Оптимальное управление ориентацией орбиты космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.27

Д. А. Сергеев, Ю. Н. Челноков

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА*

Уравнения движения. Уравнения задачи переориентации орбиты управляемого космического аппарата (КА), движущегося в ньютоновском гравитационном поле, имеют вид [1]

(\> = cr~2, 2A=A°Q^, f^ = vc3rc_1(i, coscp + i2sin(p), г = p(\ + ecoscp)-1, vx-ecp~x sincp, с = |r x v| = const,

где ей p - эксцентриситет и параметр орбиты, с - постоянная площадей; i\ - вектор абсолютной угловой скорости вращения орбиты, определённый своими проекциями в системе координат, связанной с орбитой, Л -кватернион ориентации орбиты КА; г - расстояние от КА до притягивающего центра, рз - ускорение от тяги реактивного двигателя, направленной перпендикулярно плоскости орбиты; v, - проекция вектора v скорости КА на направление радиуса-вектора г КА; ср - истинная аномалия, о - символ кватернионного умножения.

Постановка задачи. Требуется определить ограниченное по модулю управление ру.

'Ртах ¿РЗ^ Ртах S (2)

переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями (1), из заданного начального состояния

/ = /0=0, ф(0) = ф°, Л(0) = Л° (3)

в конечное состояние

t = tu vec/(A(f,) °Л') = 0 (4)

и доставляющее минимум функционалу

J = ¡q (a\ + aiPз2 , «i, о-2 — 0 - const ,

где Л° и Л1 - заданные кватернионы начальной и конечной ориентаций орбиты КА, Л - кватернион, сопряжённый к Л.

Минимум данного функционала (при с*2 * 0) означает минимум энергозатрат и времени, затраченных на переориентацию орбиты КА.

Конечное значение времени tь необходимого для изменения ориентации орбиты, также как и конечное значение истинной аномалии (p(ii) = ф1, не фиксируется и подлежит определению в результате решения

" Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, код проекта 99-0100192, и научной программы "Университеты России - фундаментальные исследования", проект № 015.04.01.50.

185

задачи оптимизации. Отметим, что в рассматриваемой задаче форма и размеры орбиты КА не изменяются в процессе управления его движением.

Необходимые условия оптимальности. Поставленную задачу будем решать с помощью принципа максимума Понтрягина.

Введём сопряжённые переменные: кватернионную сопряжённую переменную М, соответствующую кватернионной фазовой переменной Л, и скалярную сопряжённую переменную х> соответствующую скалярной фазовой переменной ср. Составим функцию Гамильтона-Понтрягина:

2 2 —] Я = -(а1+а2/'з ) + Хсг + Рзг(2с) собф + Ы2 втер), (5)

где - компоненты кватерниона

N = М0 + АГ,/, + N¿2 + Луз = Л о М.

Система дифференциальных уравнений для сопряжённых переменных будет иметь вид X = 2xv1r~1 + р3г(2с)~1(7^1 этф- созф) - р3г2(2с2)-1 у^Ж С0Бф + ТУ, эшф), 1

2М = М = р3гс (|| созф + /2 БШф).

Оптимальное управление находится из условия максимума функции Н, определяемой соотношением (5), по переменной р3 с учётом ограничения (2) и имеет вид

р°"' =\рз°р1 ^^{^соэф+^втф}, |«,| = г(2с)"1|Л'']со8ф + Лг25тф|

|л,.|/(2а2), если |«^|/(2а2)<ртах, (7)

[Ртгх> если К|/(2а2)>/'шах-

Так как мы имеем задачу с подвижным правым концом, то условия трансверсальности приводят к соотношениям

Х(/,) = 0, sca/(A(tf )»M(i])) = 0. (8)

Таким образом, поставленная задача сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений (1), (6) (при исключённом уравнении для сопряжённой переменной х) девятого порядка, где оптимальное управление определяется соотношениями (7). При их интегрировании появится девять произвольных постоянных интегрирования, десятой неизвестной будет время t\. Для определения постоянных и времени t\ имеем восемь граничных условий (3), (4), соотношения (8) и имеющее место для оптимального управления и оптимальной траектории равенство

Н°р'\ =Я(ф,Л,х,М,Лор')| =0,

которое замыкает полученную краевую задачу оптимизации.

Анализ задачи. Дифференциальные уравнения (1), (6) имеют первые интегралы:

||Л||2 = Л02 + Л,2 + Л22 + Л32 = 1, ||м||2 = М02 + М,2 + М22 + Мз2 = const, ^

М о Л = N* = const, N' = N0' + + N2'i2 + Ni'ii,Hop' = Я(ф, Л, x,M, p,0"') = 0,

где Aj и Mj, (/' = 0,1,2,3) - компоненты кватернионов Л и М.

Также отметим, что для кватернионных переменных N и N справедливо соотношение

N = Л о N' о Л, (10)

из которого следуют равенства

N0 = jV0* = const, \vectN\2 =N1*+N22+N32 =NX'2 +N2'2 +N3'2 = const.( 11)

Из соотношений (10), (11) и второго выражения в равенствах (8) следует, что постоянная интегрирования No = 0 и, следовательно,

scal(A о М) = Л0М0 + Л,М, +Л2М2 +Л3М3 =0. (12)

Учёт кватернионного первого интеграла, фигурирующего в (9), и использование новых переменных Nj (J = 1, 2, 3) позволяют понизить порядок полученной системы дифференциальных уравнений (1), (6) краевой задачи оптимизации на пять единиц для любого управления р3, упростить их и привести к виду

сЬ = сг~2, г = p(l + ecos©)_1, р,е,с - const,

' , . . (И)

N{—-p3rc jV3sincp, N1=-p-irc 7V3 coscp, N3=-p3rc (Щ sincp-A^ cosq>).

Эти уравнения, дополненные соотношениями (7), образуют систему нелинейных дифференциальных уравнений четвёртого порядка относительно переменных <p, Nj (J = 1, 2, 3). При их интегрировании появится четыре произвольных постоянных интегрирования, пятой неизвестной будет время t\. Для определения постоянных служат граничные условия (3), (4), соотношения (10) — (12).

Отметим, что в случае быстродействия система (13) сводится к скалярному нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка типа Риккати с комплексными коэффициентами или к скалярному линейному дифференциальному уравнению второго порядка с вещественными переменными коэффициентами, что позволяет эффективно использовать для изучения задачи качественные методы нелинейной механики.

Заключение. В статье дана новая постановка задачи оптимальной переориентации орбиты КА, не изменяющей своей формы и размеров, в процессе управления движением центра масс КА, использующая кватер-нионное дифференциальное уравнение ориентации орбиты КА. Эта постановка задачи открывает широкие возможности для её эффективного аналитического изучения и установления свойств и закономерностей оптимальной переориентации орбиты КА, чего нельзя сделать, используя дифференциальные уравнения ориентации орбиты в угловых элементах орбиты. Полученные уравнения позволили авторам разработать алгоритмы и программы численного решения поставленной задачи, позволяющие анализировать оптимальные управления и траектории КА во всём фазовом пространстве.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Челноков Ю. Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. Ч. II // Космич. исслед. 1993. Т. 31. Вып. 3. С. 3 - 15.

УДК 531.383: 532.516

А. М. Чернов

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ

В ПОПЛАВКОВОМ МАЯТНИКОВОМ АКСЕЛЕРОМЕТРЕ С УПРУГИМ КОРПУСОМ НА ВИБРИРУЮЩЕМ ОСНОВАНИИ

Определяется влияние упругости корпуса поплавкового маятникового акселерометра (ПМА) на гидродинамические реакции при вибрации основания, на которое крепится прибор.

ПМА представляет собой маятниковую массу m на плече /, направленном вертикально вниз, закреплённую внутри цилиндрического поплавка. Поплавок - абсолютно твёрдое тело, взвешен в вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей пространство между поплавком и внешним цилиндрическим корпусом. Поплавок удерживается внутри цилиндрического корпуса так, что у него в идеале остаётся одна степень свободы, а именно: поворот вокруг оси цилиндра (выходная ось). При работе ускорение, перпендикулярное плечу, на котором находится маятниковая масса, поворачивает поплавок вокруг выходной оси. Этот момент уравновешивается моментом электрической пружины Поэтому угловое отклонение вокруг выходной оси оказывается пропорционально ускорению. Опоры подвеса поплавка представляют собой камневые опоры и магнитный подвес. Оси координат Olx]y]zi жёстко связаны с корпусом прибора, 0\ - центр камеры и центр масс прибора, /[ - длина камеры, R\ - радиус камеры, xl,y1,z1 -главные оси симметрии тела. Система 02x2y2z2 - жёстко связана с корпусом поплавка; x2,y2,z2 - главные оси инерции корпуса поплавка; l2, R2 -длина и наружный радиус.

Поддерживающий и демпфирующий слой вязкой несжимаемой жидкости полностью заполняет зазоры 5 = R{ - R2 и а = 1 между стенками

камеры и поплавка.

Корпус прибора - упругая замкнутая цилиндрическая оболочка с жёстким защемлением по торцам.

Рассмотрим абсолютное ускорение центра масс W] абсолютно жёстких торцевых дисков корпуса прибора. Будем считать отсутствующим истечение жидкости из цилиндрической щели в торцевые щели.

Абсолютное ускорение единицы объёма жидкости в камере имеет

вид