Математические методы внешнего проектирования сложных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 577.4

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВНЕШНЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ СЛОЛШЫХ СИСТЕМ

Ю. М. Смирнов,

д-р техн. наук, профессор

Институт интеллектуальных систем и технологий СПбГПУ

A.О.Поляков,

д-р техн. наук, профессор

Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН

B. В. Однобоков,

старший преподаватель Псковский политехнический институт СПбГПУ

Предлагается рассмотрение особенностей постановки и решения задач оптимального распределения ресурсов. Предложены и обоснованы алгоритмы многошагового улучшения составляющих интегрального показателя. Определены требования к характеру зависимостей интегрального показателя от частных и частных показателей от затрат на их улучшения, обеспечивающие сходимость и оптимальность магистрального решения. Дается схема оптимального распределения ресурсов.

The particularities of formulation and solving the problems of optimum resourse distribution are marked out. The algorithms of multi-steps improvement of integral index’s components are proposed and grounded. There are determined requirements to the nature of dependensies of integral index from particular factors and particular ones from costs for their improvement, ensuring convergence and optimum of a main solution. The sheme of optimum distribution is given.

Введение

В работах [1,2] дан анализ состояния и направлений развития методологии системного проектирования. Одним из важных ее разделов является разработка моделей и методов оптимального распределения ресурсов при статистической оценке показателей функционирования проектируемых комплексов; параметрическом синтезе, т. е. выборе характеристик устройств проектируемого комплекса; формировании и реализации проектов создания новой техники или развития предприятий.

Постановка и методы решения задач этого класса рассмотрены в публикациях трудов СПбГПУ [2,

5, 6 и др]. Общими их чертами являются алгоритмическое задание и наличие приближенных аналитических выражений для критериальной функции Г и функции ограничения Ф, дискретный характер изменения переменных, необратимость начальных или текущих затрат. Эти особенности затрудняют непосредственное использование хорошо известных методов поисковой оптимизации, но позволяют предложить и обосновать достаточно эффективные процедуры итеративного решения задач.

Задача статистической оценки показателя функционирования сводится к минимизации дисперсии относительной погрешности такой оценки при ограничении на проведение экспериментов. Если вероятность Р сложного события оценивается по частотам элементарных событий, то

где при Р = ПРз Уз=~-•

§ **о

В формулах (1) п5 — число испытаний для оценки вероятности р3 элементарного события,

аэ = х1 — затраты на проведение одного эксперимента для оценки р3. В работе [3] предложены два подхода к решению задачи в несколько этапов:

1) использование формального решения (зависящего от искомых величин) для квазипотенциального распределения ресурсов на каждом этапе по оценкам искомых величин, полученным на предыдущем; 2) замена исходной задачи последовательностью эквивалентных задач линейного программирования, имеющих на каждом этапе правильное решение.

Формальное решение (1) дается формулами

\2

И Dmin = , где ас

ф

зад

■ Поэтому)

му при первом подходе на начальном этапе (когда нет оценок р3) принимают а5л51=У5ф1> гДе

Фл<^,к = ^, у5=^_.

/■

Для последующих этапов квазиоптимальное распределение определяют с учетом оценок у<'> , полученных на предыдущем этапе /:

as^s/+i

= а(/)Ф

/+1>

(2)

где — фі+1 = Ф/ + Ф</+1)— затраты для пер-(*У )

вых (/+1) этапов.

Недостатками первого подхода являются неустойчивость оценок к результатам экспериментов и трудность учета требования о необратимости текущих затрат а^Ф/+1 >а^м^Ф/. При некоторых допущениях можно показать, что для его выполнения должно быть

1-ow

ф(/+1) = 0ф(/) при _—У__ = к 1 -д

(3)

где N — общее число этапов. Например, для к = 3,0 и N = 4 должно быть д- 0,8105 и Ф1 = 0,333, Ф2= 0,604, Ф3= 0,823, Ф4= 1,000 (в долях от Фзад). Формулы (2) и (3) не обеспечивают целочисленных значений п5/, что является недостатком этого подхода.

При замене исходной задачи (1) на последовательность эквивалентных задач необходимо на каждом этапе решать задачу

Di -D/+-1 -5>(szs} max;.

Ф/+1-Ф/^4^Ф(/+1).

(4)

рименты ПО уточнению Ps ;

('>; А?

имен-

возможные затраты на экспе-

x.2(yff

ш

ной множитель Лагранжа для переменной ns\

Li \2 =Hls—_ малосмещенная оценка yl по

mis +1

числу m/s появления элементарного события в п/з опытах. Решением задачи (4) на конкретном (/ + 1 )-м этапе является < Ф(/+1), = 0

(iф j), где = max , т. е. использование ресур-

сов, выделенных для этапа, только на проведение экспериментов по уточнению вероятности того элементарного события, которому соответствует именной множитель Лагранжа (ИМЛ) с максимальным значением. Так как с ростом затрат ИМЛ будет уменьшаться, при достаточно большом Фзад значения всех ИМЛ -41 и asnsi ->а5Ф/.

Задача параметрического синтеза с использованием гипотезы об экспоненциальной зависимости стоимости устройств от дисперсии ошибок с/5 и вероятности отказов д5 формируется как

ry rj"

1 +—ln-^-

Ys ds

'.н\

1 +—In

Ys Qs

Ps I „9s

Ф(с/,д)<Ф

(5)

зад-

где а, {3, у — параметры, определяемые методом наименьших квадратов по ряду устройств с одинаковыми функциями; Ф(с/, д) — значение показателя функционирования (например, вероятность невыполнения системой тактической задачи) при фиксированных характеристиках устройств. Обычно Ф(с/, д) задана алгоритмически, т. е. определяется на имитационной модели, но может приближенно описываться аналитической зависимостью, например, Ф = 1 — (1 — е~у )е~и < 1 - Р , где Р — вероятность выполнения тактической задачи, и = £д3 , и = ]Г д3 , у = — .

я я и

В работе [3] предложены две стадии решения

(5): 1) поиск начального приближения х° = {с/3,д31:

2) последовательное уточнение х°, т. е. итерационное построение последовательности х1 -> хорі. На первой стадии, используя свойство робастности оптимального решения, находят начальное приближение х° как решение упрощенной задачи:

F = т - X (asln ds + Ps |ngs )-» min;

s

Ф-1-(1-Є_у)Є“и<1-Р.

Из уравнений Лагранжа получаем

Qs

,о as ds =4hv, s A

-Ps В

(5’)

(6)

где Л = £as, S = £|3S.

s s

Из условия Ф = 1-Р получаем

где Z = еу >

1

. z — 1 В In z А

In—R-------ТХ------Т = 0.

Pz >4 z-1

1-Р

Получив методом Ньютона решениег* этого уравнения, можно найти для (6) значения у=\пг* (у> ^ Р .. В у

при Р > 0,63), v = — , и =

•1

Например, значе-

V) г> & й

ние — для различных Р и -д приведены в табл. 1.

Таблица 1.

р А 0,6 0,7 0,8

0,5 0,42/0,23 0,39/0,18 0,34/0,12

1,0 0,32/0,34 0,30/0,25 0,275/0,17

2,0 0,235/0,43 0,231/0,31 0,220/0,20

На второй стадии используют гипотезу о представимости Г и Ф в окрестности начального приближения х° отрезками ряда Тейлора:

Р-Г0 = (А)+1ег0Е;

Ф -Ф0 ~(Ф°е),

где f, ср — градиенты функций, Z — матрица чувствительности, т. е. вторых производных Рот компонент вектора х. При этом уточнение начального приближения осуществляется в несколько этапов, на каждом из которыхх/+1 =х*+ е1, {1 = 0, 1, 2,...), где /г/ + 7/е7 + Х/ф7 - 0, (ф/е/) = Фзад - Ф/. При выбранном в начале (/ + 1 )-го этапа значении х1 можно вычислить компоненты векторов ср и матрицы 7, пользуясь приближенными аналогичными выражениями для Г и ф , а значение Ф/ определять алгоритмически на модели.

Тогда

г'^ь'-Х/а1, где а = 1~\, Ь = Z~1(-/r). (7)

Подстановка в ограничение дает

Xt =

б/ -(Ф3ад -Ф/)

-, где /4 = (фа), В = (фЬ). (8)

Формулы (7) и (8) являются основой итерационной процедуры для уточнения начального приближения х° с аналитическим вычислением поправок. При замене исходной задачи на последовательность эквивалентных необходимо на каждом этапе решать задачу

^/-^/+1 = Е^4-^тах;

я

Ф/+1-Ф/ = Х4=9/>

где A,s = — > 0, zs= ф5є5, ді=-^(Ф:

ф5 /V

зад Ф /)■ Решением такой задачи является

z'j=gh zj = О (/' ф у),

(9)

где при д/ > О А/, = max X®, а при ду < 0 Xу, = min А®.

S S

Процедура обеспечивает сближение ИМЛ, если

ЭА5

Эх

Fc

Фс

< 0 или hss = —Щ-

S ~ s

Фс

>0.

Например, для задачи (5') при произвольном s имеем:

_ a х>еиеу

хР = р

и h,

1 у-2 С1 1

dd~d+^r~ +

1

Qey-1 У-1

>0 при у>1,

После реализации нескольких этапов стадии сближения ИМЛ можно определять дальнейшие поправки е1 к ранее найденному приближению х1 из условий

tfix1 + b') = Xi+v (s = 1,2...........п),

а именно

Xs/ (х1 + е1) = Xs/ +

дх-,

=х

/+1>

где

1 эх5 -s/~ ^ЭхГ-Р^Ф

В векторно-матричной форме полученные соотношения можно представить как

Н/Е1 = е-Хмр!, где е5=1, Р5=-т-

А,6

Отсюда

г1 =b'-А./+1а/) где а = Н 1р, b = Н 1е и с учетом ограничения

Ві-ді

Ч+1

>4 = (фа), Б = (ФЬ).

(Ю)

dr

Замечания.

1. Для упрощенной задачи (5') оба метода [линеаризации уравнений Куна—Таккера с определением поправок по формулам (7), (8) и линеаризации ИМЛ с определением поправок по формулам (10), (11)] дают одинаковые аналитические выражения £д.

2. _При отсутствии аналитических выражений для Р и Ф необходимо использовать в качестве оценок ИМЛ отношение возможных изменений Гиф (со знаком «минус») при выборе значений «своей» переменной, соответствующих ближайшим техни-

ческим решениям Xs = -

ф+-ф-

где £s — xs xs.

Js

Задачи распределения ресурсов при формировании и реализации проектов, их роль в методологии управления научно-производственной деятельностью и подходы к формализации отдельных процедур рассмотрены в [4]. С использованием гипотезы об экспоненциальном росте затрат на улучшение частных показателей, задачу распределения ресурсов можно представить так:

min;

ajn

s

1-*s

1-х,

+ £sln

1-yg

i-ys

<Ф

(12)

зад>

где х3 — относительная функциональная характеристика подразделения (например, отношение текущей производительности труда в подразделении к предельно достижимой), у — относительная

структурная характеристика подразделения (например, отношение текущей численности персонала или оборудования в подразделении к предельно достижимой). Тогда х5у5 —отношение мощности подразделения к предельно достижимой (или требуемой для реализации программы НПД), а задача заключается в минимизации суммарного отклонения мощностей подразделений от предельно достижимых или требуемых при ограничении затрат на их увеличение.

Для произвольного подразделения 5 можно определить пару ИМЛ:

и = = у(1~х)(1~*у),

у=Ау=^Ь^(1-ху).

В [5] доказаны два положения о текущем расходовании необратимых ресурсов: 1) если |л>у, то увеличение у0 при равном эффекте приводит к увеличению затрат (аналогичный результат от увеличения х° при ц<у; 2) если ц = V, т. е. х

у= Ё-

х 1 - х , то отступление от этой кривой («ма-

(3 а

гистрали») при равном эффекте ведет к увеличению затрат. Отсюда следует принцип оптимальности магистрального решения (МР) — расходование ограниченных ресурсов должно иметь две стадии:

1) при неравенстве ИМЛ необходимо увеличивать только ту переменную, для которой ИМЛ максимален;

2) при достижении равенства ИМЛ необходимо увеличивать одновременно все соответствующие переменные, не сходя с магистрали, т. е. сохраняя это равенство.

Итак, при построении модели распределения, т. е. при математической формулировке задачи, используется экспериментально подтвержденная гипотеза об экспоненциальной связи затрат со значениями частных показателей. При выборе и обосновании итерационного метода решения задачи распределения используется свойство робастности оптимального решения для обоснования линеаризации условий оптимальности или замены исходной задачи последовательностью эквивалентных задач линейного программирования. В последнем подходе итерационные процедуры поиска и уточнения начального приближения к решению основаны на понятиях ИМЛ и магистрального их улучшения за счет увеличения соответствующих переменных. Ниже рассматриваются свойства критериальной функции и функции ограничения, при которых магистральный способ улучшения ИМЛ обеспечивает оптимальное распределение ресурсов, и дается подход к оценке эффекта от реализации магистрального решения применительно к трем типам задач распределения указанного выше класса.

Недопустимость увеличения переменных с меньшими значениями ИМЛ означает, что при одинаковом эффекте, т. е. при одном значении Р в этом случае затраты Ф должны быть больше. Обозначим х=(х1, х2, ...,Х/),У=(Х/+Г, ...,ХП). Пусть А; = А,-(х', у') =

= Апри(/= 1, 2..../), А' = Ау(х/, у') <Апри(у= 1, 2, ...,я),

где х' = х + е, у' = у° + 5 при 8- > 0.

В приращениях (с точностью до величин первого порядка малости) в окрестностях точки (х’, у’)

Р - Г = -2//£/ - £//8/ = г, +

ф'-ф=х<р,е,+- у>,+2>;, і і і І

где гу=ф/ЕI, = Фу8у при одинаковом эффекте

А';

V >'. 7 • я Л' _ гЪ - \ 7 . 1 _

А

Р-Р=0и 5>/ = -у2>'угу, аФ'-Ф = £гу 1-^-

А

>0

1 1 при Zy=ф/y8y>0 и 0<А'у<А. Эти условия выполняются, если первые производные у критериальной функции отрицательные, а у функции ограничения — положительные:

, ЭР п ЭФ п

з=ш;<0' ^=Ж7>0- (14)

Недопустимость отступления от магистрали означает, что нарушение равновесия А/ = А при одинаковом эффекте ведет к увеличению затрат. Заметим, что соблюдение этого равенства, как следует из предыдущего, — необходимое условие оптимальности для задачи распределения (уравнения Лагранжа). Следует найти, какими должны быть свойства Р и Ф, чтобы для х' = х + е при А5(х) = А и сУР = Р(х + е)-Р(х) = 0 было с/Ф = Ф(х + е)-Ф(х)>0.

С учетом величин второго порядка малости

с/Р = (^е) + ^(е,7е) = 0 или А(фе) = с/Ф = (фе) +

+ ^(е,7е) = ^--^^- + ^-(е,7е), где Z и 1/1/— матрицы

вторых производных Р и Ф, соответственно.

МР будет оптимальным, если

(е,Н'е)> 0, где Н' = ^ + \А/. (15)

Достаточным условием выполнения (15) при произвольном е является требование, чтобы матрица Н'была положительно определенной, т. е. ее основные (диагональные) определители должны быть больше нуля. Необходимые условия должны учитывать ограничения на выбор е с учетом с/Р = 0.

Для произвольных / И / при X' =АУ имеем

Ц - + Мц = Ф/Ау = ФуАу >

А'' - А ~ Эху

Ь \ . (16)

1 і

ф/

где 14]

Z//• И/;

/7,7 =-4-+ ■

■ Таблица 2.

Ґ Я х2

0,780776 0,000 0,3904 0,3904

0,7808 0,009 0,395 0,386

0,785 0,122 0,453 0,331

0,79 0,18 0,485 0,305

0,80 0,26 0,530 0,270

0,83 0,43 0,630 0,200

0,86 0,55 0,705 0,155

0,90 0,69 0,795 0,105

0,95 0,85 0,900 0,050

1,00 1,00 1,000 0,000

Например: 2

в задаче оценки показателя (1) Ь53 = —, /7,у = О

при /' * у, т. е. матрица Ни/-/'— диагональные;

в задаче распределения требований (50 для произвольной пары с/5, д5, характеризующих одно

устройство, /7^) = + У^^-1 и независимо от б Лф =-1, ^——;

\)(еу -1)

в задаче распределения ресурсов (12) для произвольной пары х5, у3, характеризующей одно подразделение предприятия или направление проекта:

к(з)_ 1 + у - 2ху (3)_ 1 + х - 2ху хх (1-х)(1-ху)’ уу (1— у) (1 — ху) ’

ь(5)_ 2ху-1 ^(5) 2ху-1 (16)

у ~ у(1 — ху) ’ Ух ~ х(1 — ху)'

Для переменных из разных пар Л,у = 0 (/' * у), т. е. Н'— квазидиагональная матрица. В общем случае

(Н'е),- =ф Д-,

/7

где (У/=;£-^у и (е,Не) = ^гД-. у Ч'У /

Если Н' квазидиагональная, то квадратичная форма с!Ф = ^(е,Н'е) является полусуммой блоков для каждой парых3, у5:

(е, Н е)5 = Ь1ХХЕХ + 2ЬхуЕхЕу + А)уу£у.

При произвольном выборе ех, £у достаточными условиями сУФ>0 являются

^ХХ’ ^уу "> 6 И ^хХЬуу — ху) ^ О,

что в силу (16) эквивалентно требованиям

^хх’^уу >0 И Ьхх11уу — 1~1уХ11Ху > 0 (17)

для произвольных переменных;

при специальном выборе для всех пар х5, у5, /*

8у ~ т~ех или гу=-гх в силу А,х = (что обеспечивает с точностью до величин первого порядка

малости выполнение равенства с/Г = 0), и исходя из (16)

(Е, Н Е)3 = {ру^хх - 1~1уХ) + Фх(\у _ ^ху)}

ФхФу

и необходимыми условиями с/Ф> 0 являются

1^ХХ > ^УУ > ^ХХ ~ ^ху > 0> ^уу ~ 1~>ху >0, (18)

для произвольных переменных.

Для задачи распределения ресурсов (12) необходимые условия (18) имеют ВИД ^хх>у-~.

Ьуу>^у Ь*х-11ух = х(\-ху Ьуу~Ьху=У(ТГ^у и

выполняются во всей области допустимых значений 0 < х, у < 1.

Достаточные условия (17) эквивалентны требованию

(1 + у - 2ху)(1 + х - 2ху) (2ху -1)2 (1-х)(1-у) ху

которое заведомо выполняется при t - х + у > 0. Точнее, должно быть (£ - 1) + (3 - 2^ху > 0 и при некоторых 0 < £ < 1 в этом диапазоне

ху = хЦ-х)> (19)

£ ± Я

ДЛЯ Х2 < X < Х-, и у-Г-Х, где Х-| 2 = 2' ’

я2 = (2-4Й^а

т _2 (2-Г)(2Г2 + Г-2)

Так как Я = ------^^--------> т0 в указанном диапазоне Я = 0 при (' =------= 0,781 и Я > 0 при

■ Рис. 1. Подобласть допустимых значений с выполнением условия оптимальности МР

t > V. В табл. 2 приведены координаты точек кривой (19) на рисунке, которая выделяет подобласть допустимых значений х, у, где выполняется доста-

Литератур а /~

1. Смирнов Ю. М. Состояние и перспективы развития методов системного моделирования // Методы кибернетики и информационные технологии: Сб. научных трудов. — Вып. 1., — Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1994. — С. 34-40.

2. Смирнов Ю. М. Направления развития методологии системного проектирования // Вычислительная техника, автоматика и радиоэлектроника. Труды СПбГТУ.— СПб.: Изд-во СПбГТУ, — 1998. № 472. — С. 109-123.

3. Смирнов Ю. М. Системное проектирование комплексов управления летательными аппаратами: Уч. пособие.—СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1996, — 120 с.

точное условие оптимальности МР (в силу симметрии выражений относительно х и у: у = х2 при

X — Х-, и у = х1 при X = х2).

4. Поляков А. О., Смирнов Ю. М., Турчак А. А. Ин-

формодинамические основы организации управления крупными предприятиями и холдингами. — СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2002.— 192 с.

5. Смирнов Ю. М., Швырков В. Г. Математические методы внешнего проектирования систем // Вычислительная техника, автоматика и радиоэлектроника. Труды СПбГТУ. — СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2002. - № 488-С. 32-58.

6. Смирнов Ю. М. Планирование испытаний в условиях неопределенности // Управление в условиях неопределенности: Сб. Под ред. А.Е. Городецкого.— СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2002. — С. 339-360.

УДК 621-52:004.52; 629.78; 681.3

МНОГОСЛОЙНАЯ ПЕРСЕПТРОННАЯ НЕЙРОННАЯ СЕТЬ В ЗАДАЧЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ РЕЧЕВЫХ СИГНАЛОВ

Ю. Я. Изилов,

канд. техн. наук Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Рассматриваются возможности применения искусственной нейронной сети персептронного типа в задаче моделирования речевых сигналов. Приводятся структуры и алгоритм, позволяющий осуществить функционирование многослойной персептронной нейросети на персональном компьютере. Обсуждаются проблемы, возникающие при практической реализации, а также достоинства и недостатки использования данного подхода.

This article considers the opportunities of application artificial neural network based on perceptron type for speech signals modeling task. Structures and the algorithm, which allows to carry out functioning of multilayer perceptron neural network on personal computer, are resulted. The problems arising at practical realization, and also limits and advantages of the given approach usage are discussed.

Введение

Речь представляет собой важнейшее и самое удобное средство взаимодействия между людьми. В этой связи, в условиях компьютеризированного общества, понятно стремление специалистов ос-

настить автоматизированные системы различного назначения средствами речевого ввода—вывода информации.

Речевой сигнал (РС) представляет собой многоуровневую структуру и характеризуется определенной иерархией: фонемы, слова, фразы и т.д.