CC BY
36
КОРРЕКЦИЯ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТОРМОЖЕНИЕМ ТРАНСПОРТНОГО СРЕДСТВА НА ОСНОВЕ КОНФЛИКТНОЙ АНИЗОТРОПИИ
Е.М. Воронов, М.Х, Магомедов, Д.С. Ковалев, Н.А. Вагин
Кафедра технической кибернетики Российский университет дружбы народов 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
В работе исследуется конфликтно-оптимальное взаимодействие автомобиля с антибло-кировочной системой и поверхности торможения с бескоалиционной степенью конфликтности на этапе робастного регулирования. С помощью методов оптимизации многообъектных многокритериальных систем проводится многофакторный анализ взаимодействия автомобиля и поверхности торможения. Также предлагается структура робастно-игровой коррекции робастной стабилизации автомобиля с АБС в процессе торможения.
Рассматривается модель и алгоритм конфликтно-оптимального взаимодействия автомобиля и поверхности торможения. Исследование неопределенностей на основе игрового подхода позволяет получить характеристики среды — «активного партнера» (поверхности торможения) со свойствами функциональной анизотропии, а также робастного регулятора антиблокировочной системы торможения, обеспечивающего робастно-игровое качество [1]. Базовыми для исследования являются методы оптимизации управления многообъектными многокритериальными системами на основе стабильно-эффективных игровых решений и компромиссов.
Общая характеристика задачи.
В настоящее время актуальной задачей управления является создание эффективных антиблокировочных систем (АБС) автоматизированного торможения автомобиля.
Потребность в эффективном торможении привела к необходимости формирования последовательного набора этапов оптимального регулирования торможением (режимов функционирования АБС), состоящего из робастного регулирования, адаптивного регулирования и др. [2].
Первым и наиболее ответственным является этап робастного регулирования. Как следует из физической модели, данному этапу соответствуют наиболее выраженные факторы неопределенности. Как известно [3], по классификации академика
Н.Н. Моисеева, свойства неопределенности представимы в виде трех групп условий: неопределенностей среды, «активного партнера» и цели.
В качестве метода регулирования на первом этапе применяется робастный метод регулирования в условиях неопределенности среды на основе функции А.М. Ляпунова.
Робастный метод регулирования дополняется универсальным методом исследования неопределенности на основе игрового подхода, который позволяет обосновать характеристики среды (поверхности торможения), принятые на стадии робастного регулирования, как основные и расширить учет свойств неопределенности в форме неопределенности «активного партнера» и неопределенности цели.
Базовыми для исследования принимаются результаты по методам оптимизации управления многообъектными многокритериальными системами (ММС) [3]. В дан-
ной работе представлена модель конфликтно-оптимального взаимодействия автомобиля и поверхности торможения [2] и формулируется практически важный метод исследования полученной конфликтной ситуации и алгоритм робастно-игровой коррекции, повышающий робастное качество регулирования в условиях учета полноты проявления вектора неопределенных параметров со свойствами функциональной анизотропии.
Предваряет данную модель и метод общая характеристика анизотропийной робастно-игровой коррекции робастного регулирования.
Проблема анизотропийной робастно-игровой коррекции робастного регулирования.
Рассматриваемая модель принадлежит классу линейных систем на пространстве состояний с параметрической матричной аффинной неопределенностью.
Для детерминированных моделей систем с неопределенностями, в том числе и указанного вида, как правило применяется подход с целью достижения гарантирующего робастного качества стабилизирующего регулятора в форме скалярного [1] и векторного [4] минимакса.
Данный подход в ряде случаев (например, при типичном квадратическом показателе потерь) дает возможность получения точного решения проблемы робастности, но при этом гарантированное качество является достаточно низким (гарантированные потери по своей природе достаточно большие), так как решение явно или неявно ориентировано на наихудшие ситуации с «целевым» антагонизмом параметрической неопределенности. Характер данных оценок качества часто не соответствует природе неопределенных факторов, и, кроме того, как отмечено в [1], «...рассчитывая на самые худшие ситуации, мы занижаем размах допустимых возмущений...», т.е. диапазонов неопределенностей, при которых система стабилизируема.
В качестве альтернативы выступает известный вероятностный подход к робастности. Но неопределенные факторы могут не иметь вероятностной природы или их законы распределения неизвестны. Кроме того, оценки и ограничения параметров приобретают вероятностный характер.
По аналогии с компромиссным критерием Гурвица теории статистических решений, в данном параграфе предлагается подход к получению скалярной или векторной оценки робастно-игрового качества на основе игр с непротивоположными интересами, который дополняет подходы [1, 4, 5] и совместно с указанными подходами расширяет возможности построения и исследования робастных систем регулирования и управления.
В соответствии с требованиями к системе формируется скалярный или векторный показатель качества системы, а неопределенностям в соответствии с классификацией неопределенных факторов по Н.Н. Моисееву придается смысл «активного партнера». При этом на основе информации об общих тенденциях влияния заданного допустимого множества неопределенных параметров на систему, которая как правило имеет место в практических задачах, формулируется скалярный или векторный показатель общих свойств допустимого множества неопределенных параметров (виртуальных целевых свойств данного «активного партнера»).
Очевидно, что в общем случае степень конфликтности «проявления» неопределенности может быть различна. Варианты степени конфликтности взаимодействия
неопределенности с системой на основе бескоалиционных, коалиционных и кооперативных подходов формируются в виде стабильно-эффективных игровых компромиссов (СТЭК) [3]. Рассматриваются способы построения СТЭК для скалярных показателей сторон на основе выбора наиболее эффективных равновесных решений по Дж. Нэшу, УКУ (угроз-контругроз по Э.М. Вайсборду, В.И. Жуковскому и др.) в смысле близости к Парето-границе и точке дележа Шепли на области Парето-Нэш-компромиссов. Для векторных показателей сторон принцип векторного минимакса [5] может быть расширен на основе векторной Нэш-оптимизации.
Как известно [3], методы оптимизации управления ММС на основе СТЭК имеют важное значение для задач управления в условиях исходной структурной несогласованности (в многосвязных многоканальных задачах с обеспечением равновесноарбитражной балансировки каналов с перекрестными связями) в условиях естественной конфликтной ситуации (в технических, экономических, экологических, биотехнических и других задачах управления) и в условиях неопределенности (сигналов, параметров и других факторов).
Термин «анизотропия» и метод анизотропийного синтеза регуляторов известен в стохастическом робастном управлении [6, раздел 5.7] при сигнальной стохастической неопределенности. В отличии от общих свойств изотропии гауссовского белого шума в работе [6] рассматривается класс неопределенных “окрашенных” сигналов с заданным уровнем анизотропии в виде ненулевой величины его средней анизотропии (при этом средняя анизотропия белого шума равна нулю), которая, в свою очередь, определяет семейство фильтров соответствующих классу неизвестных “окрашенных” сигналов.
Для системы на данном классе неопределенных случайных сигналов вводится
00
так называемая анизотропийная” Н - норма, которая характеризует чувствительность системы в среднем к случайным входным возмущениям с заданным уровнем средней анизотропии.
Минимизация анизотропийной нормы замкнутой системы составляет существо анизотропийного синтеза системы.
Как отмечают авторы [6, раздел 5.7], в результате с учетом супремальных
оо
свойств Н - нормы данная постановка (как и нестохастическая задача робастного
со
управления с Н - нормой и неопределенным множеством квадратично-суммируемых сигналов) сводится к задаче антагонистического взаимодействия двух игроков в минимаксной форме, то есть, с позиции минимизирующей стороны, которая выбирает вариант из множества стабилизирующих регуляторов при противодействии среды (множеством стратегий среды является семейство формирующих фильтров с ограниченным известным параметром средней анизотропии множества случайных выходных сигналов семейства).
При этом отмечается, что при значении средней анизотропии равном нулю зада-
- тт2
ча совпадает с известной задачей Н - оптимизации, которая составляет основу стохастической теории фильтрации - управления Винера-Хопфа-Калмана.
Таким образом, основной смысл анизотропийного синтеза заключается в умении выявлять в общей изотропной стохастической сигнальной среде физически обоснованный класс «окрашенных» сигналов (семейство фильтров) и задавать уровень средней анизотропии.
В данной работе в дополнение к рассматриваемому подходу и в отличие от него на множестве значений неопределенного векторного параметра вводится понятие функциональной «конфликтной анизотропии» с полнотой проявлений его свойств по степени конфликтности к основной задаче оптимизации или синтеза системы. В данной работе исследуется эффективное торможение транспортным средством, которое парирует вращение и занос транспортного средства при неопределенном векторном параметре «активного партнера» - поверхности торможения в виде коэффициентов сцепления колес транспортного средства с данной поверхностью. Степень конфликтности поверхности торможения формируется по убыванию на основе четырех базовых конфликтных ситуаций теории игр (антагонизма, бескоалиционного, коалиционного и кооперативного взаимодействия) и промежуточных СТЭК.
Данная «сеть» степеней конфликтности обладает фундаментальной полнотой проявлений неопределенного параметра (или сигнала) и является основой функциональной «конфликтной анизотропии» неопределенностей (КАН).
На основе данной базовой фундаментальной «сети» КАН может быть сформулировано несколько направлений анализа и синтеза в условиях неопределенности.
Естественно, что в условиях полной изотропности неопределенных факторов основным является робастный подход оптимизации или синтеза на основе антагонистической минимаксной (или максминной) задачи с гарантирующимим свойствами, который, в связи с последним, дает малоэффективный результат как наименьшего значения супремальной по неопределенности нормы.
Второй подход связан с предварительным этапом анализа (моделирования) проектируемой системы управления в условиях неопределенности и выявления характерных областей проявлений неопределенных факторов на сети КАН с последующей реализацией робастного метода на принципах оптимизации в выявленных доминирующих условиях бескоалиционного, коалиционного или кооперативного «взаимодействия» и дополняющих СТЭК.
Третий подход, который реализуется в данной работе, основан на коррекции применяемого основного робастного подхода для повышения его эффективности на малых временных интервалах после подключения робастного алгоритма. Для этого на основе сети КАН и СТЭК предварительно формируется база знаний конфликтно-оптимального “взаимодействия” транспортного средства и поверхности торможения. На основе доступных измерений и идентификации уточняется принадлежность подмножества неопределенных факторов к сетевому элементу КАН и на основе базы знаний определяется поправка тормозной реакции робастного алгоритма.
Фундаментальная полнота степеней конфликтности теории игр, возможности их комбинации при изучении физических условий функционирования системы с элементами прогноза и идентификации, формирование базы знаний на множестве возможных оптимальных проявлений значений неопределенных векторных параметров и их оптимальном парировании по степеням конфликтности и на основе СТЭК позволяют существенно улучшить антагонистическую робастную концепцию гарантированного решения.
Данный гибкий метод оценки робастно-игрового качества применяется для уточнения параметров семейства стабилизирующих регуляторов, полученных на основе функции Ляпунова, а также для формирования компенсационных режимов,
улучшающих условия стабилизируемости, которые составляют процедуру анизо-тропийной робастно-игровой коррекции робастного регулирования.
Формирование математической модели конфликтной ситуации «автомобиль-поверхность».
Рассматривается процедура формирования математической модели конфликтного взаимодействия автомобиля и поверхности торможения для этапа робастного регулирования начальным процессом торможения с применением АБС.
В качестве базовой выбирается система, описывающая процесс линеаризованного движения автомобиля (или автобуса) при малых угловых скоростях вращения его корпуса Q,.
Вводится столбец вектора состояния х в виде
Х = ^2,v’ Р>U’^22,v’ 1 v’ Л2 у' ^21 v> ^22 у )’ 0)
где Vy —- скорость заноса автомобиля (автобуса); Q, — скорость вращения автомобиля вокруг вертикальной оси Or, Q4V — скорость вращения /, /-го колеса (i,j = 1,2) вокруг оси вращения колеса Оу; PJX —контактная сила i,j-го колеса (/', / = 1,2) (сила сопротивления поверхности) в направлении оси Ох автомобиля; PiJV — контактная сила i,j-ro колеса (/, j = 1,2) (сила сопротивления поверхности) в направлении оси Оу. Вводятся также управляющие силы автомобиля и поверхности в виде векторов параметров qA е Qh и qn g Qn соответственно.
При этом вектор параметров
Яа = (^Hi^I2x’^2U>^22x)> (2)
где SiJX — проскальзывание i,j-го колеса в направлении Ох, которое входит в выражение для моментов управления колесами (в данном случае торможения);
4, = W’ М = ]’2. (3)
Коэффициенты kjj в выражениях (3) — это заданные коэффициенты матрицы
регулятора, обеспечивающие оптимальность робастного регулирования по А.М. Ляпунову. Поэтому — заданная линейная функция управляющего параметра Sjjx.
Множество Qa имеет вид
eA = {V 0 < Stjx < 0,15, ij = 1,2], (4)
где Sjjx =0,15 — максимально допустимая величина проскальзывания колеса на робастном участке регулирования торможением автомобиля (автобуса).
В общем случае
vf> -a ivR
с ~ 4х- ЧУ i z\
bjjX= -д ,
Vе
JX
где К — радиус колеса, У*> = Ух — продольная скорость автомобиля. При
Yip = ^ = const (линейная модель) Sijx пропорциональны скорости вращения колеса Qijy. Вектор «управляющих» параметров поверхности
Яп ■_(унх’у12л-’у21л’у22л)’ (6)
где у]х — коэффициент сцепления с поверхностью под /, /-м колесом (точнее коэффициент кулонова трения скольжения в площадке контакта /,у'-го колеса) в выражениях для контактной силы
Рух = ~С:,Л:х: ~иух = -Чр 'Му ко, /,7 = 1,2. (7)
Величины нормалей контактных сил Njj и коэффициент £0 являются заданными величинами. Поэтому -(7^ является заданной линейной функцией управляющего параметра \ух.
Множество Qn имеет вид
бп={^: 0,05 < Уух < 1, /,у = 1,2}. (8)
Неравенства (8) характеризуют допустимый разброс свойств поверхности торможения. В этих условиях из физических соображений следует определенная «рациональность поведения» поверхности в конфликтной ситуации в форме гшх-состояния, что вызывает вращение автомобиля вокруг оси Ог и занос по оси Оу при неоптимапь-ном торможении. Подобные наборы \ух могут быть использованы в качестве начальных приближений «управляющих» параметров поверхности в конфликтной ситуации.
Вполне вероятно, что среди «рациональных» свойств поверхности можно выделить малые, хотя и разные значения коэффициентов сцепления у(/>, что также в общих условиях торможения может вызывать вращение автомобиля, занос и малое замедление, а также ряд других вариантов, которые могут быть выявлены в процессе исследования.
В общем случае под каждым /,у'-м колесом поверхность имеет различные свойства, но при больших величинах Уух будут иметь место большие зависимые вели-
чины \<1]у, и наоборот.
Поэтому из анализа взаимосвязи получены приближенные соотношения между \ух и Vуу следующего вида:
+ ^4 = Ь ■22. если ^их > 45; ^
И*+=°’452’если V < °>45-
Окончательно математическое описание динамики взаимодействия автомобиля и поверхности принимает вид
х = С-1Ах +СГ|ВЧ. (10)
Матрица С — матрица с диагональю
[М,1, /],/1,/2,/г)?)!*)(11) где М — масса автомобиля, / — момент инерции вращения вокруг оси Ог\ /, — момент инерции вращения /, у-го колеса вокруг оси Оу (/, у = 1,2); Т11х —постоянные времени динамического запаздывания контактной силы Рцх /,у-го колеса
(/.у = 1,2); Туу — постоянные времени динамического запаздывания контактной силы Рцу го колеса (/,/ = 1,2).
Матрица А имеет вид
МУГ
о
-в
-Л
о
в
о
-в
-к
1
А
1
-А,
-А,
Кгг> Л
-1
-Кпу ~К\\уА -1
-Ки у ~К\2 уА\ -1
К2\уА2 -1
~К22у К22уА2 -1
где ^ — продольная скорость автомобиля; В — расстояние от колеса до продольной плоскости симметрии автомобиля; А, — расстояние от колеса до поперечной плоскости симметрии автомобиля (/ = 1 — передняя ось, і-2 — задняя ось); И — радиус колеса;
их к. ’
к,
УУ
К,х
/т’ ___ 4х . гр
"г ~ к ' ’
ЧУ
к„'
(12)
Матрица В — матрица с диагональю
(0,0,^ 1,к2\,к22 ,Н\\ко, > -^2 А > ^22x^0 * 0; 0,0).
Здесь вектор-столбец Я имеет вид
Чт = (0?0,5п-с,512^,521х,522*,У1и, у12х,у2]х, у22х,0,0,0,0). (13)
Таким образом, система (10) дает динамическое описание ММС. Следует отметить, что часть параметров управления q в системе (10), а именно дп, входят в матрицу состояния А. Это является естественным следствием неопределенности среды, в условиях которой рассматривается задача робастного регулирования.
Поэтому в общем случае при переходе в описании управляющих сил от управляющих параметров к программным управлениям и управлениям в обратных связях и их приближениям данное описание становится нелинейным по управляющим силам поверхности.
Очевидной в данном варианте конфликтной ситуации является коалиционная структура ММС, которая состоит из двух объектов-коалиций. Характер коалиции «объект-автомобиль» приобретает, если учесть его структурные свойства: четыре колеса и подрессоренную массу автомобиля. Соответственно и поверхность торможения может быть описана коалицией сил сопротивления под каждым из четырех колес.
Коалиционной структуре можно придать более общий характер, если рассматривать конфликтную ситуацию на нескольких этапах регулирования, когда в про-
цессе торможения вмешивается водитель. В этом случае данная конфликтная ситуация содержит три объекта-коалиции: «автомобиль-водитель-поверхность торможения». При этом в процессе функционирования данной ММС водитель при удачном участии в процессе торможения может составлять совместную коалицию с автомобилем, а при неудачном — совместную коалицию с поверхностью торможения. Тогда исходная ситуация превращается в так называемую «динамическую игру» [3] с изменением коалиционной структуры в процессе функционирования ММС. Указанные особенности раскрывают перспективу исследования коалиционных свойств данной ММС, а в настоящем параграфе исследование ограничивается двухкоалиционной структурой из двух объектов-коалиций с кооперативными свойствами внутри каждой коалиции.
Векторный показатель формирует многокритериальное целевое качество робастного регулирования в условиях неопределенности, т.е. позволяет учесть некоторые технические требования при торможении автомобиля и типичные «целевые» свойства неопределенности среды.
Поэтому введение «активного партнера» — автомобиля в виде поверхности торможения с естественной несогласованностью во взаимодействии с автомобилем, оформленной в виде обоснованной степени конфликтности или стабильноэффективного компромисса, а также задание векторного показателя, прагматически (но субъективно) учитывающего свойства — цели каждой из сторон, позволяет получить решение, имеющее в общем случае смысл прогноза.
Данный прогноз дает ориентировку, т.е. оценку неопределенных свойств, и либо может уточнить результаты робастного регулирования по выбору робастных оценок неопределенности, либо в соединении с методами регулирования на основе функций А.М. Ляпунова сформировать обобщенный метод робастного регулирования с робастно-игровой коррекцией, повышающей качество робастного регулирования.
Векторный показатель в рассматриваемом варианте конфликтной ситуации задан в виде трех показателей для каждого объекта:
— курсовая устойчивость автомобиля (точнее, допустимая курсовая неустойчивость на интервале времени (г0,Т)), где Г2,доп — допустимая величина углового ускорения; типичные значения начала и окончания робастного интервала управления АБС г0=0 и Т = О,15с соответственно;
-(^А^Аг^Аз); ->П - (Лп^Ш’^Пз)-
Показатели автомобиля и критерии оптимизации имеют следующий вид:
(14)
(15)
Лг =^(7і)-+тіп
(16)
— продольное замедление;
т
— минимальный занос.
В данных показателях Т — заданный интервал робастного регулирования (меньший, чем время реакции водителя), Тх — заданная величина времени прогноза замедления.
Для вычисления Ух (7]) используется следующее уравнение динамики автомобиля:
= + + Ух{0) = Ух, (18)
где величина ^ — аэродинамическая сила сопротивления.
Показатели поверхности и критерии оптимизации имеют следующий вид:
Ли =-Аі тіп О9)
— курсовая неустойчивость автомобиля;
Ї 2
Лп = /$,<*-> тіп (20)
І и* '
— минимизация сил сопротивления поверхности по оси Оу («способствование» поверхности вращению и заносу автомобиля);
2 2
?! £
>,м
0 < у, < 1, У) +у2 = I (21)
Чп
— минимальные энергетические свойства поверхности по кулонову трению скольжения (качество сцепления с поверхностью).
Данные вектора ,1А и Лп имеют антагонистическое ядро, так как ./П| + JM =0.
Показатели JAn Jn нормируем по формулам (22) и (23).
Л\/ ~ ^А/ найм . , _ _
^А,=---------ту-—,/ = 1,2,3, (22)
** А» наиб ‘'А» найм
где значения ]А/ принадлежат отрезку 0 < ,/А, < 1 и где JAiняиб и ./А,наи,, — наибольшие и наименьшие значения показателей JAІ, полученные на основе параметрических сетей 0 < Бих < 0,15; 0,05 < \ух < 1.
Аналогично определяются
г ^ТИ — Ль найм . , _ /о->\
/ = 1,2,3. (2.3)
‘-'П/наиб ‘•'П/наим
Нормированные векторные показатели скаляризуются в виде
Л\ = ЕаЛ/> 0<а, < 1, £а, = 1; (24)
0<Р,<1, 1Р,=1, (25)
;=1 <=1
где а, и р, — нормированные весовые коэффициенты степени значимости показателя в сумме.
Антагонистическое ядро в нормированной форме принимает вид
Ли+Лп=1> (26)
что легко преобразуется к исходному виду антагонистического ядра, если (26) записать в виде
(7А1-0,5) + (УП1-0,5) = 0. (27)
Таким образом, набор выражений (1)—(27) дает искомую математическую модель конфликтной ситуации «автомобиль-поверхность торможения», которая в дополнение к разработанному робастному алгоритму в условиях неопределенности среды позволяет в исследовании учесть свойства неопределенности «активного партнера», присущие данной задаче, и элементы компенсации целевой неопределенности, вводя прагматические векторные показатели сторон.
Исследование конфликтно-оптимального взаимодействия автомобиля и поверхности торможения с элементами робастно-игровой коррекции.
В качестве объекта торможения рассматривается автобус с характеристиками, данными в табл. 1 (в системе СИ).
Таблица 1
Характеристика транспортного средства
Масса М, кг Момент инерции /, кг м2 Момент инерции колес Г абариты Радиус колеса й, м
передние /| задние /2 , II .5° г Аі — Ау, М
14120 97730 18,9 37,9 2,6 0,9 0.5
Неизменяемые параметры конфликтной ситуации имеют вид:
1. Коэффициент наклона линейной характеристики колеса к0 = 10.
2. Нормаль контактной силы колеса 4 = 34594 Н, где % = 9,8 м/с2 —
ускорение свободного падения.
3. Коэффициенты Кх, Ку в постоянных времени Тух, динамического запаздывания контактных сил от упругих деформаций пневматики колес Кх =700-103 Н/м, Ку = 375-103 Н/м.
4. Допустимое ускорение вращения автобуса вокруг оси Ог О,доп = 0,04 с-1 (при ненулевых начальных условиях по заносу и вращению автобуса); ^?доп =4-10-6 с-1 (при нулевых начальных условиях по заносу и вращению автобуса).
5. Аэродинамическое сопротивление в продольном направлении для (18) оценивается выражением
Г-1000^ [Н], если 10° < ¥(71) < 15°;
/а, = -850# [Н], если 5° < Т(7]) < 10°; (28)
-100g [Н], если 0° < ¥(7]) < 5°, время прогноза Ух; £ = 9,8 м/с2 и где угол Т поворота автобуса во-
где 7| = 1 с
круг оси Ог в радианах вычисляется приближенно из выражения
ЧР(71) = )п: + а (Г)(Т- Тх) [рад],
(29)
где *0 = 0; Т = 0,15 с.
Изменяемые параметры, условия взаимодействия, оценки результатов взаимодействия составляют направления исследования данной конфликтной ситуации.
Исследование эффективности конфликтного взаимодействия проведено в следующих направлениях: изменение весовых параметров а,, Р, в показателях учиты-
вает различную целевую настройку конфликтного взаимодействия (а, = р, = 0,33, I = 1,2,3; а1 = Р, = 0,8; а, = Р, = 0,1, / = 2,3; от, = а3 = Д = /?2 = 0,45;
а2= (Зъ= ОД); учет влияния начальной продольной скорости Ух (Ух = 40, Ух = 20);
учет начальных условий робастного участка регулирования (базовые варианты); учет качества робастного регулирования (два варианта матриц {ку})\ вид стабильноэффективного компромисса (СТЭК-1 — стабильное решение в виде Нэш-равновесия, наиболее близкого к Парето-границе — базовый вариант, и СТЭК-7 — Нэш-Парето-УКУ-Шепли-компромисс). Таким образом, было проанализировано 24 варианта.
Исходными для исследования являются два базовых варианта с нулевыми (№1) и ненулевыми (№2) начальными условиями по скорости вращения, заносу и силам. Начальные данные и условия базовых вариантов №1 и №2 приведены в табл. 2.
Таблица 2
Базовые варианты
№ варианта ^гдоп [с“2] “/Д УЛк) [м/с] РухМ [Н] [с-1] Уу(‘о) [м/с] [Н] Ц/у('о) [С ’] СТЭК
1 4 10 6 а, =0,= = 0,33, ' = 1,2,3 40 0 0 0 0 80 СТЭК-1
2 0,04 а,=Р, = = 0,33, 1 = 1,2,3 40 0 0,1 0,4 Формула (30) 80 СТЭК-1
Вариант №1 отражает в начальный момент времени / определенную степень близости к условиям робастного регулирования: не только стабилизация заноса по оси Оу и вращения вокруг оси Ог, но и обнуление этих величин.
Вариант №2 среди других трактовок ненулевых начальных условий может приближенно отражать результат неудачного (в «коалиции» с поверхностью торможения) воздействия водителя на процесс торможения на некотором его предыдущем цикле (например, поворот передних колес, вызвавших занос и вращение).
УцуМкв г„ ,ч/+1.
РМ = -у^[Уу{кЫ-Т ^о)4} '.7 = 1,2. (30)
Каждый оптимизационный эксперимент представляет собой достаточно сложную процедуру вычислений в рамках ПС «МОМДИС», состоящую из глобального сетевого анализа на допустимых множествах управляющих параметров и показателей на сети З8 = 6561 параметрических точек, где каждый из восьми управляющих параметров задается тремя значениями, и комбинированной оптимизации на основе многоэтапных алгоритмов оптимизации по Парето, Нэшу, «угроз и контругроз» с отбором УКУ в окрестности точки Шепли для небазовых вариантов.
Результаты каждого эксперимента содержат текстовый и графический материал.
Примеры анализа результатов экспериментов на основе базовых вариантов.
Изменения в проведенных экспериментах связаны с заменой точки СТЭК-1 на точку СТЭК-7.
Вариант №1. Результаты оптимизации имеют следующий вид:
1) диапазоны изменения показателей
0,170 -10~12 < УА1 <8,097-10 39,51025 <УА2 <39,51031;
,-12.
-13.
2)
0<УАЗ :£ 5,13-10 -8,097 • 10~12 < Уш < -0,170 • 10'12;
0<УП2 <2,00-10~4;
0,32<УШ<2,19; оптимальные значения управляющих параметров:
СТЭК-7
СТЭК-1
і, У і,і 1,2 2,1 2,2
0,72 0,34 0,79 0,22
4 0,04 0,15 0,03 0,15
и] ь 1 1,2 2,1 2,2
ух 0,5 0,4 0,6 0,35
УКУ ух 0,09 0,15 0,07 0,15
3) оптимальные значения показателей
Ук1: 1,93• 10~12; 39,51029; 2,06-10'°; Гм\ 0,22; 0,63; 0,004;
СТЭК-1:
СТЭК-7:
Ці
ГО-гУКУ .
1,93ТО"12; 4,32-10''; 1,281; Уп,: 0,78; 0,002; 0,51;
|У^У: 0,67-10~12; 39,51028; 4,5Ы0-14; У^у:0,06; 0,41; 0,09; [Уп(КУ: -0,67-10-12; 6,09-10-6; 0,32; У^у: 0,94; 0,03; 0,0004;
4) терминальные значения угла поворота ^(Т})
СТЭК-1: (4,2 10'6')°;
СТЭК-7: (з,66-10“5).
Область допустимых значений всех показателей приведена на рис. 1-5.
Лі
П/
14.
ЇУКУ.
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Нэш-равновесие (СТЭК-1)
Л
0 0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 1. Область допустимых значений показателей
Рис. 2. Угловое ускорение (г)
Рис. 3. Угловая скорость £2г(/)
Рис. 4. Скорость заноса Уу(()
Рис. 5. Продольные контактные силы /#,(/)
Конфликтная оптимальность в точке СТЭК-1 для поверхности дает явно выраженный оптимальный бортовой микст (mix) между правым и левым бортом, который компенсируется оптимальным торможением колес типа «крест» (наибольшее проскальзывание на малом сцеплении), что обеспечивает требуемое понижение курсовой неустойчивости на робастном этапе торможения (рис. 2) и дает определенную стабилизацию угловой скорости вращения Q.(f) к концу робастного интервала
(рис. 3) с соответствующими изменениями скорости заноса и контактных сил (рис.4-6).
Рис. 6. Поперечные контактные силы Plj;, (t)
Конфликтная оптимальность в точке СТЭК-7 дает некоторые улучшения в значениях показателей для обеих сторон (рис. 1) и выявляет другой оптимальный вариант «управляющих» параметров поверхности с малыми кулоновыми силами трения скольжения и с траекториями, близкими к предыдущим. При этом данный вариант у™у вызывает положительное вращение автобуса вокруг нормали 2 первого колеса и
положительный занос, а оптимальное торможение типа крест, близкое по величинам 5уХ к торможению в точке СТЭК-1, также компенсирует это вращение и противодействует заносу.
Оптимальность режима малого сцепления «со стороны» поверхности в СТЭК-7 (эксперимент 2) в дополнение к бортовому миксту в СТЭК-1 (эксперимент 1) является следствием некоторого уменьшения «потерь» в показателях Jn в точке СТЭК-7, в том числе в показателе Jm, который, уменьшая у,/г, формирует \’и лишь в
рамках второго равенства системы (9). Значение курсовой устойчивости автобуса в точке СТЭК-7 лучше, чем в точке СТЭК-1, поэтому АБС автобуса полезно точнее настраивать на параметрический режим СТЭК-7, хотя для автобуса оптимальные параметры базового варианта 1 в СТЭК-1 и СТЭК-7 близки. Следует отметить, определенное прогнозируемое замедление на величину 0,5 м/с в обоих экспериментах.
Вариант №2. Результаты экспериментов имеют следующий вид:
5) диапазоны изменения показателей
0,00042 <УА1 <0,01638;
39,55 <УА2 <39,59;
0,051<УАЗ <0,065;
-0,01638 < <-0,00042;
0,40-107 <Jn2 < 1,75-107;
0,32<УПЗ<2,19;
6) оптимальные значения управляющих параметров:
СТЭК-7
СТЭК-1
и 1,1 1,2 2,1 2,2
V?. у* 0,58 0,23 0,64 0,3
/ ]Х 0,03 0,12 0,04 0,10
1,1 1,2 2,1 2,2
ух 0,96 0,46 0,07 0,05
УКУ Лух 0,12 0,11 0,04 0,09
7) оптимальные значения показателей
стэк 1- <К' : °’00549;39-569; °>058; °>32; °’48; °>55;
[./£,■: -0,00549; 1,05 107; 1,285; : 0,68; 0,48; 0,51;
СТЭК-7- |^У: °’01209; 39’557; °’055; ^ ' °’73; °’16; °’28;
’ 1ууку: -0,01209; 1,20-Ю7; 1,27; У^ку : 0,27; 0,59; 0,51;
8) терминальные значения угла поворота Ч^Г,)
, , [СТЭК-1: 8,9°;
ч/{т\)~ {стэК-7: 9,2°.
Область допустимых значений всех показателей приведена на рис. 7.
Рис. 7. Область допустимых значений показателей
Анализ экспериментов показывает, что в точке СТЭК-1 (точке равновесия по Нэшу) имеет место бортовой микст между правым и левым бортом на поверхности торможения при реакции АБС в виде «креста» (наибольшее проскальзывание на малом сцеплении). Из-за ненулевых начальных условий по Г22 = 0,1 с-1 и за-
носу Vy =0,4 м/с (1% от Ух), которые более «выгодны» поверхности торможения;
бортовой микст «смягчен» по сравнению с базовым вариантом № 1 с нулевыми начальными условиями (коэффициенты сцепления на обоих бортах уменьшились), что в свою очередь приводит к смягчению реакции АБС.
По этой причине увеличивается угол поворота автобуса ¥(7]) = 8,9° и ухудшается курсовая устойчивость автобуса, когда Уд, =0,32 (0,22) (см. рис. 3).
Значительно увеличивается интегральная характеристика заноса Уд3 =0,55 (0,058), но одновременно значительно увеличиваются контактные силы поверхности, когда Ущ =0,48 (0,002), поэтому в целом ситуация разрешается в пользу автобуса
0\<J п).
В точке СТЭК-7 оптимальные параметры поверхности имеют свойства осевого микста, который при неравных величинах vu и v12 и ненулевых условиях ухудшает курсовую устойчивость У™у = 0,73, вызывая вращение автобуса вокруг нормали в точке касания колеса 11, и незначительно увеличивается угол VF(7’1). Но
оптимальное торможение автобуса уменьшает нормированный показатель заноса и нормированный показатель скорости в момент Тг (увеличивает замедление). По-
с г ТУКУ . тУКУ \
этому в целом ситуация также разрешается в пользу автобуса (J А < Уп ).
В данном базовом варианте №2 (при ненулевых условиях) оптимальное торможение в точке СТЭК-1 отличается по структуре от торможения в точке СТЭК-7.
Если в СТЭК-1 имеет место «крест» — реакция АБС, то в точке СТЭК-7 величины проскальзывания колес S1U. и SUx обеспечивают максимальное замедление, а совместно с колесом 22 обеспечивают определенную компенсацию заноса и вращения.
По основному показателю курсовой устойчивости при потерях в замедлении и заносе более выгодным для автобуса является режим торможения (крест) в точке СТЭК-1.
Полный анализ из сорока экспериментов позволяет сделать следующие выводы. Разработан метод анализа конфликтно-оптимального взаимодействия автомобиля и поверхности торможения на основе игровых подходов. Применение метода в практически ценной модели торможения автомобиля (автобуса) высокого порядка на этапе робастного регулирования АБС позволило получить следующие теоретикоприкладные результаты:
1. Выявлены четыре вида конфликтно-оптимальных свойств поверхности (коэффициентов кулоновых сил трения скольжения vijx, i,j = 1,2) в процессе торможения: бортовой и осевой микст, малое сцепление {vijx — малые величины), комбинирование бортового и осевого микст и ряд оптимальных реакций тормозной АБС, среди которых наиболее типичны проскальзывание Sijx, i,j = 1,2 типа «крест» (малое проскальзывание при большом сцеплении и наоборот), «антикрест» с компенсацией.
2. Обоснованы результаты выбора свойств поверхности торможения в методах робастного регулирования. Выявлена зависимость вида взаимодействия от характера стабильно-эффективного компромисса (СТЭК-1, СТЭК-7): бортовой микст —
«крест» для СТЭК-1, малое сцепление — «крест» и осевой микст — «антикрест» с компенсацией для СТЭК-7 с лучшей (для большинства вариантов) курсовой устойчивостью в СТЭК-1 и вырождением взаимодействия в бортовой микст — «крест» в условиях, близких к антагонизму. Показана существенная зависимость результатов оптимизации от начальных условий по угловой скорости Qz (/0) и заносу Vy (t0) и
ограниченное влияние на результаты изменения продольной скорости Vx (f0).
3. Сформирована база данных оптимального взаимодействия АБС и поверхности торможения с разными степенями конфликтности поверхности процессу торможения. Оценено влияние качества робастного регулирования на конфликтнооптимальное взаимодействие с поверхностью. Получены элементы комбинированного исследования взаимодействия автомобиля и поверхности торможения методом робастного регулирования на основе функций А.М. Ляпунова и методом анализа конфликтно-оптимального взаимодействия, которые в целом охватывают свойства неопределенности поверхности и формируют метод робастного регулирования с робастно-игровой коррекцией. Последняя в данной прикладной задаче может быть реализована следующим образом.
4. В процессе применения исходного робастного регулятора на этапе робастного регулирования на малых временных интервалах выполняются начальные грубые оценки угловых скоростей вращения колес автомобиля и идентифицируются коэффициенты сцепления — величины v,y, г',у' = 1,2, Полученный вектор v позволяет
выбрать из детальной базы данных соответствия sopl = / (v0/), ], размещенных в памяти АБС, близкий вектор \ор1 и соответствующий ему набор коэффициентов проскальзывания sopt = |.vy, i, j = 1,2}, которые определяют требуемые скорости вращения колес (5), а следовательно, оптимальную реакцию АБС в виде AQ.ijy = QJP -QiJr
По окончании этапа робастного регулирования более полная информация «из-под колес» позволяет перейти к этапу адаптивного регулирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002.-304с.
2. Воронов Е.М., Магомедов М.Х., Ханычев В.В. Разработка модели конфликтнооптимального взаимодействия автомобиля и поверхности торможения на основе робастного регулирования. // Вестник МГТУ. Серия «Машиностроение».-2002.-№4.-с.З-20.
3. Воронов Е.М. Методы оптимизации управления многообьектными многокритериальными системами на основе стабильно-эффективных игровых решений. - Под ред. Пупкова К.А., Егупова Н.Д. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001.-576с.
4. Серов В.А., Холба Ю.А., Суханов Н.А. Комбинированная вычислительная процедура многокритериального синтеза параметров нейроконтроллера в адаптивной системе управления промышленным роботом. Вестник РУДН. Серия «Инженерные исследования».-2001.-№1.-с. 147-158.
5. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности. - М.: МНИИПУ, 1988,-132с.
6. Методы классической и современной теории автоматического управления Т.З: Синтез регуляторов систем автоматического управления. Под ред. Пупкова К.А., Егупова Н.Д. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004.-726с.
7. Вайсборд Э.М. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и
их приложения. - М.: Сов. радио, 1980.-304с.
8. Воронов Е.М., Серов В.А. Алгоритм интерактивной многокритериальной оптимиза-ции//автоматизированное проектирование систем управления. - М., 1986. Выпуск 4 - (Труды МВТУ; №458).
9. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. - М.: Наука, 1984.-496с.
CORRECTION OF ROBUST CONTROL OF A VEHICLE BREAKING BASED ON CONFLICT ANISOTROPY
E.M. Voronov, M.H. Magomedov, D.S. Kovalev, N.A. Vagin
Technical Cybernetics’ Department Peoples’ Friendship University of Russia
6, Miklukho-Maklaya St., Moscow, Russia, 117198
The article is devoted to conflict optimal interplay between a vehicle equipped with ABS (antilock break system) and breaking surface with noncooperative degree of conflict at the step of robust control. Using methods of multi-objective optimization multifactor analysis of vehicle and breaking surface interplay is being held. The structure of robust gaming correction of robust stabilization of a vehicle with ABS while breaking is being proposed.
