Вычислительная идентификация граничного условия в задачах теплопереноса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2017. Том 24, № 2

УДК 517.633

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПЕРЕНОСА А. М. Ефимова

Аннотация. Граничные обратные задачи теплопереноса имеют важное прикладное значение, и их численным методам решения посвящены работы многих авторов. В работе рассматривается такой прямой метод решения граничных обратных задач для одномерного параболического уравнения, что на каждом временном слое производится декомпозиция конечно-разностного аналога поставленной задачи. С помощью предлагаемого численного метода решены граничные обратные задачи: с фиксированной границей, с подвижной границей и задача Стефана. Обсуждаются результаты численных расчетов.

Б01 10.25587/8УРи.2017.2.9246 Ключевые слова: граничная обратная задача, граничная обратная задача Стефана, метод конечных разностей, алгоритм прогонки, прогонка по параметру.

1. Введение

В научном мире принято делить задачи на два основных типа: прямые и обратные. Главное их отличие кроется в причинно-следственных связях, в первом случае нужно найти следствие по известным причинам, а во втором случае причины по следствиям. В последние десятилетия существенно возрос интерес к обратным задачам. В первую очередь это связано с быстрым ростом производительности вычислительной техники. Решение обратных задач позволяет сократить расходы ресурсов или сделать доступной информацию для исследований в различных областях науки. Примером могут служить эксперименты по изучению внутреннего строения Земли, целью которого является прогнозирование места и времени землетрясений [1]. С точки зрения важных прикладных исследований большое значение имеют граничные обратные задачи теплопере-носа.

В данной работе внимание сконцентрировано на основном механизме теп-лопереноса — кондуктивной теплопроводности. Этот процесс возникает при неравномерно распределенной температуре, что приводит к обмену энергией между частицами при их непосредственном прикосновении друг к другу. В общей классификации уравнение теплопроводности относится к параболическим

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-01—00732).

© 2017 Ефимова А. М.

уравнениям. Методы, используемые для решения таких задач, обобщены в монографиях [2-7]. Стоит отметить, что среди обратных задач важную роль играют коэффициентные обратные задачи, для их решения применяются различные методы, например, в работах [8-11] линейные задачи на отдельном слое по времени решаются на основе разбиения основной задачи на две стандартные эллиптические задачи. Подход, рассматриваемый в предлагаемой статье, подразумевает применение прямого метода решения граничных обратных задач для одномерного параболического уравнения, основанного на декомпозиции конечно-разностного аналога поставленной задачи на каждом временном слое. С помощью предлагаемого численного метода решены граничные обратные задачи: с фиксированной границей, с подвижной границей и задача Стефана.

2. Постановка задачи

Рассмотрим обратную граничную задачу для уравнения параболического типа

Ж = ^[0.0,^(0,21- (1)

где Т > 0 — финальный момент времени, заданная фиксированная положительная величина.

Опишем вычислительный алгоритм на примере задачи с фиксированной границей.

В начальный момент времени задано начальное условие

и(х, 0) = и0(х), х е [0,1]. (2)

На правой границе заданы граничное условие первого рода

и(м) = о, г е (0,Т], (3)

и условие переопределения

¿е(о,т]. (4)

Коэффициент &(х, г) является положительной, ограниченной и гладкой функцией, удовлетворяющей условиям

0 < &(х, г) < то, х е [0,1], г е (0,т]. (5)

Расчеты будем проводить на модельной задаче с точным решением

£1 + 44

и(х, = ; =. (6)

Найдем решение задачи во всей области, в том числе и на левой границе

и(0,г)= д(г), г е (0,т].

(7)

3. Разностный аналог

Перейдем к построению дискретного аналога поставленной задачи. Численное решение граничной обратной задачи проведем с помощью конечно-разностного метода. Введем прямоугольную сетку в рассматриваемом прямоугольнике с шагами Ь, т по пространственной переменной и времени соответственно. Чисто неявный конечно-разностный аналог исходного уравнения (1) на каждом временном слое представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей

Уг ~ У г 1/ иЛУг+1 ~ У г иЛУг ~ Уг-1\ . -т , .

—т—= -Л--'-Л-)' г = 1>п_1> (8)

Аппроксимируем начальные и граничные условия (2)—(4):

у^ = и0(х1), г = О,

Уп

0,

Уп

Уп-1

I а .

(9) (10)

(11)

Разностная схема (8)—(11) на решении исходной дифференциальной задачи (1)-(4) обладает вторым порядком аппроксимации по Ь и первым по т.

4. Вычислительный алгоритм

После дискретизации по пространству и времени граничной обратной задачи переходим к численной реализации полученных на каждом временном слое систем линейных алгебраических уравнений. Ее целесообразно проводить с помощью декомпозиции двух вспомогательных сеточных функций

Уг=Щ+Уо-т, г = 0,71.

(12)

Подставляя выражения (12) в (8), приходим к системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, решая которую, получаем значение вспомогательных неизвестных уг и шг:

27(уп - уп) = - ап(г)(уп - Уп-х),

2 т^п т

— Ы~Уг) = -щ) - аг^)Ы-Щ-1), г=1,М-1, (13)

Уо = 0, Уп = 0,

= -ап(Ь)('п - 'п—1),

-'г

а1+1{г){и]1+1 - -Шг) - аг^УОг - -Шг-х), 1=1, N - I,

(14)

'о = 1, 'п = 0.

Из уравнений (11) и (12) определим искомое значение решения на левой

границе у0:

Уо =

Уп

»п —«п-1 %

7+2 ап{1)-

(15)

ь?

п

2

к

'

п

2

к

т

к

— еха<^ у_0 ............ — у 0 .............

Рис. 1. Графики сравнения решений на левой границе для задачи с фиксированной границей при N=200 (слева) и зависимость относительной погрешности решения от количества узлов (справа)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Рис. 2. График зависимости относительной погрешности решения от £ при разных количествах узлов N

На рис. 1, 2 представлены результаты для задачи с фиксированной границей. На рис. 1 проиллюстрированы графики искомой левой границы и точного решения. Из их сравнения видно, что идентификация неизвестной границы прошла с достаточной точностью.

Из рис. 1 и 2 следует, что эффективность метода для данной задачи зависит от количества узлов, для наилучшего результата рекомендуется выбирать значения ближе к N = 2000.

5. Вычислительный эксперимент

Рассмотрим работу [12], где авторы решили задачу с подвижной границей и задачу Стефана методом фундаментальных решений. Для вычислительного эксперимента произведем расчеты на представленных ими модельных задачах, используя наш метод, вычислительный алгоритм которого изложен выше.

5.1. Задача с подвижной границей. В области, представленной на рис. 3, требуется найти значение на левой границе.

Рис. 3. Геометрия задачи Рассмотрим следующую нелинейную функцию:

бШ = 2 - л/3 - 2£, х е (О, Т&1].

Точное решение:

л

х2 1

= -— + 2ж- - (х,г) е [о,«Щ] х [о,г]. 22

Начальные условия:

л

х2 1

и{х, 0) =---\-2x--, же [0,5(0)1, 5(0) =2-

(16)

(17)

(18)

В качестве граничного условия первого рода примем формулу (3), второго рода —

(/11

— {б (*),*) = л/3^2£, ¿е(0,Т]. (19)

Ниже представлен алгоритм вычисления шага по времени тп:

Бп — Бп_ т =

Подставив в (20) выражение (16), получим

2 - л/3 - 2Ц - 2 + л/3 - = К.

Выразим и найдем тп:

+ 2/1л/3 - 2^1 - Н2

тп — 1 П 1 п — 1 •

(20) (21)

(22) (23)

2

Рис. 6. Графики сравнения решений на левой границе для задачи Стефана при N=100 (слева) и зависимость относительной погрешности решения от количества узлов (справа)

1 I 1 I I 1 1

N=25 '—+— N=50 х _ N=100 ж N=120 □

V:: м-.- Т.у.Т.гггггп^И

и+-..................... А * А X X х: X х х х ............... ^ х х х ?< X х х х х х\х х х хк х хх к х а хх х х

^»Н«:^ а ^мужа- а чачцг^ а цу^ а ^ 'и' а ^ □ "1Л [У р ъ^-^ г.

0.2 0.4 0.6 0.8

1.4 1.6 1.«

Рис. 7. График зависимости относительной погрешности решения от £ при разных количествах узлов N

После замены дифференциальных операторов получим систему линейных алгебраических уравнений

Уг -Уг Уг+1 ~ ^Уг + Уг-\

т

Ь2

г = 1,п + — 1, з = \, га.

Произведем аппроксимацию начальных и граничных условий:

У®=и о(Жг), г = 0,п,

(24)

Уп+О = 0, .7 = 1,771, (26)

Уп+3 = .7 =Т~то. (27)

Для дальнейших вычислений введем вспомогательные переменные

Н2

т

(28)

г2 = 2 + г. (29)

Из формул (12) и (27) получаем

у1+1-г2у1+у1^1+гу1, г = 1,п+.7-1. (30)

Распишем (30) отдельно по компонентам V и ад:

у1+1 — г2 • vг + 1 + гуг =0, г = 1,п + - 1.

— г2 • + = 0, г = 1,п + .7 — 1.

(31)

ъп+з ~ vn+j-1 + - ^+¿-1) - Ьу/З - 24 = 0. (32)

Перегруппируем слагаемые и через предварительно найденные V и ад методом прогонки найдем решение на искомой левой границе:

/гл/3 - 24 + ^„+¿-1 - , > Уо =----■ (33)

— Wn+j-1

На рис. 4, 5 приведены результаты для задачи с подвижной границей. Графики решений прямой и обратной задач говорят об эффективной работе метода.

Из полученных результатов можно сделать вывод, что используемый метод в задаче с подвижной границей имеет определенный диапазон значений N. Рекомендуется выбирать достаточно небольшое количество узлов, например, в пределах 110.

5.2. Задача Стефана. Расчетную область примем такую же, как в предыдущей задаче, представленную на рис. 4. Для проверки работы метода в задаче Стефана выберем следующую функцию:

з{1) = у/2-1 + ±, ¿е(0,Т = 2]. (34)

Точное решение:

_1 _1_ отг, I 1___,____,

А/2 2

1 t х \

и(х, £) = —! + ехр ( 1---¡= + —---¡= ), (ж, г) € [0,5(4)] х [0,Т]. (35)

Начальное условие:

и(х,0) = -1 + ехр^1 - -д - х£ [0,5(0)], в(0) = -/2 — 1. (36)

Рис. 4. Графики сравнения решений на левой границе для задачи с подвижной границей при N=50 (слева) и зависимость относительной погрешности решения от количества узлов (справа)

0.0055 0.005 0.0045 0.004 0.0035 0.003 0.0025 0.002 0.0015 0.001 0.0005 0

1 1 1 1 N=50 —1— N=70 —к— N=90 ж ! N=110 □

0,1 0.2 0.3 0.4

0.5 1

0.6 0.7 0.8 0.9

Рис. 5. График зависимости относительной погрешности решения от £ при разных количествах узлов N

Граничное условие первого рода такое же, как в уравнении (3). Второго рода:

(37)

(38)

д'м, , ч ч дз 1 , _

yn+j — yn+j -1

1

Н

Произведем операции, аналогичные проделанным в предыдущей задаче, и

получим искомое решение на левой границе:

Vn+j— 1 Vn+j

У0 = —-(39)

Wn+j - Wn+j-1

На рис. 6, 7 приведены результаты для задачи Стефана. Сравнение полученного решения с точным позволяет увидеть, насколько действенно работает данный метод.

Результаты эксперимента свидетельствуют о том, что предложенный метод декомпозиции конечно-разностного аналога позволяет достаточно точно определить неизвестную границу при условии правильного выбора количества узлов в задаче. Для задачи Стефана N рекомендуется выбирать в промежутке от 50 до 120.

6. Заключение

Решены обратные задачи по восстановлению граничного условия задач теп-лопереноса методом, основанным на декомпозиции сеточных функций. В ходе работы представлен алгоритм идентификации граничного условия. Численно решены три обратные задачи: с фиксированной границей, подвижной границей и задача Стефана. Построены графики сравнения полученного численным методом решения с точными решениями и зависимости относительной погрешности от количества узлов пространственной сетки и числа слоев по времени. Из полученных результатов можно сделать вывод, что данный метод весьма эффективен.

Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность профессору В. И. Васильеву за поддержку и помощь при работе над рукописью, а также многочисленные полезные советы, которые были учтены при ее доработке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Методы решения прямых и обратных задач сейсмологии, электромагнетизма и экспериментальные исследования в проблемах изучения геодинамических процессов в коре и верхней мантии Земли / А. С. Алексеев, В. С. Белоносов, Б. М. Глинский и др. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2010.

2. Алифанов О. В. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988.

3. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

4. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: СНИ, 2009.

5. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: ЛКИ, 2009.

6. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

7. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

8. Вабищевич П. Н., Васильев В. И., Васильева М. В. Вычислительная идентификация правой части параболического уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2015. Т. 55, № 6. С. 1020-1027.

9. Вабищевич П. Н., Васильев В. И. Вычислительная идентификация младшего коэффициента параболического уравнения // Докл. АН. 2014. Т. 455, № 3. С. 258-260.

10. Vabishchevich P. N., Vasil'ev V. I. Computational algorithms for solving the coefficient inverse problem for parabolic equations // Inverse Probl. Sci. Engin. 2016. V. 24, Issue 1. P. 42-59.

11. Vasil'ev V. I., Vasilyeva M. V., Kardashevsky A. M. The numerical solution of the boundary inverse problem for a parabolic equation // AIP Conf. Proc. 2016. V. 1773. 100010.

12. Johansson B. T., Lesnic D., Reeve T. A method of fundamental solutions for the one-dimensional inverse Stefan problem // Appl. Math. Modell. 2011. V. 35, N 9. P. 4367-4378.

Статья поступила 31 марта 2017 г. Ефимова Айма Михайловна

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова Институт математики и информатики ул. Кулаковского 42, Якутск 677891 aima.ef imova@yandex.ru

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2017. Том 24, № 2

UDC 517.633

COMPUTATIONAL IDENTIFICATION OF THE BOUNDARY CONDITION IN THE HEAT TRANSFER PROBLEMS A. M. Efimova

Abstract. The inverse boundary-value problems of heat transfer are of great practical importance, and the work of many authors is devoted to the numerical methods of their solution. We consider a direct method for solving inverse boundary-value problems for a one-dimensional parabolic equation that decomposes a finite-difference analogue of the problem at each time layer. With the help of the proposed numerical solution, we solve the inverse boundary-value problems with a fixed boundary, with a moving boundary, and the Stefan problem. The results of numerical calculations are discussed.

DOI 10.25587/SVFU.2017.2.9246 Keywords: inverse boundary problem, inverse Stefan problem, finite difference method, marching method.

REFERENCES

1. Alekseev A. S., Belonosov V. S., and Glinsky B. M., Methods for Solving Direct and Inverse Problems of Seismology, Electromagnetism, and Experimental Studies in the Problems of Studying Ggeodynamic Processes in the Crust and Upper Mantle of the Earth [in Russian], Izdat. Vychisl. Tsentra SO RAN, Novosibirsk (2010).

2. Alifanov O. M., Heat Exchange Inverse Problems [in Russian], Eurasia, Moscow, (1988).

3. Tikhonov A. N. and Arsenin V. Yu., Solutions of Ill Posed Problems [in Russian], Nauka, Moscow (1986).

4. Kabanikhin S. I., Inverse and Ill-posed Problems [in Russian], Novosibirsk, Sib. Sci. Publ. House (2009).

5. Samarskiy A. A. and Vabishchevich P. N., Numerical Methods of Solution of Inverse Problems of Mathematical Physics [in Russian], Izdat. LKI, Moscow (2009).

6. Kalitkin N. N., Numerical Methods [in Russian], Nauka, Moscow (1978).

7. Samarskiy A. A., The Theory of Difference Schemes [in Russian], Nauka, Moscow, (1977).

8. Vabishchevich P. N., Vasil'ev V. I., and Vasilyeva M. V., "Computational identification of the right-hand side of a parabolic equation," Comput. Math. Math. Phys., 55, No. 6, 1015—1021 (2015).

9. Vabishchevich P. N. and Vasil'ev V. I., "Computational determination of the lowest order coefficient in a parabolic equation," Dokl. Math., 89, No. 2, 179-181 (2014).

10. Vabishchevich P. N. and Vasil'ev V. I., "Computational algorithms for solving the coefficient inverse problem for parabolic equations," in: Inverse Problems in Science and Engineering, 24, No. 1, 42-59 (2016).

11. Vasil'ev V. I., Vasilyeva M. V., and Kardashevsky A. M., "The numerical solution of the boundary inverse problem for a parabolic equation," in: Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences, AIP Conf. Proc., AIP Publ., 1773, No. 1, 100010 (2016).

The work was supported by the grant from the Russian Foundation for Basic Research (project code 17-01-00732).

© 2017 A. M. Efimova

12. Johansson B. T., Lesnic D., and Reeve T., "A method of fundamental solutions for the one-dimensional inverse Stefan problem," Appl. Math. Model., 35, No. 9, 4367-4378 (2011).

Submitted March 31, 2017 Aima M. Efimova

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 42, Kulakovsky St., Yakutsk 677000, Russia aima.ef imova@yandex.ru