CC BY
92044
Косвенная оценка эффективности функционирования производственно-технологической системы
Горбунов А.А. (gorbun@sp.ru), Смирнов Ю.М.
Холдинговая компания «Ленинец»
Пусть вероятность функционирования производственно-
технологической системы (ПТС) Р = Ф(р1,р2,....рк), где pi - вероятность элементарных событий /1/. Решение системной задачи зависит от выполнения ПТС последовательности технологических операций (переходов), поэтому
Р = Па (1)
г=1
Для оценки вероятности Р по частотам элементарных событий
необходимо провести серию технологических экспериментов (пх,п2.....пк),
результатом которых будет число появлений соответствующих событий
(т1,т2,.......тк). Проводимые эксперименты предназначены для оценивания
различных вариантов использования производственного оборудования и корректировки технологических режимов производства продукции. Относительная ошибка в определении Р будет равна:
дР Л 1 дФ
- = /----Фг ,
Р {=1 Ф дРг
а её дисперсия В = / Вг,
у] 2 = { 1 дФ 1
где Вг =^,у] = -• — • рг • д,. (2)
П:
Ф др
г
к Чг
При Р = П рг имеем у2 = —.
¿=1 рг
Общая стоимость серии экспериментов:
S = /Ъг , (3)
1=1
г =1
2
2045
где £г = х2 • пг,хг2 = аг ,аг -стоимость одного эксперимента ьго типа, а пг -число экспериментов i-го типа.
Выражения (2) и (3) позволяют сформулировать задачу минимизации дисперсии Б при заданных затратах £ = £0 /2/:
—> min
г=1 Пг (4)
Е Х'Пг = £0
г =1
Формальное решение задачи (в предположении о непрерывном распределении ресурсов) вытекает из уравнения Лагранжа:
,2
— Ь + Л2 • £}= 0 (•=1,2,____к), или -4- + Л2 • Х22 = 0
дпг п2 г
и определяется выражениями
п =
(х • У)
"Г пг = • ^0 (5)
При этом
Ю = Л2, Ю, =Л2 • £ = (х •У)2
£ Ш1п £
Непосредственно использовать формальное решение нельзя, так как в выражение (5) входят оцениваемые величины у, но возможны и другие
варианты распределения ресурсов, не требующие априорного знания уг.
Разделение процесса косвенной оценки целесообразно распределить на ряд этапов, когда выделенные для первого этапа ресурсы распределяют в соответствии с принимаемой гипотезой о возможных значениях у, а
характер корректировок ПТС на последующих этапах определяют с учётом промежуточных оценок для вероятностей элементарных событий р', полученных на предыдущем этапе.
2046
Один из подходов заключается в предварительном задании суммарных затрат на каждом этапе /3/:
£0 = 0, £+1 = £ + £(1+1) (I = 0,1,2.....N -1),
где нижний индекс указывает число выполненных этапов корректировки состояния ПТС, а верхний индекс - номер конкретного этапа, к которому относится та или иная характеристика. Тогда (с использованием той же индексации) можно записать
Х • V (')
а • па+1 =а • £+1, а() = -Х-У^, (6)
(х • V ())
где у() определяют на основе частоты появления элементарных событий
в первых ! этапах р() = —- ( 1=1,2,....К-1.), при 1=0 необходимо принимать
пг,
гипотезу о возможных значениях у для вычисления а(0); так как а является отношением (х1 • у г) к сумме всех таких произведений (х • у), гипотеза должна касаться взаимного распределения компонент векторов х и у:
хг • Уг = с • х (7)
В последнем выражении г =2 означает прямую пропорциональность компонент векторов х и у (что соответствует ni = п, то есть прямой оценке показателя функционирования); г=1 означает равенство всех значений уг = с,
что соответствует предположению об одинаковой вероятности элементарных событий; г =0 означает обратную пропорциональность компонент векторов х и у, при которой косвенная оценка даёт максимальный эффект.
В соответствии с гипотезой (7) :
а(0) = — ,
г ^г
где Хг = Е хГ; в частности для г =1 получаем а(0) = —.
г Х
При оценке вероятности по частоте особое место занимают крайние случаи т=0 и т=п. В общем случае вероятность появления т благоприятных исходов в п опытах равнаРтп = ст • рт (1 - р)п'т.
2047
Отсюда с доверительной вероятностью в р1 <р<р2, где р1 - минимальная вероятность, того, что число появления событий не меньше т:
/ С П • р[ • (1 - А)п-1 =
г=т 2
а р2 - максимальная вероятность того, что число появлений событий не больше т:
т 1 - в / СП • р2 • (1 - р2)П-1 = 1 в
2
При т=0 выполняется условие 0<р<р2, где (1-р2)п = 1 -в = а и р2 = 1 -ап.
При т=п будет р1 <р<1, где рП = 1 - в = а и р1 = аП. В силу необратимости текущих затрат должно быть
Ь • - а г • Б^ ,(г = 1,2,.....к) (8)
и
а« • Б,+1 >а(/-1) • Б,,(/ = 0,1,....^-1). (9)
Из условия (8) следует
Б <01 Б = ^ • Уг Б
°1 — ' 0zad ~ , ч ' ° 2ай ■>
7г (*• У)
X • у. у . 1 Б
где —— ^ = —, поэтому достаточно принять Б1 < —
(* • У) Утях Ь Ь
Из условия (9) следует
Бм >М1 •Б/, где = тгк .
г а1
zad
Упрощенно получаем Б1+1 > отсюда можно принять
{ б (/) 1
1 +
2 • Б,
• Б, или Б(/+1) >1 • Б(/) 1 2
Б(/+1) = ч • Б(1), где 2 <ч<1. (10)
Из (10) имеем
) = Ч • Б(1), где Б(1) = Б1 < Б __
Ь 1 - ч
Б 1 - Ч/+1
Б(/+1) = Ч • Б(1), где Б(1) = Б1 < и Б,+1 = • Б
г=0
2048
Из условия SN = следует необходимость выполнения неравенства:
1 - аы V
= ^ > ь (11)
1 _ Ч Sl
Для N=4 и = 1 получаем значения, представленные в табл. 1.1
Таблица 1.1
Коэффициенты Вариант 1 Вариант 2
Ь 2,500 3,000
а 0,691 0,810
V, 0,400 0,333
V 2 0,677 0,604
V 3 0,868 0,823
V 4 1,000 1,000
Предложенный подход предварительного задания суммарных затрат на каждом этапе корректировки состояния ПТС в соответствии с формулами (10) и (11) не гарантирует целочисленности п а и не обеспечивают строгого
выполнения условий (9) о необратимости затрат в силу чувствительности а() и у() к погрешности оценки р.
Избежать этих недостатков при решении задачи оптимальной оценки показателя функционирования ПТС позволяет методика, при которой на каждом этапе итерационной процедуры проводиться максимальное уменьшение дисперсии оценки при заданных затратах.
Учитывая ранее введённые обозначения, запишем выражение для изменения дисперсии на ( /+1)-м этапе итерационной процедуры в виде:
в, - в, 1 =У
/+1
Ь у 1
V па па+1 У
1
1
где пи+1 = пи + п(+:).
2049
Аналогично представим выражение и для определения величины изменения затрат на (I + 1)-м этапе итерационной процедуры:
Sl+1 - ^ =2 ■ п(1+1
г
Эти выражения позволяют сформулировать эквивалентную задачу поэтапной оптимизации оценки вероятности сложного события:
& - в,-1 =2 у 2
1 ^
^ max,
V пг, пг,+1 У
(12)
&+1 - ^ =2 *? ■ П1 = о(1+1
Решение данной задачи вытекает из уравнений Лагранжа,
п1+1
Уг -л2 ■ х2 = 0,
поэтому оптимальное распределение ресурсов даётся формулой аг ■ пг1+1 = аг ■ Б,+1 , что соответствует формальному решению задачи о минимальной дисперсии оценки при заданных затратах и свидетельствует об эквивалентности двух постановок задачи.
Произвольную компоненту в (12) для изменения дисперсии оценки можно записать в виде
В - В = — ■
^й ^й+1
Пг1
2
1 - 1
1 + г(1+1) V г У
п(1+1) о (,+1)
где 2('+1) = п— = &—
Пг1 Бг1
Так как для малых величин г справедливо приближённое равенство
1
1 + г
= 1 - г, представим (12) в упрощённом виде
2 Л ■ +1) ^ max , у ^ 2
г2 о1+1)=о('+1) ' где Л
(13)
1
Последнее выражение представляет собой задачу линейного программирования, имеющую решение
2050
'б?+1) = 0, при I ф у
V (/+1) = V(/+1) ' ,
где V(/+1 >0 в силу необратимости текущих ресурсов, то есть выделяемые на каждом этапе корректировки ПТС ресурсы следует использовать для уточнения вероятности pi того элементарного события, для
Щ/
/дП:
которого отношение Лп = - V . максимально.
дБ// /дп,
Заметим, что Л}1+1 =
( л2
у
V Х1 ' П1/+1 У
(Лу/, Ла+1 = Ла (1 ф у) и предлагаемая методика
должна обеспечивать на каждом этапе уменьшение максимальных значений Ма, то есть при сходимости процедуры все Ла ^ ЛЛ, а это означает
выполнение (в пределе) необходимых условий оптимальности
дВ 2 дБ ^ / • 1 о /\ --Л2 • —= 0 ( 1=1,2,.....к).
п дП
Принцип распределения ресурсов вытекающий из решения упрощённой задачи, можно использовать для её модификации /4/.
Пусть на некотором (/+1) этапе п(+1 = п0, п(+1 при ¡ф у; тогда
(л \ у 2
В1 _ В,+! = у2
1
пЛ1 пЛ1 + п0 V 1/ 1/ 0 У
у У • п0
пЛ • (пу/ + п0)
или
Вг - В,+! =
х 2 • у 2 •
где Б л = х] • П0.
Целесообразно выбирать такой индекс у, для которого
2 2 0 X • у: •
М/ = тах Ма , где Ма =
Б/ • (Би + Б,)
2051
Тогда, полагая n j+1) = n0 и n(+1) = 0(j ^ i), получим (при фиксированном числе корректировок ПТС n0 на данном этапе) Dl - Д+1 ^ max при
S(l+1) - S(l) = х2 • n0.
Введем ограничение на величину ресурсов S, больше которого на (1+1)-ом этапе израсходовать нельзя, тогда в (13) необходимо использовать
S
Si = х
i i
х
где квадратные скобки означают целую часть величины.
Заметим, что
ji+1
S,.
1
№ji Sji+1 + S.
j Sj j 1 + 2-± S
-<1 и jua ^ ЛЛ и, при сходимости
jl
итерационной процедуры, в пределе будут выполняться условия оптимальности, вытекающие из исходной постановки задачи.
Учитывая зависимость у2 от определяемых в ходе корректировки
2
состояния ПТС величин Рг, необходимо использовать текущую оценку у через частоты элементарных событий. Например, при Ф = П Рг для
произвольного i
y 2 = Ч (p) = ^ Р
2 m
и оценкой y является p1), где рх = —.
n
При
линеаризации
функции
случайного
аргумента
Ч( Р1) =, Ч( p) + (p)dp + - ' (p)(dp)
1 -......- 2 получим, что ее среднее
^ s qpq=q
p p2 n p
f
1
Л
1 +
V pn У
поэтому можно принять в качестве
малосмещенной оценки y
Ч (p1) =
Ч (p1) = n - m
1 m +1
p1n
2052
Тогда с учетом первых четырех моментов
rk = (dp )k
Pi) = ^1
2
q I 3q 10q
2 3
р { (рп)2 (рп)3
Модификация постановки задачи определяет следующую процедуру поэтапного распределения дискретных ресурсов:
• для заданного количества технологических экспериментов п0 определяем число экспериментов каждого типа 1 на первом этапе по следующей формуле
г А
аг
Хг о
, где y = ^— >Sо = no • maxa;
Z x г
i
,c ))2
• проводим эксперименты ni0, определяем ma и вычисляем (yг))2, j;
• выбираем j = max j и проводим на (1+1)-ом этапе n0
1
экспериментов I-го типа, вычисляя значения (y f+1))2, jiHl+1)
• повторяем предыдущую операцию до тех пор, пока не исчерпаны все ресурсы, при этом вычисляя оценки а г ,D, рг.
Литература
1. Волкова В.Н., Денисов А.А. Основы теории систем и системного анализа. - СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. - 325с.
2. Сабинин О.Ю. Статистическое моделирование технических систем. -СПб.: Изд-во ГЭТУ, 1993. - 64с.
3. Управление в условиях неопределенности /Под ред. проф. А.Е. Городецкого. - СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2002. - 398с.
4. Ванг С.Б., Смирнов Ю.М. Обоснование методы субоптимального распределения требований к характеристикам проектируемых систем. Труды СПбГТУ «Вычислительная техника, автоматика и радиоэлектроника», 1997, № 469, с. 119129.
Пг0 =
