CC BY
22
фалов проводится методом перевала (в качестве большого параметра выбрано т<'>).
Были проведены расчёты для составной оболочки, элементы которой выполнены из фибро-эпоксидного композита: ш2 =0.031, ц=0.1, с-1, D= 1. Они показали, что, как и в случае изотропной составной оболочки, существуют области согласования между полученными асимптотиками решений. Для падающей волны это временной интервал 7.0<т(1)<12.0, для отраженной - 11.0<т(,)<12.0. В этих интервалах асимптотики совпадают с точностью 0.03.
КИБЛИОГРЛФИЧНСКИЙ СПИСОК
1. Киссович Л.Ю. Нестационарные задачи в теории упругих тонких оболочек. Саратов, 1986.
2. Малинский ИТ., Парфёнова Я.А. Изгибные волны в составных цилиндрических оболочках // Механика деформируемых сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 2002. Вып. 14. С. 116 - 122.
УДК 629
Т. В. Пимкина, Ю. Н. Челноков
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОРБИТАЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Рассматривается задача об оптимальном управлении орбитальным движением космического аппарата (КА) в ньютоновском гравитационном поле. Дзя построения оптимальных управлений и траекторий движения управляемого КА (УКА) используются уравнения движения центра масс КА, записанные во вращающейся системе координат (с.к.), и принцип максимума Понтрягина. В качестве минимизируемого функционала используется интегральный квадратичный функционал качества. Управление (вектор ускорения от тяги реактивного двигателя) полагается ограниченным по модулю. Предложены нелинейные преобразования координат, понижающие размерность краевой задачи оптимизации.
1. Постановка задачи управления. Требуется определить ограниченное по модулю управление р:
0^</>тах <оо, р=\р\, (1)
переводящее КА, движение которого описывается уравнениями [1]
V,=с21г* - Щ ¡г2 + р1, г = у„ с = гр2, (2)
2Х = Хоюп, а^=(гр3/с)11+(с/г2)Тъ, ф* =с*(1 + е*со8ср*)2//?*2, (3)
и:? заданного начального состояния
<0=0:r(0) = r°, vj(0) = с(0) = с0, Х(0) = А°, (Р*(0) = Фо (4)
Входящие в (3), (4) - (6) переменные и параметры г', v,*, с*, X', А", ф", е* описывают движение в центральном ньютоновском гравитацион-иом поле неуправляемого К A (1IKA), с которым должен встретится УК А. Здесь r*,V',c' =r* xV* = const - радиус-вектор, вектор скорости и векторный интеграл площадей ЫКА соответственно; r*=|r*|, с* = |с" | = const; v* - проекция вектора скорости V' на ось г|* с.к. т|* (оси т)[ и r)j направлены вдоль векторов г* и с* соответственно); X" -кватернион ориентации с.к. г|* в инерциальной с.к. X , X — сопряжённый кватернион, А* = const - кватернион ориентации орбиты НКА, компоненты Л*, j = 0,3 которого могут быть выражены через постоянные угловые
элементы орбиты П*, /*, ю* этого КА; ф* - истинная аномалия НКА; р*, с — параметр и эксцентриситет орбиты НКА. Величины р', в', с', А*, фо считаются заданными. Отметим, что конечное значение Ф^ истинной аномалии <р*, характеризующее конечное положение IГКА на его орбите, не фиксируется, и подлежит определению в результате решения задачи, кроме этого, конечное состояние УКА принадлежит многообразию (5), (6), содержащему ip'k, поэтому данная задача является задачей с подвижным правым концом. Функционал (7) характеризует расход энергии на перевод КА из начального в конечное состояние и время, затрачиваемое на этот перевод. При dm/dt = const (т - масса НКА) данный функционал характеризует расход массы КА и время, затрачиваемое на перевод КА из начального в конечное состояние. При а[=1, а2=0 функционал J=tk (задача быстродействия).
2. Необходимые условия оптимальности. Поставленная задача решается на основе принципа максимума Понтрягина. Для этого вводятся сопряжённые переменные р, р, jj, е, Ф*, vy0, соответствующие переменным X, г, Vj, с, ф", g, где g удовлетворяет при минимизации функциона-
и минимизирующее функционал
./ = j(a, + a2p2{t)]dt, a],a2 = const > 0. о
(7)
а2>0: ри
ла (7) дифференциальному уравнению (ДУ) ¿ = а, + а2р2 и начальному условию = строится функция Гамильтона-Понгрягина //, записывается система уравнений для сопряжённых переменных.
Оптимальное управление ри, найденное из условия максимума функции Н по переменной р с учётом ограничения (1), имеет вид
К=А + р% + р% = р\ /И> (р°, - р'Т. J=v). (8)
% = sJx +erl2 + [rv, /(2с)]Г3, |h| = [v,2 + r2(e2 + v2/¡4c2))] "2 (9) При минимизации функционала (7) в случаях
_0_|(2а2Г1|я|, {2а2УхЩ< Рпах,
Umax. (2а2Г,Н>рт„; (Ю)
а2=0: р" = ртах.
Здесь Vj - компонента кватерниона v = v0 + Vji, + v2i2 + v3/3 = X ° p.
Таким образом, задача сводится к интегрированию 16-ти ДУ относительно переменных г, Vj, с, ср*, Xj, р, s,, е, Ф*, (/ = 0,з).
В результате анализа задачи в рассмотрение вводится новая кватер-нионная переменная v = A.°jI, связанная с кватернионным первым интегралом уравнений задачи v* = цоX = const соотношением v = X° v' °Х.
Учёт первых интегралов краевой задачи оптимизации и использование переменных vу, (у = 1,з), являющихся компонентами кватерниона v,
позволяет понизить порядок полученной системы ДУ на 6 единиц для любого управления р, упростить их и привести к виду
v, = c2/r3 - fM/r2 + pj, r = vx, с = rp2, (II)
ij=-p, p = [(Зс21 r -2fM K+cv3j/r3-ep2-v,p3 /{2c\ (12)
e = -(2cs, I r + v3 ll)lr2 + rvlP3 /(2c2 ) (13)
v, = cv2/r2, v2=-c\xlr2 + rv3jp3/c, v3=-rv2p3/c. (14)
Система уравнений (11) —(14) и уравнение для <р* из (3) образуют систему 10-го порядка относительно переменных г, v1( с, <р*,р, Sj, е, (;'= 1,з). При их интегрировании появятся 10 произвольных постоянных, 11-м неизвестным будет время 1к. Для определения 6-ти неизвестных постоянных и времени служат: граничное условие (5), кватернионное условие
X(tk )°v(tk )= X(tk) = X(t0 ) о у(/0)оЦг0), (15)
полученное из (6) и кватернионного первого интеграла, условие трансверсальности
где Cv - постоянная интегрирования, и первый интеграл
о П>1Р? cv3 с С. + 13 + —+-=
2с 2г2 р*2
(17)
Таким образом, исходная краевая задача оптимального управления орбитальным движением КА, описываемая системой 16-ти нелинейных ДУ, сведена к краевой задаче, описываемой системой 10-ти нелинейных ДУ, правые части которых не только не усложнились, но и упростились.
1. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном ноле. 4.1 // Космические исследования. 2001. Т. 39, № 5. С. 502 - 517.
В статье представлены результаты расчётов для решения пространственной задачи оптимального управления с помощью принципа максимума Понтрягина о встрече двух космических аппаратов (КА), один из которых движется по эллиптической орбите только под действием силы притяжения к центру. Для решения задачи используются кватернионные или векторные элементы орбиты, в которых уравнения движения КА являются регулярными и обладают структурой, удобной для численного решения задач оптимального управления с применением ЭВМ. Рассмотрены два варианта функционала, определяющего качество процессов управления.
I. Движение совокупности управляемого и неуправляемого космических аппаратов в безразмерных кватернионных элементах орбит А и В описывается уравнениями [1, 2]:
— = -e£>F,sin<p, — =egF,coscp, — = «2A/2Q, 0=А2+В2, q-.P(u)p, t/ф dip dip
F| =u2q+(w,q)w, и=АсоБф+В5тф, \у—АБтф+Всо8ф, (1)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02-01-00988)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
УДК 301.15.15.07.02
Я. Г. Сапунков
ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ И УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О ВСТРЕЧЕ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
