CC BY
64
УДК 621.77
Т.Б. НИКИТИНА, канд. техн. наук, докторант НТУ "ХПИ"
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ АНИЗОТРОПИЙНОГО РЕГУЛЯТОРА СТАБИЛИЗАТОРА В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Разработан метод многокритериального синтеза стохастического робастного управления стабилизатором в вертикальной плоскости с учетом упругих элементов как дискретноконтинуального объекта управления. Приведен пример динамических характеристик синтезированной системы.
Ключевые слова: многокритериальный синтез, анизотропийный регулятор, стабилизатор.
Постановка проблемы, связь с научными и практическими задачами.
Колесные и гусеничные машины отечественного производства обладают высокими тактико-техническими характеристиками и успешно конкурируют с военной техникой иностранного производства, что, в частности, подтверждается контрактами с Пакистаном, Иорданией и Сирией на поставку отечественной военной техники. При модернизации колесных и гусеничных машин для повышения тактико-технических характеристик предполагается использование в системах наведения и стабилизации бортовой ЭВМ, с помощью которой аппаратно и программно можно реализовать более сложные законы управления, чем традиционные пропорциональные регуляторы с обратными связями по углам и угловым скоростям объекта управления [1 - 3].
К системам наведения и стабилизации предъявляются достаточно жесткие требования по показателям качества работы в различных режимах. Приведем часть таких требований, предъявляемых к системе наведения и стабилизации. Время отработки заданного угла рассогласования - ґрег. Время
разгона до номинальной скорости и время торможения до полной остановки -ґраз. Ошибка отработки гармонического сигнала заданной амплитуды и
частоты є гар . Ошибка стабилизации при движении с заданной скоростью по нормализованной трассе со случайным изменением профиля є сл. Максимальная скорость наведения ю^ . Минимальная скорость наведения ю^. Неплавность наведения при минимальной скорости Аю^ . Естественно, что при этом должны быть учтены также ограничения на переменные состояния системы [1 - 3].
Анализ последних достижений и публикаций. В настоящее время интенсивно развивается теория стохастического робастного управления [1 -3]. Системы стохастического робастного управления обладают рядом преимуществ. Во-первых, они робастно устойчивы, т.е. сохраняют
устойчивость при изменении параметров объекта управления в определенных пределах. Во-вторых, они имеют существенно меньшую чувствительность к изменению параметров объекта управления по сравнению с оптимальными системами, несмотря на то, что динамические характеристики стохастических робастных систем могут незначительно отличаться от соответствующих характеристик оптимальных систем. Трудность синтеза стохастической робастной системы заключается не в решении тех или иных уравнений, а, прежде всего, в формулировании критерия качества стохастического робастного управления таким образом, чтобы синтезированная система удовлетворяла техническим требованиям, предъявляемым к системе [4].
Целью работы является разработка методики выбора критерия качества в виде решения задачи многокритериальной оптимизации при синтезе стохастического робастного управления для выполнения технических требований, предъявляемых к системе и учете ограничений на переменные состояния и управления. Задачей статьи является синтез и исследование динамических характеристик стохастической робастной системы управления стабилизатором танкового вооружения в вертикальной плоскости с учетом упругости ствола с выбранными критериями качества.
Изложение материала исследования, полученных научных результатов. Применение регуляторов, оптимальных по квадратичным критериям качества показало их высокую чувствительность к структурным и параметрическим возмущениям объекта управления и внешних воздействий. Для уменьшения чувствительности синтезированной системы к структурным и параметрическим возмущениям объекта управления и внешних воздействий
Я 2 _ т т ^
нормы используют H норму в следующем виде \wzx || ^ min •
Робастные регуляторы, синтезированные по критерию Hш, обладают малой чувствительностью к структурным и параметрическим возмущениям, однако их динамические характеристики часто оказываются неудовлетворительными в связи с излишней "осторожностью" робастных регуляторов, рассчитанных на работу системы в самых неблагоприятных условиях.
Применение регуляторов, синтезированных по смешанному критерию,
включающему H2 и Hш нормы, позволяет получать системы, обладающие достаточно высокими динамическими характеристиками при низкой чувствительности к изменению параметров и структуры объектов управления. Однако вопрос выбора параметра толерантности у, характеризующего
соотношения между H2 и Hш нормами решается на интуитивном уровне. Чем ближе система к оптимальной по H2 норме, тем она более чувствительна к изменению параметров и структуре моделей объекта управления и внешних
воздействий. Чем ближе синтезированная система к оптимальной по Нш норме, тем меньшую точность она имеет, так как проявляет излишнюю "осторожность" и рассчитана на работу в самых неблагоприятных условиях.
Одним из корректных подходов к обоснованному выбору смешанного
Я 2 тт &
и Н нормы, является построение анизотропийных регуляторов. При стохастическом подходе к синтезу Н управления в качестве критерия оптимальности системы используется стохастическая норма системы
\\№7
При этом фактически используется комбинация стохастической нормы системы и средней анизотропии случайного сигнала, что и приводит к одному из вариантов стохастической нормы, названной анизотропийной нормой.
Рассмотрим решение задачи анализа анизотропийных регуляторов для многомерной дискретной системы с т входами и р выходами и матричной передаточной функцией w, на вход которой поступает дискретный многомерный гауссовский белый шум с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей. Тогда средняя анизотропия дискретной последовательности на выходе такой системы определяется следующим выражением
-йф 0»)[ Лф (ю) ]
ф
йЮ.
Величина средней анизотропии равна нулю, если дискретная последовательность представляет собой гауссовский белый шум с единичной ковариационной матрицей.
Представим исходную дискретную систему в форме пространства состояний
~Л В ~
уф
С Б
т.е. передаточная функция системы Wф задана в виде А, В, С, Б
реализации. Тогда средняя анизотропия дискретной последовательности на выходе системы может быть определена следующим образом
А(йф) ^-¿ІП<ІЙ
тТ
їг{ЄРЄТ + ББТ }
где матрица Т связана с решением Я уравнения Риккати:
Я = ЛЯЛТ + ВВТ -ЬТЬ, Т = СЯСТ + ББТ ,
а
т
2
Ь = (ЛЯСТ + ББТ )Т_1,
а грамиан управляемости Р системы является решением уравнения Ляпунова
Для решения уравнения Риккати используется алгоритм для нахождения обобщенных собственных векторов Шура, а для решения уравнения Ляпунова используется алгоритм Шура для унитарной триангуляции матриц.
Для дискретной динамической системы с передаточной функцией w , на вход которой поступает дискретная последовательность, сформированная из гауссовской последовательности с мощью дискретного фильтра с передаточной функцией Wф вводится анизотропийная норма системы в
следующем виде
Анизотропийная норма системы характеризует не анизотропию дискретных последовательностей на входе и выходе системы, а чувствительность системы в среднем к случайным входным последовательностям со средним уровнем анизотропии, равным а. Причем, при нулевой анизотропии (а = 0) входной дискретной последовательности анизотропийная норма системы равна Н 2 норме системы, а при бесконечной анизотропии (а ^ &) входной дискретной последовательности
и т Т &
анизотропийная норма системы равна Н норме системы, так что имеет место следующее соотношение
4т И 2 ^ 0 ~ а^т&1И ^1а _ IИ & •
Таким образом, если величина анизотропии входной дискретной системы находятся в диапазоне 0 < а < & , то значение анизотропийной нормы системы
Рассмотрим алгоритм вычисления анизотропийной нормы дискретной системы, заданной в пространстве состояний матрицами А, В, С, Б. Запишем для этой дискретной системы уравнение Риккати относительно матрицы Я в следующем виде
Р = АРАТ + ВВТ.
Я' 2 т т&
х и Н норм системы
а
Я = АТЯА + цСТС - I Т-1 I, 2 = (1т - чОТБ - ВТЯВ)-1, 1 = Т(ВТЯЛ + дБТС).
Тогда а - анизотропийная норма этой системы может быть определена в
виде
М =
IIі Ша
1—
1/2
(г{ЬРЬт + 2}
где грамиан управляемости Р формирующего фильтра
=
Ь 2
1/2
2
1/2
А + БЬ Ь
определяется уравнением Ляпунова
Р = [Л + ВЬ]р\А + ВЬ] + В Е Вт .
При этом величина анизотропии дискретной последовательности на входе системы равна
случайной
1, , — lndet
2
т 2
їґ{ЬРЬ1 + 2}
Метод решения. Рассмотрим синтез робастного регулятора,
минимизирующего анизотропийную норму в форме пространства состояний. Этот регулятор формирует управляющее воздействие на вход системы по ее измеряемому выходу и представляет собой динамический блок типа компенсатора, объединяющий робастный наблюдатель и робастный регулятор.
Обозначим А, В, С, Б реализацию исходной системы, замкнутой этим динамическим блоком в следующем виде
В
д,
А ВС В
ВС2 А ВД2 і
Сі ДР Ді
Рассмотрим уравнение Риккати
Я = ЛтЯЛ + дСтС + Ьт ЕГ 1Ь [
Ь = \Ь1 Ь2 ] = Е\
В этом уравнении скалярный параметр д выбирается из полуоткрытого 0;|| 3(*, ^ )||
\ = 2\ВГЯА + дЮГіР ].
интервала анизотропия сигнала равна
. Если это уравнение Риккати имеет решение, то 1 , , т1 2
— lndet
2
їг{.1РЬ1 +2}
= а,
а эквивалентный формирующий фильтр
т
= а
А+ВЬ В 2
1/2
ь
2
1/2
А + В ь В1ь2 + В2С 2 1/ 2 В1
В[С 2 + -^21Ь1 ] А + В^21Ь2 2 12 21 Р (0^
ь1 Ь2 21/2
имеет грамиан управляемости, определяемый уравнением Ляпунова Р = [а + Бь\р [А + БЬ\ т + В Е Бт .
При этом а - анизотропийная норма системы, замкнутой таким регулятором, равна
1 --
ш,
ґг{ЬРП + 5}
1/2
Рассмотрим уравнение Риккати
5 = [А + 5^Х1 ]5[А + 5^Х1 ] т + 5125Т -Л0ЛТ ® = [^2 + ■^21-^1]5 [^2 + -ЦгА] + Д21 2 -Ц
Л =
[[а + ]5 [С^2 + ^21^1] + 51 2 Д21]
^1,
'2Т1]®-1
Рассмотрим также уравнение Риккати
Т = АТТАТ + Ст С -^тПМ,
п = вТтв+оТ2б12,
N = [лт1 N ]=-п-1(вТт£4+дт2с),
в котором матрицы А, В, С, ^ реализации имеют следующий вид
" а в"
С Б
А в1м в2
0 А + вм + В1С 0
Сі Б11М Б
Откуда может быть получена А , В оптимизирующего анизотропийную норму.
С, Б реализация регулятора,
А = В2С + [іп -Л]
" А в1' 1 К 1
1 С Б21_ м
в =Л, С = N + ы2.
Таким образом, решение задачи стохастической робастной оптимизации сводится к вычислению трех алгебраических уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и уравнения специального вида для вычисления уровня анизотропии входного сигнала.
Математическая модель дискретно-континуального объекта управления. Рассмотрим математическую модель объекта управления системы стабилизации танкового вооружения в вертикальной плоскости
следуя работе [1]. Представим танковую пушку в виде твердого тела -казенной части и упругого элемента - ствола, помимо вращения относительно оси цапф, оно совершает упругие колебания. Введем следующие компоненты вектора состояния: угол ф(0 отклонения между осью канала ствола и направлением на цель и его производную ф(/), значение функции Т0 (?) в представлении функции у(х, ?) характеризующей отклонение точек оси канала ствола от его недеформируемого состояния, а также производную этой функции Т0 (?), момент стабилизации Мсо (?) орудия с помощью исполнительного гидроцилиндра и его производную Мсо (?), момент возмущения Мво (?), обусловленный угловой скоростью перемещения корпуса танка в вертикальной плоскости и его производную Мво (?), силу возмущения f0 (?), связанную с ускорением корпуса танка относительно его вертикальной оси и его производную /0 (?). При этом вектор состояния примет следующий вид
;г0 (?) = (ф(0, ф(0, То (О, Т (?),мсо (?),Мсо (?),Мво (?),Мво (?), /0 (?), / (?)}.
Тогда в уравнении состояния возмущенного движения непрерывного дискретно-континуального объекта стабилизации в вертикальной плоскости совместно с уравнениями формирующих фильтров и исполнительного электрогидравлического привода с гидроцилиндром
Xо(/) = АоХо(?) + БоЫ(Г),
матрица состояния примет следующий вид
А0 -
1
о| < ® | 1 - 1 с0 А с0 А 00_ А
1
^ < -£/ 0Ь0 А ~а0 А -а0 А к. А
1
-1 Т2 у у ЯР ^ ^ Е-Т 1
1
-1 Т2 ± в -25в
Г в
1
-1 Т 2 Т/ / ^ Е-, 1
Здесь введено обозначение А -10с0 + а,
Результаты моделирования. Результаты синтеза робастного управления в значительной степени определяются вектором контролируемых параметров
2 (?). При этом роль весовых матриц играют Б1 и Д2. В частности, быстродействие системы в значительной мере определяется отношением значений элементов матрицы Б1 к значениям элементов матрицы Д2. Чем выше это отношение, тем меньший "вес" управления и(1) в критерии качества, определяемого вектором контролируемых параметров 2(?), а, следовательно, и тем больше быстродействие системы управления.
Естественно, что за повышение быстродействия приходится "платить" более энергичным управлением - чем больше быстродействие системы, тем требуется большее значение стабилизирующего момента для приведения системы в согласованное положение. С другой стороны, для реализации робастного управления, по полному вектору состояния строится робастный наблюдатель, с помощью которого восстанавливается весь вектор состояния системы Х(?) по измеряемому вектору выхода системы у($). Быстродействие наблюдателя в основном определяется отношением элементов матриц Б и С2 к элементам матрицы Б21. Это отношение характеризует фактическое отношение сигнал/шум измеряемого вектора выхода системы у(?).
Первым этапом в решении задачи многокритериального синтеза является сведение исходной задачи к системе ограничений. Такой этап оправдан в связи с тем, что условия технического задания, как правило, формируются в форме ограничений. Затем после получения такого допустимого решения, удовлетворяющего всем ограничениям целесообразно попытаться улучшить частные критерии, переведя часть либо все ограничения в частные критерии [4]. Схема компромиссов позволяет формально перейти от векторного критерия качества к скалярному. Свертка частных критериев в скалярный, должна отражать степень важности частных критериев в общем скалярном критерии. По существу схема компромиссов не является теорией, а представляет индивидуальный набор предпочтений лица принимающего решение с точки зрения его профессиональной компетенции и, как правило, выполняется эвристически.
В качестве примера на рисунке показаны реализации компонент вектора состояния замкнутой системы: угла ф(?) отклонения между осью канала ствола и направлением на цель и его производной ф(?) и момента стабилизации Мсо (?) башни с помощью электропривода при случайном изменении возмущающего момента. Таким образом, применение робастных регуляторов позволило получить приемлемые показатели качества для стабилизатора как дискретно-континуального объекта управления с учетом упругих колебаний.
Выводы. Разработана методика многокритериального синтеза стохастического робастного управления приводом вертикального наведения с учетом упругих элементов. С помощью разработанной методики многокритериального синтеза робастных регуляторов удалось получить приемлемые показатели качества и удовлетворить техническим требованиям, предъявляемым к системе. Приведены динамические характеристики синтезированной системы наведения и стабилизации в вертикальной плоскости. Дальнейшее повышение точности стабилизации сдерживается энергетическими ограничениями исполнительного электродвигателя и информационными ограничениями измерителей.
Ф,рад
Ф ,рад
а)
: t х
б)
в)
Рис. Изменение угла ф(/) отклонения а), производной угла ф(/) отклонения б) и момента стабилизации Мсо (/) в) вертикального наведения при случайных внешних
воздействиях
Список литературы: 1. Никитина Т.Б. Робастное управление системой наведения и стабилизации вооружения легкобронированной машиной // Вестник НТУ "ХПИ". - Харьков: НТУ "ХПИ". -2007. - № 36. - С. 80 - 88. 2. Никитина Т.Б. Робастная стабилизация танкового вооружения. // Вестник НТУ "ХПИ". - 2007. - N° 10. - С. 134 - 144. 3. Никитина Т.Б. Робастная стабилизация дискретно-континуального объекта // Технічна електродинаміка. Тематичний випуск. Проблеми сучасної електротехніки. Частина 4. - К.: 2007. - С. 60 - 64. 4. Никитина Т.Б. Выбор критерия качества робастного управления как задача многокритериальной оптимизации // Вестник НТУ "ХПИ": - Харьков: НТУ "ХПИ". - 2007. - № 41. - С. 35 - 44. 5. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time-invariant systems // Proceedings of the 13 th IFAC Word Congress, San-Francisco, California, USA, June 30 - July 5, 1996. - V. G, Paper IFAC-2d-01.6, 1996. - P. 55 - 67. 6. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V.State-space solution to anisotropy-based stochastic H-infinity optimization problem // Proceedings of the 13th IFAC Word Congress, San-Francisco, California, USA, June 30 - July 5, 1996. - V. H, Paper IFAC-3d-01.6, 1996. - P. 115 - 118. 7. Mariton M., Bertrand P. A homotopy algoritm for solving coupled Riccati equations // Optimal Control Applications & Methods. - 1985. - V. 6. - P. 57 -61.
УДК 621.77
Багатокритеріальний синтез анізотропійного регулятора стабілізатора у вертикальній поверхні / Нікітіна Т.Б. // Вісник НТУ "ХПІ". Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. -Харків: НТУ "ХПІ". - 2009. - № 13. - С. 94 - 103.
Розроблено метод багатокритеріального синтезу стохастичного робастного керування стабілізатором у вертикальній площині з урахуванням пружних елементів як дискретно-континуальнім об’єктом. Наведено приклад динамічних характеристик синтезованої системи. Іл.: 1. Бібліогр.: 7 назв.
Ключові слова: багатокритеріальний синтез, анізотропійний регулятор, стабілізатор.
UDK 621.77
A multicriterion synthesis of anisotropic regulator of stabilizator in vertical plane / Nikitina T.B. // Herald of the National Techical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2009. - №. 13. - P. 94 - 103.
The method of multicriterian control anisotropic synthesis by the vertical square with elastic elements as discrete-continual plant is developed. The example of dynamic characteristics for such system is given. Figs: 1. Refs: 7 titles.
Key words: multicriterian synthesis, anisotropic control, stabilization.
Поступила в редакцию 14.02.2009
