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1983.
21. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978.
R e f e r e n c e s
1. Alifanov O. M. Obratnye zadachi teploobmena. - M.:Mashinostroenie, 1988.
2. Dzh. Bek, B. Blakuell, Ch. Sent-Kler. Nekorrektnye obratnye zadachi teploprovodnosti. - M.:Mir, 1989.
3. Lattes R. Lions Zh. L. Metod kvaziobrashcheniia i ego prilozheniia. - M.: Mir, 1970.
4. Samarskii A. A., Vabishevich P. N. Computational Heat Transfer. Vol 2.
5. Tikhonov A. N., Arsenin V. Ia. Metody resheniia nekorrektnykh zadach. - M.: Nauka, 1986.
6. Vasil'ev V. I., Kardashevsky A. M. and Sivtsev P. V. Computational experiment on the numerical solution of some inverse problems of mathematical physics / 11th International Conference on "Mesh methods for boundary-value problems and applications" IOP Publishing IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 158 (2016) 012093 doi:10.1088/1757-899X/158/1/012093
7. Vainikko G. M., Veretennikov A. Iu. Iteratsionnye protsedury v nekorrektnykh zadachakh. - M.: Nauka, 1986.
8. Giliazov S. F. Metody resheniia nekorrektnykh zadach. - M.:Izd-vo MGU, 1987.
9. Bakushinskii A. B., Goncharskii A. V. Iteratsionnye metody resheniia nekorrektnykh zadach. - M.: Nauka, 1988.
10. Vasil'ev V. I. and Kardashevsky A. M. Iterative Solution of the Retrospective Inverse problem for a Parabolic Equation Using the Conjugate Gradient Method / Sixth Conference on Numerical Analysis and Applications, June 15-22, 2016. Lozenetz. - Bulgaria. LNCS. - 2017. - volume 10187. - Pp. 666-673.
11. Alifanov O. M., Artiukhin E. A., Rumiantsev S. V. Ekstremal'nye metody resheniia nekorrektnykh zadach. - M.:Nauka, 1988.
12. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N., Vasil'ev V. I. Iteratsionnoe reshenie retrospektivnoi obratnoi zadachi teploprovodnosti // Zhurn. matem. modelir. - 1997. - T.9. 5. - S. 119-127.
13. Vasil'ev V. I., Maksimov A. M., Petrov E. E., Tsypkin G. G. Teplomassoperenos v promerzaiushchikh i protaivaiushchikh gruntakh. - M.: Nauka, 1996, 224 s.
14. Samarskii A. A., Moiseenko B. D. Ekonomichnaia skhema skvoznogo scheta dlia mnogomernoi zadachi Stefana // Zhurn. vychisl. matem. i matem. fiziki. - 1965. - T. 5. 5. - S. 816-827.
15. Budak B. M., Solov'eva E. N., Uspenskii A. B. Raznostnyi metod so sglazhivaniem koeffitsientov dlia resheniia zadach Stefana // Zhurn. vychisl. matem. i matem. fiziki. - 1965. - T. 5. 5. - S. 828-840.
16. Mazhukin V. I., Poveshchenko Iu. A., Popov S. B., Popov Iu. P. Ob odnorodnykh algoritmakh chislennogo resheniia zadachi Stefana. - M., 1985. - 23 s. (Preprint/ In-t prikl. matematiki im. M.V. Keldysha AN SSSR; №122)
17. Pavlov A. R., Sleptsova E. A. Chislennoe reshenie zadachi Stefana vvedeniem raspredelennogo istochnika // Materialy VI nauchno-tekhnicheskoi konferentsii "Sovremennye problemy teplofiziki v usloviiakh Krainego Severa" posviashchennoi pamiati professora, d.t.n. N.S. Ivanova, Iakutsk, 2004, S. 74-79.
18. Sleptsova E. A. Matematicheskoe modelirovanie razvitiia napriazhenno-deformirovannogo sostoianiia tonkikh plastin pri ikh stykovoi svarke. Diss. ... kand. fiz.-mat. nauk. - Iakutsk, 2009. - 109 c.
19. Krylova E. A. Chislennoe reshenie obratnoi zadachi Stefana metodom vvedeniia raspredelennogo istochnika teploty // Matematicheskie zametki SVFU. Ianvar'-mart. Vestnik SVFU im. M.K. Ammosova. 2014. - Tom 21, №1(81). S. 29-37.
20. Samarskii A. A. Teoriia raznostnykh skhem. - M.: Nauka, 1983.
21. Samarskii A. A., Nikolaev E. S. Metody resheniia setochnykh uravnenii. - M.: Nauka, 1978.
^MSr^Sr
МИП СВФУ ООО «АМТЭК+»
Оказывает услуги по внедрению энергоэффективных технологий и решений:
- энергоаудит и обследование;
- проектирование и ТЭО;
- lT-разработка;
- монтаж;
- энергосервис. Телефон: +7 (9142) 747-733. E-mail: amtechplus@mail.ru. Сайт: http://www.amtechplus.ru/.
