Краевая задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом в области, эллиптическая часть которой -- полуполоса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.6

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С СИНГУЛЯРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ В ОБЛАСТИ, ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ КОТОРОЙ-ПОЛУПОЛОСА

М. Х. Рузиев

Институт математики и информационных технологий АН РУз,

100125 Ташкент, ул. Дурмон йули, 29.

E-mail: [email protected]

Исследована краевая задача в неограниченной области. Единственность решения задачи доказана с помощью принципа экстремума, а существование решения задачи установлена методами разделения переменных и интегральных уравнений.

Ключевые слова: полуполоса, уравнение смешанного типа, краевая задача, единственность, существование.

Пусть область D является суммой областей D+ и D-, первая из которых представляет собой эллиптическую полуполосу 0 ^ x ^ 1, у ^ 0, а вторая — характеристический треугольник OBC, где OC и BC — две пересекающиеся

С (^; — (m4l~2)т+2 ^ характеристики уравнения

в точке

во

signy \у\тихх +иуу + -^-Пу = О, (1)

исходящие соответственно из точек 0(0, 0) и В(1, 0). В (1) т и во — некоторые действительные числа, удовлетворяющие условиям т>0, —у<Д)<1.

Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения (1) в случае

во = 0 в области, эллиптическая часть которой есть полуполоса, исследованы

в работах [1-3].

Задача Т. Найти функцию и(х, у) со следующими свойствами:

1) и(х, у) € С(£))ПС'2(£)+и£)-) и удовлетворяет уравнению (1)

2) 1™ и(х, у) = 0 (2)

1 у—ж

равномерно по х € [0, 1];

3) и(х, у) удовлетворяет краевым условиям

и(0, у) = <Му), и(1, у) = ^2(у), у ^ 0, (3)

и\ос = Ф(х), (4)

и условию сопряжения

Нш (—у)воиу = Нш увоиу, х € (0, 1), (5)

у——-о у—>+о

причём эти пределы при х = 0, х = 1 могут иметь особенность порядка ниже 1 — 2(3, где Б = ВиОСиВСиООос^ВВос, ООоо = {(ж, у) : х = 0, у > 0},

Рузиев Менглибай Холтожибаевич — старший научный сотрудник; к.ф.-м.н.

ВВж = {(х, у) : х = 1, у > 0}; (у), ^2(у) и ф(х) —заданные функции,

о та+2/Зо ^ 2(т+2) '

Используя решение видоизмененной задачи Коши для уравнения (1) в В-, согласно краевому условию (4), имеем

V(х) = 7^1-2вт(х) - ^(х) (6)

где

Ф(х) = Щ1~Й (Ш + 2)^В^ф (-) ч = 2Г(2/3)Г(1 ~ ® (т + 2^ 2" П) Г(1 — 2/5) V 4 ) 0х Ф\2), 7 Г(/3)Г(1 — 2/5) V 4

^ох —оператор дробного дифференцирования порядка I в смысле Римана— Лиувилля [4].

Равенство (6) есть основное функциональное соотношение между неизвестными функциями V (х) и т (х), принесённое на .] гиперболической части В- области В.

Имеет место следующая

Лемма 1. Если функция и(х, у) — решение уравнения (1) в области В-такое, что т(х) = и(х, 0) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке х = хо, 0 < хо < 1, при этом ф(х) = 0, то ^ (хо) > 0 (^ (хо) < 0).

Доказательство леммы 1 следует из формулы (6) и принципа экстремума для операторов дробного дифференцирования.

Пусть В^ и В+ —конечные области, отсекаемые прямой у = Н > 0 соответственно от В и В+; Оь(0, Н), В^(1, Н).

Справедлива следующая

Теорема 1. Задача Т не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть и(х, у) —решение задачи Т, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Покажем, что и(х, у) = 0 в В+.

Допустим, что это не так. Тогда найдётся такая область Вв которой и(х, у) = 0.

Действительно, тах-=г+ |и(х, у) | >0. Без ограничения общности можно считать, что

тах|и(х, у)\ = тахи(х, у) > 0.

Допустим, что тах-=г+ и не достигается на ОьВ^. Поскольку и(0, у) =

-‘-'И. ____ ____

= и( 1, у) = 0 при у ^ 0, то он не должен достигаться на а = ООь и ВВ^, и в силу хорошо известного свойства эллиптических уравнений он должен достигаться на отрезке О В в некоторой его внутренней точке (жо, 0). Но тогда, по лемме, приведённой в работе [5], должно быть ^(хо) < 0, что противоречит V- (хо) > 0 в силу леммы 1.

Следовательно, тах-=-+ и должен достигаться на ОьВ^. Возьмём произ-иь

вольное малое число е > 0 ив силу (2) выберем Н настолько большим, чтобы |и(х, у)| < е на у = Н.

Пусть (хо, уо) — произвольная точка области В+. При достаточно большом Н эта точка попадает в область В+ и потому |и(хо, уо)| < е. В силу

произвольности е будем иметь и(хо, уо) = 0. Тогда и(х, у) = 0 в области и, в частности, и(х, +0) = т+(х) = 0 на [0, 1]. Но ввиду т+(х) = т-(х) из (6) следует, что ^(х) = 0. Тогда из формулы Дарбу [6] получим и(х, у) = 0 и в области В-. □

Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть выполнены условия:

_ Зт + 2/Зд _

щ(у) € С[0, оо), у 2 (р^у) £ Ц0, оо), г = 1, 2,

а функция

0(ж)єСО, і ПС(у)(о, V’i(O) = 0(0), <р2(0)=0.

Тогда решение задачи T существует.

Доказательство. Решение уравнения (І) в области D+, удовлетворяющее условиям (2), (3), будем искать в виде суммы двух функций u(x, y) = = ul(x, y) + u2(x, y), где ul(x, y) и u2(x, y) — решения уравнения (І), удовлетворяющие соответственно краевым условиям:

Ul(0, y) = ^l(y), Ul(1, y) = ^2(y), y ^ 0, (Т)

lim Ul(x, y) = 0 равномерно по x Є [0, 1],

y^+те

ul(x, 0) = 0, x Є [0, 1],

U2(0, y) = 0, U2(1, y) = 0, y ^ 0, (В)

lim u2(x, y) = 0 равномерно по x Є [0, 1], (9)

y^+те

u2(x, 0) = т(x), x Є [0, 1], (10)

где т(x) —непрерывная, а т;(x) —абсолютно интегрируемая на отрезке [0, 1] функции.

Функцию ul(x, y) будем искать в виде

00 / , т+2 \ ui(x, у) = уJ (ai(\)eXx + а2(Л)е_Лж^ J1-20 ( 2^+ 2 j d\, (11)

о

где йі(Л) и Й2(Л) —произвольные функции, Jv (z) —функция Бесселя первого рода [7]. Применяя преобразование Ханкеля, в силу (7) после необходимых вычислений получим

00 / т + 2 \

/\ч , /\л -А* 2Л f 2т+1+'э0 Т 2Ху 2 \

0l(A)e +а2(Л)е = (m + 2)Sh \JV 2 Г

о V '

x [sh Л(1 - x)^l(y) + sh Лx^2(y) dy. (І2)

Формулы (11) и (12) определяют искомое решение и1(х, у). Применив метод разделения переменных, в силу условий (8)—(10) нетрудно получить явный вид функции и2(х, у):

, . 1-Рс, \ ^ . ( 2ТТП то + 2 \

и2{х,у)=у 2 а», 8ш жпхК 1-2/3 ——у 2

2 \ 771 \ £ /

П=1 4 7

(13)

где

пп

1-2/3 1

2 "

т(£) 8ш пП ^,

К (г) —функция Макдональда [7].

Выполнив некоторые преобразования в (13), имеем

и2(х, у) = Й2у

= ^у1-в0

т(£)С2(х, £, у) ^,

(14)

где

^2(х, £, у) =

+ Е

П=1

+

(х — £)2 + (2п + х — £)2 +

(2п — х + £)2 + к2 =

4у

т+2

в-1

(т + 2)2

4ут+2

(т + 2)2

4ут+2

(т + 2)2

(х + £)2 +

4у

т+2

в-1

в-1

в-1

(2п + х + £)2 +

(2п — х — £)2 +

(т + 2)2

4ут+2

+

в-1

(т + 2)2 4ут+2

(т + 2)2

+

в-1'

4 \2-2в Г2(1 — в)(1 — во)

т + 2^ 4пГ(2 — 2в)

Из равенств (11), (12) и (14) после несложных вычислений имеем

и(х) =-к2—^-— [ т'(Ь)(х — ^\х — Ц2/3 2(И—

2 Уо

— ^2(1 — во) I т(£) | (х + £)2в-2 — Е [(2п + х — £)2в-2 — (2п + х + £)2в-2+ +(2п — х + £)2в-2 — (2п — х — £)2в-2 > ^ + ^о(х), (15)

где

/ х 2/3 —1

4

1

о

f°° 2m+l+/3n f°° 3-20 Sh Xx (2Лt 2 \ ]

+ l ‘ ’ Ы*)Л1 Aa *XJl^ (^TjJ dxj-

Равенство (15) есть основное функциональное соотношение между неизвестными функциями v(ж) и т(ж), принесённое на J эллиптической части D+ области D.

Согласно (5), исключая v(ж) из (6) и (15), получим

7-Во~2/3т(ж) - tp(ж) = -к2 т 2 [ т'{х){х - t)\x - t\2l3~2dt - fc2(l - /?о)х

2 7о

ХГт ((){(ж+t)2e-2— 5 [(2,!+ж - t)2e-2 - (2n+ж+t)2S-2+

+(2n — ж + t)2e-2 — (2n — ж — t)2e-2 > dt + F0(ж).

Применив оператор В^-1 к обеим частям последнего равенства и выполнив некоторые преобразования, получим сингулярное интегральное уравнение относительно т (х):

т(x) — ^ / т(t)K(x, t)dt = $(x), x Є (0, 1), о

(1б)

где

K(x, t) = ( —

20-1

1

1

+ £

n=l

t — x t + x 2n-t \2e-1

+

x

1

1

2n — t + x 2n — t — x

2n + t \2в-1 / 1

x

1

2n + t + x 2n + t — x

Ф^) =

Полагая

4 \2/3 Г2(1 — 2/3) cosTT/3 / 20-1

m + 2/ Г2(1 — в) 1 + sin пв

cos пв

D02f-1 ^(x) + Dо2f-1Fо(x)

п(1 + sin пв)

т(х) = x2 2l3ip(x), K(x, t) = L(x,t), Ф(ж) = ж2 2/3g(ж),

приведём уравнение (1б) к виду

^>(x) — ^ / L(x, t)^(t) dt = g(x), о

(1Т)

где

11

L(x, t) =-1--

t — x t + x

+ £

n=l

t

2n +1

2-20

1

+

1

2n + t + x 2n + t — x

t

2n — t

2-2в

1

+

1

2n — t + x 2n — t — x

Из (17) после некоторых вычислений получим

^>(ж) — ^ / £0(ж, і)^>(і) ^ / △ £(ж, і)^>(і) + д(ж),

Уо Уо

(1В)

где

11

Ь0(ж, і) — -Ь ——Ь

t — x t + x

+

ГО

+

' V 2n + t + x 2n + t — x 2n — t + x 2n — t — x

n=l

1

1

1

1

Л L(x, t) = L(x, t) — L^x, t) =

n=l

(2n — t)2 — x2

(2n + t)2e-1 [(2n + t)2-2e — t2-2e ]

(2п + і)2 — ж2 І

Легко убеждаемся в том, что △ Ь(ж, і) —ограниченная функция в квадрате 0 ^ ж, і ^ 1. Далее, используя разложение ctg ж на простейшие дроби, ядро Ьо(ж, і) запишем в виде:

А сіл2 я*

£о(ж, І) = (19)

С учётом (19) из (18) имеем

ж) -» [ ^1? ^ = г(ж). (2°) йт “о-----------------йт “о-

где

r(x) = ^ [ Л L(x, t)^(t) dt + g(x). (21)

о

Произведя замену z = sin2 ^г, £ = sin2 ^ и полагая p(z) = <£>(ж), %(z) = = r(x), из (20) получим

p(z)-/x [1РШ=ф), г Є (0,1). (22)

./о s — z

Решение уравнения (22) ищем в классе Л,(1) функций р(г) € Н(0, 1), которые при г = 1 ограничены, а при г = 0 могут обращаться в бесконечность порядка ниже единицы. Нетрудно показать, что индекс % класса Л,(1) равен нулю. Тогда единственное решение уравнения (22) в классе Л,(1) имеет вид

2

2п

1 — 2/3

, . 1 -\- ЭШ 7ГВ . . СОЭ 7Г(3 (1 — х\ 4 г1

р(х) =----------------------х(г) + ' '

1-2/3 ‘

0 4 (£-*)

Отсюда, возвращаясь к прежнем переменным, получим

^(ж) =

г(ж) +

008 пв

1-2/3

2

£о(ж, і)г(і) гіі.

(23)

В силу (21) равенство (23) запишем в виде

р(х) + / Н(х, %(*) ^ = ^1 (х), о

(24)

где

Я(а, і) = -^АЬ(х, і) —

2п

0082 пв

1-20

-1 Аё^\"—

27Г2(1 + 8ІП7Г/3) Уо Vtgy

Ьо(ж, {) △ £(£, і)гі£,

, . 1 + ЭШ П^ . , С0Э пв

91 =-------2---------+ 27г Уо

1-2/3 ' 2

Ьо(ж, і)д(і) йі.

Равенство (24) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Разрешимость уравнения (24) следует из единственности решения задачи Т. □

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Репин О. А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой полуполоса// Дифференц. уравнения, 1996. — Т. 32, №4. — С. 565567.

2. Лернер М. Е., Репин О. А. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа // Докл. РАН, 1999. — Т. 365, №5. — С. 593-595.

3. Блюмкина И. А. О построении решения задачи Трикоми для уравнения типа Чаплыгина в полуполосе// Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. Мат.-мех.-астр., 1971. — №13. — С. 12-23.

4. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Мн.: Наука и техника, 1987. — 688 с.

5. Салахитдинов М. С., Рузиев М. Х. Задача Трикоми для одного класса уравнений смешанного типа в неограниченной области // Узбек, мат. журн., 2005. — № 2. — С. 77-83.

1

6. Салахитдинов М. С., Мирсабуров М. О некоторых краевых задачах со смешением для уравнения гиперболического типа, вырождающегося на границе// Изв. АН УзССР. Сер. Физ.-мат. науки, 1980. — №1. — С. 16-21.

7. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. — М.: Наука, 1990. — 528 с.

Поступила в редакцию 28/Х/2008; в окончательном варианте — 05/11/2009.

MSC: 35M10

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE EQUATION OF MIXED TYPE WITH SINGULAR COEFFICIENT IN THE DOMAIN WHERE THE ELLIPTICAL PART IS A HALF-BAND

M. Kh. Ruziev

Institute of Mathematics and Information Technologies Uzbek Academy of Sciences,

29, Durmon yuli st., Tashkent, 100125.

E-mail: [email protected]

Boundary value problem is studied in the unbounded domain. Uniqueness of the problem is proven with the help of the extreme principle. Existence of the problem is established by methods of separation of variables and integral equations.

Key words: h,a,lf-ba,nd,, mixed type equation, boundary value problem, uniqueness, existence.

Original article submitted 28/X/2008; revision submitted 05/II/2009.

Ruziev Menglibay Kholtojibayevich, Ph. D. (Phys. & Math.), Senior Scientific Researcher.