Контроль вырождения динамических объектов и систем: грамианный подход Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62.50

Д. С. Бирюков, Н. А. Дударенко, А. В. Ушаков

КОНТРОЛЬ ВЫРОЖДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ:

ГРАМИАННЫЙ ПОДХОД*

Рассматривается задача контроля вырождения динамических объектов и систем. Для решения задачи используется грамианный подход, основанный на вычислении сингулярных чисел грамианов управляемости отношений системы вход—выход с последующим применением аппарата функционалов вырождения.

Ключевые слова: динамическая система, функционал вырождения, критериальная матрица, грамиан управляемости.

Введение. В ходе исследований в области разработки технологии контроля вырождения динамических объектов и систем [1] авторы настоящей статьи поставили задачу, не прибегая к моделированию потока возможных входных заявок, сформировать априорную экспресс-оценку потенциальной возможности вырождения системы. Решение этой проблемы было найдено в результате объединения аппарата функционалов вырождения и технологии системных грамианов [2, 3]. В настоящей статье рассматривается задача контроля вырождения динамических объектов и систем на основе грамианов управляемости.

Технология конструирования функционалов вырождения. Сведем некоторую многоканальную динамическую систему посредством математических преобразований к линейной алгебраической задаче (ЛАЗ) вида

пМ = N к е)х(^), (1)

где Nе)— (т х т )-матрица для любых w , е ; п(Х(^)— р-мерные векторы; е — р-мерный параметр, изменяющий алгебраические свойства матрицы N . Аппарат функционалов вырождения З^у формируется на спектре аа {N1 сингулярных чисел а у (у = 1, т) критериальной матрицы N с использованием ЛАЗ (1):

аа^} = {ау =|^;2|; у = 1^} (2)

( | — корни уравнения ёй (|д/ - ^ N) = 0), вычисляемых в силу соотношений

= / а ^}; у = тх (3)

Свойства функционалов вырождения приведены в работе [1].

Если воспользоваться сингулярным разложением матрицы (БУО-процедурой) [4], то матрица N запишется следующим образом:

N = ^ Е NVN, (4)

=а , У = 1 т •

Это векторно-матричное соотношение придает исходной линейной алгебраической задаче (1) геометрический смысл: вектор Х = (У = 1, т) отражается в подпространство, натянутое на у -й элемент V^ левого сингулярного базиса UN так, что соответствующий ему

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (соглашение № 14.В37.21.1928).

вектор имеет норму, равную а. Тогда задача вырождения формализуется как задача контроля перехода критериальной матрицы N из сферы, расположенной в пространстве, натянутом на векторы х, в эллипсоид, натянутый на левый сингулярный базис UN с полуосями, по размеру совпадающими с сингулярными числами матрицы N .

Вырождение матрицы N в смысле достижения ею значения единицы функционала вырождения JD , записанного в форме (3), означает „сплющивание" этого эллипсоида вдоль p-й полуоси, т.е. вдоль р-го левого сингулярного вектора и^. Нетрудно видеть, что если параметр 9 модифицирует матрицу N(9) таким образом, что последовательно, начиная с аp, принимают нулевые значения остальные p _1 сингулярных чисел, кроме а1, то в пространстве, натянутом на левый сингулярный базис, будет наблюдаться последовательное „сплющивание" эллипсоида вдоль векторов UNp, UNp_l,... UN2 . В итоге сфера отобразится в отрезок прямой. Таким образом, функционалы вырождения JDv используются для количественной оценки вырождения динамических систем и объектов.

Интегральная экспресс-оценка вырождения динамической системы на спектре сингулярных чисел грамианов управляемости вход—выход. Пусть задана многоканальная непрерывная динамическая система вида

x(t) = Fx(t) + Gg(Г) , х(0); у(Г) = Cx(t), (5)

" пП

где x, g, у — векторы состояния, задающего воздействия и выхода соответственно; x е R ,

g, у е Вп ; F , G , C — матрицы состояния системы, входа и выхода непрерывного объекта управления соответственно, согласованные по размерности с размерностью векторов x, g, и

у так, что F е Впхп , О, СТ е ВТ™ .

При использовании грамианной технологии для непрерывной многоканальной системы вида (5) задается грамиан управляемости по состоянию с помощью интегральных соотношений

г Г

Жх (г) = | х(т, g)xT (т, g)dt ^=8(г) = | врхоот врТтат . (6)

о о

Дифференциальный аналог соотношения (6) принимает вид

Жх (г) = РЖХ (г) + Жх (г) ¥т + ООт , Жх (0) = о. (7)

Из (6), (7) видно, что если матрица F системы (5) является гурвицевой, то грамиан управляемости имеет установившееся значение Жх, удовлетворяющее предельному переходу

11т Жх (г) = Жх, (8)

при этом скорость его изменения как функция времени удовлетворяет соотношению

11т Жх (Г) = 0. (9)

Если условия (9) и (8) подставить в (7), то для вычисления матрицы Жх можно воспользоваться алгебраическим матричным уравнением типа уравнения Ляпунова

¥ЖХ (Г) + Жх (Г)¥т =_ООт . (10)

Грамиан управляемости отношения „вход—выход" Жу по выходу может быть вычислен с помощью матричного выражения

Жу = СЖхСт . (11)

Для случая многоканальных дискретных систем грамианы отношений „вход— состояние" и „вход—выход" строятся следующим образом. Пусть задана многомерная дискретная динамическая система вида

х(к +1) = Ех(к) + О%(к), х(0); у (к) = Сх(к) , (12)

где х е Я"; %, у е Ят ; Е , О , С — матрицы состояния системы, входа и выхода дискретного объекта управления, согласованные по размерности с размерностью векторов х, %, и у так,

что Е е Япхп ; О, СТ е япхт; к — дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительностью Аt (I = к(А^) ). Представим дискретную систему (12) в виде:

х(1) = Ех(0) + О% (0),

x(2) = Fx(1) + Gg (1) = F2 x(0) + FGg (0) + Gg (1)

x(k) = Fkx(0) + Fk-1Gg (0) + Fk-2Gg (1) +... + Gg (k -1) |x(0)=0 =

G FG

Fk -2G Fk-1G

[g(k-1) g(k-2) ... g(0)] .

(13)

Здесь для вектора состояния х(к) введена матрица управляемости системы по состоянию на к первых интервалах дискретности

öx (k) =

G FG

Fk-2G Fk-1G

(14)

На этой матрице может быть сконструирован грамиан управляемости по состоянию Жх (к) на первых к интервалах дискретности в форме

(к) = б(к)0к (к). (15)

Очевидно, что для момента (к +1) грамиан управляемости отношения „вход—состояние" дискретной системы (12) Жх (к +1) в силу определения (15) запишется как

Wx (k +1) = öx (k + 1)öT (k +1),

где

öx (k +1) =

G FG

Fk-1G FkG

[G Föx(k)] .

(16) (17)

Подстановка (17) в (16) с использованием представления (15) дает

.'T

Wx(k +1) = öx (k + 1)öf (k +1) = [G Föx (k)]

GT

öl (k )FT

= GG + FWx (k)FT . (18)

Установившееся значение грамиана управляемости по состоянию зададим в форме предельных соотношений

Wx = lim Wx(k); Wx = lim Wx(k +1). (19)

k^<x> (k +1)^<x>

Подстановка соотношений (19) в выражение (18) позволяет получить уравнение вида матричного дискретного уравнения Ляпунова

Wx = FWxFT + GGT . (20)

Формирование системного грамиана управляемости по выходу отношений „вход— выход" может быть осуществлено с помощью матричного уравнения

Wy = CWxCT . (21)

Если теперь к сконструированным грамианам отношения „вход—выход" (11) и (21) соответственно многоканальной непрерывной системы (5) и многоканальной дискретной сис-

темы (12) применить процедуру сингулярного разложения матриц, с тем чтобы вычислить алгебраические спектры сингулярных чисел указанных грамианов с последующим вычислением на их спектре функционалов вырождения, то можно сформировать априорную экспресс-оценку возможного вырождения многоканальной динамической системы.

Алгоритм контроля вырождения динамических объектов и систем на основе грамианов управляемости

1. Сформировать векторно-матричное описание многоканальной динамической системы и зафиксировать ее параметры.

2. Составить уравнение типа уравнения Ляпунова для случая непрерывного векторно-матричного представления многоканальной системы в форме (10) и для случая многоканальной дискретной динамической системы в форме (20), решить его относительно грамиана управляемости по состоянию.

3. Вычислить грамиан управляемости по выходу многоканальной системы в силу соотношения (11) для случая ее непрерывного модельного представления и в форме (21) для дискретного векторно-матричного представления многоканальной динамической системы.

4. Построить сингулярное разложение грамиана управляемости по выходу.

5. Построить функционалы вырождения в форме (3).

6. Полученные результаты передать системному аналитику на предмет интерпретации и принятия системных решений.

Заключение. Аппарат функционалов вырождения совместно с методом системных гра-мианов позволяет сформировать априорную оценку склонности многоканальной динамической системы и объекта к вырождению без необходимости моделирования потока возможных входных заявок. Следует ожидать, что эти оценки в силу структуры соотношений (10), (11) и (20), (21) будут совпадать с оценками функционалов вырождения, полученных при моделировании потока входных заявок стационарным в широком смысле стохастическим экзогенным воздействием типа „белый шум".

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дударенко Н., Ушаков А. Анализ многомерных динамических систем: технология контроля вырождения. Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. 232 с.

2. Мироновский Л. А. Функциональное диагностирование динамических систем. М.—СПб: Изд-во МГУ-ГРИФ, 1998.

3. Moore B.C. Principal Component Analysis in Linear Systems: Controlability, Observability and Model Reduction // IEEE Trans. on Automatic Control. 1981. Vol. AC-26, N 1. P. 17—31.

4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с.

Сведения об авторах

Дмитрий Сергеевич Бирюков — аспирант; Санкт-Петербургский национальный исследовательский

университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

Наталия Александровна Дударенко — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; доцент; E-mail: [email protected] Анатолий Владимирович Ушаков — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский национальный

исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

систем управления и информатики 13.12.12 г.