CC BY
23
УДК 517.956
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯ
ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ
А.Н. Зарубин, О.В. Лаштабега
Орловский государвственный университет, ул. Комсомольская, 95, Орел, 302026, Россия, e-mail: aleks_zarubin@mail.ru,tanda80@yandex.ru
Аннотация. Для уравнения смешанного типа с оператором Лаврен-тьева-Бицадзе, негладкой линией вырождения и запаздыванием в производной рассматривается в несимметричной области аналог задачи Трикоми.
Ключевые слова: уравнение смешанного типа, запаздывание, интегро-дифференциально-разностное уравнение
Уравнение
Lu(x,y) = uxx(x,y) + sgn(xy)uyy(x,y) - H(x - т)ux(x - т,у) = 0, (1)
0 < т = const, H(£)-функция Хевисайда, рассмотрим в несимметричной полубесконечной области D = D1 U D2 (J D3 (J J1 U J2, где D1 = {(x, y) : x > 0, — x < y < 0}, D2 = {(x, y) :
+СЮ
—h/2 < x < 0, — x < y < x + h} и D3 = (J D3k = {(x,y) : x > 0, 0 < y < h} -
k=0
гиперболические и эллиптическая части области D, причем D3k = {(x,y) : кт < x < (k +
1 )т, 0<y<h},0<h = const, J\ = {{х, у) : х > 0, у = 0}, J2 = {{х, у) : х = 0, 0 < у < h}.
Задача Т. Найти в облает,и D решение и(х,у) уравнения (1) из класса C(D) Р| С1 (D) P| C2(D \ (J1 U J2)), исчезающее на бесконечности, производные которого ux(0,y), uy(x, 0) в точке (0, 0) ограничены, в точке (0, h) функция ux(0,y) допускает особенность не выше 1/2 (ux(0, y) = o((h—y)-1/2)), а uy(x, 0) исчезает при x —> (uy(x, 0) =o( exp (—
(1/4 + e))x) (0 < e < 1/4)); удовлетворяющее граничным условиям
u(x, h) = f (x), 0 < x < +to, (2)
u(x, —x) = ^1(x), x > 0 (3)
u(—y, y) = ф2(y), 0 < y < h/2; (4)
условиям сопряжения
u(x, —0) = u(x, +0) = w1(x); u(—0,y) = u(+0,y) = u2(y), (5)
uy(x, —0) = uy(x, +0) = V1(x); ux(—0,y)= ux(+0,y) = V2(y), (6)
где f (х), ф\(х), ф2(у) - заданные непрерывные достаточно гладкие функции; и (] = 1, 2) - соотвественно дважды и один раз непрерывно дифференцируемые функции, подлежащие определению.
Теорема 1 Пусть f (х) € С[0, +го) Р| С2(0, +го), f (+го) = 0, f (х) = о(х2) при х ^ 0; ^1(0) = ф2(0), ф^+то) = 0 и ф(Ь), (Ь) (г = 1, 2) принадлежат классу Гельдера внутри
соответствующих промежутков, причем (Ь)=о(ехр(7Ь)) (7 < -1/2) при Ь ^ +то; (/г/2 — ^)1/2^2(^) —> 0 при I —> Л./2. Тогда существует единственное при к < 2\/2 решение и(х,у) задачи Т.
Доказательство теоремы разобьем на ряд этапов.
I. Единственность решения задачи Т вытекает из ниже следующих утверждений.
Лемма 1 Если и(х,у) - решение уравнения (1) в облает,и Из из класса С(В3) {~)С2(В3), исчезающее на бесконечности с однородным условием (2) и Н < 2\[2, т,о
н
в = ^(х)^(х)^х + Ш2(у)щ(у)(1у < 0 (7)
и
в+JJ
D3
иЦх, y) (1 - [h2 - y2)/8) + (^Uy{х, y)-
(8)
dxdy < 0.
Доказательство получим из тождества
u(x,y)Lu(x,y) = {u[x,y)ux[x,y)) x + (u(x,y)uy(x,y^ y -
-U2x(x, y) — uj(x, y) — H(x — T)u(x, y)ux(x — T, y) = 0,
интегрируя которое по области D£ip={(x,y) : £ < x < р, £ < y < h} (0 < £ < p = const), применяя формулу Грина [1] и условия леммы, в пределе при р ^ +то, £ ^ 0, найдем, в силу (5)—(6), что
в + JJ [uX(x,y)+ uj(x,y)+ H(x - t)u(x,y)ux(x - T,y)]dxdy = 0. (9)
J3
Так как, в силу интегрирования по частям и однородности условия (2),
JJ H(x - t)u(x,y)ux(x - T,y)dxdy =
D3
y
^ uy(x,y)^H(x - t) J ux(x - t,£)d^jdxdy, J3 0
2
то (9) можно записать в форме
у ч 21
12
дхду
в + УУ
Вз
У 2
и2х(х, у) + ( иу(х, у) - -Н(х - т) их(х - г,
0
У ч 2
12
4 II I Н(х ~ т) I их{х — т, £)сУ£ ] дхЯу,
Вз 0
что, в силу неравенства Коши-Буняковского [2] для интеграла
Н(х — т) J их(х — т,£)й^ йхйу = JJ ^J их(х,^)д^ йхйу <
Вз 0 Вз 0
У
< Ц(^У У и2х(х,0^^хЯу I Л (Л2 - !Г)(Гг[х.у)'1хг1у.
Вз 0 Вз
приводит при к < 2\/2 к утверждениям леммв1 (7) и (8).
Лемма 2 (3). Если и(х,у) € 0(0^ Р| С2(1)1) (и(х,у) Е С(Д2) П^2№)) - решение уравнения (1), обращающееся в нуль на характеристике у = —х (х = —у),
+сю / Н \
то § ^(х)^(х)^х > 0 ( /^2(у)^2(у)^у > 0 ).
00
Утверждение леммы доказано аналогично [3].
II. Для доказательства существования решения задачи Т отдельно рассмотрим:
а) в гиперболической области Д1 задачу Коши
Пхх(х,у) — Пуу(х,у) — Н(х — т)их(х — т,у) = 0, (х,у) € Б1,
и(х, 0) = ^1(х), 0 < х < +оо,
(10)
иУ (х, 0) = ^1(х), 0 <х< +то, ш1 (0) = 0, ^1(+то) = 0;
б) в гиперболической области 02 задачу Коши
Пхх(х, у) — Пуу(х, у) = 0, (х,у) € В2,
и(0,у) = ^2(у), 0 < у < h, (11)
Пх(0,у) = ^(у), 0 <у < ^
ш'2(0) = 0, W2(h) = f(0);
У
У
2
2
в) в эллиптической области Д3 задачу Неймана-Дирихле
ихх(х,у) + Пуу(х,у) - Н(х - т)пх(х - т,у) = 0, (х,у) Є Дз, иу(х, 0) = ^(х), 0 < х < +то,
Их(0,у) = Р2(у), 0 < у < к,
и(х, к) = f (х), 0 < х < +то, (12)
Ііт и(х,у) = 0, 0 < у < к,
X——+ <^
f (0) = Ш2(к), f (+ТО) = 0.
Исходя из функциональных соотношений между (ї) и (ї) (і = 1, 2), полученных из
решений задач Коши (10)—(11) и Неймана-Дирихле (12), в силу соответственно условий
(3), (4) и (5), составим полную сингулярную интегральную систему относительно Vj (ї).
Лемма 4 Пусть ш1(х) Є С[0, +го) Р| С2(0, +го), ^(х) Є С:(0, +го), абсолютно интегрируемы на [0, +го), ш:(0) = 0, Ші(+то) = 0 и Q1k = {(х,у) : —у < х < (к + 1)т + у, —(к +
1)т/2 < у < 0}, к = 0,1, 2,.... Тогда существует единственное решение задачи Коши
(10), имеющее вид
и(х,у) = {ик(х, у), (х, у) Є Ии- = (5и- \ <Эцк-1) (к = 0,1, 2,...)}, (13)
если
ик(х, у) = фк(х, у)Н(х) + ^ ттН(х - тт)
т=1
х—тт
Ит Р — і
(х — тт) (фх — тт)2 - гф)т Ф(п,у)^Ц,
<1хт J о
где 7т = (т!Г(т)22т—1) 1,
(14)
ф(х,у) = {фк(х,у), (х,у)еОік (к = 0,1, 2,...)}, (15)
когда
х+у
1 1 Г
Фк(х,у) = -^[41(х-у) + $1(х + у)]+^ у (16)
х-у
2Ґ1(х) = {гкф1 (х), кт < х < (к + 1)т (к = 0,1, 2,...)}, (17)
йх
(х) = ш1(х)Н(х) + У^(- 1)т7т2т 1(т - 1)!Н(х - тт)■
к
+ Х! 7тН(х - тт)■ (18)
т=1
х—тт
й ['^ к
хт~1(х — тт) иі(£)сІ£
о
т
т=1
х—тт п
' I / " (/ ^т) (*’ “("+ гпт] 2) <г"'
оо
причем ги1 (х) совпадает с гШ1 (х) из (17)—(18), если там заменить ш1(х) на и1(х).
а
Доказательство утверждения леммы следует из непосредственно проверяемого [4] общего решения уравнения (101) в области Д вида (13), если там
к
ик(х,у) = [^(х — у) + д2(х + у)]Н(х) + ^ 7тН(х — тт)■
т=1
х—тт (19)
дт г
•— (х - тт) ((ж - тт)2 - у2)т~1 [д^у - у) + д2(у + у)\с1у,
0
где д^(Ь) (г = 1, 2) - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые на отрезке [кт, (к + 1)т] функциии.
Действительно, в силу (102)—(10з) и
д1 (х) + д2 (х) = ^ (х), — д'1 (х) + д2 (х) = г1'1 (х), (20)
из (19) получим интегро-дифференциально-разностное уравнение Вольтерра
к
____^ д
~Г (*) + '%2'УтН(х- тт) — (ж - тт)
х—тт
т
'к 7 ' ,т ............... ' 1 ^ ..............7 (21)
0
■ ((х — тт)2 — п2)т 1гШ1 (п)дп = ^1(х), кт < х < (к + 1)т,
решение [5] которого имеет форму (18), или относительно ги1 (х) также уравнение типа (21) с правой частью ^1(х).
Функции дг(Ь) (г = 1, 2), найденные из системы (20), на основании (19), приведут к обобщенной формуле Даламбера (13)—(14), которая будет решением задачи Коши (10), единственным в силу построения.
Лемма 5 Пусть ш2(у) € С[0, Л] Р| С2(0, К), и2(у) € С 1(0, К), абсолютно интегрируемы на [0, Л] и ^2(0) = 0, ш2(К) = f (0). Тогда существует единственное решение задачи Коши
(11), имеющее вид
У+х
1 1 Г _
Ф, у) = ^ [ьъ(у - х) + ^(х + у)] +- , (х, у) е В2. (22)
У—х
Доказательство леммы проводится аналогично лемме 4. Форма (22) решения задачи Коши (11) может быть найдена из (13)—(18) при к = 0 с учетом данных задачи и области ее решения.
Лемма 6 Если ^1(х) € С 1(0, +го), f (х) € С[0, +то) Р| С2(0, +то) и у2(у) € С 1(0,Л),
абсолют,но интегрируемы на [0,+оо) и [0, /г] соот,вет,ст,венно, причем /(0) = и2{Ь), /(+оо) = 0, /(х) = о(х2) при х —> 0, т,о существует, единст,венное при Н < 2\[2 решение задачи Неймана-Дирихле (12) в области Б3, которое имеет вид
и(х, у) = и1 (х, у) + и2(х, у) =
_ (23)
= { у) + чцЛх. у), (х, у) е Бзи (к = 0,1, 2,...)},
где
н
ulk(x, у) = J ^СОС—(x, у; 5, ^ |^=0дt, (24)
0
и2к(х,у)= I ги1 (5)С+(х,у; 5,^=0д5+
(25)
+ У г1 К)С+,(х,у; £,Щ,=Нд$,
0
к ( )
С£(ж,у;£,*) = С(х,у]£,г)Н(х) + ^ (т 1)т'УтН(х - тт)-
т=1
• ^ / (я - тт)№)/2//1±1)/2((х - ^г)2 - у;
0
^ ^ /сЬ ((ж - Оп/2И) - соэ ((у - ^)тг/2/г)
27г \сЬ ((х — £)7г/2Л,) + сое ((У - ^)тг/2/г)
сЬ ((х + ч)7г/2Л.) — сое ((у + ^)7г/2/г) \ сЬ ((х + ц)7г/2Л.) + сое ((у + £)7г/2Л.) / ’
(26)
(27)
^2 2)« Г 0, 5 > п, (&2 2)а Г (52 — п2)а, 5 > п,
(5 — п) — П (п2 — 52)а, 5<п; (5— п)+ П а. 5 < п;
причем ги1 (х) и г? (х) определяются равенствами типа (17)—(18), в которых следует заменить ^1(х) соответственно на ^1(х) и f (х).
Доказательство единственности решения задачи Неймана-Дирихле (12) в области Д3 из класса С(И3) Р| С2(Из) следует из того, что однородная задача (12) имеет при Н < 2\/2 тривиальное решение, так как согласно лемме 1, в силу (8),
у 2-
и2х(х, у) (1 - (Л2 - у2)/8) + (^иу(х, у) -^Н(х-т) У их(х - г, £)<^
дхду = 0.
Вз 0
Решение задачи Неймана-Дирихле (12) в области 03 найдено в виде суммы (23) решений двух вспомогательных задач
и^хх(х, у) + и^уу(х,у) — Н(х — т)и^х(х — т,у) = 0,
и(х, К) = (з — 1)f (х), 0 < х < +то, и^У(х, 0) = (з — 1)и1(х), 0 < х < +то,
изх(0,у) = (2 — 3)v2(y), 0 <y<h, Иш из(х,у) = 0, 0 < у < К,
х—^+^0
/(0) = Ш2<К), ( + м) = 0, 3 = 1, 2).
а
1. Функция щ(х, у) = {uik(x, у), (х, у) G Dзк (к = 0,1, 2,...)} получена в форме
uik(x,y) = ^2, Rk(x,Xi)cos Xty, (29)
где
h
Rk(x, A/) = —j^-Tk(x, A/) J u2(t) cos Xit.dt, (30)
О
k
Tk(x^l) = e hxH(x) + y^(—1)mYmH(x — mт)
m
m=l
m ( )
rj(rf — (x — тт)2уг 1e~XlVdi],
(31)
dxm
x—mr
кт < x < (k + 1)т, является решением [5; 4] уравнения
T (x, Xl) — Аг2Т(x, Al) — H(x — т)T (x — т, Xl) = 0,
удовлетворяющим условиям T'(0, Xi) = —Xl, T(+ro, Xi) = 0, причем Xl = (l + 1/2)n/h. Подставляя (31), (30) в (29), учитывая [6], что
COS (2/г + 1)х _(2,г+1)а c'li а + cos х
^ 2п +1 4 ch a — cos x ’
n=0
найдем Uik(x,y), (x,y) G D3fc в форме (24).
2. Решение u2(x, у) = {u2k(x, у), (x, у) G D3k (к = 0,1, 2,...)} построено в виде
U2k(x,y) = [ Ak(x, X)n(y,X)dX, (32)
где
Ak (x, Л) = H(x) cos Лx + E YmH (x — mт )•
m=l
x—mr
dm f l
• (ix — шт)2 — )]2)m (x — mr) cos X)]d)]
(33)
0
удовлетворяет [5; 4] уравнению
A (x, X) + X2A(x, X) — H(x — т)A (x — т, X) = 0, и условию A' (0, X) = 0, а
n(y, X) = d(X)eXy + C2(X)e-Ay, 0 < y < h, (34)
а
Ci(X) = const (i = 1, 2), является общим решением уравнения П''(y, X) — X2n(y, X) = 0.
Подставляя (34), (33) в (32), на основании условий (282)—(283) (j = 2), получим для определения q(X) (i = 1, 2) систему интегральных уравнений
f {c1(X)eXh + c2(X)e-Xh) Ak(x, X)dX = f (x), кт < x < (к + 1)т,
0
(35)
J ^c1(X) — c2(X)) Ak(x, X)dX = v1(x), кт < x < (к + 1)т. 0
Пусть
0
(c1(X)eAh + c2(X)e Xh) cosXxdX = zf (x), кт < x < (к + 1)т, ^c1(X) — c2(X)) cos XxdX = zk1 (x), кт < x < (к + 1)т.
(36)
Тогда из (35), в силу (33), получим относительно zf (x) и zk1 (x) интегро-дифференциально-разностные уравнения Вольтерра типа (21) с правой частью f (x) и v1(x) соответственно, решения [5] которых zf (x) и zk1 (x) будут иметь вид (18) относительно f (x) и v1(x).
Так как функции f (x) G C[0, +ro) P| C2(0, +ro), f (+ro) = 0, f (x) = o(x2) при x ^ 0; v1(x) принадлежит классу Гельдера внутри (0, +то) и абсолютно интегрируемы на [0, +го), то, очевидно, в силу (18), этими свойствами обладает zf (x) и zV1 (x).
Поэтому, обратив косинус-преобразования Фурье (36) [7] с правыми частями zf (x), zV1 (x) при x > 0, получим систему
Ci(\)eXh + c2(X)e~Xh = — J z^(t) cos Лt.dt.,
0
ci (Л) — с2(Л) = zUl(t) cos Лtdt,
nX I
из которой
ci(X)
1
п ch Xh J
0
+ «__
zf{t) + (-1 y+l\e{~l)ixhzvi{t) X
cos Xtdt, (i = 1, 2). (37)
Подставляя (34), (33), (37) в (32), используя [6] формулы
[ ch ax п cos(an/2c) ch(bn/2c)
i----cos охах = - ■ —Г----т -r-r.
J ch cx c ch(bn/c) + cos(an/c)
0
[ эЬ ах 1 1 1 сЬ(Ьп/2с) + $,т(ап/2е) . |т , ,
' сое ЪхЛх = - 1п —--———-------—-——, 11ес > | Иеа | + | 1тЬ |,
0
х сЬ сх 2 сЬ(Ьп/2с) — §т(ап/2с)
получим и2к(х,у) в виде (25).
III. 1. Функциональное соотношение между и^х) и ^1(х), принесенное на линию у = 0, 0 < х < из области Д1, получим, в силу (13)—(18) и (3), из интегро-дифференциально-разностного уравнения Вольтерра
к х—тт
к ^ Г
фк(х, -х)Н(х) + ^ 7тН(х - тт(х - тт) ■
т=1 х 0
■ ((х — тт)2 — п2)т 1ф(п, —х)йп = ^1(х), кт < х < (к + 1)т,
совпадающее с уравненим (21), решение [5] которого имеет форму (18), где следует заменить и1 (х) на ■ф1 (х), то есть
фк(х, —х) = г^1 (х), кт < х < (к + 1)т. (38)
После подстановки (38) в (16), получим искомое соотношение
0
г/1 (2х) + г/1 (0) + [ ги1 (5)d5 = 2г* (х), кт < х < (к + 1)т,
2х
или
гк1 (х) + г/1 (0) + I ги1 (5)d5 = 2г*(х/2), кт < х < (к + 1)т.
Значит,
41 (х) = {гТ(х)) — 2(41 (х/2)), кт < х < (к +1)т, (39)
искомое функциональное соотношение из Д1.
2. Аналогично, из (22), (4) найдем функциональное соотношение между и2(у) и и2(у), принесенное на линию х = 0, 0 < у < К из области Д2:
^2(у) = ^2(у) — ^2(У/2), 0 <у<К (40)
3. Функциональные соотношения между и(х) и V (х) (3 = 1, 2) на линиях х = 0,
0 < у < К (3 = 2); у = 0, 0 < х < (3 = 1), принесенные из области Б3, найдем из (23)—(27), используя условия сопряжения (5):
^г(у) = [ ^1(£)С'(0, у;£,£)|4=(Д+
Н 0 (41)
+ J ^2(*)С(0,у;^,*)|?=о^+ J ^/(С)С'*(0, у;^,^)|4=/г^, 0 < у < к, 00
0
+ ^ Н
и1(х) = У г^(5)С+(х 0; 5,t)|^=0d5 + ^ v2(t)G—(x, 0; 5,;0|?=0(|+ 00
+ У г(5)G+^(x,0;5,t)|^=нd5, кт < х < (к + 1)т-0
Пусть
(42)
ад= I 0;£,()|,=|Д. (43)
0
Тогда, в силу (26), равенство (42) можно записать в форме интегро-диффе-ренциально-разностного уравнения Вольтерра
к х—тт
к вт
Д(х)Я(х) + ^7„гЯ(х - тт) (х - тт) ■
т=1 х 0
н
•((х—тт)2 — п2)т 1R(п)dп = и1(х) — [ ^(£)С— (х, 0; 5,t)L=0d^— (44)
к Ч) V |^=0
0
+ ^
— Iг?(5)G+t(x,0;5,|)1=н(5, кт < х < (к + 1)т,
которое совпадает с уравнением (21). Поэтому, в силу (18), из (44) найдем
д(х) = ~Г(Х) - J »‘2^)Ск (х, 0; £, £) |^=0сЙ— 0
- J кт < х< (к + 1)т,
0
где гк1 (х) совпадает с (17)—(18), а
к
^.(х, 0;£,*)|?=о = Я(х)Са.(х,0;^,^|5=о - ^7тН(х-тт)-
т=1
(]ш II _ 1 —
(х — тт) ((х — тт)2 — ?72)т С (/7, 0; £, £) |?=0^+
(Ьт\ J ~ Ч-„~>ъ,^=(Г
(к—т)т
7 1 (0+1)т
к—т—1 4 Л '
I п 0 ; 5 I I | ^ ^
0=0
+ Е (* - »»•)((* - тот)1 - Ч*)” с (ч,0;е,()| Л,
(45)
0т
н
причем
о (а\0;£,0|,_о = {С(,(х,0;5,0|м. кт <х< (к+ 1)т (к = 0,1,2,...)}
(46)
|£=0 _ \ *'Л^=0
и Сы(х, 0; £, £) | ^ имеет выше приведенную форму.
На основании (45), (43) равенство (42) примет вид
н
Ф(х) = I + ! »2(*)ск (х,о-,£,г\^=0(И+
00
+ J кг < х < (к + 1)т.
0
Выражения (41), (46) - искомые функциональные соотношения из Д3.
IV. Используя условия сопряжения (5)—(6), функциональные соотношения (39), (40)
и, после дифференцирования, (41), (46), придем к полной системе сингулярных интегральных уравнений
н
, . 2 . пу [ , . сов(п1/2К)
^2 У -Т-^т— и2(г)---—у—--------ПЛС11~
К 2К ] сов(пЬ/Л) — сов(пу/К)
0
2 ■ пу [ , , сЬ(п1/2К) , .
~ ^ТТТпл---------------1—7м^ = 0 < У <
К 2К ,/ сп(пг/К) — сов(пу/К)
0
н
_ , ч 2 л пх [ , * сов(пЬ/2К)
С 1 (#) + — вЬ — У‘2 (£)---7---ттт---------т--СЙ+
к 2/г У со8(7г^//г) — с11(7пг//г.)
0
2 л пх ( _ , , сЬ(п1/2К) , ттг , . ^
+т-8Ь— ; г(1) ------——— сЫ = Ш2{х), 0 < х < +оо,
К 2К У сЬ(п1/К) — сЬ(пх/К)
0
(47)
(48)
где
2 пу — вт — к 2 к
= -^2 (у/2) - г8111
^ сЬ(п1/2К)( вЬ2(п!/2К) — сов2(пу/2К)) (49)
(А)---------------------------------^------сИ,
' сЬ(пЬ/К) + соъ(пу/Ъ)')
н
^2(х)=—^х)+/г/ <5)ф(х'5 +/ ^)Т {хл)л- (50)
00
причем
^(х) = {2г^ (х), кт < х < (к + 1)т, (к = 0,1, 2,...)},
Ф(ж,£) = |с^т(;г,0;£,/г), кт <х< (к + 1)т (к = 0,1,2,...)
Т(х, I) = | Скх(х, 0; 0,1) — Сх(х, 0; 0,1), кт < х < (к + 1 )т (к = 0,1, 2,...)
Интеграл в формуле (49) и его производная по у сходятся, так как г/(+то) = 0, а при у ^ К, Ь ^ 0, в силу условия г/(I) = о(12).
Первый интеграл в (50) и его производная по х также сходятся, что следует из аналогичных предыдущему рассуждений, например, для интеграла
J -/(?)С'м.т(х,0= J zf(£)Gtx(x,0■,£,h)d£ =
00
2 пх [ ^ сЬ(пЬ/2К)( вИ2 (пЬ / 2К) — сЬ2(пх/2К))
= — вЬ — / ш---------------------------^------ей, 0 < х < т.
К 2К 0 (сЬ(пЬ/К) + сЬ(пх/К))
Сходимость второго интеграла в (50) и производной по х обеспечена абсолютной интегрируемостью и2(у) на [0, К] и гельдеровостью внутри (0, К), которая следует из гельде-ровости ф2(у).
Интегралы в формулах (49) ((50)) имеют вторые производные по у (по х) на (0, К) ((0, +го)), то есть их первые производные удовлетворяют там условию Липшица.
Значит, функции , как и , удовлетворяют условию Гельдера внутри своих промежутков определения, а Wj £ Н1.
Регуляризация системы (47)—(48) в классе функций и2(у), ги1 (х), ограниченных в нуле, когда У2(у) = о [(К — у) —1/2] при у ^ К и г"1 (х) = о( ехр(—(1/4 + е)х)) (е > 0) при х ^ +то, проведена аналогично [8]:
, . 1 . . 1 [ ттт , ч( сов(пЬ/2К) \1/2 вт(п1/Ь) ,
щ(у) = ~Щ{у) + ~~г —тхтт ) —ГТТТл------1—7Тл
2 2К ^ \сов(пу/2К); сов(пъ/К) — сов(пу/К)
0 (51)
1/2 ' 1
1 I ттГ ( сЪ(пЬ/2К) \ 1 вЫпЬ/К)
- -г ^2 СО —, ', /. —7—\--—<й, 0 < у < Ь,
2/г У \соз(тгу/2Ь)) с11(7гЬ/Ь) — соз(7гу/Ь)
ул I \ 1ттт г \ 1 Г т*г / \( сов(пЬ/2К) \ 1/2 вт(пЬ/К) ,
ZUl{■x) = -\¥2(х) + — УУМ)! , , ’ [ ----:----------------ттт^-
2 2Ь У \сЪ(лх/2Ь) ) соб^Ь/Ь) — сЪ.(тгх/Ь)
сь ч
(52)
1 [ ттГ (сЬ(п1/2К)\1/2 вЬ(пЬ/К)
----г ^У2(Ь) ( ——-—-- ) ———-гг-—-т——ей, 0 < х < +оо.
2Ь У \сЪ(лх/2Ь) ) сЪ.(тгЬ/Ь) — сЪ.(тгх/Ь)
0
Из системы (51)—(52), в силу (49)—(50), получим систему
н
Ыу) + У ^2(в)Б(у, в)дв = А(у), 0 <у <К, (53)
0
н
ги1 (х) — J ^2(з)0(х, з)дз = Ь(х), 0 <х< +то, (54)
0
где
+ГО /о
1 [ ( сЬ(пЬ/2К) \ 1 вЬ(п1/К)
В (у, в ) = ТМ—, 1, /. ——,--------------—<Й,
4 /г 2 У \ сов (7г;у / 2/г) / с-11 (7г ^ / /г) — со в (7Г у / /г)
1 / (у\ 1 Г , / А / со8(7г^/2/г) \1//2 зт(7г£/Л.)
^ 2 \2у 2/г, У 2 у 2 у у сое (7гу/2/г,) у соэ (7Г^ / /г) — соэ (7гг/ / /г)
0
+^ /0
| Л [ г' м ( \ 7 8Ь(тг^//г.)
2/г, У \ сов(7гг//2/г) у с11(7г£//г.) — со8(7гг///г)
0
+ ^ / ч
1 [ ^ Г пу сЬ(пз/2К)(вЬ (пз/2К) — сов2(пу/2К))
— — Л7 (в) <8111— • --------------- -----------------------^-------- +
К 0 I 2К (усЬ(пв/К) + сов(пу/К))
1 [ / со8(7г^/2/г) \ 1//2 8т(тт1/Ь) . тг1
К] \сов(пу/2К)) сов(пЬ/К) — сов(пу/К) 2К
0 ( ) с11 (7Гв/2/г) (81а2(7гв/2/г) — соэ2(7г^/2/г,)) ^
сЬ(пз/К) + сов(пЬ/К))
2
+ 1 Т/ с11(Ту2/,.) \ 1/2______________________вЦтгф)_______________ф(( )ЛЪ8.
2/г, У \ сов (7Г г/ / 2 /г) / с11 (7Г ^ / /г,) — с о в (7Г у / /г) ’ / ’
0
+«> /о
в(х з) = —Т(х з)-— [(^//г)
1 ’ ; 4/г 1 ’ ; 4/г2 У ^(тпг/г/г); сЬ(тг*/^) - с11(тгх//г,) Ь ; ’’
0
1 / 1 [ // Ь \/ сов(пі/2к) \ 1/2 8Іп(пі/к)
^ х =-Р (х)-Г 4>2 - И/ / , \ 7----------„ч ' ,-77Т^+
2 2/г У у2у \ с1і(7Пг/2Л.) у со8(7гі//г) — с1і(7пг//г)
0
+ — +[ 8І1(^М) ^ 1 +[ Л (в)іф(х 8)-
2к ] \с1і(7г;г-/2/г) у с1і(7гі/Ь) — с\\{іїх/к) 2к ] \ ’
00
2 Г/соз(7ті/2/г.)\ 1/2 8Іп(7ті//г) тті с1і(7Г5/2/г) (8Іі2(7Г5/2/г) — сов2(7гі/2/г))
к У V с1і(тпг/2/г) У со^/Ь) - сЦжх/к) ^ 2/г (с1і(7гв//г) + сов(7гі//г))2
_І Т *ум)1/2________________________________ф((, .,)*!*.
к У \ с1а(7г;х/2/г) у с1і(7ті//г) — с1і(7пг//г.) ’ /
Функции Л(у), Л'(у), Ь(х), Ь(х) принадлежат классу Гельдера; Л(х),Ь(х) ^ 0 при
1 /2
х 0; Ь(х) = о(ехр(7х)), 7 < -1/2 при х ^ +то; (к/2 — у) Л(у) ^ 0 при у ^ к/2.
Ядра В(х,Ь), 0(х,Ь) непрерывно дифференцируемы в областях определения, ограничены в точке (0, 0), допускают обращение в то порядка не выше 1/2 вблизи (0, к), а вблизи (+то, 0) исчезают.
Система (53)—(54) является системой уравнений Фредгольма, безусловная разрешимость которой следует из единственности решения задачи Т.
Литература
1. Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. Лекции по математическому анализу, М.: Высшая школа. 1999. 695 с.
2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа, Ч.1. М.: Наука. 1982. 616 с.
3. Ф.И. Франкль. Избранные труды по газовой динамике, М.: Наука. 1973. 712 с.
4. А.Н. Зарубин. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом, Орел: ОГУ. 1999. 225 с.
5. А.Н. Зарубин. Интегро-дифференциально-разностные уравнения Вольтерра и интегральные преобразования // Труды Всероссийской научно-практической конференции "Современная математика и проблемы математического образования". Орел. 2009.
6. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции, М: Наука. 1981. 799 с.
7. В.П. Диткин, А.П. Прудников. Интегральные преобразования и операционное исчисление, М: Наука. 1974. 544 с.
8. О.И. Маричев. Об уравнении смешанного типа с двумя линиями вырождения в несимметричной области // Известия АН БССР. Серия физико-математических наук. № 6. 1969. С. 74-80.
BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATIONS OF MIXED TYPE WITH INTERSECTING LINES OF DEGENERACY
A.N. Zarubin, O.V. Lashtabega
Orel State University,
Komsomolskaya str., 95, Orel, 302026, Russia, e-mail: aleks_zarubin@mail.ru,tanda80@yandex.ru
Abstract.For mixed-type equation with the operator of the Lavrent’ev-Bitsadze, nonsmooth line of degeneracy and zapazdyvaenim in the derivative is considered in asymmetric analogue of the Tricomi. Keywords: equation of mixed type, delay, integro-differential-difference equation.
