CC BY
37
Как видно из таблицы, обе замены приводят к существенному уточнению значения интеграла (в 10-20 раз), а следовательно, ведут к более точному решению краевой задачи, в которой встречается подобное интегрирование.
Литература: 1. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наук. думка, 1982. 552с. 2. Рвачев В.Л., Шевченко А.Н. Проблемно-ориентированные языки и системы для инженерных расчетов. Киев: Техника, 1988. 197с. 3. Михлин С.Г. Курс математической физики М.: Наука, 1968. 575с. 4. Березин И. С.,
Жидков Н.Ї. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. 632с. 5. Рвачев В.Л., Шейко Т.И., Шапиро В. Применение метода R-функций к интегрированию дифференциальных уравнений с частными производными // Кибернетика и системный анализ, 1999. №1. С.3-20.
Поступила в редколлегию 12.10.2001
Рецензент: д-р физ.-мат. наук Рвачев В.Л.
Меркотан Дмитрий Витальевич, аспирант кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: вычислительная математика. Адрес: Украина, 61174, Харьков, пр. Людвига Свободы, 51б.
УДК 530.145
КОНЦЕПЦИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ, ПОВЕРХНОСТНОГО ИМПЕДАНСА И “АВТОФАЗИРОВКИ” (“SURFRIDING”) В АНАЛИЗЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН КВЧ-ДИАПАЗОНА С ТОНКИМ ПОВЕРХНОСТНЫМ СЛОЕМ КОЖИ ЧЕЛОВЕКА. ЧАСТЬ 31
ЧОВНЮК Ю.В, ОВСЯННИКОВА т.н._________
Представляется всесторонний теоретический анализ существующих моделей диэлектрического отклика, поверхностного импеданса и взаимодействия электромагнитных волн крайне высоких частот с тонким поверхностным слоем кожи человека.
Распространение волн в проводящей биосреде существенно отличается от их распространения в непроводящей среде. Если наряду с диэлектрической и магнитной проницаемостями є и ц биосреда характеризуется также проводимостью а, то к уравнениям Максвелла следует добавить закон Ома:
I = аЁ. (1)
С учетом (1) можно представить уравнения Максвелла в виде:
р,н
div(= 0, rotE +—------= 0,
c dt
'divUE) = 0, rotS-l^E = 0, (2)
I V ' c dt c
где использована гауссова система единиц.
Рассмотрим поперечные поля в проводящей биосреде, т.е. будем считать, что переменные во времени электромагнитные поля являются поперечными, а значит, векторы E и H перпендикулярны к направлению пространственного изменения элек-
1 Часть 1 в журнале “Радиоэлектроника и информатика”, 2001. №3. С. 143-146, часть 2 в журнале “Радиоэлектроника и информатика”, 2001. №4.С. 141-148.
РИ, 2002, № 1
тромагнитного поля (ЭМП). В предположении, что поля изменяются как expikx - rat), где і = V-Г, k — волновой вектор электромагнитной волны (ЭМВ), ю — частота (круговая), t — время, X = {x\, x 2, Х3 ) , из первого роторного уравнения (2) получаем соотношение:
H=~~ k х E, (3)
а из второго — соотношение:
і
J ПІ , ® Є -
k хHI + is—E---E = 0 ,
c c
(4)
Исключая H или E из двух последних уравнений, находим:
k2
( 2 \ ю „ нюа
ив---h 4%і-----
r 2 2
I c c J
(5)
Отсюда следует, что волновой вектор k является комплексным:
, 2 ® k = ре
2
1 + і
4да
ЮЄ
(6)
Первый член в (6) соответствует току смещения, а второй — току проводимости. Ветвь квадратного корня в выражении для k выбирается таким
2
c
образом, чтобы при с = 0 получались известные результаты [1]. Предполагая, что проводимость а —действительное число, получаем:
k = а + і'Р, (7)
где
а I
Р.
= у[^£
1 + (4да / юе)2 ± 1
-|1/ 2
2
(8)
Для плохого проводника (4да / юв << 1) справедливо приближенное соотношение:
k = а+ і'Р « ^/рв
ю 2п ц
- +і — д c c V в
(9)
с точностью до членов первого порядка по а / ює . В этом приближении ReA>>ImA, и затухание волны
145
(Imk) не зависит от частоты, если не учитывать возможной зависимости проводимости биосреды от частоты, т.е. а(ю). Наоборот, для хорошего проводника (4%а / юв » 1) а и р приближенно равны и:
ц
к * (1 + 0------ , (10)
c
здесь сохранен только член низшего порядка малости по юв/а.
В общем случае, наличие у биосреды одновременно свойств диэлектрика (гФ 0) и проводника (с Ф 0 ) приводит к необходимости классификации всех возможных случаев. Для этого следует ввести такие обозначения:
т = (4%а / в)_1 =в/4па — время релаксации,
юо = 4%а / в — частота релаксации в биосреде.
1. Пусть в(ю) = const, а а(ю) изменяется:
а) &о/ ®» 1, ют« 1,— достаточно большая величина. В этом случае биосреда может быть названа “хорошим” проводником;
достаточно часто используемый в анализе проводников и металлов.
Далее рассмотрим структуру волн, генерируемых в рамках развиваемой модели ЭМП.
Волны, описываемые выражением exp(/kx - ,
являются затухающими поперечными. Их поля могут быть записаны в виде:
E = Ё0е~^ЯХ\/а(ЯХУШ ,
Н = (11)
где n — единичный вектор в направлении к . Из уравнения d/vi^E = 0 следует, что Еи) = 0 , а соотношение (3), связывающее Ни E , дает:
Н0 = —(а + W х Е0 . (12)
цю 4 '
Отсюда видно, что в биосреде фазы Н и Е не совпадают. Определяя амплитуду и фазу соотношениями:
б) Ю0 /ю<< 1, ют» 1,а — достаточно малая величина (по сравнению с таковой для обычных проводников). В этом случае биосреда может быть названа “плохим” проводником, близким по своим свойствам к диэлектрикам;
в) Ю0 /ю ~ 1, ют ~ 1, а — некоторая фиксированная величина. В этом случае биосреда сочетает в себе в приблизительно равной степени свойства проводника и диэлектрика. Это так называемый промежуточный случай.
2. Пусть а(ю) = const, а в(ю) изменяется:
а) Ю0 /ю» 1, ют<< 1, є(ю) » 0 . В этом случае биосреда может отождествляться с проводящей (“квазиметалическая” проводимость);
б) Ю0 /ю << 1, ют >> 1, в(ю) >> 1. В этом случае биосреда может считаться диэлектрической;
в) Ю0/ ю ~ 1, ют ~ 1, в — некоторое фиксированное значение, т.е. в ~ 1...10 . Это так называемый промежуточный случай (биосреде присущи одновременно и диэлектрические свойства, и свойства проводника).
Приведенная класификация свойств и состояний биосреды в зависимости от частоты внешнего воздействия ю позволяет, в зависимости от ситуации, использовать понятийный аппарат, соотношения, аналитические зависимости, формулы, которые общеприняты при изучении физики проводников или диэлектриков, например, поверхностный импеданс £, (об этом речь пойдет ниже),
к 2 +р2 1+f4”°12
c ^ юв )
-|1/4
Р 1 Г4%а
ф = arctg — = — arctg <-
а 2 I юв
(13)
можно показать, что:
а) для “хорошей” проводящей биосреды
(4ла / юв) >> 1,Iк 1^ — д/фгёацю , т.е. с ростом ю
c
%
и а | к | растет
б) для “плохой” в смысле проводимости биосреды
(4ла / юв) << 1, | к |» д/цю — , т.е. с ростом ю и
c
в | к | растет ~ уЦ® ; ф » 0 .
Исходя из (13), формулу (12) запишем в виде:
/юо ; 4 ;
4%а
юв
-|1/4
РФ
[n х Е0І.
2
1
(14)
Выражение (14) показывает, что Н отстает во времени от Е на фазовый угол ф, а отношение амплитуд Ни Е в биосреде равно:
Н 0 [7 (4ла^2
1+ 1 1
Е0 ^ ЮВ J
(15)
Из (15) следует, что в “хорошо” проводящей биосреде магнитное поле Н велико по сравнению с электрическим полем Е и отстает от него по фазе
146
РИ, 2002, № 1
почти на 450. При этом энергия почти полностью сосредоточена в магнитном поле. Именно по этой причине метод микроволновой резонансной терапии проф. С.П.Ситько основан на воздействии преимущественно магнитной компоненты ЭМП на биообъект.
Как показывают соотношения (11), волны экспоненциально затухают в биосреде с расстоянием.
Однако существует ситуация, при которой р < 0, т.е. возможно усиление генерируемых ЭМВ в биосреде. Это произойдет, когда в < 0 , | в 0 . В таком случае имеем:
Р = - 1{2лац^1/2. (16)
c
Другое дело, реализуемо ли такое состояние биосреды или ее отдельных слоев, при котором электромагнитные волны распространяются не затухая, а нарастая в пространстве биообъекта? Вопрос исследования такой возможности, как и реализация в биосреде или ее слое условий, при которых в < 0 ,
| в |^ 0 , требует отдельного исследования. В обычной ситуации, когда в > 0 , амплитуда ЭМВ внутри биосреды уменьшается в є=2,7 раза на растоянии:
с _ 1 „ c
Р %/2йойц . (17)
Длину 5 принято называть толщиной скин-слоя, или глубиной проникновения в биосреду. Из (17) видно, что с ростом сю толщина 5 скин-слоя резко уменьшается. Столь быстрое ослабление ЭМВ означает, что токи в высокочастотных контурах кожного покрова человека (в районе БАТ кожи) текут только по поверхности биосреды. Отсюда, в частности, следует, что индуктивности элементов контура на КВЧ-частотах (миллиметровые ЭМВ,
несущая частота f « 60 ГГц) несколько меньше, чем на низких, из-за вытеснения магнитного потока из толщины биосреды.
Литература: 1.Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. 703с.
Поступила в редколлегию 28.07.2001
Рецензент: д-р физ.-мат. наук Ляшенко Н.И.
Човнюк Юрий Васильевич, канд. техн. наук, старший научный сотрудник, доцент, профессор Высшей школы экономики и деловой администрации АЖИО-КОЛЛЕДЖ (г.Киев, Украина). Научно-исследовательский центр квантовой медицины “ВІДГУК” Министерства здравоохранения Украины. Адрес: Украина, 01033, Киев, ул.Владимирская, 61-б, тел. 244-44-39.
Овсянникова Татьяна Николаевна, канд. техн. наук, старший научный сотрудник Научно-исследовательского центра квантовой медицины “ВІДГУК” Министерства здравоохранения Украины. Адрес: Украина, 01033, Киев, ул.Владимирская, 61-б, тел. 244-44-39.
РИ, 2002, № 1
147
