CC BY
74
УДК 621.316 В. К. ФЁДОРОВ
Омский государственный технический университет
КОНЦЕПЦИЯ ЭНТРОПИИ В ТЕОРЕТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ САМООРГАНИЗАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ АКТИВНЫХ СРЕД И УСТОЙЧИВЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР-СИСТЕМ____________________________________
Для экспериментальной проверки действия принципа устойчивого неравновесия в неравновесных электроэнергетических, электрических и электронных системах была создана сложная электронная система с положительной обратной связью. Исследованы режимы работы этой сложной электронной системы, включая режимы детерминированного хаоса и режимы синхронизации хаотических автоколебаний как фактор самоорганизации.
Ключевые слова: электроэнергетические, электрические и электронные системы; принцип устойчивого неравновесия; положительная обратная связь; хаос; самоорганизация.
Пространственно-временная самоорганизация распределенных активных сред (РАС), порождающая устойчивые диссипативные структуры-системы (УДСС), является актуальной проблемой синергетики, требующей пристального внимания и анализа.
Одним из факторов самоорганизации в РАС и УДСС самой разной природы является способность таких объектов к взаимной синхронизации. Под синхронизацией понимают самопроизвольное установление в РАС и УДСС автоколебаний единой синхронной частоты и устойчивых к возмущениям определенных фазовых соотношений между колебаниями в отдельных частях неоднородной РАС и УДСС. Тенденция к взаимной синхронизации противоположна тенденции развития хаоса. Иногда в одной и той же сложной системе при одних условиях побеждает тенденция к самоорганизации, а при других условиях рождаются квазихаотические режимы.
С физической и математической точек зрения под самоорганизацией понимают возникновение УДСС в пространстве состояний в результате каскада бифуркаций или большого возмущения. Самоорганизация означает разрушение режима детерминированного хаоса и переход к странному аттрактору УДСС. Под устойчивостью диссипативных структур-систем понимают их способность возвращаться в равновесное состояние (положение равновесия) после окончания действия внешних факторов. С физической точки зрения устойчивость означает, что при ограниченном входном воздействии выходной сигнал также является ограниченным и процессы в системе стремятся к определенному значению при любых начальных условиях.
В статье рассматривается концепция энтропии РАС и УДСС под определенным углом зрения, а именно как проблема самоорганизации РАС с последующим возникновением УДСС. Необходимые для этого
численно-аналитические исследования проводились на имитационной параметрической модели, которая позволяет объединить управление режимами поведения и получение экспериментальных данных РАС и УДСС.
Двухкомпонентная модель таких объектов имеет вид [1]:
8р(х1Д) = С(х1,х2) + Пх 82р(х1Д),
8хі
8р(х2,1) = 0(х1,х2 ) + П 82р(х2,1),
81 8х22
(1)
где х1, х2 — исследуемые пространственные компоненты, 1 — текущее время,
р(х1, 1), р(х2, 1) — соответствующие плотности вероятностей исследуемых пространственных компонент, Бх, Б — диффузионные коэффициенты РАС и УДСС,
С(х1, х2), 0(х1, х2) — степенные многочлены, характеризующие генерацию и диссипацию энергии.
Предполагается, что в модели (1) функции С и О не зависят от 1. Тогда РАС и УДСС можно представить как континуум совершенно одинаковых виртуальных генераторов (автоколебательных систем), связанных между собой диффузионными связями. Анализ эволюции РАС и УДСС с виртуальными генераторами и диссипацией энергии подробно изложен в [2]. Некоторые следствия этого анализа приводятся в данной работе.
На первый взгляд представляется, что в таких однородных системах виртуальных генераторов всегда устанавливается синхронный режим автоколебаний. Однако это далеко не всегда так. Если в двухкомпонентных РАС при слабых диффузионных связях единственно устойчивым режимом будут
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014
синфазные автоколебания с единой синхронной частотой, то в двухкомпонентных РАС с сильными диффузионными связями, и тем более в трехкомпонентных РАС, уже возможны более сложные режимы.
Покажем это на нетривиальном примере РАС и УДСС, которая строится на основе гармонического виртуального генератора с жестким возбуждением. В этом случае в модели (1) С и О принимают вид [3]
С(х1,х2 ) = х^ (2)
0(Х1,Х2 )= -®2х1 - 2(5о-Й2х12-Й4х14 )х2. (3)
Тогда о решениях математической модели (1) можно высказать следующие соображения.
При малой величине диффузионных коэффициентов Бх и Бу амплитуда вынужденных колебаний виртуальных генераторов будет меньше, чем амплитуда неустойчивого предельного цикла. В итоге вероятностные распределения амплитуд колебаний р(х1, 1), р(х2, 1) будут ступенчатыми функциями, устойчивыми к малым возмущениям. Если число N виртуальных генераторов увеличивать, то коэффициенты связи Бх и Бу, а также амплитуды вынужденных колебаний при неизменных коэффициентах диффузии будут увеличиваться и распределения р(х1, 1), р(х2, 1) в виде ступенчатых функций становятся неустойчивыми. С другой стороны, чем теснее диффузионные связи между виртуальными генераторами в сети, тем больше размерность этой сети, тем устойчивее синхронный режим и плотности вероятностей р(х1, 1), р(х2, 1) стремятся к дельтафункции, т.е. р(х11!®¥®8(х -х1 ) , р(х2)| 1 ®5(х - х2). Более того, можно сказать, что флуктуации синхронной частоты уменьшаются при увеличении упомянутых факторов связи, а полоса синхронизации увеличивается.
Синхронная частота юс и полоса синхронизации Дс определяются следующими равенствами
1 N
2 1 2
П1=1
где ю. — частоты автоколебаний РАС и УДСС,
(4)
Ас =
Ох | р(х1 )их1 + Оу |р(х2 )^х2
(5)
При увеличении инкремента РАС и УДСС форма колебаний становится релаксационной, а коэффициенты диффузии Бх и Бу уже не являются равноправными. Пусть степень релаксационности характеризуется параметром е «1. Тогда выражение для полосы синхронизации приобретает вид
Ас =
Ох
^ерел 0
| р(х1)й
1)их1 + ерелОу
2тах
| р(х2 ^*2
(6)
При этом Бх определяет диффузионную связь по медленной переменной, не имеющей разрывов, а Оу — диффузионную связь по быстрой переменной. Из (6) следует, что полоса синхронизации Дс увеличивается в ерел-1 раз при диффузионной связи по медленной переменной и, наоборот, сужается при осуществлении диффузионной связи по быстрой переменной. В релаксационной РАС и УДСС при 0х°0 и Бу/0 наступает десинхронизация авто-
колебаний в пространстве состояний (при этом Дс®0, если е <К1).
рел '
Проблема анализа синхронизации случайных и хаотических режимов в РАС и УДСС связана с различными видами неопределённости. Такое положение следует считать объективно сложившимся, поскольку иногда невозможно, а иногда нецелесообразно получать достаточные объёмы достоверных данных.
Уникальность решения задач в условиях неопре-делённости состоит в том, что приходится преодолевать трудности концептуального характера — в этом и сложность, и привлекательность проблемы неопределённости. Имеется два возможных подхода к решению задач в условиях неопределённости. В первом подходе получают хотя бы теоретически точное решение при фиксированных значениях неопределённых факторов, а затем оценивают устойчивость полученного решения при колебаниях неопределённых факторов, проводя многовариантные расчеты. Снятие неопределённости тем или иным образом происходит при введении соответствующих гипотез, гарантирующих получение точного решения. Второй подход предполагает обнаружение механизмов влияния факторов неопределён-ности на всех этапах пути к решению задач моделирования самоорганизации РАС и УДСС.
Последние теоретические разработки по проблеме самоорганизации РАС и УДСС в условиях неопределённости опираются на такое фундаментальное понятие как энтропия нечеткой информации, построенное на основе понятия энтропии динамических систем. Следовательно, можно сделать вывод о том, что в современной трактовке один из возможных вариантов решения проблемы самоорганизации РАС и УДСС должен опираться на понятие энтропии. Но тогда совершенно необходим экскурс в историю развития энтропийных представлений в Науке для наиболее четкого представления излагаемого материала. Этот экскурс проводится с привлечением сведений, опубликованных в [4].
Как стало понятно в XX веке, научная картина мира базируется на неявном (терминология М. По-лани) или фоновом (терминология К. Поппера) знании. Одним из его несущих (базисных) элементов, судя по всему, вот уже полтора века является трактовка энтропии как меры беспорядка, характеризующей временную необратимость любых процессов в динамических процессах и средах. Отметим тот поразительный факт, что ее справедливость для реальных систем никогда и никем не была доказана. Никто даже не обсуждал сколько-нибудь серьезно связи энтропии с беспорядком. Классики физики только касались этой связи, считая ее, по всей видимости, очевидной.
Понятие энтропии было введено Р. Клаузиусом (1865), который трактовал рост энтропии как тенденцию к выравниванию температуры по объему. Эта же мысль присутствует у Дж. Максвелла (1871). Л. Больцман в 1877 году говорит, что энтропия характеризует равномерность описывающего систему распределения, но в 1895— 1898 годах он уже связывает вероятность состояния, следовательно, и энтропию, с неупорядоченностью. Г. Гельмгольц в 1883 году говорит об энтропии как о мере дезорганизации, не фокусируя на этом внимания. Детально обсуждаются только апокалиптические следствия этой столь бесспорной для всех связи — неизбежное прекращение всех процессов во Вселенной во всеобщем хаосе и грядущая гибель всего живого на Земле.
о
о
о
Тождественность энтропии с беспорядком не только никем никогда не была доказана и не только не может быть доказана в принципе, но и прямо противоречит реально наблюдаемым фактам, ибо эволюция наблюдаемого материального Мира идет не в сторону упрощения эволюционирующих систем, как предписывает эта трактовка в сочетании с законом возрастания энтропии, но в прямо противоположном направлении — в сторону их усложнения.
Противоречие трактовки энтропии как меры беспорядка наблюдаемым фактам побудило целый ряд исследователей подвергнуть в последней трети XX — начале XXI века эту трактовку сомнению, высказав аргументы в пользу того, что рост энтропии вовсе не препятствует росту сложности.
Начнем с того, что обсуждаемая трактовка энтропии как меры беспорядка подпирается мощным пластом эмпирических фактов. Температура вследствие переноса тепла выравнивается, газ расширяется в сторону меньшего давления до выравнивания давлений, компоненты смеси вследствие диффузии распределяются по объему всё более однородно, молекулы при высокой температуре распадаются на ионы и т.д. На основании этих и подобных фактов в физике закон возрастания энтропии и формулируется как эволюционный закон непрерывной дезорганизации, или разрушения изначально заданной структуры.
Однако, наряду с этим пластом эмпирических фактов, существует и другой пласт эмпирических фактов, не менее мощный и обратный первому. Множество явлений демонстрирует нам, что более сложные системы в «собранном» виде зачастую обладают большей вероятностью состояния (энтропией), чем в «разобранном» на части виде. Атом при нормальных условиях не распадается на составляющие его элементарные частицы, молекулы сами собой не рассыпаются на атомы. Следовательно, в обоих этих случаях более сложная структура имеет большую энтропию. Ионы при невысокой температуре сами собой объединяются в молекулы. Переохлажденная жидкость, даже будучи изолированной, если в нее до изоляции попала соринка, сама собой кристаллизуется с образованием более сложной структуры. В современной космологии наиболее распространенной является точка зрения, согласно которой после Большого Взрыва некой сингулярности ранняя однородная Вселенная под действием сил гравитации эволюционировала со временем к нынешнему состоянию с развитой галактической и звездной структурой.
О возрастании энтропии изолированной системы говорит так называемая глобальная формулировка закона возрастания энтропии. Но действует, как известно, и локальная формулировка, согласно которой развитие реальных систем идет с положительным производством (положительной скоростью возникновения) энтропии.
Производство энтропии положительно как в системах, в которых хаос рождается из порядка, так и в системах, в которых, наоборот, порядок рождается из хаоса. Производство энтропии положительно всегда и везде, в любой реальной системе и ее окружении (внешней среде), в каждом элементе их объема. Это может означать только то, что применительно к реальным системам энтропия не является мерой беспорядка. Мы пришли к этому выводу феноменологически. Постараемся теперь обосновать его теоретически.
Известно, что трактовка энтропии как меры беспорядка приближенно справедлива для отдельно взятого математического распределения плотности вероятностей переменных состояния, имеющего единичную площадь под кривой. Говоря точнее, энтропия такого распределения тем больше, чем распределение шире. С другой стороны, распределение тем шире, чем менее оно изрезано, т.е. чем оно проще (менее упорядочено) по форме.
Представим себе теперь, что данная РАС и УДСС характеризуется изменяющимся во времени числом переменных состояния. На множестве значений этих переменных введем функцию распределения, которая будет характеризовать вероятность того, что система пребывает в том или ином состоянии, характеризуемом тем или иным набором значений переменных состояния. Сложность формы этого распределения отражает сложность нашей материальной системы: чем сложнее распределение, т.е. чем оно более изрезано, тем сложнее и наша система. Но энтропия этого распределения будет тем больше, чем менее упорядочено описывающее ее распределение, чем оно проще по форме.
Итак, для распределения плотности вероятностей р(х) со средним значением р(х)Ср ширина распределения Дх вводится как ширина прямоугольника с высотой р(х)Ср и единичной площадью, т.е. р(х)СрДх = 1. Тогда несложно показать, что энтропия распределения плотности вероятностей переменных состояния РАС и УДСС может быть определена в виде
И =
-к/р(х)1п
(
Р(х
Л
р(х
<3х @к1п-
Ах
(7)
где Дхнач — начальный фазовый объем,
Дх — текущий фазовый объем, к — постоянная Больцмана.
При этом, если Дх >Дх, то И<0, если Дх <Дх,
нач нач
то И>0.
Понятно, что в ходе эволюции суммарное разнообразие материального Мира растет, а следовательно, растет и общая ширина характеризующего ее интегрального распределения, что влечет наращивание числа переменных состояния и множества их значений.
Ядро современной научной картины мира составляют универсальный эволюционизм и синергетика, которые рассматриваются как единая парадигма. Универсальный эволюционизм представляет собой соединение идеи эволюции с идеей системного подхода. В контексте «встречи» названных идей возникла синергетика — новое междисциплинарное направление, ставящее своей стратегической целью открытие закономерностей (принципов), лежащих в основе сложных процессов самоорганизации. Синергетика изучает открытые, обменивающиеся веществом, энергией и информацией с внешним миром, системы. Активное изучение явлений самоорганизации в Природе было подготовлено накоплением многочисленных наблюдений о функционировании физических и химических систем, в которых из хаотических состояний возникают высокоупорядоченные пространственные, временные и пространственно-временные структуры.
Необходимо отметить, что синергетика сегодня пропитана идеями концепции УДСС И. Пригожина, которая, в свою очередь, вся построена на трактовке энтропии как меры беспорядка и вытекающем из нее выводе, что процессы самоорганизации могут
*
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014
протекать только в открытых системах. Такие системы могут функционировать лишь за счет обменных потоков энергии и вещества.
Центральное место в концепции Пригожина занимают УДСС, понятие о которых было специально введено, чтобы более наглядно состыковать эволюционный рост сложности с ростом энтропии, и которые потому так и были названы, что по определению рассеивают (диссипируют) во внешней среде возникающую в них энтропию, благодаря чему и усложняются. Ныне мы знаем, что вдали от равновесия могут спонтанно возникать новые типы структур. В сильно неравновесных условиях может совершаться переход от беспорядка, теплового хаоса, к порядку. Могут возникать новые динамические состояния Материи, отражающие взаимодействие данной УДСС с РАС. Если изолированная система находится в РАС, то такая система уже не относится к изолированным, а относится к открытым системам. Такая ситуация соответствует общему случаю, хотя возможно в виде исключения некую систему считать изолированной. Как видно, теряется смысл понятия «изолированная система».
Особое внимание уделяет Пригожин термодинамическим флуктуациям, возлагая на них ответственность за возникновение новых структур и вводя понятие порядка через флуктуации. Тезис Пригожина и возглавляемой им Брюссельской школы об определяющей роли термодинамических флуктуации в самоорганизации диссипативных структур произрастает из устаревшей сегодня флуктуационной гипотезы Больцмана. Какая сила заставляет цепочку флуктуации выстраиваться в ходе эволюции в определенном направлении — в сторону усложнения, а не в сторону упрощения? Этим вопросом Пригожин с коллегами не задаются. На мой же взгляд, флуктуация играет здесь отнюдь не упорядочивающую роль, но только роль переключателя: в точках ветвления система выбирает через флуктуации один из путей своего усложнения или своего упрощения.
Однако главный упрек концепции Пригожина и базирующейся на ней синергетике состоит в том, что они неверно оценивают эволюционную роль открытых систем. Дело совсем не в том, что в изолированной системе рост энтропии с усложнением структуры якобы невозможен. Он возможен, потому что трактовка энтропии как меры беспорядка ошибочна, однако этот рост рано или поздно прекращается, и прекращается тем скорее, чем раньше будут исчерпаны ресурсы внутренних взаимодействий. Но еще более важно то, что неверно оценивается, а точнее говоря, вообще никак не оценивается роль активной и энергетически накачанной среды, в которой происходит эволюция изолированных и открытых систем. Если верны гипотеза о фракталь-ности Вселенной и базирующиеся на ней аргументы, то наша Метагалактика представляет собой изолированную систему, что, однако, не мешает этой гигантской системе благополучно эволюционировать в сторону усложнения вот уже 13,7 млрд лет.
По своей природе открытые системы заняты обменом разных форм взаимодействий с РАС, интенсифицируя обмен и превращения энергии — материи, так называемые метаболизмы. Открытость системы добавляет более чем существенную лепту в эволюционные процессы за счет внешних взаимодействий, у которых то гигантское преимущество по сравнению с внутренними, что они практически неисчерпаемы в своем многообразии, поскольку РАС для данной системы служит в пределе вся наша
Метагалактика или даже, может быть, вся Вселенная. Вот почему для эволюции так важны открытые системы и вот почему эволюция любого фрагмента наблюдаемого Мира рано или поздно необходимо переходит к существенно открытым системам, которые не просто интенсивно обмениваются друг с другом и с РАС энергией и веществом, но и существовать могут только как открытые. Понятие беспорядка, в сущности понятия хаоса, необходимо заменить на понятие «детерминированного хаоса», соединяющего в одно целое понятия порядка и беспорядка, тогда энтропия будет характеристикой не беспорядка, а будет характеристикой некоторой неопределенности состояния РАС, а также открытых и изолированных систем.
Таким образом, отказ от трактовки энтропии как меры беспорядка означает не отказ от синергетики, но только переформулировку некоторых ее базовых положений. Необходимо учесть, что закон возрастания энтропии не чинит процессам самоорганизации никаких препятствий.
Теория естественного отбора занимает вполне определенное место в истории борьбы двух ветвей теории эволюции — автогенетической (эволюция движется саморазвитием Материи, т.е. внутренними взаимодействиями) и эктогенетической (эволюция происходит за счет взаимодействия с внешней средой). Ж.-Б. Ламарк (1809), а следом за ним и Э. Жоф-фруа Сент-Илер (1833) объясняют органическую эволюцию как саморазвитием Материи, так и воздействием внешней среды. Иными словами, у них присутствует как автогенез, так и эктогенез.
Необходимо отметить, что удачный или неудачный выбор автором для своей теории названия или некоторых терминов может определить судьбу теории. Так, Ламарк, следуя традициям XVIII века, назвал движущие эволюцию взаимодействия невидимыми флюидами, которые учеными XIX века воспринимались как нечто мистическое (бессодержательное), и это почти на два века отодвинуло его рациональную автогенетическую концепцию с авансценой эволюционизма.
Ч. Дарвин, так много сделавший для победы эволюционных представлений, как мне представляется, сыграл одновременно и большую негативную роль, надолго заглушив автогенетическую линию. Он — чистый эктогенетик. Дарвинизм во всех его модификациях представляет собой, на мой взгляд, шаг назад по сравнению с концепцией Ламарка. Во второй половине XIX века эктогенетическая ветвь органического эволюционизма, включая теорию естественного отбора, получила неожиданное подкрепление в виде трактовки энтропии как меры беспорядка, которая приводит к выводу, что внутренние взаимодействия могут только разрушать структуры и что ответственность за самоорганизацию (эволюцию) может нести только внешняя среда.
Заметим во избежание недоразумений, что несостоятельность теории естественного отбора вовсе не означает несостоятельности эволюционизма как такового; ошибочен, я полагаю, только предложенный Дарвином конкретный механизм возникновения эволюционных новаций — механизм естественного отбора мутаций. Реально эти механизмы совсем другие — это автогенетические механизмы, или механизмы саморазвития (самоорганизации) эволюционирующих систем.
Энтропийные модели самоорганизации РАС и УДСС включают в себя не только распределение вероятностей переменных состояния, но и ограниче-
ние на ресурсы системы, что позволяет им выдерживать конкуренцию с моделями учёта неопределён-ности других типов. Отсюда следует, что для случайных процессов имеющееся распределение вероятностей переменных состояния однозначно определяет энтропию как меру неопределенности РАС и УДСС. В режимах детерминированного хаоса понятие «распределение вероятности переменных состояния» отсутствует и, следовательно, для хаотических режимов нельзя определить энтропию как меру неопределенности РАС и УДСС.
В этой связи уместно сослаться на следующий результат, полученный в теоретическом исследовании. Известная форма спектрального разложения некоторого процесса [5] позволяет перейти к пределу при Т®¥, что характерно для хаотических режимов (как нерегулярных и непериодических), и получить спектральную плотность Б(ю) хаотического режима в виде
г¿V V! с/' СШ АШ
Ш = I 8(со)С<» ^ 8(со) =-------------------^---------,
Лю С <в Аю
(8)
Известно, что каждой иерархической структуре может быть поставлен в соответствие математический образ в виде аттрактора в некотором фазовом пространстве. Исходя из этого, в качестве критерия степени хаотичности или уровня порядка о было предложено использовать следующее выражение:
о= (ш — Б)/(ш — 1),
(9)
где Ш — мощность хаотического режима,
Дю — частотный интервал рассмотрения хаотического процесса.
Аналитическое сопоставление классического определения приращения энтропии необратимых процессов через изменение энергии (тепла), полученной некоторой системой, к температуре теплоотдающей системы (Клаузиус, Кельвин) и определения приращения энтропии необратимых случайных процессов через их вероятностные распределения (Больцман, Шеннон) позволяет сделать вывод об эквивалентности величины приращения энтропии ДН и величины плотности энергетического спектра Б необратимых случайных процессов.
Это важное в физическом аспекте заключение имеет далеко идущие следствия. Если для некоторого ансамбля реализаций случайного процесса удается аналитически рассчитать или экспериментально определить энергетический спектр и, следовательно, определить плотность энергетического спектра, то для этого случайного процесса тем самым определена энтропия, хотя вероятностные распределения случайного процесса могут быть неизвестны по ряду причин, и энтропию случайного процесса через вероятностные распределения определить не представляется возможным. Обнаруженная эквивалентность указанных величин с точностью до масштабного коэффициента подобия величины приращения энтропии и величины плотности энергетического спектра случайных процессов позволяет определить одну из этих величин через другую величину.
В дальнейшем высказанные соображения послужат основанием для обобщения их на хаотические процессы, которые имеют индивидуальные величины плотности энергетических спектров и которые с точностью до масштабного коэффициента подобия совпадают с индивидуальным приращением энтропии тех же хаотических процессов. Тем самым решается проблема отыскания энтропии для хаотических режимов функционирования РАС и УДСС.
Для количественной оценки степени хаотичности движений в РАС и УДСС используется обычно либо энтропия Колмогорова — Синая, либо дробная размерность аттрактора. В то же время для описания структур, возникающих в режимах детерминированного хаоса был предложен критерий, который называется «уровень порядка» [6].
где т — число степеней свободы нелинейной структуры системы, иначе размерность фазового пространства, Б — дробная размерность аттрактора.
Если Б приближается к т, то в РАС и УДСС реализуется случай наиболее неупорядоченной структуры, о®0. Если же при достаточно большом т размерность Б немногим более двух (траектории аттрактора локализованы), то это означает, что большая часть переменных состояния в РАС и УДСС коррели-рованы между собой и степень порядка весьма велика, о®1. По-видимому, использование критерия о будет наиболее информативным при рассмотрении переходов типа «хаос —хаос». На этом пути трудность и ограниченность предлагаемого подхода заключается в том, что размерность аттрактора весьма сложно точно установить.
В этой связи предлагается иной подход к определению энтропии режимов детерминированного хаоса. Сущность предлагаемого подхода состоит в том, что обнаруженная эквивалентность с точностью до масштабного коэффициента величины приращения энтропии и величины плотности энергетического спектра случайных процессов, которая позволяет определять одну из этих величин через другую величину, является новым научным результатом с физической и математической точек зрения и послужит основанием для обобщения полученного результата на хаотические процессы, которые имеют индивидуальные величины плотности энергетических спектров и которые с точностью до масштабного коэффициента подобия совпадают с индивидуальным приращением энтропии тех же хаотических процессов.
Понятие «энтропия» через эквивалентное ему понятие «плотность энергетического спектра» как для случайного, так и хаотического процессов связывает воедино философские категории «Случайность» и «Хаос». Энтропия становится тем обручем, который стягивает ранее несоединимые в физическом и математическом аспектах сущности — случайные и хаотические явления. Но тогда проявляется следующее: хаос имеет две стороны и эти стороны проявляются как процессы детерминированного хаоса, не имеющие распределение вероятности, и как случайные процессы с некоторым распределением вероятностей, но плотность энергетического спектра имеет место быть и для хаотических, и для случайных процессов.
В этом аспекте необходимо пояснить, что хаос не может быть недетерминированным. Например, брауновское движение некой частицы как образец истинного хаоса, тем не менее, имеет причину своего появления и, следовательно, подчиняется некоторой детерминации. Эта детерминация может быть еще неизвестна, происходить в неисследованных средах, быть непонятой и т.д., но она (детерминация) реально существует.
Результатом выполненных исследований являются разработанные алгоритмы, проверка которых осуществлялась на тестовых задачах и которые позволяют определять бифуркационные параметры РАС и УДСС и их численные значения, анализировать
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (127) 2014
связанные с бифуркациями различные типы решений, включая хаотические режимы, минимизировать потери активной мощности по критерию энтропийной устойчивости во всех режимах работы, включая режимы детерминированного хаоса.
В этом отношении необходимо указать, что РАС и УДСС с положительной обратной связью (ПОС), а наличие хотя бы одной спонтанно возникающей ПОС является необходимым условием появления режима детерминированного хаоса, всегда превращают всю свою свободную энергию в работу против ожидаемого равновесия. В режимах детерминированного хаоса, когда в РАС и УДСС имеет место ПОС, РАС и УДСС обязана работать против ожидаемого равновесия. В хаосе равновесия не может быть, и, хотя через бифуркации меняется тип решения, но к равновесию РАС и УДСС не приходит.
В точках бифуркации происходит смена типов решений, т.е. происходит смена пространственновременной организации РАС и УДСС, но вдали от равновесия каждая подсистема «видит» всю РАС и УДСС в целом, а в равновесии РАС и УДСС «слепа». Отсюда следует, что вдали от положения равновесия когерентность поведения подсистем РАС и УДСС в огромной степени возрастает.
Концепция по проблеме учёта факторов неопре-делённости в задачах моделирования самоорганизации и устойчивости РАС и УДСС подробно освещена в [7]. Суть концепции заключается в том, что ключевую роль в разработке методики определения вида и параметров распределения вероятностей переменных состояния (параметров режима) или функций принадлежности, а значит, и учёта фактора неопре-делённости должна играть текущая энтропия состояния. Опираясь на полученные результаты работы, приходим к выводу о том, что если текущая энтропия отлична от нуля, то появляется область 8 оптимальных инвариантных решений. Увеличение текущей энтропии приводит к увеличению области 8. Это означает, что увеличивающаяся неопределён-ность состояния РАС и УДСС делает лишённой смысла замену старого оптимального решения на другое оптимальное решение при изменившихся условиях функционирования. При этом дается оценка состоятельности старого оптимального решения.
Таким образом, любая реальная РАС и УДСС не может быть абсолютно и исчерпывающе детализована в пространстве состояний х в силу существования конечной области неопределённости 8 инвариантных оптимальных решений. Важно понять, что область 8 есть естественное ограничение всякой возможности абсолютно детализировать состояния РАС и УДСС не только в обычном математическом пространстве состояний, но и в «пространствах» любых других физических величин. Ни в одном из этих пространств эта детализация не может быть абсолютной и исчерпывающей в силу существования конечной и неделимой области 8, влекущей за собой появление соотношения неопределённостей для оптимальных решений.
Это сразу же дает естественное объяснение объективного статуса потенциальных возможностей и представляющих их вероятностей в теории анализа энтропийной устойчивости РАС и УДСС: поскольку математическим языком нельзя описывать динамические системы никак иначе, только лишь в терминах режимов и их множеств, и, с другой стороны, РАС и УДСС не поддаются исчерпывающей детализации разложения на множества режимов, то часть режимов и их множеств приобретает статус потен-
циальных возможностей. В связи с этим само понятие и понимание реальности должно быть расширено до включения в него наряду с осуществившимися и потенциально возможных состояний.
Внешнее либо внутреннее воздействие на РАС и УДСС меняет потенциальные возможности и отображающие их прогнозы, причем это изменение прогноза не есть физический процесс. Относящиеся к РАС и УДСС прогнозы и потенциальные возможности связаны логически, и новый факт, меняющий прогноз для одной подсистемы, автоматически меняет прогноз и для другой подсистемы. В связи с этим понимание реальных процессов, протекающих в РАС и УДСС, должно быть расширено до включения в него наряду с реализовавшимися (осуществлёнными) режимами и потенциально возможных режимов. Все присущие РАС и УДСС потенциально возможные режимы должны быть взаимосогласованными, что математически выражается условием нормировки плотности вероятности р(х, 1). Перераспределение потенциальных возможностей и отображающих их вероятностей в зависимости от реализовавшихся режимов РАС и УДСС носит объективный характер. Такого рода логическая связь между потенциально возможными режимами РАС и УДСС и их вероятностями математически выражается формулой Бейеса.
Описание максимально детализированных режимов РАС и УДСС представляется распределением вероятностей обнаружения с набором корреляционных связей. Таким образом, речь, по существу, идет о деабсолютизации и релятивизации исходного понятия — отыскания единственно возможного оптимального решения (режима) РАС и УДСС при решении задач самоорганизации и устойчивости в условиях неопределённости.
Библиографический список
1. Васильев, В. А. Автоволновые процессы / В. А. Васильев, Ю. М. Романовский, В. Г. Яхно. — М. : Наука, 1987. — 240 с.
2. Синхронизация хаотических автоколебаний в пространстве состояний электроэнергетических, электрических и электронных систем как фактор самоорганизации / В. К. Фёдоров [и др.] // Омский научный вестник. — 2012. — № 3 (113). — С. 196-205.
3. Романовский, Ю. М. Математическое моделирование в биофизике / Ю. М. Романовский, Н. В. Степанова, Д. С. Чер-навский. — М. : Наука, 1975. — С. 177-193.
4. Хайтун, С. Д. Трактовка энтропии как меры беспорядка и ее негативное воздействие на современную научную картину мира / С. Д. Хайтун // Вопросы философии. — 2013. — №2.— С. 62 — 74.
5. Сбитнев, В. И. Стохастичность в системе связанных вибраторов / В. И. Сбитнев // Нелинейные волны, стохастичность и турбулентность. — Горький : ИПФ АН СССР, 1980. — С. 46 — 56.
6. Линда, П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы // Автоколебания в распределенных системах. — М. : Наука, 1980. — С. 46 — 56.
7. Блехман, И. И. Синхронизация в природе и технике / И. И. Блехман. — М. : Наука, 1981. —187 с.
ФЁДОРОВ Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий». Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11, ОмГТУ, кафедра «Электроснабжение промышленных предприятий».
Статья поступила в редакцию 09.01.2014 г.
© В. К. Фёдоров
